จำนวนตรรกยะ 2

จำนวนตรรกยะ
Rational number

จัดทำโดย : นางสาวสุรีย์นิภา ยาบูฮา รหัส 042 สาขาคณิตศาสตร์



ก

คำนำ

หนังสือเรื่องจำนวนตรรกยะจัดทำขึ้นตามตัวชี้วัดและมาตรฐานการเรียนรู้กลุ่ม สาระการ
เรียนรู้คณิตศาสตร์ เพื่อใช้ประกอบการจัดการเรียนการสอนกลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เพื่อทำให้ผู้เรียนมีความเข้าใจและใช้หลักการเกี่ยว
กับ จำนวนตรรกยะ ฝึกการทำงานให้มีระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มี
วิจารณญาณ มีความซื่อสัตย์ มีความเชื่อมั่นในตนเอง รวมทั้งเพื่อตอบสนองความแตกต่าง
ระหว่างบุคคล กระตุ้นให้นักเรียนมีเจตคติที่ดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์ ตระหนักและเห็น
คุณค่าของการเรียนอันจะนำไปสู่การบรรลุผลตามตัวชี้วัดและมาตรฐานการเรียนรู้ของ
หลักสูตรคณิตศาสตร์ ในเล่มนี้ประกอบไปด้วยจำนวนตรรกยะ ทศนิยมซ้ำ ข้อสังเกต
แผนผังจำนวนตรรกยะ และแบบฝึกหัด

หวังเป็นอย่างยิ่งว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนรู้กลุ่ม
สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของนักเรียน ครูผู้สอนและบุคคลที่สนใจเป็นอย่างมากซึ่งจะช่วย
ยกระดับคุณภาพการศึกษาในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ให้มีประสิทธิภาพดียิ่งขึ้น

สุรีย์นิภา ยาบูฮา



ข

สารบั ญ

เรื่ อง หน้ า

คำนำ ก
สารบั ญ ข
จำนวนตรรกยะ 1
ทศนิ ยมซ้ำ 3
ข้ อสั งเกต 7
แผนผั ง 8
จำนวนตรรกยะ
แบบฝึ กหั ด 9

1

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูป a ได้เมื่อ a และ b เป็น
b

จำนวนเต็ม และ b ≠ 0 เช่น 0, 2, -2.8, -9 และ 17
10 6

ดังนั้น จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ เพราะจำนวนเต็มสามารถเขียนอยู่ใน
รูป a ได้ โดยที่b ≠ 0

b
จำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูป a โดยที่ a และ b เป็น

b
จำนวนเต็ม และ b ≠ 0

ทศนิยมทุกจำนวนก็เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะทศนิยมสามารถเขียนอยู่ในรูป a
b

โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0 ซึ่งนักเรียนได้ศึกษามาแล้วในชั้นมัธยมศึกษา
ปีที่ 1 และเศษส่วนก็สามารถ เขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้

นักเรียนพิจารณาการเขียนเศษส่วนในรูปทศนิยมต่อไปนี้ 2

1. 15 3.75
4
ดังนั้น 15 = 3.75 4 ) 15.00
4 12
30
28
20
20
0

2. 8
9
0.888...
9 ) 8.0000
72
80 ทศนิยมไม่รู้จบแบบซํ้า
72 สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้
80 จึงเป็นจำนวนตรรกยะ
72
8 :.
.หรือ 8 = 0.8
ดังนั้น 8 = 0.888... .9
9
0.8 อ่านว่า ศูนย์จุดแปดแปดซ้ำ

