Matematika Peminatan KD 3.2 X

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ↔ . ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = . ⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗

( − ) = ( − )

. − . = . − .

. + . = . + .
( + ) = . + .

. + . . + .
= + = +

Jadi, . + . ( 22)+ .( 11)
= + +

Jika R(x1, y1) dan S(x2, y2) di R2, maka: = . + . =

+

Koordinat titik T adalah T( . 2+ 1 , . 2+ 1)
+ +
2 1
( 2)+ .( 1)
= . + . 2 1
Jika R(x1, y1, z1) dan S(x2, y2, z2) di R3, maka: = +
+

Koordinat titik T adalah T( . 2+ 1 , . 2+ 1 , 2+ 1)
+ + +

Dalam perbandingan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ : ⃗ ⃗ ⃗⃗ = m : n, terdapat dua kasus, yaitu:

1. Titik T membagi RS di dalam.

Rm Tn S
RT : TS = m : n

2. Titik T membagi RS di luar.
m

R Sn T

RT : TS = m : (–n)

Contoh 5:
Diketaui rua garis ̅̅ ̅ ̅ dengan A(2, 3, 4) dan B(6, 7, 8). Titik T terletak pada ̅ ̅ ̅ ̅ dengan
perbandingan 1 : 3. Tentukan koordian titik T jika:
a. T membagi ̅̅ ̅ ̅ di dalam
b. T membagi ̅ ̅ ̅ ̅ di luar.

Alternatif Penyelesaian:
a. Titik T membagi ̅̅ ̅ ̅ di dalam dengan perbandingan 1 : 3, berlaku ̅ ̅ ̅ ̅ : ̅̅ ̅ ̅ = 1 : 3.

Koordinat titik T dapat Anda tentukan dengan cara berikut.

T( . 2+ 1 , . 2+ 1 , 2+ 1) →T(1.6+3.2 , 1.7+3.3 , 1.8+3.4) = (12 , 16 , 20) = (3, 4, 5)
+ + + 1+3 1+3 1+3 444

Jadi, koordinat titik T jika membagi dari dalam adalah T(3, 4, 5)

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 51

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

b. Titik T membagi ̅ ̅ ̅ ̅ di dalam dengan perbandingan 1 : 3, berlaku ̅ ̅ ̅ ̅ : ̅ ̅ ̅ ̅ = 1 : (– 3)

Koordinat titik T dapat Anda tentukan dengan cara berikut.

T( . 2+ 1 , . 2+ 1 , 2+ 1)
+ + +

→ T(1.6+(−3).2 , 1.7+(−3).3 , 1.18++((−−33)).4) = (0 , −2 , −4) = (0, 1, 2)
1+(−3) −2
1+(−3) −2 −2

Jadi, koordinat titik T jika membagi dari dalam adalah T(0, 1, 2).

Perkalian Skalar Dua Vektor

Dua vektor bukan nol pada bangun ruang dapat dikalikan dan hasilnya merupakan
scalar atau Perkalian vektor dengan vektor yang menghasilkan skalar.. Hal ini sering
disebut sebagai dot product (hasil kali titik) dari dua vektor dan dinyatakan . ⃗
didefinisikan sebagai | |. | ⃗ |. dengan sudut antara vektor dan vektor ⃗ seperti
gambar berikut:

B
⃗

O . ⃗ = | |. | ⃗ |

A

Gambar 4.2 Sudut antara dua vektor
Coba Anda perhatikan vektor berikut.

