กิจกรรม “ยังบอกไดffไหม” ใหffนักเรียนทํากิจกรรมตอไปนี้ จงบอกชื่อมุมแตละมุม และสวนโค&งแตละสวนโค&งที่เกี่ยวข&องกับวงกลม O ดังนี้ 1. มุมที่จุดศูนย.กลาง คือ …………………………………………………… 2. มุมในครึ่งวงกลม คือ …………………………………………………… 3. มุมในสวนโค&งของวงกลม คือ …………………………………………………… 4. สวนโค&งที่รองรับมุมที่จุดศูนย.กลาง คือ …………………………………………………… 5. สวนโค&งที่รองรับมุมในครึ่งวงกลม คือ …………………………………………………… 6. สวนโค&งที่รองรับมุมในสวนโค&งของวงกลม คือ …………………………………………………… A O D B C วงกลม (circle) ม.3 7 คณิตศาสตร์ By ครูต้น
2.1 มุมในครึ่งวงกลม ทฤษฎีบทที่ 1 มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา หรือหนึ่งมุมฉาก พิสูจนทฤษฎีบทที่ 1 กําหนดใหff จุด O เปนจุดศูนย.กลางของวงกลม และ AB C เปนมุม ในครึ่งวงกลม ตffองการพิสูจนวา มีขนาด 90° หรือหนึ่งมุมฉาก พิสูจน A B O C A B O C A B O C วงกลม (circle) ม.3 8 คณิตศาสตร์ By ครูต้น AB C 2. มุมในครึ่งวงกลม มุมที่จุดศูนย์กลำงและ มุมในส่วนโค้งของวงกลม ลาก BO ข้อควำม เหตุผล 1. AO = BO = CO 1. รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน 2. OAB OBA ˆ = ˆ และ OBC OCB ˆ = ˆ 2. 3. o OAB OBA OBC OCB=180 ˆ + ˆ + ˆ + ˆ 3. 4. 2(OBA) 2(OBC)=180 ˆ + ˆ 4. 5. (OBA) (OBC)=90 ˆ + ˆ 5. 6. นั่นคือ ABC=90 ˆ 6. o o o
วงกลม (circle) ม.3 9 คณิตศาสตร์ By ครูต้น A B C ตัวอย่ำงที่ 1 ACB ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม และ BAC ˆ มีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของ ABC ˆ จงพิสูจน์ว่า o BAC30 ˆ พิสูจน์ ก าหนดให้ ACB ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม ABC 2(BAC) ˆ = ˆ ต้องการพิสูจน์ว่า BA ˆ C=30o ตัวอย่ำงที่ 2 AC และ BDเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พิสูจน์ ก าหนดให้ AC และ BDเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ต้องพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อควำม เหตุผล 1. o ACB= 90 ˆ 1. มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก 2. o CB 180 ˆ AC A ˆ BC B ˆ A 2. 3. o AC 90 ˆ BC B ˆ A 3. 4. ABC 2(BAC) ˆ = ˆ 4. 5. 3(ΒΑ ˆ Χ) = 90ο 5. 6. ดังนั่น o BAC=30 ˆ 6. ข้อควำม เหตุผล 1. AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง 1. ก าหนดให้ 2. AB ˆ C = AD ˆ C= 90o 2. 3. BDเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง 3. 4. BA ˆ D = BC ˆ D= 90o 4. 5. นั่นคือ สี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก 5. B A C D
วงกลม (circle) ม.3 10 คณิตศาสตร์ By ครูต้น ตัวอย่ำงที่ 3 จากรูปที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x และ y โดยก าหนดให้ o เป็นจุดศูนย์กลาง 1) 2) ตัวอย่ำงที่ 4 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม ACB ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม OD=70 และ ˆ A จงหาขนาดของ BC ˆO พร้อมทั้งแสดงเหตุผล x y O x y 40 O วิธีท ำ y = 90o เป็นมุมภายในครึ่งวงกลม y + x + ? = 180o มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้ 180o x = ? มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 90o + 2x = 180o แทนค่า ดังนั้น X = 45o วิธีท ำ x = ………. , y = ………. 70 D A B O C วิธีท ำ ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ของวงกลม ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------
วงกลม (circle) ม.3 11 คณิตศาสตร์ By ครูต้น ตัวอย่ำงที่ 5 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ o BAC=65 ˆจงหาขนาดของ ABC ˆ ตัวอย่ำงที่ 6 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม CD AB และ o BAC = 37 ˆจงหาขนาดของ BCD ˆ 37 D B A C วิธีท ำ ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- 65 A B O C วิธีท ำ ของ ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------
