Matriks kelas X semester 1

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c 4. Matriksw.docu-track.c

Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari Konsep Matriks ini diharapkan siswa dapat :
a. membuat susunan bilangan dalam bentuk matriks
b. menyebutkan ordo suatu matriks
c. menuliskan bentuk umum suatu matriks dalam ordo tertentu
d. mengidentifikasi jenis-jenis matriks
e. menyelesaikan kesamaan matriks
f. menjumlahkan atau mengurangkan dua matriks atau lebih
g. mengalikan skalar dengan matriks
h. mengalikan dua matriks
i. mencari invers dan determinan suatu matriks ordo dua
j. menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks

Kegiatan Belajar 1. Menjelaskan pengertian matriks
Tujuan Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan :
1. memiliki pemahaman mengenai pengertian matriks.
2. dapat membedakan antara baris dan kolom matriks.
3. mengetahui elemen-elemen suatu matriks.
4. dapat menuliskan notasi-notasi matriks.
5. dapat menyebutkan ordo suatu matriks.

Uraian Materi Kegiatan Belajar 1

1.1 Pengertian Matriks

Dalam kehidupan sehari-sehari tanpa kita sadari terkadang sebuah kegiatan yang kita

laksanakan dapat kita tampilkan dalam materi matematika, kita sajikan dalam bentuk tabel.

Contoh :

Dalam menyiapkan Ujian Akhir Nasional, Parmin mencatat dan mengevaluasi semua hasil

ulangan untuk program diklat Matematika, Bahasa Indonesia dan Bahasa Inggris seperti

pada tabel di bawah ini :

Ulangan ke : I II II IV

Matematika 6757

Bahasa Indonesia 6778

Bahasa Inggris 5677

Catatan nilai Parmin dapat disajikan dalam bentuk :

 6 7 5 78  atau dalam bentuk 6 7 5 7
 6 7 7 7  6 7 7 8
6 7 5 6 7 7
 5

Contoh 2 :

Kondisi presensi tiap hari untuk setiap tingkat dapat ditampilkan dalam bentuk tabel

sebagai berikut :

Halaman 44

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c Sakit Ijin Alpha w.docu-track.c
1 21
Kelas MO 1 2 11
Kelas MO 2 0 01
Kelas MO 3 1 20
Kelas MO 4

Tampilan tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk :

 1 2 11  atau dalam bentuk 1 2 1
 2 1 01  2 1 1
0 0 0 1
 0 2  1 2 0
 1

Dari tabel Contoh 1 dan Contoh 2 tersebut di atas dan kepala kolom dan baris dihilangkan,

kemudian susuanan lambang bilangan atau angka dituangkan ke dalam tanda kurung atau kurung

siku, maka susunan seperti itu dinamakan : Matriks.

Matriks Contoh 1 :  6 7 5 7  Baris ke -1
 6 7 7 8  Baris ke -2
Baris ke -3
 5 6 7 7 

12 34

kolom

Matriks Contoh 2 :  1 2 1  Baris ke -1
 2 1 1  Baris ke -2
0 Baris ke -3
 0 2 1 
 1 0  Baris ke -4

1 23

kolom

Jadi, Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilangan-bilangan yang

disusun pada baris dan kolom dan diletakkan di dalam dua tanda kurung atau kurung siku.

1.2 Elemen dan Notasi Suatu Matriks

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen matriks dan diberi nama sesuai dengan nama

baris dan nama kolom. Perhatikan Matriks A di bawah ini :

A =  6 7 5 78  Untuk menamai suatu matriks., seringkali kita gunakan satu huruf kapital
 6 7 7 seperti A, B, C. Sedangkan elemen-elemen matriks seringkali dinotasikan

 5 6 7 7  dengan huruf kecil sesuai dengan nama matriksnya, seperti aij untuk

elemen-elemen matriks A.
Angka 8 dalam lingkaran menunjukkan elemen matriks A yang dituliskan dengan notasi

a24 , yang berarti angka 8 adalah elemen baris ke- 2 dan kolom ke- 4. Apabila ada tampilan
eleman aij , berarti menyatakan elemen matriks A baris ke- i dan kolom ke- j.

Apabila disuruh menyebutkan elemen-eleman dari baris ke- 3 adalah : 5, 6, 7, dan 7.

Halaman 45

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c Apabila disuruh menyebutkan elemen-elemen dari kolom ke 2 adalah : 7, 7, dan 6. w.docu-track.c

Ide penampilan matriks dalam metematika dikenalkan pada tahun 1857 oleh Arthur Cayley

(1821 –1895) yang berkebangsaan Inggris.