A( 1, 2, 3)


O

⃗

Gambar 4.3 Sudut antara dua vektor B( 1, 2, 3)

Dengan menggunakan aturan cosinus yang sudah Anda pelajari pada Matematika

Umum, kita dapatkan:

|⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ |2 = | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |2 + | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |2 − 2. | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ || |cos

= | |2 + | ⃗ |2 − 2. | || ⃗ |cos (1)

Berdasarkan rumus panjang vektor:

| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |2 = | ⃗ − 2 = ( 1 − 1)2 + ( 2 − 2)2 + ( 3 − 3)2

|

= ( 12 − 2 1 1 + 12) + ( 22 − 2 2 2 + 22) + ( 32 − 2 3 3 + 32)

= ( 12 + 22 + 32) + (( 12 + 22 + 32) − 2 1 1 − 2 2 2 − 2 3 3

= | ⃗ |2 + | |2 − 2( 1 1 + 2 2 + 3 3) (2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita dapatkan:

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 52

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

| |2 + | ⃗ |2 − 2. | || ⃗ | = | ⃗ |2 + | |2 − 2( 1 1 + 2 2 + 3 3)

−2. | || ⃗ | = −2( 1 1 + 2 2 + 3 3) Kedua ruas dikurang | |2dan | ⃗ |2
| || ⃗ | = 1 1 + 2 2 + 3 3 Kedua ruas dibagi (-2)
. ⃗ = 1 1 + 2 2 + 3 3

= 1 1 + 2 2 + 3 3

Jadi, . ⃗ = 1 1 + 2 2 + 3 3

Contoh 6:

Diketahui   = 6 dan  ⃗  = 5 dan sudut antara vektor dan vektor ⃗ adalah 60
tentukan nilai . ⃗ !
Alternatif Penyelesaian:
. ⃗ =  . ⃗ . cos 

= 6 . 5 . cos 60
= 30 .1

2

= 15

Contoh 7:

Diketahui vektor = 2 + 3 + 6 ⃗ dan ⃗ = + 2⃗ + 2 ⃗ , tentukan Perkalian skalar vektor

dan ⃗ .
Alternatif penyelesaian:

. ⃗ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
= 2.1 + 3.2 + 6.2
= 2 + 6 + 12
= 20

Contoh 8:

Diketahui   = 8 dan  ⃗  = 4 dan sudut antara vektor dan vektor ⃗ adalah 90
tentukan nilai . ⃗ !
Alternatif Penyelesaian:
. ⃗ =  . ⃗ . cos 

= 8 . 4 . cos 90
= 32 .0

=0

Pada contoh soal 8 sudut antara vektor dan ⃗ adalah 900, berarti vektor dan ⃗ saling
tega lurus. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua buah vektor tegak lurus apabila hasil dot product kedua vektor bernilai nol.

. ⃗ =  . ⃗ . cos 900 =  . ⃗ . 0 = 0

Jadi, jika vektor =  a 1  dan vektor ⃗ =  b 1  saling tegak lurus, maka:
 a 2   b 2 
 a 3   b 3 

. ⃗ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0

Rumus ini berlaku juga untuk 53
vektor pada bidang R2

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PA U. D ⃗ , D=IK|D A|.S|d ⃗ a|n D I K MEN
. ⃗ = a1.b1 + a2.b2

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

1. Jika sudut antara vektor dan ⃗ diketahui sama dengan dan 00 ≤ ≤
1800, maka: . ⃗ = | |. | ⃗ |

2. Jika sudut antara vektor dan ⃗ tidak diketahui, maka . ⃗ = a1.b1 + a2.b2 +
a3.b3

3. Sifat-sifat perkalian vektor , ⃗ dan berlaku:
o . ⃗ = ⃗ .

o . ( ⃗ + ) = . ⃗ + .
o . = | |2
o Jika ≠ 0, ⃗ ≠ 0, dan . ⃗ = 0, maka ⏊ ⃗

Anda sudah paham Perkalian scalar dua vektor? Sekarang pemahaman akan kita
perluas dengan mempelajari sudut antara dua vektor. Jika dua vektor dan ⃗ bertemu
pada satu titik, maka sudut antara dua vektor tersebut adalah sudut yang dibentuk oleh
kaki vektor dan kaki vektor ⃗ . Sudut yang diambil adalah sudut terkecil.

Coba Anda perhatika rumus Perkalian scalar dua vektor berikut:

. ⃗ = | || ⃗ |

. ⃗ = 1 1 + 2 2 + 3 3
Dari rumus di atas Anda dapat mencari sudut antara vektor dan ⃗ .