ตัวอยางที่ 7 จากรูป AB เปนเส&นผานศูนย.กลางของวงกลม O และ BAC 65 ˆ จงหาขนาดของ ABCˆ วิธีทํา ตัวอยางที่ 8 จากรูป AB เปนเส&นผานศูนย.กลางของวงกลม O และ ACO 35 ˆ จงหาขนาดของ OBCˆ วิธีทํา 65 A B O C ขffอความ เหตุผล ………………………………………………………..….. ……………………………………………………………. ……………………………………………….…………… ………………………………………………………..….. ……………………………………………………………. ……………………………………………….…………… ………………………………………………………..….. …………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………….....… ……………………………………………….…………………….....….. ………………………….....…..…………………………………………. ……………………………….....…..…………………………………… …………………………………….....…..……………………….……… ……………………….....…..……………………………………………. ขffอความ เหตุผล ………………………………………………………..….. ……………………………………………………………. ……………………………………………….…………… ………………………………………………………..….. ……………………………………………………………. ……………………………………………….…………… ………………………………………………………..….. …………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………….....… ……………………………………………….…………………….....….. ………………………….....…..…………………………………………. ……………………………….....…..…………………………………… …………………………………….....…..……………………….……… ……………………….....…..…………………………………………… 35 A B O C วงกลม (circle) ม.3 12 คณิตศาสตร์ By ครูต้น
แบบฝFกหัด 1 มุมในครึ่งวงกลม 1. จงหาขนาดของมุม x 1.1 1.2 ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... 1.3 1.4 ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ..................................................................... 1.5 1.6 ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... วงกลม (circle) ม.3 13 คณิตศาสตร์ By ครูต้น
วงกลม (circle) ม.3 14 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 2. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ABC ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม o BAC = 18 ˆและ OD //BC จงหาขนาดของ AD ˆ O วิธีท ำ 3. ก าหนดให้ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ ACB = ACD ˆ ˆ จงพิสูจน์ว่า AB = AD พิสูจน์ ข้อควำม เหตุผล ข้อควำม เหตุผล 18 D A B O C D A C B
วงกลม (circle) ม.3 15 คณิตศาสตร์ By ครูต้น วิธีท ำ ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- วิธีท ำ ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- 4.จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACB ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม ABC=55 ˆ และ OD // BC จงหาขนาดของ AMD ˆ 5. จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ o ACO=35 ˆ จงหาขนาดของ OBC ˆ 5. จากรูปที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x, y, q, r, s, u, t และ v โดยก าหนดให้ o เป็น ของวงกลม y x = ………. , y = ………. x O 35 A B O C 55o A O B D C M จุดศูนย์กลาง 1)
วงกลม (circle) ม.3 16 คณิตศาสตร์ By ครูต้น x = ………. , y = ………. q = ………. , r = ……… , s =………….. u = ………. , t = ……… , v =………….. x = ………. , y = ………. x y 25 O q s r 70 O v u t 50 O y x 55o O 2) 3) 4) 5)
2.2 มุมที่จุดศูนยกลางและมุมในสวนโคffงที่รองรับดffวยสวนโคffงเดียวกัน วงกลม (circle) ม.3 17 คณิตศาสตร์ By ครูต้น พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 2 ก าหนดให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมมี AOB ˆ เป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม และ ACB ˆ เป็นมุมในส่วนโค้ง รองรับด้วยส่วนโค้ง AB ต้องการพิสูจน์ว่า AOB 2(ACB) ˆ = ˆ พิสูจน์ ลาก CD ผ่านจุด O ข้อควำม เหตุผล 1. AO = CO 1. รัศมีของวงกลมเดียวกันมีขนาดเท่ากัน 2. CAO ACO ˆ = ˆ 2. มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน 3. DOA CAO ACO ˆ + ˆ = ˆ 3. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะมีขนาดเท่ากับ ผลบวกของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด 4. DOA 2(CAO) ˆ = ˆ 4. แทน CAO ˆ ด้วย ACO ˆ 5. DOB 2(BCO) ˆ = ˆ 5. ท านองเดียวกับข้อ 4 6. DOA DOB 2(ACO) 2(BCO) ˆ + ˆ = ˆ + ˆ 6. จากข้อ 4 ข้อ 5 และสมบัติการเท่ากัน 7. ดังนั้น AOB 2(ACO BCO) ˆ + ˆ = ˆ 2(ACB) ˆ = 7. จากข้อ 6 สมบัติการแจกแจง O C A B O C A B D O C B A O C A B ทฤษฎีบทที่ 2 ในวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนย.กลาง จะมีขนาดเปนสองเท าของขนาดของมุมในสวนโค&ง ของวงกลมที่รองรับด&วยสวนโค&งเดียวกัน