1.3 Ordo Suatu Matriks
Suatu matriks A berukuran i x j adalah susunan berbentuk persegi panjang dari ij elemen

(dalam bentuk bilangan) yang disusun dalam i baris dan j kolom.

Matriks A sering dinotasikan dalam bentuk : A = ( aij ) =  a 11 a 12 ... a 1 j 
 a 21 a 22 ... a 2 j 

 M M M M 
 ai1 ... a ij 
ai2

Ukuran matriks yaitu i x j, seringkali disebut ordo matriks, sehingga matriks A dapat ditulis

dengan : A ixj atau A(ixj) .

Contoh 3 : C =  2 −3 − 21 D =  − 3 2 4 
1 4  1 −1 5 

 2 − 3 2 

Matriks C mempunyai 2 baris dan 3 kolom, dikatakan ordo matriks C adalah 2x 3 (dibaca 2

kali 3) dan dituliskan C2x3 atau C(2x3) . Jika banyaknya baris suatu matriks sama dengan

banyaknya kolom (contoh matriks D) maka matriks itu disebut matriks bujursangkar.
Karena istilah bujursangkar disesuaikan menjadi pengertian persegi, maka disebut matriks

persegi. Matriks D adalah matriks persegi dengan ordo 3.

Lembar Kerja Siswa Kegiatan Belajar 1

Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan sejelas-jelasnya !

1. Diketahui matriks =  1 2 4 68 
 3 7 2

 5 1 9 0

Sebutkan banyaknya baris dan kolom !

Sebutkan elemen-elemen baris kedua !

Sebutkan elemen-elemen kolom ketiga !

Tuliskalah elemen matriks yang seletak pada baris ketiga dan kolom keempat !

Nyatakanlah baris dan kolom yang menentukan letak elemen : 4, 7 dan 2 !

2. Hasil pertandingan sepak bola ditampilkan pada tabel di bawah ini :

Kesebelasan Main Menang Seri Kalah Memasukan Kemasukan Nilai
5
Persija Jakarta 5 2 12 15 15 5
6
Persib Bandung 5 2 12 12 11 4
6
PSMS Medan 5 2 21 13 12 4

Persebaya Srby. 5 2 03 13 16

PSM Makasar 5 3 02 16 11

PSS Sleman 5 2 03 12 16

Dari tabel di atas, tuangkanlah ke dalam bentuk matriks !

Dari matriks yang diperoleh :

a. Berapa banyaknya baris dan banyaknya kolom ?

Halaman 46

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c b. Pada baris atau kolom mana : w.docu-track.c

± Semua elemennya sama

± Semua elemennya lebih dari 11

± Semua elemennya genap

3. Dari surat kabar atau majalah, carilah beberapa contoh keterangan yang disajikan dalam

bentuk matriks !

Kegiatan Belajar 2. Mendiskripsikan macam-macam matriks
Tujuan Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan :
1. dapat menyebutkan macam-macam matriks.
2. dapat mengidentifikasi dua matriks yang sama.
3. memiliki kemampuan untuk menunjukkan transpose suatu matriks.

Uraian Materi Kegiatan Belajar 2

2.1 Macam-macam Matriks

± Matriks Baris

Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu baris.

Contoh : A = (− 1 2 7) , B = (2 3 − 4 − 2 1).

± Matriks Kolom

Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Contoh : A =  − 4  , B =  5 
 2  9

 5

± Matrisk Persegi

Suatu matriks dengan banyak baris dan banyak kolom sama. Suatu matriks persegi
dengan banyak j baris dan j kolom disebut pula matriks ordo j.

Contoh : A =  2 5  , B =  1 6 98 
1 7  2 5 7 
4
 3

± Matriks Identitas

Suatu matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan

elemen lainnya 0 (nol). Pada umumnya matriks Identitas dilambangkan dengan I,

yang terkadang disertai dengan ordonya.

Contoh : A = I 2x2 =  1 0  , B = I3x3 =  1 0 0 
0 1  0 1 0 
0
 0 1 

± Matriks Nol

Suatu matriks dengan semua elemennya 0 (nol). Matriks nol sering kali dilambangkan

dengan O.

Contoh : A =  0 0 
0 0

± Matriks Segitiga

Halaman 47

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c Matriks persegi yang dipisahkan oleh diagonal dengan elemen-elemen 0 pada separoh w.docu-track.c

bagiannya.

Contoh : A =  1 5  , B =  0 0 − 51
3 0  0 −4 2 

 1 2

2.2 Kesamaan Matriks

Definisi dari kesamaan matriks adalah :

Matriks A = ( aij ) berordao m x n dan matriks B = ( bij )berordo p x q dikatakan sama

jika dan hanya jika sebagai berikut :

± M = p dan n = q, yang berarti matrik A dan matriks B berordo sama.