. ⃗ = | || ⃗ |cos → cos = ⃗ . ⃗
| ⃗ |.| ⃗ |

cos = . ⃗ = √ 12 1 1 + 2 2 + 3 3 23
| |. | ⃗ | + 22 + 32√ 21 + 22 +

Contoh 9:

1 −1
Diketahui = (−1)dan ⃗ = ( 2 ). Tentukan sudut antara dan ⃗ !

0 2
Alernatif penyelesaian:

Misalkan sudut antara dan ⃗ adalah .

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 54

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

cos = . ⃗ = √ 12 1 1 + 2 2 + 3 3 23
| |. | ⃗ | + 22 + 32√ 21 + 22 +

cos = 1. (−1) + (−1). 2 + 0.2 −3 −3 −1
= ==
√(1)2 + (−1)2 + 02. √(−1)2 + 22 + 22 √2. √9 3√2 √2

= − 1 √2
2

Diperoleh = 1350

Jadi, sudut antara dan ⃗ adalah 1350.

Contoh 10:

Diketahui vektor ⃗ = 2 − + ⃗ dan = + + 2 ⃗ , tentukan sudut antar vektor ⃗ dan
.
Alternatif Penyelesaian:

Misalkan sudut antara ⃗ dan adalah .

2
⃗ = 2 − + ⃗ = (−1)

1
1
= + + 2 ⃗ = (1)

2
⃗ . 2.1 + (−1). 1 + 1.2 3 31
cos = | ⃗ |. | | = √22 + (−1)2 + 12. √12 + 12 + 22 = √6√6 = 6 = 2

cos = 1 → = 600
2
Jadi, sudut antara vektor ⃗ = 2 − + ⃗ dan = + + 2 ⃗ adalah = 600

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain

Selain menentukan besar sudut antara dua vektor, salah satu kegunaan dari Perkalian
skalar dua vektor adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada
vektor lain.
a. Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar saja atau
sering dikatakan dengan panjang proyeksi vektor. Misalkan proyeksi ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ pada ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗
adalah ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ .
Perhatikan gambar berikut.

A

Oβ ˪
CB

Gambar 4.4 Proyeksi scalar ortogonal

|⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | = | | disebut proyeksi skalar orthogonal (panjang proyeksi) pada ⃗ .

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 55

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

Perhatikan segitiga AOB.

Cos = |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ |
| ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |

→ |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | = |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | cos

= | | . ⃗
| || ⃗ |

. ⃗
= | ⃗ |

Jadi, proyeksi skalar orthogonal (panjang proyeksi) vektor pada ⃗ adalah:

|⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | = | | = . ⃗
| ⃗ |

b. Proyeksi Vektor ortogonal

Coba Anda perhatikan kembali Gambar 4.4 di atas. Vektor searah vektor ⃗ , ini

berarti vektor satuan sama dengan vektor satuan ⃗ , yaitu ⃗ sehingga:
| ⃗ |

= . ⃗ . ⃗ = . ⃗ . ⃗
| ⃗ | | ⃗ | | ⃗ |2

Jadi, proyeksi vektor pada ⃗ adalah: = ⃗ . ⃗ . ⃗
| ⃗ |2

Contoh 11:

1 −1
Diketahui vektor = (−1) dan ⃗ = ( 2 ). Tentukanlah:

02
a. Panjang proyeksi vektor pada vektor ⃗

b. Vektor proyeksi vektor pada vektor ⃗
Alternatif Penyelesaian:

Misalkan vektor proyeksi vektor pada vektor ⃗ adalah vektor

a. | | = |⃗ ⃗. ⃗| =1.√(−(−1)1+)(2−+12)2.2++202.2 = |−3| = |−3| = |−1| = 1

√9 3

1

⃗ . ⃗ −1 −1 −1 3
| ⃗ |2 (2) (2) (2)
b. = . ⃗ =1(√.(−(−11)+)2(+−212)+.22+20).22 . = −3 = − 1 = −2
2 9 2 3 2
3

(− 2

3)





Jadi, vektor proyeksi vektor pada vektor ⃗ adalah = −



(−

)

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 56

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

C. Rangkuman

❖ Hasil kali vektor u⃗⃗⃗ dengan skalar n akan menghasilkan vektor yang besarnya n kali
besar⃗⃗u⃗⃗ dan arah sama dengan u⃗⃗.