วงกลม (circle) ม.3 18 คณิตศาสตร์ By ครูต้น ตัวอย่ำงที่ 1 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACB ˆ เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลมและมีขนาดเท่ากับ 50o จงพิสูจน์ว่า OA ˆB = 40 O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACB ˆ เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม และมีขนาดเท่ากับ 50o ต้องการ พิสูจน์ว่า OAˆB = 40 พิสูจน์ ลากส่วนของเส้นตรง BO ข้อควำม เหตุผล 50o A O C B ก าหนดให้
วงกลม (circle) ม.3 19 คณิตศาสตร์ By ครูต้น ตัวอย่ำงที่ 2 จากรูป จงหาค่า x โดยก าหนดให้ O เป็นศูนย์กลางของวงกลม x 20o O C A B วิธีท ำ จากทฤษฎีบทที่ 2 จะได้ว่า x = 40 x =2(20 ) x = 2(ACB) ˆ ตัวอย่ำงที่ 3 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่ก าหนดให้ วิธีท ำ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. ตัวอย่ำงที่ 4 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่ก าหนดให้ วิธีท ำ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. x 70o O C A B x B A C
ตัวอยางที่ 6 จากรูป จุด O เปนจุดศูนย.กลางของวงกลม และ AOB 90 ˆ จงหาขนาดของ ACBˆ วิธีทํา ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ตัวอยางที่ 7 จากรูป จุด O เปนจุดศูนย.กลางของวงกลม และ OAB 35 ˆ จงหาขนาดของ ACBˆ วิธีทํา ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... B A O C 35 O B C A วงกลม (circle) ม.3 20 คณิตศาสตร์ By ครูต้น ตัวอย่ำงที่ 5 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่ก าหนดให้ วิธีท ำ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. 35o x B C A
ตัวอยางที่ 8 จากรูป จุด O เปนจุดศูนย.กลางของวงกลม และ ACB 100 ˆ จงหาขนาดของมุมตอไปนี้ 1. มุมกลับ AOB 2. AOBˆ 3. ADBˆ 4. ACB BDA ˆ ˆ 5. CAD DBC ˆ ˆ 100 O A D B C วงกลม (circle) ม.3 21 คณิตศาสตร์ By ครูต้น .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ˆ .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................
แบบฝFกหัด 2 มุมที่จุดศูนยกลาง วงกลม (circle) ม.3 22 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 1. จงหาขนาดของมุม x 1.1 1.2 ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... 1.3 1.4 ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ..................................................................... 1.5 1.6 ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ......................................................................
วงกลม (circle) ม.3 23 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 2. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ BA ˆC = 50จงหาขนาดของ OBC ˆและ ขนาดของ OCB ˆ วิธีท ำ 3. จากรูปที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x, y, a, และ b โดยก าหนดให้ o เป็นจุด ศูนย์กลางของวงกลม 1) 2) ข้อควำม เหตุผล 50 O B A C y x 230 O x 60 O x = ………. , y = ………. x = ……….
วงกลม (circle) ม.3 24 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 3) 4) 5) 6) 7) 8) y x 50 O 110 x y O 40 x O y x 98 O y x 40 O b a 35 O x = ………. a = ………. , b = ………. x = ………. , y = ………. x = ………. , y = ………. x = ………. , y = ………. x = ………. , y = ……….
