ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน

วิชวิาคณิตณิศาสตร์พื้ ร์ น พื้ ฐาน ค32102 ดอกเบี้ย บี้ และมูล มู ค่า ค่ ของเงิน งิ เสนอ คุณ คุ ครูทิ รู พทิวรรณ แซ่ข ซ่ อ

คำ นำ เทคโนโลยีสารสนเทศในหนังสือออนไลน์(e-book)ผู้จัดทำ จัดทำ ขึ้นเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาเรื่องต่างๆของดอก เบื้ยและมูลค่าของเงิน เช่น ดอกเบี้ยคงต้น ดอกเบี้ยทบต้น การคำ นวณอัตราดอกเบี้ยคงต้น การคำ นวณอัตราดอกเบี้ย ทบต้นเป็นต้นเพื่อให้นักศึษาและผู้ที่สนใจศึกษาค้นคว้ามีความรู้ และความเข้าใจเกี่ยวกับดอกเบี้ยมากยึ่งขึ้น ดอกเบี้ย มีความสำ คัญและจำ เป็นอย่างมากในชีวิตประจำ วัน ในปัจจุบันนี้ ผู้จัดจึงได้รวบรวมข้อมูลต่างๆเกี่ยวกับดอกเบี้ย จากแหล่งข้อมูลที่เกี่ยวข้องต่างๆของเทคโนโลยีสารสนเทศ เช่น อินเตอร์เน็ต เอกสาร เพื่อหวังว่าเทคโนโลยีสารสนเทศใน หนังสือออนไลน์ (e-book) จะเป็นแหล่งความรู้สำ หรับที่ผู้สนใจ ไม่มากก็น้อย คณะผู้จัดทำ

สารบัญ บั เรื่อง หน้า ความหมายของดอกเบี้ย ดอกเบี้ยคงต้น ตัวอย่างที่1 ตัวอย่างที่2 ดอกเบี้ยทบต้น ตัวอย่างที่1 มูลค่าปัจจุบันและอนาคต การคำ นวณมูลค่าปัจจุบันและคำ นวณมูลค่าอนาคต ตัวอย่างที่1 ค่างวด 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ดอกเบี้ย บี้ หมายถึง ถึ ? ผลตอบแทนที่เจ้าหนี้ได้รับตอบแทนจากการกู้ยืมหรือผลตอบแทนที่ได้ รับจากการนำ ไปลงทุน โดยมีเงินต้น (principle) คือจำ นวนเงินที่ฝาก หรือกู้ยืมไป และอัตราดอกเบี้ย (Interest rate) คือดอกเบี้ยที่เกิด จากเงินต้น หนึ่งหน่วยต่อเวลาของการกู้ยืม โดยปกติมีหน่วยเป็นบาท และ มีระยะเวลาของการคิดดอกเบี้ย (time) เป็นปี ดอกเบี้ย แบ่งออกได้เป็น 2 ประเภทที่สำ คัญในทางคณิตศาสตร์คือ 1.ดอกเบี้ยคงต้น 2.ดอกเบี้ยทบต้น

ดอกเบี้ยคงต้น หมายถึง ดอกเบี้ยที่คิดจากเงินต้นเริ่มเเรก โดยที่เงินต้นคงที่ตลอด ระยะเวลาการกู้ยืม มีสมการเเสดงความสัมพันธ์คือ ดอกเบี้ย = เงินต้น x อัตราดอกเบี้ย x ระยะเวลา 1.ดอกเบี้ยคงต้น กำ หนดให้ P เเทน เงินต้น r เเทน อัตราดอกเบี้ย t เเทน ระยะเวลา I เเทน จำ นวนดอกเบี้ย หรือ ค่าตอบเเทน จะได้ว่า I =P x R x t = P r t โดยที่เราสามารถคำ นวณเงินรวมได้จาก เงินรวม= เงินต้น+ดอกเบี้ย