± aij = bij untuk semua i dan j, yang berarti semua elemen yang seletak sama.

Catatan :

Elemen yang seletak adalah elemen yang mempunyai nomor baris dan kolom

sama.

Contoh : matriks A =  2 9 1  sama dengan matriks B =  2 4 32 2 1 
8 3 4 2 9
2

Oleh karena itu dasar kesamaan matriks digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks.

Contoh 1 :

Tentukan nilai x dan y jika  2x 3  =  8 3 
4 3y 4 9

Dengan dasar kesamaan matriks maka didapatkan :

2x = 8 atau x = 4 dan 3y =9 atau y = 3.

Contoh 2 :

Carilah nilai x dan y yang memenuhi  x + 2 −4  =  5 −4 
2 y−5 2 6

Dengan dasar kesamaan matriks maka didapatkan :

x + 2 = 5 atau x = 5 –2 atau x = 3

y –5 = 6 atau y = 6 + 5 atau y = 11

2.3 Transpose Matriks

Transpose artinya perputaran, yang dilambangkan dengan A’ atau AT atau A t , yaitu

menukar elemen pada baris menjadi elemen pada kolom atau dengan kata lain elemen-

elemen baris dari matriks A akan menjadi elemen-elemen kolom matriks A t .

Secara lebih terperinci apabila aij elemen matriks A dan apabila ditranspose menjadi matriks

A t maka elemen tersebut menjadi a'ji .

Contoh 1 :

Matriks A =  4 −2 6  maka matriks transposenya adalah At =  − 4 21
2 1 3  2 6 
 6

Contoh 2 :

Halaman 48

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c 1 2 63  w.docu-track.c
1 4 7 23   4 5 91 
Matriks C =  2 5 8 1 maka matriks transposenya adalah Ct =  8
 6 9  2
 3  7
3

Lembar Kerja Siswa KB 2

1. Sebutkan ordo matriks berikut ini !

a. (0 1 2) b.  1 2 63  c.  x  d.  4 251 e.  a p vti  f.  1 3 1 420 
4 5  y   21  p b  − 22 40 35
z  i t

2. Berapakah banyaknya eleman setiap matriks pada soal no. 1 ? Tahukah Anda cara

menghitung yang cepat ?

3. Tulislah sebuah contoh matriks yang mempunyai ordo :

a. matriks 2x4 b. matriks 3x3 c. matriks 3x1 d. matriks 1x1

4. Matriks contoh berikut ini manakah yang sama ?

( ) ( )c. 1 4 62 2 21  2 4 
a. (1 2 3) b. (3 2 1) d. 9 84 12 e.  3 f.  18 4 
62 9

5. Tahukah nilai x dan y untuk kesamaan matriks di bawah ini ?

a.  x 2y  =  1 38  b.  x − 3  =  51  c. (3x − y)= (12 − 2)
0 3 0 2 − y

6. Tulislah transpose dari setiap matriks pada soal no. 1 dan sebutkan ordo setiap matriks

transpose tersebut !

7. Diketahui P  x3 y5  dan Q  45 − 23 . Jika Pt = Q tentukanlah nilai x dan y!

Kegiatan Belajar 3. Menyelesaikan operasi matriks
Tujuan Kegiatan Belajar 3

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan :
1. Menjelaskan pengertian dan syarat penjumlahan dan pengurangan matriks
2. Menentukan lawan suatu matriks
3. Melakukan operasi penjumlahan pada matriks matriks
4. Melakukan opersai pengurangan pada matriks
5. Menjelaskan pengertian dan syarat perkalian matriks
6. Melakukan operasi perkalian pada matriks

Uraian Materi Kegiatan Belajar 3
3.1 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Matriks

Agar pengertian dan syarat penjumlahan dua buah matriks dapat dipahami dengan baik,
coba simaklah persoalan di bawah ini :

Dewi dan Budi adalah calon siswa teladan dari sebuah SMK. Penentuan siapa yang berhak
mengikuti seleksi siswa teladan tingkat kabupaten didasarkan pada jumlah nilai mata diklat
matematika dan bahasa inggris pada semester I dan semester II. Nilai kedua mata diklat
yang dicapai oleh Dewi dan Budi ditampilkan pada tabel di bawah ini :

Mata Diklat Semester I Semester II Jumlah

Halaman 49

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c Dewi Budi Dewi Budi Dewi Budi w.docu-track.c
82 86 80 80 162 166
Matematika 72 78 73 74 145 152
Bahasa Inggris

Dari tabel di atas terlihat bahwa jumlah nilai semester I dan II untuk mata diklat Matematika dan

Bahasa Inggris yang dicapai Budi lebih tinggi dibandingkan yang dicapai oleh Dewi.

