หนังสืออิเล็กทรอนิกส์

หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันลอการิทึม จัดท าโดย นายชนภัทร์ วรรณชัย เลขที่1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4/1 เสนอ คุณครูกัญญ์ภัคพิมพ์ อุดมวงษ์ เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม โรงเรียนมัญจาศึกษา อ าเภอมัญจาคีรี จังหวัดขอนแก่น ภาคเรียนที่2 ปีการศึกษา 2566

ค าน า หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-Book) นี้ จัดท าขึ้นเพื่อให้ผู้อ่านได้ทราบข้อมูลเกี่ยวกับฟังก์ชันเอกซ์โพเนน เชียลและฟังก์ชันลอการิทึม และอื่นๆคณะผู้จัดท าหวังเป็นอย่างยิ่งว่าหนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-book) เล่มนี้จะ เป็นประโยชน์ส าหรับคนที่สนใจในการเตรียมความพร้อมในการเรียนและการสอบและได้ประโยชน์จากหนังสือ (E-Book) เล่มนี้ไม่มากก็น้อย ผู้จัดท าหวังเป็นอย่างยิ่งว่า หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-Book)เล่มนี้จะเป็นประโยชน์กับผู้ที่สนใจหรือผู้ที่ ศึกษาค้นคว้าข้อมูลเรื่องนี้อยู่ หากมีข้อผิดพลาดประการใด ผู้จัดท าขอน้อมรับไว้และขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย

สารบัญ เรื่อง หน้า เลขยกก าลัง 1 การเปรียบเทียบเลขยกก าลัง 2-3 สมการรากที่สอง 4 รูปแบบรูทไม่รู้จบ 5 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล 6 กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และการแปลงกราฟ 7-8 สมการเอกซ์โพเนนเชียล 9 อสมการเอกซ์โพเนนเชียล 10-11 ฟังก์ชันลอการิทึม 12 กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม และการแปลงกราฟ 13 สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม 14 การเปรียบเทียบค่าลอการิทึม 15 แมนทิสซา และคาแรกเทอริสติก 16 สมการลอการิทึม 17-18 อสมการลอการิทึม 19-20

เลขยกก าลัง สมบัติของเลขยกก าลัง ให้ a,b,m และ n เป็นค่าคงที่ใดๆ ตัวอย่างโจทย์จงใช้สมบัติของเลขยกก าลังท าให้อยู่ในรูปแบบง่าย ((73)-2)0.5 1

การเปรียบเทียบเลขยกก าลัง ถ้า เลขฐาน > 1 แล้ว เลขชี้ก าลังมากค่าจะยิ่งมาก ถ้า 0 < เลขฐาน < 1 แล้ว เลขชี้ก าลังมากค่าจะยิ่งน้อย การเปรียบเทียบเลขยกก าลัง มีวิธีการได้แก่ ท าฐานให้เท่ากัน โดยพยายามจัดรูปให้เลขฐานเท่ากัน โดยหาเลขฐานร่วม แล้วแปลงเลขฐานเดิมของเลขที่จะ เปรียบเทียบกันให้อยู่ในรูปยกก าลังของเลขฐานร่วม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม เช่น 4 4 เปรียบเทียบกับ 8 3 (22 ) 4 =28 เปรียบเทียบกับ (2 3 ) 3 =29 จะได้ว่า 2 8 < 29 เพราะฉะนั้น 4 4 <83 ท าเลขชี้ก าลังให้เท่ากัน ถ้าเลขฐานเท่ากัน เลขฐานมากค่าจะยิ่งมาก เลขฐานน้อยค่าจะยิ่งน้อย ดังนั้น ถ้าจัดรูป ให้เลขชี้ก าลังเท่ากันได้ ก็จะสามารถเปรียบเทียบเลขฐานได้เลย เช่น 166 เปรียบเทียบกับ 274 (42 ) 6 = 412 เปรียบเทียบกับ (3 3 ) 4 = 312 จะได้ว่า 4 12 > 312 เพราะฉะนั้น 166 > 274 กรณีเลขฐานติดลบ ให้พิจารณาว่า ถ้ายกก าลังแล้วยังติดลบอยู่หรือไม่ โดยแปลงเลขฐานเป็น -1 คูณกับ จ านวนที่เป็นบวก แล้วกระจายเลขยกก าลังเข้าไป แล้วพิจารณาว่าหลังกระจายเลขยกก าลังเข้าไปแล้ว -1 ยังคงอยู่หรือไม่ โดยพิจารณาดังนี้ ถ้า -1 ยกก าลังด้วยเลขคู่ จะได้ 1 ถ้า -1 ยกก าลังด้วยเลขคี่ จะได้ -1 ถ้า -1 ยกก าลังด้วยเศษส่วนโดยที่ตัวส่วนเป็นเลขคี่ แล้ว ถ้าเศษเป็นเลขคู่ จะได้ 1 ถ้าเศษเป็นเลขคี่ จะได้ -1 ถ้า -1 ยกก าลังด้วยเศษส่วนโดยที่ตัวส่วนเป็นเลขคู่ จะหาค่าไม่ได้ 2