วงกลม (circle) ม.3 25 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 2.3 มุมในสวนโคffงที่รองรับดffวยสวนโคffงเดียวกัน ทฤษฎีบทที่ 3 ในวงกลมเดียวกัน มุมในสวนโค&งของวงกลมที่รองรับด&วยสวนโค&งเดียวกันจะมีขนาดเทากัน O A B D C O A B D C O A B D C ตัวอยางที่ 1 จากรูป AB เปนเส&นผานศูนย.กลางของวงกลม O และBAC 28 ˆ จงหาขนาดของ ADCˆ วิธีทํา ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... 28 B O D A C
ตัวอยางที่ 2 จากรูป ABD 25 ˆ และ BDC 50 ˆ จงหาขนาดของ BXCˆ วิธีทํา ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... 50 25 X B C A D วงกลม (circle) ม.3 26 คณิตศาสตร์ By ครูต้น ตัวอยางที่ 3 จากรูป ABCD แนบในวงกลม O AC เปนเส&นผานศูนย.กลาง ACB 30 ˆ และ ABD 40 ˆ จงหาขนาดของ BDCˆ และขนาดของ CADˆ วิธีทํา ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... ........................................................................ ...................................................................... 40 30 A C O D B มี
วงกลม (circle) ม.3 27 คณิตศาสตร์ By ครูต้น แบบฝFกหัดที่ 3 มุมที่รองรับดffวยสวนโคffงเดียวกัน 1. จากรูปที่กําหนดใหffในแตละขffอตอไปนี้ จงหาคาตัวแปรที่แทนมุมตางๆ c = ………… , d = ………….. a = ………… , b = ………….. x = ………… , y = ………….. g = ……… , f = ………, e = ……… 2. จงแสดงวิธีทํา …..………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. ในวงกลม
2.4 มุมและสวนโคffงที่รองรับมุม ทฤษฎีบทที่ 4 ในวงกลมที่เทากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ&ามุมที่จุดศูนย.กลางมีขนาดเทากัน แล&วสวนโค&งที่รองรับมุมที่จุดศูนย.กลางนั้นจะยาวเทากัน ทฤษฎีบทที่ 5 ในวงกลมที่เทากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ&ามุมในสวนโค&งของวงกลมมีขนาด เทากัน แล&วสวนโค&งที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน ทฤษฎีบทที่ 6 ในวงกลมที่เทากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ&าสวนโค&งยาวเทากัน แล&วมุมที่ จุดศูนย.กลางที่รองรับด&วยสวนโค&งนั้นจะมีขนาดเทากัน วงกลม (circle) ม.3 28 คณิตศาสตร์ By ครูต้น O A B R P Q D C O A B O C A B A O C R D B D E F R P Q O A B B A O C D
ทฤษฎีบทที่ 7 ในวงกลมที่เทากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ&าสวนโค&งยาวเทากัน แล&วมุมในสวน โค&งของวงกลมที่รองรับด&วยสวนโค&งนั้นจะมีขนาดเทากัน วงกลม (circle) ม.3 29 คณิตศาสตร์ By ครูต้น A C O R B E D O F C A B ตัวอย่ำงที่ 1 จากรูปที่ก าหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า x วิธีท ำ จากรูป ข้อควำม เหตุผล 1. EAD = ECD ˆ ˆ 1. เป็นมุมที่อยู่บนส่วนโค้งเดียวกัน (ส่วนโค้ง ED) 2. EA ˆ D = 20 2. EC ˆ D = 20 ก าหนดให้ 3. x + EA ˆ D = 90 3. มุมในครึ่งวงกลม 4. x + 20 = 90 4. จากข้อ 3 5. นั่นคือ x = 70o ดังนั้น x = 70o 5. แก้สมการ 20o x O D A B E C
วงกลม (circle) ม.3 30 คณิตศาสตร์ By ครูต้น ตัวอย่ำงที่ 2 ก าหนดให้ CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ B เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง AC ถ้า ACD = 2BDC ˆ ˆ จงหาค่า x วิธีท ำ …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 2a a x B D A C กําหนดให& ABCD แนบในวงกลม BAD 98 ˆ และ ADC 85 ˆ จงหาขนาดของ ABCˆ และ ขนาดของ BCDˆ พร&อมทั้งแสดงเหตุผล วิธีทํา 98 85 O D C B A ตัวอย่ำงที่ 3 a