Dengan demikian Budi lebih berhak mengikuti seleksi siswa teladan.
Sekarang kita akan melihat bagaimana proses penjumlahan nilai-nilai tersebut dilakukan dengan

menggunakan matriks.

Bila data atau informasi pada tabel di atas disajikan dalam bentuk matriks, maka dapat dituliskan

sebagai berikut :

 82 8768 +  80 80  =  162 166 
72 73 74 145 152

Selanjutnya perhatikan contoh penjumlahan dua matriks di bawah ini.

Diketahui dua buah matriks : A  23 41 dan B  − 23 − 41
− −

1. Tentukan : A + B dan B + A

2. Apakah : A +B = B +A

Jawab :

1. A +B=  3 41 +  − 3 − 41 =  3 + (−3) 1 + (−1)  =  0 0 
2 − 2 − 2 + (−2) 4 + (−4) 0 0

B +A=  − 3 − 41 +  3 41 =  − 3 + 3 − 1 + 1  =  0 0 
− 2 − 2 − 2 + 2 − 4 + 4 0 0

2. Dari jawaban 1 terlihat bahwa A + B = B + A = 0

Apabila kita perhatikan, elemen-elemen yang seletak dari matriks B dan matriks A saling

berlawanan. Matriks B yang bersifat seperti itu disebut lawan atau negatife dari matriks A,

dan ditulis sebagai -A.

Dalam operasi bilangan riil, kita ketahui bahwa operasi pengurangan dapat ditentukan
dengan menjumlahkan sebuah bilangan dengan lawan atau negatif dari suatu bilangan.

Dengan menggunakan pemikiran yang serupa dengan operasi pengurangan pada bilangan
riil, maka opersi pengurangan dalam matriks dapat ditentukan dengan menjumlahkan sebuah
matriks dengan lawan atau negative dari matriks lainnya. Apabila A dan B masing-masing
matriks berordo sama maka pengurangan matriks A oleh B dapat dinyatakan sebagai berikut :

A - B = A + (-B)

Selanjutnya perhatikan contoh di bawah ini :

Contoh 1 :

Jika matriks A  34 dan matriks B  − 65 , maka : A - B =  34 -  − 65 =  3 − −(−56) =  − 91
4

A +(-B) =  3  +{-  − 6  } =  3 + 65 =  − 9 
4 5 4 − 1

Contoh 2 :

Halaman 50

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c 3 − 26 1 34  , dengan melihat contoh 1 bahwa A – B akan w.docu-track.c
Jika matriks P  5 dan matriks B  − 4

sama dengan A + (-B) maka hasilnya adalah :  3 − 6  +{-  − 1 3  } =  3 + 3 − 6 − 3  =  6 − 9 
5 2 4 4 5 − 4 2 − 4 1 − 2

3.2 Perkalian skalar (bilangan real) dengan matriks

Ide penjumlahan yang berlaku pada bilangan real dapat kita terapkan pada penjumlahan

matriks, yaitu :

a + a = 2 a, penjumlahan dua buah bilangan yang sama

a + a + a + … + a = n.a penjumlahan n buah bilangan yang sama

Pada matriks, pandanglah matriks A  21 34

Berdasarkan aturan penjumlahan matriks, diperoleh :

A + A =  1 3  +  1 3  =  2x1 2x3  =  2 68 
2 4 2 4 2x2 2x4 4

matriks  2x1 22xx43  bisa dituliskan sebagai 2.  1 43  atau 2 A
2x2 2

Jadi, A + A = 2 A

Dengan demikian A + A + A = 3 A, dan seterusnya.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa, jika A adalah sebuah matriks, dan k adalah
skalar (bilangan real), maka k A adalah sebuah matriks baru yang didapat dari hasil
perkalian k dengan elemen-elemen matriks A.

3.3 Perkalian matriks dengan matriks
Untuk memahami perkalian suatu matriks dengan matriks lain, perhatikan persoalan di
bawah ini:
Ketika jam istirahat Anto dan Tomi membeli makanan di kantin sekolah. Anto
menghabiskan 4 buah kue dan 2 gelas es jeruk. Tomi menghabiskan 3 buah kue
dan 1 gelas es jeruk. Harga kue per buah dan es jeruk per gelas masing-masing
Rp. 100,00 dan Rp. 250,00. Persoalan ini jika disajikan dengan memakai tabel
dapat ditunjukkan seperti di bawah ini

Kue Es Jeruk Harga (Rp)

Anto 4 2 Kue 100

Tomi 3 1 Es Jeruk 250

Persoalannya adalah, berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Anto, dan oleh
Tomi.

Jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Anto adalah 4 x 100 + 2 x 250 = 900

Untuk menyatakan perhitungan ini dalam bentuk matriks, diperlukan dua buah informasi,
yaitu :

a. Jenis dan jumlah makanan yang dibeli oleh Anto. Informasi ini dapat ditulis dengan

matriks baris sebagai berikut : (4 2)

b. Harga setiap jenis makanan. Informasi ini dapat ditulis dengan matriks kolom sebagai

berikut :  125000
Dengan demikian, jumlah uang yang harus dibayar oleh Anto dapat dinyatakan sebagai :

Halaman 51

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c (4 2) x  215000 = (4x100 + 2x250) = (400+500) = (900) w.docu-track.c

Langkah-langkah perhitungan seperti di atas pada hakekatnya diperoleh dengan cara
mengalikan tiap elemen matriks baris ( 1 x 2 ), dengan elemen-elemen yang bersesuaian dari
matriks kolom ( 2 x 1 ). Matriks hasil perkaliannya adalah matriks ( 1 x 1 ).

Akhirnya jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Anto dan Tomi dapat dinyatakan sebagai :

42 100 4 x 100 + 2 x 250 900
31 250 3 x 100 + 1 x 250 550

Proses atau cara penggabungan dua buar matriks menjadi sebuah matriks seperti penjelasan

di atas disebut perkalian matriks.

Sehingga dapat dikatakan, aturan perkalian matriks adalah :

Mengalikan tiap elemen pada baris matriks sebelah kiri dengan tiap elemen pada

kolom matriks sebelah kanan, kemudian hasilnya dijumlahkan.

Atau secara umum :

Jika diketahui matriks-matriks : A  a dc  B  p r 
b q s

maka perkalian matriks A dan B dapat ditentukan dengan persamaan :

AxB =  a c   p r  =  axp+ cxq axr+ cxs 
b d q s bxp + dxq bxr +dxs

Syarat dua buah matriks A dan B dapat dikalikan, apabila banyak kolom matriks A sama

dengan banyak baris matriks B.

Lembar Kerja Siswa Kegiatan Belajar 3

1. Jika diketahui matriks O =  0 00  dan matriks A  3 10 
0 8 −2

Tunjukkan bahwa : (i) O + A = A (ii). A + O = A

2. Lengkapilah pernyataan berikut ini !

Dari hasil penyelesaian soal 1 di atas terlihat bahwa : … + … = A + O = …

Matriks O disebut matriks nol berordo : … x … yaitu sebuah matriks yang setiap

elemennya adalah … … dan untuk setiap matriks A berlaku : O + A = A + O = … …

3. Diketahui matriks-matriks : A  62 91  dan B  4 8 
3 7

a. Tentukanlah (A + B) dan (B + A)

b. Apakah (A + B) = (B + A)

3. Diketahui matriks-matriks P  43 95 Q  61 78 R  23 21

Tentukan : a. P + Q

b. Q + R

c. (P + Q) + R

Halaman 52

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c d. P + (Q + R) w.docu-track.c

e. Apakah (P + Q) + R = P + (Q + R)

4. Tentukan hasil kali dua matriks berikut :  23 −21  23 = … …

5. Dengan menambah satu kolom pada matriks kedua soal diatas, sehingga menjadi :

 23 −−11 , tentukanlah perkalian :  23 −−11  23 − 11 =… …
−

6. Lakukan seperti soal 5, berapakah hasil kali dari :

 2 −21  2 −− 11 21 =… …
3 3

7. Berapakah ordo matriks hasil perkalian soal nomor 6. Bila perlu, kembangkan dengan
bentuk matriks lain seperti matriks berordo 1 x 3 dengan matriks berordo 3 x 2.
Bagaimana ordo hasil perkalian matriks-matriks tersebut?
8. Buatlah suatu kesimpulan mengenai langkah soal nomor 1 s.d 4.

Kegiatan Belajar 4. Menentukan determinan dan invers matriks

Tujuan Kegiatan Belajar 4
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini maka, anda diharapkan dapat :

1. menghitung determinan dan invers matriks berordo 2× 2.

2. menyelesaikan persamaan matriks.
3. menyelesaikan persamaan linier 2 variabel dengan menggunakan matriks.