3

0.8. เป็นทศนิยมซ้ำ 3.750. อ่านว่า สามจุดเจ็ดห้าศูนย์ศูนย์ซํ้า

3.75 สามารถเขียนในรูปทศนิยมซํ้าได้คือ
1นั่น. คือ2สา=มาร0ถ.4เขี0ย.น..เศหษรืสอ่วน0ใ.น4รู0ป.ทอศ่านนิยว่มาซํ้ศาูไนด้ย์จตุัดวสอี่ศยู่นางย์ทศูศนนยิ์ยซ้มำซํ้าอื่น ๆ เช่น
5
2. 3 = 0.750... หรือ 0.750. อ่านว่า ศูนย์จุดเจ็ดห้าศูนย์ศูนย์ซ้ำ
4
3. -15 = -1.666... หรือ -1.6. อ่านว่า ลบหนึ่งจุดหกหกซ้ำ
9
4. 12 = 0.363636... หรือ 0.3.6. อ่านว่า ศูนย์จุดสามหกสามหกซ้ำ
33
5. 152 = 1.369369... หรือ 1.3.69. อ่านว่า หนึ่งจุดสามหกเก้าสามหกเก้าซ้ำ
111
ในทางกลับกัน สามารถเขียนทศนิยมซ้ำในรูปเศษส่วนได้ ซึ่งนักเรียนเคยเขียนทศนิยมซ้ำศูนย์
ในรูปเศษส่วนมาแล้ว เช่น
1. 0.5 = 5
10
2. 0.37 = 37
100
3. -0.259 = - 259
1,000
สำหรับทศนิยมซํ้าที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำศูนย์ สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้

4

ตัวอย่างที่ 1
0.4.
วิธีทำ เขียน ให้อNยู่ใน=รูป0เ.ศ4ษ. ส่วน
ให้ .......................1
ดังนั้น N = 0.444...
นำ 10 คูณจำนวนทั้งสองข้างของสมการ 1
จะได้ 10N = 4.444... .......................2
สมการ 2 ลบด้วยสมการ 1
จะได้ 10N - N = (4.444...) - (0.444...)
9N = 4
N=4
9
ดังนั้น 0.4. = 4
9

ตัวอย่างที่ 2

วิธีทำ เขียน 0.6.5. ใหN้อยู=่ใน0รูป.6เ.ศ5.ษส่วน
ให้
ดังนั้น N = 0.656565... .......................1
นำ 100 คูณจำนวนทั้งสองข้างของสมการ 1
จะได้ 100N = 65.656565... .......................2
สมการ 2 ลบด้วยสมการ 1
จะได้ 100N - N = (65.656565...) - (0.656565...)
99N = 65
N = 65
99
ดังนั้น 0.6.5. = 65
99

5

ตัวอย่างที่ 3

วิธีทำ เขียน 0.25.3. ให้อยู่ในNรูป=เศษ0ส.่2วน5.3.
ให้
ดังนั้น N = 0.2.535353... .......................1
นำ 1,000 คูณจำนวนทั้งสองข้างของสมการ 1
จะได้ 1,000N = 253.535353... .......................2
นำ 10 คูณจำนวนทั้งสองข้างของสมการ 1
จะได้ 10N = 2.535353... .......................3
สมการ 2 ลบด้วยสมการ 3
จะได้ 1.000N - 10N = (253.535353...) - (2.535353...)
990N = 251
N = 251
990
ดังนั้น 0.25.3. = 251
990

6

การเปลี่ยนทศนิยมซํ้าให้อยู่ในรูปเศษส่วนมีวิธีการ ดังนี้ แทนทศนิยมซํ้าด้วย N
แล้วนำ 10, 100, 1,000, ... มาคูณเพื่อให้ได้ความสัมพันธ์ของ N กับทศนิยมซํ้า
แล้วใช้การแก้สมการเพื่อหาค่า N จะได้ทศนิยมซํ้าในรูปเศษส่วน
จะเห็นได้ว่าสามารถเปลี่ยนทศนิยมซํ้าให้อยู่ในรูปเศษส่วน โดยที่ตัวเศษและตัวส่วน
เป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์นั่นคือทศนิยมซํ้าเป็นจำนวนตรรกยะ
จากตัวอย่างที่ 1 และ 2 นักเรียนสังเกตหรือไม่ว่า ทศนิยมซํ้าที่เริ่มซํ้าตั้งแต่
ทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่ง เช่น ถ้าเป็นทศนิยมซํ้าหนึ่งตำแหน่ง ตัวส่วนจะเป็น 9 และตัวเศษ
คือ เลขโดดหลังจุดทศนิยม ถ้าเป็น ทศนิยมซํ้าสองตำแหน่ง ตัวส่วนจะเป็น 99 และตัว
0เศ.ษ78คื9อ. นเลักข.เโรีดยดนหคิลดังวจุ่าดจทะเศขีนยิยนมในทั้รงูปสเอศงษตสำ่วแนหนไ่ดง้อยถ่้าางเปไ็รนทนัศกนเิรยียมนซํ้คาิสดาว่มาตใชำ่แ7ห8น่ง9เช่น
999
หรือไม่
ถ้าให้นักเรียนเขียนทศนิยมซํ้าต ่อไปนี้ในรูปเศษส่วน 0.7,. 0.78. .และ 0.78. 4 ..
นักเรียนสามารถ ตอบได้ทันทีว่า 7 , 78 และ 784 ตามลำดับ
9 99 999
และจากตัวอย่างที่3นักเรียนคิดว่าจะเขียน 0.78,0.83,1.47และ3.243 ซึ่งเป็น
ทศนิยมที่ไม่ได้ซํ้า ตั้งแต่ทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่งในรูปเศษส่วนได้อย่างไร

