TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU A. Pengenalan Sudut Kalian sudah sering mendengar kata “sudut” ?. Sebenarnya apa yang dimaksud dengan sudut? Untuk memahami masalah sudut, coba kalian lakukan langkah-langkah berikut: 1. Lukis sinar garis (misal sinar AB) 2. Putar sinar AB dengan pusat A sampai terjadi sinar garis AC, sehingga terbentuk sudut BAC 3. Beri nama sudut BAC = α Dari proses tersebut Kalian telah membuat sudut ∠ seperti tampak pada gambar. Dalam kajian geometris, sudut didefnisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal (initial side) ke sisi akhir (terminal side). Selain itu, arah putaran memiliki makna dalam sudut. Suatu sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah putarannya searah dengan jarum jam. Arah putaran untuk membentuk sudut juga dapat diperhatikan pada posisi sisi akhir terhadap sisi awal. Untuk memudahkannya, mari kita cermati deskripsi berikut ini. Dalam bidang koordinat kartesius, jika sisi awal suatu garis berimpit dengan sumbu dan sisi terminalnya terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius itu, disebut sudut standar (baku). Jika sisi akhir berada pada salah satu sumbu pada koordinat tersebut, sudut yang seperti ini disebut pembatas kuadran, yaitu 0°, 90°, 180°, 270° dan 360°. Sebagai catatan, bahwa untuk menyatakan suatu sudut, lazimnya digunakan huruf Yunani, seperti, α (alpha), β (betha), γ (gamma), dan θ (tetha), dan juga digunakan huruf-huruf kapital, seperti A, B, C, dan D. Ukuran Sudut (Derajat dan Radian) Sesuatu yang bisa diukur itu memiliki satuan ukuran untuk mengukurnya. Begitu pula dengan sudut. Satuan sudut yang paling sering kita temui dan dipergunakan adalah derajat (dilambangkan dengan “o”). Namun, ada satuan lain yang dapat digunakan untuk mengukur satuan sudut, yaitu satuan radian (dilambangkan dengan “rad”). Hubungan satuan derajat dengan satuan radian adalah bahwa satu putaran penuh sama dengan 2π radian. Untuk lebih jelasnya, dapat kita lihat seperti di bawah ini.
Contoh 1: Selesaikan soal-soal ukuran sudut berikut: 1. 1 4 = ….. putaran = ……o 2. 1 10 = ….. rad = ……o 3. 1350 = ⋯ = ⋯ 4. Berapa radian sudut yang dibentuk jarum jam pada pukul 11.00? Jawab: 1. 1 4 = 1 8 putaran = 45o 2. 1 10 = 1 5 rad = 36o 3. 1350 = 3 4 = 3 8 4. Sudut yang terbentuk pada pukul 11.00 adalah 30o Contoh 2: Gambarkanlah sudut-sudut standar di bawah ini, dan tentukan posisi setiap sudut pada koordinat kartesius. a. 60 b. −45 c. 120 d. 600 Jawab: Sisi awal terletak pada sumbu X dan sisi akhir OA terletak di kuadran I Sisi awal terletak pada sumbu X dan sisi akhir OA terletak pada kuadran IV
Latihan Soal 1. Nilai dari 150 dalam radian… A. 5 6 B. 4 5 C. 2 4 D. 3 5 E. 2 3 2. Nilai dari 3 5 dalam derajat adalah… A. 180 B. 540 C. 60 D. 108 E. 120 3. Nilai dari 5812′18′′ setara dengan … A. 58.025 B. 58.052 C. 58.205 D. 58.250 E. 58.502 4. 7 4 = … A. 45 B. 135 C. 215 D. 225 E. 315 5. 225 = ⋯ A. 1.25 B. 1.50 C. 1.75 D. 1.90 E. 1.95 6. Nilai dari 150 + 0.8 = ⋯ A. 144 B. 249 C. 294 D. 349 E. 394 7. Nilai dari 1.75 − 135 + 0,2 = ⋯ A. 1.0 B. 1.2 C. 1.5 D. 2.2 E. 2.5 8. 10 + 20 + 30 + ⋯ + 200 = ⋯ A. 11 2 3 B. 12 1 3 C. 12 2 3 D. 13 1 3 E. 11 2 3 9. 10 + 30 + 50 + 700 + ⋯ + 170 = ⋯ A. 6 1 2 B. 5 1 2 C. 4 1 2 D. 3 1 2 E. 2 1 2 10. 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 4 + 1 6 = ⋯ A. 261 B. 262 C. 263 D. 264 E. 265 Sisi awal terletak pada sumbu X dan sisi akhir OP terletak di kuadran II Sisi awal terletak pada sumbu X dan sisi akhir ORerletak pada kuadran III