จากนั้นจึงท าการเปรียบเทียบ โดยถ้ายังติดลบทั้งคู่ ตัวที่ติดลบเยอะกว่า จะมีค่าน้อยกว่า เช่น (- 9 ) 5 เปรียบเทียบกับ (-9)4 (-1 × 9)5 เปรียบเทียบกับ (-1 × 9)4 (-1)5 × 95 เปรียบเทียบกับ (-1)4 × 94 -1 × 95 เปรียบเทียบกับ 1 × 94 จะได้ว่า -9 5 < 94 เพราะฉะนั้น (-9)5 < (-9)4 ตัวอย่างโจทย์จงเปรียบเทียบค่า ระหว่าง 4 28 และ 6 21 พิจารณาดูเลขยกก าลัง คือ 28 และ 21 จะเห็นว่ามีตัว ห.ร.ม. (ตัวเลขที่มากที่สุดที่หารทั้งสองตัว ลงตัวพอดี) คือ 7 น่าจะท าเป็นเลขยกก าลัง 7 ได้ โดยอาศัย Power Rule คือ 4 28 = 4(4x7) = (44 ) 7 = 2567 6 21 = 6(3x7) = (63 ) 7 = 2167 ∴ 4 28 มากกว่า 6 21 ตัวอย่างโจทย์ข้อใดต่อไปนี้มีค่าน้อยที่สุด ก.2 60 ข.345 ค.530 ง.715 2 60 = 24x5 = (2 4 ) 15 = 1615 3 45 = 33x15 = (3 3 ) 15 = 2715 5 30 = 52x15 = (5 2 ) 15 = 2515 7 15 = 71x15 = (7 1 ) 15 = 715 ตอบ ง.715 3

สมการรากที่สอง 4

รูปแบบรูทไม่รู้จบ 5

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันที่ค่าของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลงได้เร็วกว่าฟังก์ชันพหุนาม โดย เขียนอยู่ในรูปทั่วไปคร่าว ๆ ได้ว่า y=ax โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1 ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล สามารถใช้อธิบายสิ่งต่าง ๆ ได้มากมาย เช่น การแพร่พันธุ์ของสิ่งมีชีวิต การคิดดอกเบี้ยทบต้น การเติบโตของเครือข่ายโซเชียล (Social Network) การสลายตัวของธาตุกัมมันตรังสี การเย็นตัวของวัตถุร้อน สมบัติของฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเชียล เมื่อ a > 1 ฟังก์ชัน y = ax จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อ 0 < a < 1 ฟังก์ชัน y = ax จะเป็นฟังก์ชันลด โดเมนของฟังก์ชัน คือ R เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ R+ 6

กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล หากวาดกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล y = ax จะได้ดังนี้ เมื่อ a > 1 เมื่อ 0 < a < 1 ข้อสังเกต กราฟของฟังก์ชันผ่านจุด (0, 1) เสมอ กราฟของฟังก์ชันอยู่เหนือแกน x เสมอ กราฟของฟังก์ชัน y = ax และ y = (1/a)x = a-x จะสมมาตรกัน โดยมีแกน y เป็นแกนสมมาตร 7

การแปลงกราฟเอกซ์โพเนนเชียล กราฟของสมการจะเหมือนกับกราฟเอกซ์โพเนนเชียล y = ax ไปทางขวา h หน่วย และเลื่อนขึ้นไป k หน่วย ดังนั้น เพื่อที่จะวาดกราฟเอกซ์โพเนนเชียลให้ได้ง่ายขึ้น อาจจัดรูปสมการให้อยู่ในรูป y-k = ax-h ก่อน ดังรูป เมื่อ a > 1 ตัวอย่างโจทย์จงวาดกราฟคร่าว ๆ ของสมการต่อไปนี้ y = 32x 8

สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือ สมการที่มี x อยู่ในเลขชี้ก าลัง การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล แก้โดยการท าฐานให้เท่ากัน จัดรูปให้ทั้งสองข้างของสมการมีเลขฐานเท่ากัน จะได้ว่า เลขชี้ก าลังของทั้งสองข้าง จะเท่ากัน แก้โดยการแทนค่าด้วยตัวแปรอื่น หากไม่สามารถจัดรูปให้เลขฐานเท่ากันได้ อาจก าหนดให้พจน์ที่มี x อยู่ในเลขชี้ก าลัง เป็นตัวแปรอื่น แล้วจึง ค่อยแก้สมการ ตัวอย่างโจทย์จงแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลต่อไปนี้ 1.4x+5 = 82x-3 2.22x + 2x – 6 = 0 9

อสมการเอกซ์โพเนนเชียล หลักการ ถ้า 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) แล้ว ax1 > ax2 ก็ต่อเมื่อ x1 < x2 ax1 < ax2 ก็ต่อเมื่อ x1 > x2 ข้อสังเกต ถ้า a > 1(ฟังก์ชันเพิ่ม) แล้ว ax1 > ax2 ก็ต่อเมื่อ x1 > x2 ax1 < ax2 ก็ต่อเมื่อ x1 < x2 ข้อสังเกต ปลดฐาน หรือเติมฐาน คงเดิมเครื่องหมายอสมการ สิ่งที่ควรเน้น ค าตอบที่ได้จากการแก้อสมการ ไม่ต้องน ามาตรวจสอบค าตอบ ยกเว้น ในกรณีที่มีการยกก าลังจ านวนคู่ จะต้องตรวจสอบค าตอบด้วย เรื่องการแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียลนั้น มีสิ่งที่ต้องค านึงอยู่แค่หนึ่งสิ่งที่ส าคัญคือ กรณีฐานของเลขยกก าลัง นั้นมีค่ามากกว่าศูนย์แต่น้อยกว่าหนึ่ง นอกนั้นไม่มีอะไรเลยครับ การแก้อสมการในกรณีที่เลขฐานมากกว่า ศูนย์แต่น้อยกว่าหนึ่ง ต้องมีการสลับเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม ดังทฤษฏีต่อไปนี้ กรณีที่ฐาน 0<a<10<a<1 ถ้า ax>ayax>ay แล้ว x<yx<y ต้องสลับเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม แต่ถ้า กรณีที่ฐาน a>1a>1 ถ้า ax>ayax>ay แล้ว x>yx>y ฐานมากว่าหนึ่งไม่ต้องสลับเครื่องหมายนะครับ เป็นดูตัวอย่างการแก้อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลกันเลย 10 =4

1112

ฟังก์ชันลอการิทึม ฟังก์ชันลอการิทึม เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ดังนั้น ถ้าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีสมการเป็น y = ax , a > 0 , a ≠ 1 แล้วฟังก์ชันลอการิทึมจะมีสมการเป็น x = ay , a > 0 , a ≠ 1 ซึ่งหากจะเขียนให้อยู่ในรูป y ในเทอมของ x จะเขียนได้เป็น y = logax ซึ่งหมายถึง x = ay ดังนั้น ฟังก์ชันลอการิทึม คือ f = {(x, y) | y = loga x, a > 0, a ≠ 1} ตัวอย่าง หาค่าของ log2(32) ให้ y = log2(32) จะได้ 2 y = 32 2 y = 25 จะได้ว่า y = 5 ดังนั้น log2(32) = 5 12

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม เนื่องจากเป็นอินเวอร์สกัน กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม จึง สมมาตรกันโดยมีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร ดังนี้ กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม เมื่อ a > 1 กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม เมื่อ 0 < a < 1 13

สมบัติของลอการิทึม ให้ a, M, N เป็นจ านวนบวก ซึ่ง a > 0 และ a ≠ 1 และ m, n เป็นจ านวนจริงใดๆ 14