❖ Penjumlahan dua vektor pada bangun ruang prinsipnya sama dengan
penjumlahan dua vektor pada bidang datar.

❖ Selisih dua vektor berarti menjumlahkan vektor pertama dengan lawan (negatif)

vektor kedua. Dengan demikian – ⃗ = + (− ⃗ ).
1 1
❖ Pada koordinat ruang Cartesius jika = ( 2) dan ⃗ = ( 2) , maka:
3 3
1 . 1 1 . 1
➢ n. = . ( 2) = ( . 2) dan . ⃗ = . ( 2) = ( . 2)
3 . 3
3 . 3

➢ + ⃗ =  a1  +  b1  =  a1 + b1 
 a2  b2   a2 + b2 
 a3   b3   a3 + b3 

➢ − ⃗ =  a1  -  b1  =  a1 − b1 
 a2  b2   a2 − b2 
 a3   b3   a3 − b3 

❖ Jika titik T membagi ̅R̅̅S̅ di dalam, maka berlaku: ̅R̅̅T̅ : T̅̅S̅ = m : n
❖ Jika titik T membagi ̅R̅̅S̅ di luar, maka berlaku: R̅̅̅T̅ : T̅̅S̅ = m : (–n)
= ( 22)+ .( 11) , dan
❖ Jika R(x1, y1) dan S(x2, y2) di R2, maka: = . + .
+
+
koordinat titik T adalah T( . 2+ 1 , . 2+ 1)
+ +
x2 x1

m.s⃗ +n.r⃗ m(y2)+n.(y1)
m+n
❖ Jika R(x1, y1, z1) dan S(x2, y2, z2) di R3, maka: t = = z2 z1 , dan

koordinat titik T adalah T(m.x2+nx1 , m.y2+ny1 , mz2+nz1) m+n

m+n m+n m+n
❖ Perkalian scalar antara dua vektor adalah Perkalian vektor dengan vektor yang
menghasilkan scalar

❖ Rumus Perkalian scalar dua vektor berikut:

⃗a. ⃗b = |⃗a||⃗b|cosα

a⃗ . b⃗ = a1b1 + a2b2 + a3b3
❖ sudut antara dua vektor tersebut adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor

⃗a dan kaki vektor b⃗

Rumus sudut antara vektor ⃗a dengan vektor ⃗b adalah:

cosα = ⃗a. b⃗ = √a21 a1b1 + a2b2 + a3b3 b23
|a⃗ |. |⃗b| + a22 + a23√b12 + b22 +

❖ Proyeksi orthogonal (panjang proyeksi) vektor ⃗a pada b⃗ adalah:

❖ |O⃗⃗⃗⃗⃗C| = |c| = a⃗ .⃗b
|⃗b|

❖ Proyeksi vektor pada ⃗ adalah: = ⃗ . ⃗ . ⃗
| ⃗ |2

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 57

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

D. Latihan Soal

Kerjakan latihan soal berikut dengan jujur dan benar.

1. Diketahui vektor =  3 , ⃗ =  − 3 dan =  − 5  . Tentukanlah :
− 2  4  3 

 1  5  2

a. + ⃗ + 2
b. 2 + 2
c. 5 – 3

2. Diketahui = 3 – 2 + ⃗ dan ⃗ =⃗ + 3 – 2 ⃗ . Tentukanlah :

a. + ⃗

b. – ⃗

c. –3 + 2 ⃗

3. Hitunglah . ⃗ jika diketahui   = 3,  ⃗  = 4 dan sudut antara ⃗ ⃗⃗ dan ⃗⃗⃗ adalah

60 !