วิธีคิด กำ หนดให้ P เเทน เงินต้น= 20,000 r เเทน อัตราดอกเบี้ย = 20% หรือ 20/100 ต่อปี t เเทน ระยะเวลา = 2 ปี I เเทน จำ นวนดอกเบี้ย หรือ ค่าตอบเเทน จากสูตร I = P r t จะได้ว่า I = 20,000 x 20% x 2 = 8,000 บาท ดังนั้น เราจะต้องจ่ายดอกเบี้ยให้กับเพื่อนเป็นเงิน 8,000 บาท ตัวอย่างที่1 สมมุตว่าเรากู้ยืมเงินจากเพื่อนเป็นจำ นวนเงิน 20,000บาท โดยเพื่อน ได้กำ หนดอ้ตราดอกเบี้ยเชิงเดียวในอัตรา 20% ต่อปี ถ้าเรากู้ยืมเงินไป เป็นระยะเวลา2ปั เราจ่ายดอกเบี้ยทั้งหมดเท่าไหร่

ตัวอย่างที่2 บริษัทกู้เงินจากธนาคารจำ นวน 900,000 บาท โดยจะต้องจ่าย ดอกเบี้ยเงินกู้แบบคงต้น 8.5% ต่อปี ถ้าธนาคารยอมให้บริษัทยัง ไม่ต้องจ่ายดอกเบี้ย โดยให้ผ่อนชำ ระเงินต้นอย่างเดียว แต่ต้อง จ่ายดอกเบี้ยดังกล่าวเมื่อครบ 2 ปี 6 เดือน อยากทราบว่า บริษัทแห่งนี้จะต้องจ่ายดอกเบี้ยเงินกู้เท่าใด เมื่อครบกำ หนด วิธีคิด กำ หนดให้ P แทน เงินต้น = 900,00บาท r แทน อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ต่อปี = 0.085 ต่อปี t แทน ระยะเวลา = 2 ปี I แทน จำ นวนปี = 2.5 จากสูตรจะได้ A = P(1 + rt) = 900,000(1+(0.085)(2.5)) = 900,000(1.2125) = 1,091,290 บาท ดังนั้น จำ นวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่ายกับธนาคารเมื่อครบ 2 ปี 6 เดือน คือ 1,091,290 - 900,000 เท่ากับ 191,250 บาท

P แทน เงินต้น r แทน อัตราดอกเบี้ยต่องวด n แทน จำ นวนงวดทั้งหมด Sn แทน เงินรวมปลายงวดที่ n จะได้ว่า Sn = ( 1 + I )n 2.ดอกเบี้ยทบต้น ดอกเบี้ยทบต้น หมายถึง ดอกเบี้ยที่คิดจากเงินต้นแรกรวม กับดอกเบี้ยที่ได้รับในแต่ละงวดที่ผ่านมา โดยมีการแบ่งระยะ เวลาในการคิดดอกเบี้ยออกเป็นงวด ๆ แล้วใช้เป็นเงินต้นใหม่ ในงวดถัดไป กำ หนดให้

วิธีคิด กำ หนดให้ P = 90,000, k = 4, r = 0.015 A = 90,000(1+0.015) = 90,000(1.06) = 95,400 บาท ดังนั้น เมื่อสิ้นปีที่ 4 สมชายมีเงินรวม 95,400 บาท ตัวอย่างที่1 โกสุ้ยฝากเงินกับธนาคารเป็นเงิน 90,000 บาท เป็น เวลา 4 ปี และธนาคารให้ดอกเบี้ยแบบทบต้นต่อปี โดยให้ ดอกเบี้ย 1.5% ต่อปี เมื่อสิ้นปีที่ 4 โกสุ้ยจะมีเงินรวม ทั้งหมดเท่าไร

คือ จํานวนเงินในอนาคตที่เกิดจากการเพิ่มขึ้นของมูลค่า เงินทุนในระยะเวลาหนึ่งด้วยดอกเบี้ยทบต้น (Compound Interest Rate) คือ จํานวนเงินในอนาคตที่ถูกปรับลดด้วยอัตราคิดลด (Discount Rate) เพื่อแปลงกลับเป็นมูลค่าปัจจุบัน มูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต มูลค่าปัจจุบัน (Present Value) มูลค่าอนาคต (Future Value)