Uraian Materi Kegiatan Belajar 4

4.1. Determinan matriks berordo 2× 2.
Misalkan A adalah matrik persegi berordo 2× 2 yang dituliskan dlam bentuk A = ac db

Maka determinan matriks A = a b ditulis sebagai det. A = a= a b = ad –bc.
c d  c d

Contoh :

1. Jika A = 35 24 maka det A = 3 2 = 3.4 –2.5 = 12 –10 = 2
5 4

2. JIka B = 75 34 maka det B = 75 43 = 7.3 –4.5 = 21 –20 = 1

4.2. Invers matriks berordo 2× 2.

Misal A = ac db ,maka invers matriks A ditulis A −1 ditentukan oleh :

A −1 = 1 −dc −ab , dengan det. A = ad –bc ≠ 0
det . A

Keterangan :

1. Jika A sebuah matriks dengan det A ≠ 0, maka A disebut matriks tak singular atau non singular.

Setiap matriks tak singular mempunyai invers.
2. Jika A sebuah matriks dengan det A= 0, maka A disebut matriks singular.

Setiap matriks singular tidak mempunyai invers.

Contoh 1 :

Halaman 53

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c 54 23 w.docu-track.c
Tentukan invers matriks A = −
4.3 −

Jawab :

Det. A= 45 − 23 = 5(-2) –(-3). 4 = -10-(-12) = 2
−

A −1 = 1 − 2 35 = −1 3 
2 − 4 − 2 2 
5
2
Matriks A adalah matriks non-singular.
Contoh 2:

Tentukan nilai x apabila matriks P = 140 −x2 merupakan matriks singular!
Jawab :
Syarat matriks singular adalah det. P = 0, maka :

4 x =0
10 2

4.2 –10x = 0
8 –10x = 0
8 4
8 = 10x x = 10 = 5

Penyelesaian Persamaan Matriks
Setelah memahami pengertian invers matriks, sekarang kita mempelajari cara
menyelesaikan soal yang berhubungan dengan invers matriks. Sebagai contoh adalah
menyelesaikan persamaan matriks berbentuk A.X = B atau X.A = B, dengan A, B, dan X
adalah matriks-matriks berordo 2x2. Agar X ada ( dapat ditentukan ) disyaratkan bahwa

matriks A haruslah matriks non singular, sehingga matriks A mempunyai invers A −1 .
a. Persamaan bentuk A . X = B

Untuk persamaan AX = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A −1 dari
arah kiri.

A −1 .( A.X ) = A −1 .B

(A −1 .A) X = A −1 .B

I. X = A −1 .B, sebab A −1 .A= I

X = A −1 .B, sebab I . X = X . I = X

Jadi jika A.X = B, maka X = A −1 . B
b. Persamaan berbentuk X.A = B

Untuk persamaan A X = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A −1 dari
arah kanan.

(X.A). A −1 = B. A −1

X.(A. A −1 )= B. A −1

X. I = B. A −1 , sebab A. A −1 = 1

X = B. A −1 , sebab I . X = X . I = X

Jadi jika X . A = B, maka X = B . A −1
Contoh :

Diketahui matriks-matriks A = 73 25 B = 25 13
Tentukan matriks X berordo 2x2 yang memenuhi persamaan :
a. A . X = B b. X . A = B
Jawab :

Det.A = 3 2 = 15 –14 = 1, sehingga A −1 = −57 −32 .
7 5

Halaman 54

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c a. Untuk persamaan matriks A.X = B penyelesaiannya adalah w.docu-track.c

X = A −1 .B = −57 −32 25 13 = −2219 −21
b. Untuk persamaan matriks X.A = B penyelesaiannya adalah

X = B. A −1 = 25 13 −57 −32 = −1181 −57 

4.4 Pemakaian matriks untuk menyelesaikan system persamaan linier 2 variabel
{paxx by c
Untuk persamaan linier berbentuk : + qy = r
+ =

∀ = a b = aq –bp
p q

∀x = c b = cq –br
r q

∀y = a c = ar –cp
p r

Sehingga :
x = ∇x , y = ∇y
∇∇

Contoh :

Selesaikan persamaan 42xx + 5y = 17 dengan menggunakan determinant matriks !
+ 3y = 11

Jawab :

∇= 4 5 = 12 –10 = 2,
2 3

∇x = 17 5 = 51 –55 = -4
11 3

∇ y = 24 1171 = 44 –34 = 10

x= ∇x = −4 = -2 , y= ∇y = 10 =5
∇ 2 ∇ 2

Lembar Kerja Siswa KB 4

1. Diberikan matriks A = 23x x3 dan B = x3 110 . Tentukanlah nilai x jika det. A = det.B !

2. Jika P = 3y 18  merupakan matriks singular, tentukanlah nilai y !
 2 2y

3. Matriks P = 4 5 dan Q = 2a + 2 c+8  . Tentukan nilai a, b, c dan d jika 2P-1 = Qt !
2 5  b − 4 3d − a

4. Tentukan penyelesaian system persamaan linier berikut dengan matriks:

a. 42xx + 5y = 17 b. 52xx−−6yy = −7
+ 3y = 11 = −18

5. Jika mungkin, tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linier berikut:

a. 24xx + 3y = 4 c. 84xx−−63yy==120
+ 6y = 8

6. Dalam sebuah praktek kerja bengkel yang terdiri dari beberapa kelompok, Daffa
mewakili kelompoknya untuk membeli 5 buah lampu kabut dan 4 buah lampu zen, ia
harus membayar RP 35.000,- . Pada kesempatan yang sama Odhi juga mewakili