4. Diketahui vektor = i – 2j + 3k dan ⃗ = 3i + j + 2k. Tentukanlah :

a. . ⃗

b. besar sudut antara ⃗⃗⃗ dan ⃗

5. Diketahui vektor = 2i – 3j +mk dan ⃗ = 6i + 2j – 4k. Tentukan nilai m jika . ⃗ =
10.

6. Diketahui segitiga PQR dengan P(5, 1, 5), Q(1, 4, 5), dan R(3, 2, 1). Tentukanlah:

a. panjang PR

b. panjang PQ

c. panjang proyeksi PR pada PQ

d. proyeksi vektor PR pada PQ

24
7. Diketahui vektor = (−1) dan ⃗ = (10). Tentukan nilai m agar vektor ( +

28
⃗ ) tegak lurus pada vektor
8. Tentukanlah koordinat titik P yang terletak pada ruas garis ̅ ̅ ̅ ̅ jika:
a. A(2, 0, 1), B(10, 4, 5), dan ̅̅ ̅ ̅ : ̅ ̅ ̅ ̅ = 3 : 1
b. A(1, 1, 1), B(3, -2, 5), dan ̅ ̅ ̅ ̅ : ̅̅ ̅ ̅ = 3 : -2

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 58

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

Pembahasan Latihan Soal Kegiatan Pembelajaran 4

1. Diketahui vektor =  3 , ⃗ =  − 3 dan =  − 5  . (skor 15)
− 2  4  3
 1  5  2

3 −3 5 10
a. + ⃗ + 2 = (−2)+ ( 4 )+ 2. (−3)=(−14)

15 2 10

3 5 16
b. 2 + 2 = 2. (−2) + 2. (−3) = (−10)

1 26

3 50
c. 5 – 3 = 5. (−2) − 3. (−3) = (−1)

1 2 −1

2. Diketahui = 3 – 2 + ⃗ dan ⃗ =⃗ + 3 – 2 ⃗ . (skor 15)

a. + ⃗ =(3 – 2 + ⃗ ) +(⃗ + 3 – 2 ⃗ ) =(3 + ) + ((−2 + 3 ) + ( ⃗ + (−2 ⃗ )

= 4 + + (− ⃗ ) = 4 + − ⃗

b. – ⃗ = (3 – 2 + ⃗ ) − (⃗ + 3 – 2 ⃗ )

= (3 − ) + ((−2 − 3 ) + ( ⃗ − (−2 ⃗ )

= 2 – 5 + 3 ⃗

c. -3 + 2 ⃗ =-3(3 – 2 + ⃗ ) + 2(⃗ + 3 – 2 ⃗ )

= (−3⃗ + 6 – 3 ⃗ )+(2⃗ + 6 – 4 ⃗ )

= − + 12 − 7 ⃗

3. Diketahui   = 3,  ⃗  = 4 dan sudut antara ⃗ ⃗⃗ dan ⃗ ⃗⃗ adalah 60 ! (skor 5)

. ⃗ =  .  ⃗ . cos 600 (skor 10)
. ⃗ = 3.4. 1 = 6

2

4. Diketahui vektor = – 2 + 3 ⃗ dan ⃗ = 3 + + 2 ⃗

a. . ⃗ = 1.3 + (−2). 1 + 3.2 = 3 − 2 + 6 = 7

b. Sudut antara vektor dan ⃗ adalah β.

Cos β = ⃗ . ⃗ = 1.3+(−2).1+3.2 = 7 = 7 = 1
| ⃗ |.| ⃗ | √12+(−2)2+32√32+12+22 √14√14 14 2

= 600

Jadi, sudut antara vektor dan ⃗ adalah = 600

5. Diketahui vektor = 2i – 3j +mk dan ⃗ = 6i + 2j – 4k (skor 10)

. ⃗ = 10

. ⃗ = 2.6 + (-3).2 + m.( –4) = 10
12 – 6 – 4m = 10 ↔ 6 – 4m = 10
–4m = 4

m = –1

6. Diketahui segitiga PQR dengan P(5, 1, 5), Q(1, 4, 5), dan R(3, 2, 1).
, , dan merupakan vektor posisi dari titik P, Q dan R.