จากรูป กําหนดให& ACB 25 ˆ จงหาขนาดของ ADBˆ และขนาดของ AEBˆ พร&อมแสดงเหตุผล วิธีทํา จากรูป ABCD แนบในวงกลม O AC เปนเส&นผานศูนย.กลาง ACB 30 ˆ และ ABD 40 ˆ จงหาขนาดของ ˆ BDC และขนาดของ ˆ CAD วิธีทํา 25 A B C D E 40 30 A C O D B วงกลม (circle) ม.3 31 คณิตศาสตร์ By ครูต้น ตัวอย่ำงที่ 4 ตัวอย่ำงที่ 5 มี
แบบฝFกหัด 4 มุมและสวนโคffงที่รองรับมุม 1. จงหาขนาดของมุม x 1.1 1.2 2. จงหาขนาดของมุม HDJˆ 3. จงหาขนาดของมุม BHMˆ 4. หาคาของ m LD เมื่อ m TD 2.4 เซนติเมตร และ m RI 1.8 เซนติเมตร …..………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….. …..………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….. …..………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….. …..…………………………………………… ……………………………………………….. …..…………………………………………… ……………………………………………….. วงกลม (circle) ม.3 32 คณิตศาสตร์ By ครูต้น
วงกลม (circle) ม.3 33 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 2.จากรูปที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่าตัวแปรที่แทนมุมต่างๆ 1) 5) 2) 6) 3) 7) 4) 8) 20 40 c d h i 40 60 g f e 70 35 x y 100 68 x y 30 O x y 30 80 b a 60 50 c = ………. , d = ………. h = ………. x = ………. , y = ………. x = ………. , y = ………. a = ………. , b = ………. x = ………. , y = ………. 110o 5o 70o C A B D g = ……., f = ……., e =……… i = ………. , h = ………. ในวงกลม
วงกลม (circle) ม.3 34 คณิตศาสตร์ By ครูต้น ทฤษฎีบทที่ 8 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากับสองมุมฉาก แล้วรูปสี่เหลี่ยมนั้น แนบในวงกลมได้ ตัวอย่ำงที่ 1 จากรูปที่ก าหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า x วิธีท ำ เนื่องจาก 1) 2x + x = 180o ทฤษฎีบทที่ 8 2) 3x = 180o แก้สมการ ดังนั้น x = 60o 4 3 2 1 O x 2x O A B C D ตัวอย่ำงที่ 2 จากรูปที่ก าหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า x วิธีท ำ จากรูป 1) BAD = BDA ˆ ˆ มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน = 55 2) 55o+x=180 ทฤษฎีบทที่ 8 3) x =125 แก้สมการ ดังนั้น x =125 70o x O A B C D
วงกลม (circle) ม.3 35 คณิตศาสตร์ By ครูต้น แบบฝึกหัด 5 จากรูปที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่าตัวแปรที่แทนมุมต่างๆ 1) 2) 3) 4) 5) xyˆz =........ ,xwˆz=.......... e 75 f g 35 Y X Z W y x 78 O x = ………. c = ………. , d = ………. g = ………. , e = ………. , f = ………. x = ………. , y = ………. x 160o O D A C B 28 c d 52 O ในวงกลม
2.5 คอรด นักเรียนเคยทราบมาแล&ววา คอร.ดที่ไมใชเส&นผานศูนย.กลาง แตละเส&นจะแบงวงกลมออกเปนสองสวน คือ สวนโค&งน&อยและสวนโค&งใหญ ดังรูป เปนคอร.ด AB เปนสวนโค&งน&อยและ ACB เปนสวนโค&งใหญ ทฤษฎีบทที่ 9 ในวงกลมที่เทากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ&าคอร.ดสองคอร.ดยาวเทากัน แล&วคอร.ดทั้งสองจะตัดวงกลมทําให&สวนโค&งน&อยยาวเทากัน และสวนโค&งใหญยาวเทากัน AB วงกลม (circle) ม.3 36 คณิตศาสตร์ By ครูต้น
ทฤษฎีบทที่ 10 ในวงกลมที่เทากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ&าคอร.ดสองคอร.ดตัดวงกลม โค&งน&อยยาวเทากัน แล&วคอร.ดทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน 2.6 คอรดกับจุดศูนยกลางของวงกลม ใหffนักเรียนทํากิจกรรมตอไปนี้ 1. กําหนดให&จุด o เปนจุดศูนย.กลางของวงกลม OX ตั้งฉากกับคอร.ด AB ที่จุด X จงพิสูจน.วา OX แบงครึ่ง AB กําหนดใหff............................................................................................................................................................. ตffองการพิสูจนวา................................................................................................................................................. พิสูจน ขffอความ เหตุผล ………………………………………………………..