7

ข้อสังเกต

การเขียนทศนิยมซํ้าในรูปเศษส่วนมีข้อสังเกตดังนี้
ตัวเศษ หาได้จากจำนวนที่อยู่หลังจุดทศนิยมลบด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ทศนิยมซํ้า
ตัวส่วน ประกอบด้วย 9 และ 0 เรียงต่อกัน
โดยจำนวนของ 9 หาได้จากจำนวนของเลขโดดหลังจุดทศนิยมที่ซํ้า เช่น

ถ้าหลังจุดทศนิยมมีจำนวนเลขโดดซํ้า 1 ตัว จะมีตัวส่วนเป็น 9
ถ้าหลังจุดทศนิยมมีจำนวนเลขโดดซํ้า 2 ตัว จะมีตัวส่วนเป็น 99
ถ้าหลังจุดทศนิยมมีจำนวนเลขโดดซํ้า 3 ตัว จะมีตัวส่วนเป็น 999
และจำนวนของ 0 หาได้จากจำนวนของเลขโดดหลังจุดทศนิยมที่ไม่ซํ้า เช่น
ถ้าหลังจุดทศนิยมมีจำนวนเลขโดดที่ไม่ซํ้า 1 ตัว จะมีเลขโดด 0 จำนวน
1 ตัว ต่อจาก 9
ถ้าหลังจุดทศนิยมมีจำนวนเลขโดดที่ไม่ซํ้า 2 ตัว จะมีเลขโดด 0 จำนวน
2 ตัว ต่อจาก 9
ถ้าหลังจุดทศนิยมมีจำนวนเลขโดดที่ไม่ซํ้า 3 ตัว จะมีเลขโดด 0 จำนวน
3 ตัว ต่อจาก 9

8

เผวิขธีลียทลนำัพ0ธ์ท.ี4่ไ0ด3้ต.54้.อ23งท15..ำ2เใป1น็.นรูเป=ศเษศ4สษ่ว3ส่นว,5อนย2่า1งตํ่-า ตัวอย่างเช่น จำนวนที่อยู่หลังจุดทศนิยม
43 จำนวนที่ไม่ใช่ทศนิยมซํ้า
99,900 หลังจุดทศนิยมมีจำนวนเลขโดดซํ้า 3 ตัว
= 43,478 หลังจุดทศนิยมมีจำนวนเลขโดดที่ไม่ซํ้า 2 ตัว

99,900
= 21,739
ดังนั้น 0.435.241.9,=95201,739
49,950

จากข้างต้น นักเรียนสามารถตอบได้ว่า 0.78 = 71, 0.83 = 75, 1.47 = 1 43
90 90 90
และ 3.243 = 3294910

เขียนแผนผังจำนวนตรรกยะได้ ดังนี้

จำนวนตรรกยะ

จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
(เศษส่วนทศนิยมรู้จบ
จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเต็มบวก ทศนิยมไม่รู้จบแบบซํ้า)

9

แบบฝึกหัด

10
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________