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 59

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

513 (skor 20)
= (1), = (4) , = (2)

551
a. panjang ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |

3 5 −2
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = − = (2) − (1) = ( 1 )

1 5 −4
|⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √(−2)2 + 12 + (−4)2 = √21

b. panjang ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
1 5 −4

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = − = (4) − (1) = ( 3 )

55 0
|⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ |=√(−4)2 + 32 + 02 = √16 + 9 + 0 = √25 = 5

c. Misalkan vektor proyeksi ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ pada ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ adalah

| | = ⃗ ⃗ |⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ .⃗ ⃗ ⃗ ⃗|⃗ ⃗ =(−2).(−4)+51.3+(−4).(0) = 8+3+0 = 11 = 11
5 5 5

d. vektor proyeksi ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ pada ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ .⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 11 −4 11 −4 − 44
| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | 5 (3) 25
25
0 ( 3 )=( 33 )
= = =
5
0 25
0
24
7. Diketahui vektor = (−1) dan ⃗ = (10). (skor 15)

28
Vektor ( + ⃗ ) tegak lurus pada vektor

2 4 2 + 4
+ ⃗ = (−1) + (10) = (−1 + 10 )

2 8 2 + 8
( + ⃗ ). = 0

2 + 4 2

(−1 + 10 ) . (−1) = (2 + 4 ). 2 + (−1 + 10 )(−1) + (2 + 8 ). 2 = 0

2 + 8 2

4+8m + 1 – 10m + 4 + 16 m = 0

14m + 9 = 0

14m = – 9

m=− 9 (skor 10)

14

8. a. A(2, 0, 1), B(10, 4, 5), dan ̅ ̅ ̅ ̅ : ̅ ̅ ̅ ̅ = 3 : 1

P( . 2+ 1 , . 2+ 1 , 2+ 1)
+ + +

(3.10+1.2 , 3.4+1.0 , 3.5+1.1) = (42 , 12 , 16) = (13, 3, 4)
3+1 3+1 3+1 444

Jadi, koordinat titik (13, 3, 4)

b. A(1, 1, 1), B(3, -2, 5), dan ̅ ̅ ̅ ̅ : ̅̅ ̅ ̅ = 3 : -2

P( . 2+ 1 , . 2+ 1 , 2+ 1)
+ + +

(3.3+(−2).1 , 3.(−2)+(−2).1 , 3.5+(−2).1) = (7 , −8 , 13) = (7, −8, 13)
3+(−2) 3+(−2) 3+(−2) 11 1

Jadi, koordinat titik (7, −8, 13)

Skor maksimum : 100

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 60

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

Untuk mengetahui tingkat penguasaan Kalian, cocokkan jawaban dengan kunci

jawaban. Hitung jawaban benar Kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat penguasaan Kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Rumus Tingkat penguasaan= ℎ 100%

Kriteria ℎ

90% – 100% = baik sekali
80% – 89% = baik

70% – 79% = cukup
< 70% = kurang

Jika tingkat penguasaan Kalian cukup atau kurang, maka Kalian harus mengulang
kembali seluruh pembelajaran.

E. Penilaian Diri

Isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Anda ketahui, berilah
penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda
centang pada kolom pilihan.

No. Kemampuan Diri Ya Tidak

1. Saya sudah memahami Perkalian scalar dengan Vektor pada R3.

2. Saya sudah dapat memahami penjumlahan vektor pada R3.
3. Saya sudah dapat memahami selisih dua vektor pada R3.
4. Saya sudah memahami perbandingan vektor
5. Saya sudah dapat memahami Perkalian scalar dua vektor.
6. Saya sudah bisa memahami sudut antara dua vektor,
7. Saya sudah memahami proyeksi orthogonal dua vektor
8. Saya sudah dapat menentukan vektor proyeksi orthogonal dua

vektor

Catatan:
Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,
Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 61

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

EVALUASI

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat.