….. ……………………………………………………………. ……………………………………………….…………… ………………………………………………………..….. ……………………………………………………………. ……………………………………………….…………… ………………………………………………………..….. ………………………………………………………..….. ……………………………………………………………. …………………………………………………………………………….....….. ……………………………………………………………………….....…..…. ……………………………………………….…………………….....…..…… ………………………….....…..…………………………………………..….. ……………………………….....…..…………………………………………. …………………………………….....…..……………………….…………… ……………………….....…..……………………………………………..….. …………………………………………………………………………….....….. ……………………………………………………………………….....…..…. วงกลม (circle) ม.3 37 คณิตศาสตร์ By ครูต้น ทําให&สวน
2. กําหนดให& จุด O เปนจุดศูนย.กลางของวงกลม OX แบงครึ่งคอร.ด AB ที่จุด X จงพิสูจน.วา OX ตั้งฉากกับ AB กําหนดใหff............................................................................................................................................................. ตffองการพิสูจนวา................................................................................................................................................. พิสูจน จากการพิสูจน.ข&างต&นเปนการพิสูจน.ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคอร.ดและจุดศูนย.กลางของวงกลมที่กลาวไว&ดังนี้ ทฤษฎีบทที่ 11 สวนของเส&นตรงซึ่งผานจุดศูนย.กลางของวงกลมและตัดคอร.ดที่ไมใชเส&นผานศูนย.กลาง จะมีสมบัติดังนี้ 1. ถ&าสวนของเส&นตรงตั้งฉากกับคอร.ด แล&วสวนของเส&นตรงนั้นจะแบงครึ่งคอร.ด 2. ถ&าสวนของเส&นตรงแบงครึ่งคอร.ด แล&วสวนของเส&นตรงนั้นจะตั้งฉากกับคอร.ด ขffอความ เหตุผล ………………………………………………………..….. ……………………………………………………………. ……………………………………………….…………… ………………………………………………………..….. ……………………………………………………………. ……………………………………………….…………… ………………………………………………………..….. ………………………………………………………..….. ……………………………………………………………. …………………………………………………………………………….....….. ……………………………………………………………………….....…..…. ……………………………………………….…………………….....…..…… ………………………….....…..…………………………………………..….. ……………………………….....…..…………………………………………. …………………………………….....…..……………………….…………… ……………………….....…..……………………………………………..….. …………………………………………………………………………….....….. ……………………………………………………………………….....…..…. วงกลม (circle) ม.3 38 คณิตศาสตร์ By ครูต้น
............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. แบบฝFกหัด 5 คอรดและจุดศูนยกลางของวงกลม จงแสดงวิธีทํา 1. วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี 10 เซนติเมตร AB เปนคอร.ดที่อยูหางจากจุดศูนย.กลาง 6 เซนติเมตร จงหาความยาว ของ AB .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. 2. คอร.ดของวงกลมวงหนึ่งยาว 24 เซนติเมตร อยูหางจากจุดศูนย.กลาง 5 เซนติเมตร จงหารัศมีของวงกลม วงนี้ 3. AB เปนคอร.ดของวงกลมวงหนึ่งยาว 10.4 เซนติเมตร ถ&าวงกลมวงนี้มีรัศมี 6.5 เซนติเมตร แล&วคอร.ด AB อยูหางจากจุดศูนย.กลางเทาไร .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. วงกลม (circle) ม.3 39 คณิตศาสตร์ By ครูต้น