การเปรียบเทียบค่าลอการิทึม กรณี a อยู่ในช่วง(0, 1) เป็นฟังก์ชันลด จะได้ว่า x > y ก็ต่อเมื่อ logax < logay x < y ก็ต่อเมื่อ logax > logay กรณี a อยู่ในช่วง(1,∞) เป็นฟังก์ชันเพิ่ม จะได้ว่า x > y ก็ต่อเมื่อ logax > logay x < y ก็ต่อเมื่อ logax < logay ตัวอย่าง จงเปรียบเทียบค่าลอการิทึมในแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) log3 (0.001) ; log3 (0.01) จาก 0.001 < 0.01 ฐานของลอการิทึมเท่ากับ 3 เป็น f เพิ่ม log3 (0.001) < log3 (0.01) (2) log108 ; log101/8 จาก 8 > 1/8 ฐานของลอการิทึมเท่ากับ 10 เป็น f เพิ่ม log10 8 > log10 1/8 15

แมนทิสซา และคาแรกเทอริสติก ให้ N เป็นจ านวนจริงบวกใด ๆ และ n เป็นจ านวนเต็ม จะเขียน N ได้ในรูป N = A×10n โดยที่ 1 ≤ A < 10 จะได้ว่า logN = log (A×10n) โดยที่ log1 ≤ logA < log10 logN = logA + log10n logN = logA + nlog10 โดยที่ 0 ≤ logA < 1 logN = logA + n เรียก log A ว่า แมสทิสซา ของ log N ซึ่งค่าของ log A จะสามารถหาได้จากการเปิดตารางลอการิทึม เรียก n ว่า คาแรกเทอริสติก ของ log N ตัวอย่าง จงหาค่าแมนทิสซาและคาแรกเทอริสติก ของจ านวนต่อไปนี้ 1. log12500 วิธีท า log12500 = log(1.2500×104 ) = log1.25+log104 เปิดตารางเพื่อดู log1.25 = 0.0969+4 ดังนั้น แมนทิศซาของ log12500 คือ 0.0969 และคาแรกเทอริสติกคือ 4 2. log5100 วิธีท า log5100 = 100log5 = 100log5 = 100×0.6990 = 69.900.9+69 ดังนั้น ค่าแมนทิสซาต้อง มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ก็เลยแยก 69.90 เป็น 0.9+69จึงได้ว่า แทนทิสซาคือ 0.9 คาแรกเทอริสติกคือ 69 16

สมการลอการิทึม คือ สมการที่มี x อยู่ในลอการิทึม โดยอาจอยู่ตรงเลขฐาน หรืออยู่หลัง log ก็ได้ การแก้สมการลอการิทึ แก้โดยใช้นิยามของฟังก์ชันลอการิทึม ถ้า logax = M จะได้ว่า x = aM แก้โดยการท าฐานให้เท่ากัน ถ้า logaM = logaN จะได้ว่า M = N แก้โดยการแทนค่าด้วยตัวแปรอื่น หากจัดรูปสมการไม่ได้อาจแทนค่าตัวที่ติด log ด้วยตัวแปรอื่น แล้วจึงแก้สมการ ตัวอย่างโจทย์จงแก้สมการลอการิทึมต่อไปนี้ (1) log5(x – 2) + 1 = log5(x + 2) 17

(2) log3x – 2 = 3logx3 18

อสมการลอการิทึม หมายถึง อสมการที่มีพจน์บางพจน์อยู่ในรูปลอการิทึม การแก้สมการลอการิทึม แก้โดยใช้ความรู้เรื่องฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชัลดมาช่วยแก้ปัญหานั่นคือ ก าหนดให้ a>0, a = 1 และ X1, X2 เป็นจ านวนจริงบวก 1. loga X₁ loga X2 ก็ต่อเมื่อ X₁ = X2 2. ถ้า 0 < a < 1 แล้ว loga X1 < loga X2 ก็ต่อเมื่อ X1 > X2 3. ถ้า a > 1 แล้ว loga X₁ < loga X2 ก็ต่อเมื่อ X1 < X2 19

20

บรรณานุกรม เว็บไซต์ https://panyasociety.com/pages/summary-math-402-exponentiallogarithm/ https://exponentialfunctioncpr.wordpress.com https://www.mathpaper.net/index.php/en/5/625-2018-06-21-09-22-46 https://www.chulatutor.com/blog http://old-book.ru.ac.th/e-book/m/ME504(54)/ME504-4.pdf https://www.satreephuket.ac.th/teacher_media/kru_nerisa/ma32204.p df https://tuemaster.com/blog/ https://www.tewlek.com/anet_expolog.html https://www.athometh.com/math/logarithm/