1. Diketahui vektor =  − 55  dan ⃗ =  2  , maka komponen vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ adalah ….
1

A. (72)
B. (−34)
C. (−27)
D. (−63)
E. (34)
2. Pada kubus ABCD.EFGH manakah diantara vektor berikut ini yang sama dengan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

A. ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

B. ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗

C. ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

D. ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗

E. ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

3. Pada gambar jajaran genjang di bawah, hasil dari ℎ⃗ − + adalah….

A. ⃗
B.

C.
D.

E.
4. Pada persegi panjang OACB, D adalah titik tengah OA dan P adalah titik potong CD

→→ →→ →
dengan diagonal AB. Jika a = OA dan b = OB , maka CP = ....

→→
A. +
1 a 2 b
3 3

→→
B. –
1 a 2 b
3 3

– →→
C. –
1 a 2 b
3 3

→→
D. – +
1 a 2 b
3 3

→→
E. – –
2 a 1 b
3 3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 62

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

5. Diketahui vektor = 5i – 3j + 2k, maka panjang vektor adalah ….
A. 3

B. 4

C. √20
D. 5

E. √38

6. Jika A = (5 , -3 , 2) dan B = (1 , 5 , -2) maka komponen vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ adalah ….

A.  6 
 2 
0

B.  − 6 
 − 20 

C.  448 
 −

D.  − 448 
 −

E.  − 4 
 8 
4

7. Jika diketahui =  − 2  dan ⃗ =  − 211 maka 2 + 3 ⃗ adalah ….
 1  
0

A.  1 
 4 
3

B.  7 
 4 
3

C.  − 231


D.  531 


E.  4 
 1 
3

→ →→ → → →→→
8. Jika diketahui vektor a = 4 i − j + 2 k dan b = 4 i − 2 j − 5 k , maka panjang vektor

→→

a – 2 b = ...

A. 5 5

B. 11

C. 2 11

D. 29

E. 109

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 63

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

9. Pada segitiga ABC, diketahui A(-2, 2, -5), B (3, -8, 5) dan C(-1, -3, 0). Titik Q pada ̅ ̅ ̅ ̅
sehingga ̅ ̅ ̅ ̅ : ̅ ̅ ̅ ̅ = 3 : 2. Komponen vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ adalah ....
7
A. (−5)

5
2
B. (−5)
1
−5
C. ( 7 )

5
0
D. (−1)
5
2
E. (−1)
1
10. Diketahui segitiga ABC dengan A(1, 4, 6), B(1, 0,2), dan C(2, –1, 5). Titik P terletak pada

perpanjangan AB sehingga AP : BP = 3 : 1. Panjang vektor yang diwakili oleh →

PC

adalah..

A. 3 3

B. 13
C. 3

D. 35

E. 43

11. Diketahui = 2i – 3j + 4k dan ⃗ = i + 2j – 3k, maka . ⃗ adalah ….
A. –18
B. –16
C. –12
D. 10
E. 18

12. Apabila diketahui   = 2 dan  ⃗  = 6 serta sudut antara dan ⃗ adalah 60  maka

. ⃗ = ….
A. –6

B. 6

C. 12

D. 14

E. 16

13. Diketahui vektor =  231  dan ⃗ =  − 5  , maka . ⃗ = ….
  3 
1

A. –6

B. 6

C. 8

D. 10

E. 12

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 64

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

14. Diketahui koordinat A(6, -2, -6), B(3, 4, 6) dan C(9, x, y). Jika titik-titik A, B dan C kolinear

(segaris), maka nilai x – y sama dengan ....
A. –18

B. 4
C. 6

D. 10
E. 18

15. Diketahui vektor = 2i - 3j + 5k dan vektor ⃗ = -3i - 5j + 2k . Jika θ adalah sudut antara

dan ⃗ , maka nilai tan θ adalah ....