Halaman 55

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE

Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c kelompoknya membeli 10 buah lampu kabut dan 6 buah lampu zen dengan membayar w.docu-track.c
Rp 63.500,-. Harga perbuah untuk lampu kabut x rupiah dan untuk harga lampu zen y
rupiah.
a. Tentukan sistem persamaan linier dua peubah x dan y yang dapat disusun dari

permasalahan di atas !
b. Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan linier yang tersebut !
c. Dari penyelesaian soal b). Berapa harga sebuah lampu kabut dan berapa harga

sebuah lampu zen ?

Kegiatan Belajar 5. Menentukan determinan dan invers matriks ordo 3

Tujuan Kegiatan Belajar 5
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini maka, anda diharapkan dapat :

1. Menghitung determinan matriks berordo 3× 3

2. Menentukan invers matriks ordo 3 x 3

Uraian Materi Kegiatan Belajar 5
5.1 Determinan matriks ordo 3 x 3.

a b c 
Jika matriks A ordo 3 x 3 dengan bentuk A = d 
e f  maka determinan A dapat dicari

g h i 

dengan

a b c a b
A = d e f d e = aei + bfg + cdh –ceg –afh –bdi
h i g h
 g
+++
---
Contoh :

2 3 2 23223

Jika B = 4 2 1 maka det B = 4 2 1 4 2 = 2.2.5 + 3.1.1 + 2.4.3 –2.2.1 –2.1.3 –3.4.5
1 3 5
13513

= 20 + 3 + 24 - 4 –6 –60 = - 23

5.2 Invers matriks ordo 3 x 3

Untuk menentukan invers matriks ordo 3 x 3 dapat digunakan beberapa cara, antara lain :

a. menggunakan pengertian dasar invers yakni jika A adalah invers B maka akan berlaku

AB = BA = I ( matriks identitas ordo 3 x 3 ).

a b c p q r
Misal A = d   
e f  dan B =  s t u  saling invers maka akan berlaku :

g h i   v w x

a b c   p q r  p q r a b c  1 0 0
d   u   u d  0 0
e f   s t =  s t e f  = 1

g h i   v w x  v w x g h i  0 0 1

Contoh :

Halaman 56

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE
w.docu-track.c
Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
www.docu-track.c
ww

 2 3 −1
 
Tentukan invers dari matriks A =  2 4 2 

−1 −1 3 

Penyelesaian:

p q r  2 3 −1
   
Misal B=  s t u  adalah invers matriks A =  2 4 2  maka akan berlaku

 v w x −1 −1 3 

 2 3 −1  p q r  1 0 0
   u = 0 1 0
 2 4 2   s t

−1 −1 3   v w x 0 0 1

 2 p + 3s − v 2q + 3t − w 2r + 3u − x  1 0 0
2 p + 4s + 2v 2q + 4t + 2w 2r + 4u + 2x = 0 1 0
 − p − s + 3v − q − t + 3w − r − u + 3x  0 0 1
dengan kesamaan matriks akan diperoleh persamaan linier sebagai berikut :

 2 p + 3s − v = 1
i. 2 p + 4s + 2v = 0

 − p − s + 3v = 0

(1)… . 2p + 3s –v = 1
(2)… . 2p + 4s + 2v = 0
(3)… . –p –s + 3v = 0
dari (2) –(1) diperoleh
s + 3v = -1 … . (4)
dari (2) + 2(3) diperoleh
2s + 8v = 0 … . (5)
dari (5) –2(4) diperoleh v = 1 Substitusi ke (4) diperoleh s = -4.
jika v = 1 dan s = -4 disubstitusi ke (3) diperoleh p = 7

 2q + 3t − w = 0
ii. 2q + 4t + 2w = 1

− q − t + 3w = 0

(1) … . 2q + 3t –w = 0

(2) … . 2q + 4t + 2w = 1

(3) … . –q –t + 3w = 0

dari (2) –(1) diperoleh

t + 3w = 1 … . (4)

dari (2) + 2(3) diperoleh

2t + 8w = 1 … . (5)

dari (5) –2(4) diperoleh w = - 1 , w= - 1 substitusi ke (5) diperoleh t = 5
2 2 2

jika w = - 1 dan t= 5 substitusi (3) akan diperoleh q = -4
2 2

Halaman 57

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE
w.docu-track.c
Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
www.docu-track.c
ww