ทฤษฎีบทที่ 12 เส&นตรงที่ตั้งฉากและแบงครึ่งคอร.ดของวงกลมจะผานจุดศูนย.กลางของวงกลมนั้น ทฤษฎีบทที่ 13 ในวงกลมวงเดียวกัน ถ&าคอร.ดสองเส&นยาวเทากัน แล&วคอร.ดทั้งสองนั้นจะอยูหางจากจุดศูนย.กลาง ของวงกลมเปนระยะเทากัน ในวงกลมวงเดียวกัน ถ&าคอร.ดสองเส&นอยูหางจากจุดศูนย.กลางของวงกลมเปนระยะเทากัน แล&ว คอร.ดทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน F E Y X B O A D C วงกลม (circle) ม.3 40 คณิตศาสตร์ By ครูต้น ทฤษฎีบทที่ 14
ตัวอยาง จากรูปจุด O เปนจุดศูนย.กลางของวงกลม AC = 18 เซนติเมตร BC = 6 เซนติเมตร และ OC = 13 เซนติเมตร จงหาวา AB อยูหางจากจุด O กี่เซนติเมตร วิธีทํา .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. วงกลม (circle) ม.3 41 คณิตศาสตร์ By ครูต้น
2.7 เสffนสัมผัสวงกลมและรัศมี นักเรียนเคยทราบมาแล&ววา เส&นสัมผัสวงกลมหรือเส&นตรง ที่ตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเทานั้นและเรียก จุดตัดวา จุดสัมผัส ดังรูป AB เปนเส&นสัมผัสวงกลม O และจุด C เปนจุดสัมผัส อาจกลาววา สวนหนึ่งสวน ใดของ AB ที่ผานจุด C เชน AB AB , AC , หรือ BC สัมผัส วงกลม O ที่จุด C ทฤษฎีบทที่ 15 เส&นสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส ทฤษฎีบทที่ 16 เส&นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุด ๆ หนึ่งบนวงกลม จะเปนเส&นสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น ทฤษฎีบทที่ 17 สวนของเส&นตรงที่ลากจากจุด ๆ หนึ่งภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมวงเดียวกัน จะยาว เทากันและมีได&สองเส&น O E F C D B A P O A B วงกลม (circle) ม.3 42 คณิตศาสตร์ By ครูต้น
ตัวอยาง กําหนดให& จุด O เปนจุดศูนย.กลางของวงกลม PA และ PB สัมผัสวงกลม O ที่จุด A และจุด B ตามลําดับ ACBˆ เปนมุมในสวนโค&งของวงกลม และ APB 54 ˆ จงหาขนาดของ ACBˆ ในข&อ 1) และ 2) 1) วิธีทํา .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. วงกลม (circle) ม.3 43 คณิตศาสตร์ By ครูต้น
2) วงกลม (circle) ม.3 44 คณิตศาสตร์ By ครูต้น วิธีทํา .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................
แบบฝFกหัด 6 เสffนสัมผัสวงกลมและรัศมี จงแสดงวิธีทํา 1. จากรูป AB สัมผัสวงกลม O ที่จุด A และ BAC 52 ˆ จงหาขนาดของ AOCˆ .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. 2. จากรูป BC สัมผัสวงกลม O ที่จุด B และ AOB 100 ˆ จงหาขนาดของ ABCˆ .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. วงกลม (circle) ม.3 45 คณิตศาสตร์ By ครูต้น
2.8 เสffนสัมผัสและคอรด ทฤษฎีบทที่ 18 มุมที่เกิดจากคอร.ดและเส&นสัมผัสของวงกลมที่จุดสัมผัส จะมีขนาดเทากับขนาดของมุมใน สวนโค&งของวงกลมที่อยูตรงข&ามกับคอร.ดนั้น ตัวอยาง 1. จากรูป DE เปนเส&นสัมผัสของวงกลมที่จุด B CBE 65 ˆ และ ABD 80 ˆ จงหาขนาดของ BACˆ และขนาดของ ACBˆ .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. 2. จากรูป AB และ AC สัมผัสวงกลมที่จุด B และจุด C ตามลําดับ และ BDC 68 ˆ จงหาขนาดของมุม BACˆ .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. วงกลม (circle) ม.3 46 คณิตศาสตร์ By ครูต้น
วงกลม (circle) ม.3 47 คณิตศาสตร์ By ครูต้น ให้นักเรียนแสดงวิธีท า พร้อมหาค าตอบ โจทย์ฝึกประสบการณ์ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มุม OBC = 55° x = กี่องศา วิธีทำ 1. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB ขนานกับ CD มุม ADB = 70° x = กี่องศา วิธีทำ 2. 3. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB ขนานกับ DO มุม ACB = 20° x = กี่องศา วิธีทำ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มุม ABD = 48° มุม BDC = 26° x + y = กี่องศา วิธีทำ 4.