การคำ นวณมูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต ถ้าลงทุน P บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย i % โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นปีละ k ครั้งเป็นเวลา n ปี กำ หนดให้ r = i แล้วเมื่อครบ n ปี เงินรวมที่ได้ คือ s = P 1+r เรียก S ว่า มูลค่าอนาคตของเงินต้น P ในทางกลับกัน จะเรียกว่า มูลค่าปัจจุบันของเงินรวม S ดังนั้น มูลค่าปัจจุบัน P ของเงินรวม S คือ P = S 1+r 100 ตัวอย่าง

ค่างวด ค่ า ง ว ด คื อ ย อ ด เ งิ น ที่ ต้ อ ง ผ่ อ น ชำ ร ะ แ ต่ ล ะ เ ดื อ น โ ด ย คำ น ว ณ จ า ก ย อ ด ว ง เ งิ น กู้ ( ย อ ด จั ด ) อั ต ร า ด อ ก เ บี้ ย แ ล ะ ร ะ ย ะ เ ว ล า ก า ร กู้ ถ้าการลงทุนจำ นวน 200,000 บาท แต่ต้องการให้มูลค่าเงินเพิ่มขึ้นเป็น 300,000 บาท ภายในเวลา 10 ปีจะต้องลงทุนในหน่วยลงทุนที่ให้ดอกเบื้ยเฉลี่ยกี่เปอร์เซ็นต์ต่อปี วิธีทำ มูลค่าเงินปัจจุบัน P = 200,000 มูลค่าเงินในอนาคต F = 300,000 ระยะ เวลาลงทุน 10 ปี จากสูตร F = P(1 + rt) จะได้ r = (F / P – 1) / t = (300000 / 200000 – 1) / 10 = 0.05 สรุปได้ว่าหากต้องการผลตอบแทนจากการลงทุน 200,000 บาทเป็น 300,000 บาทในระยะเวลา 10 ปีจะต้องเลือกหน่วยลงทุนที่ให้ดอกเบี้ยหรือผลกำ ไรเฉลี่ยร้อยละ 5% ต่อ ปี ถ้าต้องการวางแผนการลงทุนโดยกู้เงินจากกองทุนโดยสามารถจ่ายเข้ากองทุนได้ เดือนละ 5,000 บาทและผ่อนหมดภายในเวลา 2 ปี ถ้าอัตราดอกเบื้ยอยู่ที่ร้อยละ 20 ต่อปี จะสามารถกู้เงินได้เท่าไหร่ วิธีทำ เงินงวดละ pay = 5000 ต่อเดือน จำ นวนงวดคิดเป็น 12 งวดต่อปี ระยะเวลา t = 2 ปี จะได้ n = 24 โดยมีอัตราดอกเบี้ย 20 % r = 0.2 จาก pay = F / n จะได้ n x pay = P(1 + rt) ดังนั้น P = (n x pay) / (1 + rt) = (5000 x 24) / (1 + 0.2 x 2) = 85,715 สรุปได้ว่าสามารถกู้เงินจำ นวน 85,715 ในอัตราดอกเบื้ยร้อยละ 20 ต่อปีระยะ เวลาการผ่อนอยู่ที่ 2 ปี ผ่อนเดือนละ 5,000 บาท 1 2

ตัวอย่าง อันดาฝากเงิน 200 เข้าบัญชีธนาคารทุกต้นเดือน เป็น เวลา 3 ปี และได้รับดอกเบี้ย 6% ต่อปี ถ้าธนาคารคิด อัตราดอกเบี้ยทบต้นทุกเดือน เมื่อสิ้นปีที่ 3 อันดาจะได้รับ เงินรวมเท่าใด วิธีคิด กำ หนดให้ R = 200, n = 36, i = 6 , r = 0.5 = 0.005 จะได้ เงินรวม = 200(1.005) (1-(1.005) ) = 201((1.005) -1) 1- (1.005) 0.005 = 7,906.56 บาท ดังนั้น เมื่อสิ้นปีที่ 3 อันดาจะได้รับเงินรวมประมาณ 7,908.56 บาท

นางสาว กัลยรัตน์ กรายวงษ์ เลขที่15 นางสาว พิมพ์สุรีย์ เตียวตระกูล เลขที่25 นางสาว วรัญญา สมศักดิ์ เลขที่28 1. 2. 3. จัดทำ โดย ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5/10 โรงเรียนเฉลิมกระเกียรติสมเด็จพระศรีนครินทร์ ภูเก็ต