 2r + 3u − x = 0
iii. 2r + 4u + 2x = 0

 − r − u + 3x = 1

(1) … . 2r + 3u –x = 0
(2) … . 2r + 4u + 2x = 0
(3) … . –r –u + 3x = 1
dari (2) –(1) diperoleh
u + 3x = 0 … . (4)
dari (2) + 2(3) diperoleh
2u + 8x = 2 … . (5)
dari (5) –2(4) diperoleh x = 1, jika x = 1 substitusi ke (4) diperoleh u = -3
Jika x = 1 dan u = -3 disubstitusi ke (3) akan diperoleh r = 5

 2 3 −1  7 −4 5 
  − 4 − 3
Jadi invers dari matriks A =  2 4 2  adalah B= 5
2

−1 −1 3   1 − 1 1 
2

b. Menggunakan adjoin matriks.

Jika A adalah matriks non singular berordo m x n , maka invers matriks A dapat dicari

dengan adjoin matriks sebagai berikut :

A−1 = 1 Adj(A)
det A

di mana Adj (A) adjoin matriks A dapat dicari dengan terlebih dulu mengetahui minor
dan kofaktor matriks itu.
Jika xij adalah elemen matriks baris ke-i kolom ke-j maka :

i. Minor matriks Mij adalah determinan matriks dengan menghapus
(menghilangkan) baris ke- i kolom ke-j

a b c
Misal A = d 
e f 

g h i 

M11 = e f = ei –fh (menghapus baris ke-1 kolom ke-1 )
h i

M12 = d f = di –fg ( menghapus baris ke-1 kolom ke-2 )
g i

M13 = d e = dh –eg ( menghapuskan baris ke-1 kolom ke-3 )
g h

dan seterusnya.

ii. Kofaktor Kij adalah perkalian (−1)i+ j dengan Mij
K11 = (−1)1+1 M11 = 1(ei –fh)

Halaman 58

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE
w.docu-track.c
Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
www.docu-track.c
ww

K12 = (−1)1+2 M12 = −1(di − fg)
K13 = (−1)1+3 M13 = 1(dh − eg)
dan seterusnya

K11 K21 K31 
 
Adjoin matriks A dirumuskan Adj (A) =  K12 K 22 K32 

K13 K23 K33 

Contoh :

 2 3 −1
 
Tentukan invers dari matriks A =  2 4 2  dengan adjoin matriks

−1 −1 3 

Penyelesaian :

2 3 −1
i. det A = 2 4 2 = 24 –6 + 2 –4 + 4 –18 = 2

−1 −1 3

iii. minor-minor matriks A

42 23
M11 = − 1 = 12 − (−2) = 14 M 23 = −1 −1 = −2 − (−3) = 1
3

22 3 −1
M12 = − 1 = 6 − (−2) = 8 M 31 = 4 = 6 − (−4) = 10
3 2

24 2 −1
M13 = −1 −1 = −2 − (−4) = 2 M 32 = 2 = 4 − (−2) = 6
2

3 −1 23
M 21 = − 1 = 9−1 = 8 M 33 = 2 = 8−6 = 2
3 4

2 −1
M 22 = − 1 = 6−1 = 5
3

iv. Kofaktor-kofaktor matriks A

K11 = (−1)2 M11 = 14 K21 = (−1)3 M 21 = −8 K31 = (−1)4 M 31 = 10
K32 = (−1)5 M 32 = −6
K12 = (−1)3 M12 = −8 K22 = (−1)4 M 22 = 5 K33 = (−1)6 M 33 = 2

K13 = (−1)4 M13 = 2 K23 = (−1)5 M 23 = −1

v. invers matriks A dapat ditemukan

1  K11 K 21 K31 
det A  K 22 
A−1 =  K12 K 23 K32 

 K13 K33 

1 14 − 8 10 
2 − 8 − 6
A−1 =  2 5 2 
−1

Halaman 59

PDF-XCHANGE PDF-XCHANGE
w.docu-track.c
Click to buy NOW!
om

Click to buy NOW
!

om
ww
ww
w.docu-track.c
 7 −4 5 
A−1 = − 4 − 3 Bandingkan dengan cara sebelumnya.
5
2

 1 − 1 1 
2

Lembar Kerja KB 5

1. Tentukan determinan dan invers dari matriks A = 2 0 3
2. Tentukan determinan dan invers dari matriks B = 1 4 5
3. Tentukan determinan dan invers dari matriks C = 0 2 1

4 1 − 2
3 4 
6 

4 −1 1 

 7 − 4 5
− 4 2 3
 1 − 1 1

Halaman 60