Essay 11. Untuk setiap besar sudut di bawah ini, ubahlah ke bentuk satuan derajat dan radian. A. 1 3 putaran B. 2 5 putaran C. 3 10 putaran D. 4 putaran 12. Nyatakanlah sudut berikut ke dalam satuan radian. A. 120 B. 210 13. Nyatakan sudut berikut ke dalam bentuk derajat. A. 1 3 B. 7 9 C. 3 4 D. 11 12 14. Berapa radian jarak putar jarum menit sebuah jam apabila ia berputar selama A. 45 menit B. 30 menit C. 15 menit D. 1 menit
B. Rasio Trigonometri Dasar Perbandingan utama sisi-sisi pada segitiga siku-siku ▪ Sinus : Perbandingan sisi Depan dengan sisi Miring = ▪ Cosinus : Perbandingan sisi Samping dengan sisi Miring = ▪ Tangen : Perbandingan sisi Depan dengan sisi Samping = = Disamping itu terdapat kebalikannya ▪ Cosecan : Perbandingan sisi Miring dengan sisi Depan = 1 = ▪ Secan : Perbandingan sisi Miring dengan sisi Samping = 1 = ▪ Cotangen: Perbandingan sisi Samping dengan sisi Depan = 1 = = Perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku ▪ = ▪ = ▪ = = sin cos ▪ = = 1 sin ▪ = = 1 cos ▪ cot = = 1 tan = cos sin Contoh Soal: 1. Diketahui segitiga siku-siku di dengan panjang = √5 satuan dan panjang sisi = 2 satuan. Jika = , tentukanlah nilai ke-enam perbanidngan trigonometri untuk sudut . Pembahasan: Nilai c dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras: = √ 2 + 2 = √(√5) 2 + 2 2 = √5 + 4 = √9 = 3 Jadi, nilai perbandingan trigonometri sudut adalah: sin = = √5 3 = 1 3 √5 csc = = 3 √5 = 3 5 √5 cos = = 2 3 sec = = 3 2 tan = = √5 2 = 1 2 √5 tan = = 2 √5 = 2 5 √5
2. Jika = 5 13 , tentukan nilai , , dan ! Pembahasan: Gambar segitiga siku-siku yang bersesuaian dengan = 5 13 , dimana = 5 dan = 13 Hitung nilai dengan teorema pythagoras = √ 2 − 2 = √132 − 5 2 = √169 − 25 = √144 = 12 Hitung nilai trigonometri yang diminta: ▪ cos = = 12 13 ▪ tan = = 5 12 ▪ sec = = 13 12 3. Jika sudut lancip dan = 5 3 , tentukan nilai tan−cot tan+cot ! Pembahasan: Gambar segitiga siku-siku yang bersesuaian dengan = 5 3 , dimana = 5 dan = 3 Hitung nilai dengan teorema pythagoras = √ 2 − 2 = √5 2 − 3 2 = √25 − 9 = √16 = 4 Hitung nilai tan dan cot ▪ tan = = 4 3 ▪ cot = = 3 4 tan − cot tan + cot = 4 3 − 3 4 4 3 + 3 4 = 16 − 9 16 + 9 = 7 25 4. Jika = , tentukan dalam a dan b ! Pembahasan: Gambar segitiga siku-siku yang bersesuaian dengan = , dimana = dan = Hitung nilai dengan teorema pythagoras = √ 2 − 2 = √ 2 − 2 = = √ 2 − 2
LATIHAN SOAL SOAL PENYELESAIAN
SOAL PENYELESAIAN
SOAL PENYELESAIAN C. Kuadran dan Sudut Istimewa 1) Kuadran Bidang Cartesius terbagi menjadi empat kuadran sebagai berikut: Contoh Soal 1. Jika titik (12, −5) dan merupakan sudut yang dibentuk garis RO dengan sumbu positif. Tentukan sin . Pembahasan: Titik (12, −5) terletak di kuadran IV, = 12 dan = −5 Cari nilai RO dengan pythagoras: = √ 2 + 2 sin = = −5 13 = √122 + (−5) 2 = √144 + 25 Jadi, nilai sin = − 5 13 = √169 = 13
2. Jika tan = 3 4 dengan 180 < < 270 , tentukan nilai sin Pembahasan: Gambar segitiga siku-siku yang bersesuaian dengan = 3 4 , yaitu = 3 dan = 4 Hitung nilai dengan teorema pythagoras = √ 2 + 2 = √4 2 + 3 2 = √16 + 9 = √25 = 5 Hitung nilai sin , karena 180 < < 270 artinya terletak di kuadran III, dimana sin bernilai negatif. Sehingga: sin = − = − 3 5 2) Sudut Istimewa di Berbagai Kuadran Adapun sudut-sudut istimewa pada masing-masing kuadran adalah sebagai berikut: SUDUT ISTIMEWA
Contoh Soal Tentukan nilai dari tan 45− cos 30 + sin 225− cos 225 Pembahasan: tan 45− cos 30 + sin 225− cos 225 = 1 − 1 2 √3 + (− 1 2 √2) − (− 1 2 √2) = 1 − 1 2 √3 ± 1 2 √2 + 1 2 √2 = 1 − 1 2 √3 LATIHAN SOAL SOAL PENYELESAIAN
SOAL PENYELESAIAN
SOAL PENYELESAIAN