A. − 1 √3
2
1
B. − 3 √3

C. 1 √3
3
D. √3
1
E. 2 √3

16. Diketahui koordina titik O(0, 0), A(1, 2) dan B(4, 2). merupakan sudut antara vektor

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . tan =….
A. 4

3

B. 3

4

C. 3

5

D. 9

16

E. 6

13

17. Diketahui vektor a = 6xi + 2x j − 8k , b = −4i + 8 j +10k , dan c = −2i + 3 j − 5k . Jika

vektor a tegak lurus b , maka vektor a − c = ....

A. − 58i − 20 j − 3k

B. − 58i − 23 j − 3k

C. − 62i − 20 j − 3k

D. − 62i − 23 j − 3k

E. − 62i − 23 j − 3k

18. Vektor a dan b vektor membentuk sudut . Diketahui a = 6, b = 15, dan cos  = 0,7;

( )maka nilai a  a + b = ....

A. 49
B. 89
C. 99
D. 109
E. 115

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 65

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

19. Diketahui =  2  dan ⃗ =  12  . Jika kosinus sudut antara vektor dan ⃗ adalah 1
− 2 p  3
 1   − 3

, nilai p adalah....
A. 4 atau 24

B. −4 atau −24
C. 2 atau 14

D. −4 atau −12
E. −4 atau 14

20. Diketahui |a|, |b|, dan |a – b| berturut-turut adalah 4, 6 dan 2 19 . Nilai |a + b| = ....

A. 4 19

B. 19

C. 4 7

D. 2 7

E. 1 7
2

21. Diketahui | → | = 2 , | → | = 9 , dan | → + → →

a b a b|= 5 Besar sudut antara vektor a dan

→

vektor b adalah
A. 45o
B. 60o
C. 120o
D. 135o
E. 150o

22. Diketahui vektor = 3i − 4 j − 4k , ⃗ = 2i − j + 3k , dan = 4i − 3 j + 5k . Panjang

proyeksi vektor ( + ⃗ ) pada adalah….

A. 3 2

B. 4 2

C. 5 2

D. 6 2

E. 7 2
23. Vektor adalah proyeksi ⃗⃗⃗ dan ⃗ ⃗ . Jika = (21) dan ⃗ = (34), maka = …..

A. 1 (3 4)

5

B. 2 (3 4)

5

C. 4 (3 4)

5

D. 2 (3 4)

25

E. 1 (3 4)

25

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 66

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

24. Diketahui panjang vektor proyeksi =  − 2 pada vektor ⃗ =  0  adalah 8. Nilai
 8  p
 4   4 

dari p =.…
A. –4
B. –3
C. 3
D. 4
E. 6

25. Ditentukan koordinat titik-titik A(−2,6,5); B(2,6,9); C(5,5,7). AP : PB = 3 : 1 dan titik P

terletak pada AB. Panjang proyeksi ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ pada ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ adalah….

A. 3 2
2

B. 2 2
3

C. 2 2

D. 3 2

E. 3 3
2

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 67

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

KUNCI JAWABAN EVALUASI

1. D
2. C
3. A
4. C
5. E
6. D
7. A
8. A
9. E
10. A
11. B
12. B
13. B
14. D
15. D
16. B
17. B
18. C
19. A
20. D
21. D
22. B
23. C
24. C
25. A

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 68

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2

DAFTAR PUSTAKA

Anwar, Cecep. 2008. Matematika Aplikasi Jilid 3. Pusat Perbukuan Depatemen Pendidikan
Nasional: Jakarta.

Edwin J. Purcell, Dale Varberg, 1984. Kalkulus dan Geometri Analitis (terjemahan I
Nyoman Susila dkk). Erlangga: Jakarta.

Leonard I. Holder, James DeFranza, Jay M. Pasachoff, 1988. Multivariabel Calculus,
Brooks/Cole Pub. Co.: California.

Noormandiri, B.K. dan Endar Sucipto. 1994. Matematika SMU untuk kelas 3 Program IPA,
Penerbit Erlangga: Jakarta

Raharjo, Marsudi. 2009. Vektor. PPPPTK Matematika: Yogyakarta.
Wirodikromo, S. 2006. Matematika Untuk SMA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Penerbit

: Erlangga, Jakarta.

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 69