วงกลม (circle) ม.3 48 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 5. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มุม OAB = 30° x = กี่องศา วิธีทำ 6. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มุม BOD = 36° x = กี่องศา วิธีทำ 7. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มุม ACB = 40° x = กี่องศา วิธีทำ 8. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มุม ACB = 120° x = กี่องศา วิธีทำ
วงกลม (circle) ม.3 49 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 9. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม CB ขนานกับ OA มุม AOB = 40° x = กี่องศา วิธีทำ 10. วิธีทำ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มุม AOB = 74° มุม OBC = 20° x = กี่องศา 11. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB เป็นเสน้ผา่นศนูยก์ลางของวงกลม AC ตัดกับ DB ที่จุด E มุม DOC = 30° x = กี่องศา วิธีทำ 12. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AC เป็นเสน้ผา่นศนูยก์ลางของวงกลม มุม CAB = 40° มุม DBC = 30° x = กี่องศา วิธีทำ
วงกลม (circle) ม.3 50 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 13. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มุม AOB = 30° มุม DOC = 40° x = กี่องศา วิธีทำ 14. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม BD เป็นเสน้ผา่นศนูยก์ลาง มุม DOC = 88° x = กี่องศา วิธีทำ 15. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม BC เป็นเสน้ผ่านศูนย์กลาง ตอ่เสน้ BC ออกไปถึง D OE = ED มุม BAE = 100° x = กี่องศา วิธีทำ 16. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มุม BCD = 120° x = กี่องศา วิธีทำ
วงกลม (circle) ม.3 51 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 17. AB = AC มุม BAC = 30° มุม ABD = 50° x = กี่องศา วิธีทำ 18. มุม EDF = 15° มุม ECB = 25° x = กี่องศา วิธีทำ 19. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม DB เป็นเสน้ผา่นศนูยก์ลาง มุม ADB = 44° มุม BAC = 28° มุม ACD = 46° x = กี่องศา วิธีทำ 20. มุม BDA = 40° มุม ADE = 34° มุม BCD = 120° x = กี่องศา วิธีทำ
วงกลม (circle) ม.3 52 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 21. มุม ADB = 60° มุม BAC = 20° มุม DBC = 40° x = กี่องศา วิธีทำ 22. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม BD เป็นเสน้ผา่นศนูยก์ลาง มุม BAE = 120° x = กี่องศา วิธีทำ 23. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มุม DAO = 20° มุม ABC = 126° x = กี่องศา วิธีทำ 24. ถ้า c + d = 140° แล ้ว b + e = กี่องศา วิธีทำ
วงกลม (circle) ม.3 53 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 25. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มุม DOC = 150° มุม x = กี่องศา วิธีทำ 26. เสน้ AB สมัผัสวงกลมที่ C เสน้ DE สมัผัสวงกลมที่ F GC = GF มุม CFE = 70° มุม x = กี่องศา วิธีทำ 27. เสน้ AB สมัผัสวงกลมที่ C เสน้ AD ตัดเสน้รอบวงที่ E มุม EAC = 80° มุม DCB = 100° มุม x = กี่องศา วิธีทำ
วงกลม (circle) ม.3 54 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 28. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AC เป็นเสน้ผา่นศนูยก์ลาง ตอ่เสน้ AC ออกไปถึง F AE ขนานกับ BC มุม AED = 75° มุม x = กี่องศา วิธีทำ 29. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB เป็นเสน้ผา่นศนูยก์ลาง CD สมัผัสวงกลมทจี่ดุ E มุม ACE = 30° มุม AED = 55° มุม x = กี่องศา วิธีทำ 30. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB เป็นเสน้ผา่นศนูยก์ลาง EF สมัผัสวงกลมทจี่ดุ D มุม DPB = 40° มุม x = กี่องศา วิธีทำ
วงกลม (circle) ม.3 55 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 31. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB เป็นเสน้ผา่นศนูยก์ลาง ตอ่เสน้ AB ออกไปถึง C DC สมัผัสวงกลมทจี่ดุ E มุม EAB = 40° มุม x = กี่องศา วิธีทำ 32.ED สมัผัสวงกลมทจี่ดุ F มุม AFB = มุม BFC มุม ABF = 115° มุม x = กี่องศา วิธีทำ 33. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB สมัผัสวงกลมที ่ จดุ C DB สมัผัสวงกลมทจี่ดุ E มุม CBE = 50° มุม x = กี่องศา วิธีทำ
วงกลม (circle) ม.3 56 คณิตศาสตร์ By ครูต้น 34. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB สมัผัสวงกลมทจี่ดุ C DE สมัผัสวงกลมที ่ จดุ F มุม CFD = 50° มุม x = กี่องศา วิธีทำ 35. AB สมัผัสวงกลมทจี่ดุ C AD สมัผัสวงกลมทจี่ดุ E EF ขนานกับ AB มุม EAC = 60° มุม x = กี่องศา วิธีทำ 36. AB สมัผัสวงกลมทจี่ดุ A CB สมัผัสวงกลมทจี่ดุ C มุม ADC = 120° มุม x = กี่องศา วิธีทำ