5/24/2021 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 4 6 –2 0 2 Y X x f (x) x f (x) นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม f (x) = 2 x x 4 − + x 2 1 x 2 1.0 4.000000 1.5 4.750000 1.8 5.440000 1.9 5.710000 1.95 5.852500 1.99 5.970100 1.995 5.985025 1.999 5.997001 2 x 2 3.0 10.000000 2.5 7.750000 2.2 6.640000 2.1 6.310000 2.05 6.152500 2.01 6.030100 2.005 6.015025 2.001 6.003001 0 1 2 3 4 x 2 x 2 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม f (x) = 2 x x 4 − + x 2 f (x) 6 x 2 lim f (x) → = 6หรือ 2 x 2 lim(x x 4) → − + = 6 ส าหรับฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจ านวนจริง ถ้าค่าของ f(x) เข้าใกล้จ านวนจริง L เมื่อ x เข้าใกล้ a ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ a แล้วจะเรียก L ว่า ลิมิตของ f ที่ a ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ และกล่าวว่า มีค่าเท่ากับ L x a lim f (x) L → = x a lim f (x) → ถ้าไม่มีจ านวนจริง L ซึ่ง f(x) เข้าใกล้ L เมื่อ x เข้าใกล้ a แล้วจะกล่าวว่า f ไม่มีลิมิตที่ a หรือกล่าวว่า ไม่มีค่า x a lim f (x) → Y X –2 0 2 4 2 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม g(x) = 1 เมื่อ x 0 0 เมื่อ x = 0 X Y f a L X Y f (a, f(a)) a L X Y f a L x a lim f (x) → = L f (a) = L x a lim f (x) → = L f (a) L x a lim f (x) → = L f (a)ไม่มีค่า x เข้าใกล้ 0 ทางซ้าย x < 0 x เข้าใกล้ 0 ทางขวา x > 0 g(0) = 0 x 0 lim g(x) → = 1 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ก าหนดให้ จงหา 2 โดยการสร้างตารางแสดงค่าของฟังก์ชัน x 1 f(x) x 1 − = − x 1 lim f (x) → 1 x1 x f (x) 0.5 0.666667 0.9 0.526316 0.99 0.502513 0.999 0.500250 0.9999 0.500025 2 x1 x f (x) 1.5 0.400000 1.1 0.476190 1.01 0.497512 1.001 0.499750 1.0001 0.499975 ดังนั้น x 1 lim f (x) 0.5 → = 0.5 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ก าหนดให้ จงพิจารณาว่า มีค่าหรือไม่ ถ้ามีค่า จงหาลิมิต 1 ; x 0 f(x) 1 ; x 0 = − x 0 lim f (x) → ดังนั้น Y X –3 0 3 1 –1 x 0 lim f (x) → ไม่มีค่า x เข้าใกล้0 ทางซ้าย f(x) เข้าใกล้–1 x เข้าใกล้0 ทางขวา f(x) เข้าใกล้1 x เข้าใกล้0 ทางซ้าย f(x) เข้าใกล้–1 x เข้าใกล้0 ทางขวา f(x) เข้าใกล้1 เรียก –1 ว่า ลิมิตซ้ายของฟังก์ชัน f x 0 lim f (x) 1 → − = − เรียก 1 ว่า ลิมิตขวาของฟังก์ชัน f x 0 lim f (x) 1 → + = x เข้าใกล้ 0 ทางซ้าย x < 0 x เข้าใกล้ 0 ทางขวา x > 0
5/24/2021 2 X Y 0 X Y 0 f นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม x a (a, L1 ) (x, f(x)) a x f (a, L2 ) (x, f(x)) 1 x a lim f (x) L → − = 2 x a lim f (x) L → + = ก าหนดให้ และ 1 x a lim f (x) L → − = 2 x a lim f (x) L → + = ถ้า แล้ว มีค่า และ L L 1 2 = x a lim f (x) → 1 2 x a lim f (x) L L → = = ถ้า แล้ว ไม่มีค่า L L 1 2 x a lim f (x) → นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน g ดังรูป X Y –2 0 2 2 6 1 2 3 1 2 g(2) x 2 lim g(x) → − = ไม่มีค่า 3 3 4 x 2 lim g(x) → + = x 2 lim g(x) → 1 ไม่มีค่า 5 g(5) = 1 6 x 5 lim g(x) → − = 2 7 x 5 lim g(x) → + = 2 8 x 5 lim g(x) → = 2 g นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ก าหนดให้ จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน f พร้อมทั้งหา 2 2x ; x 1 f(x) x 2 ; x 1 = + x 1 lim f (x) → − 1 f(1) 2 x 1 lim f (x) → 3 4 x 1 lim f (x) → + 3 0 3 y f (x) = 1 f(1) = 2 x 1 lim f (x) → − 2 = 3 x 1 lim f (x) → + 3 = 2 x 1 lim f (x) → − 4 ไม่มีค่า จงหา 3 x 5 lim x → 1 2 x 3 1 lim → 7 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ทฤษฎีบทที่ 1 x a lim c c → = ให้ a เป็นจ านวนจริง จะได้ว่า เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ n n x a lim x a → = เมื่อ n N = 1 7 = 3 5 = 125 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ทฤษฎีบทที่ 2 x a x a lim cf (x) clim f (x) cL → → = = ก าหนดให้ a, L และ M เป็นจ านวนจริงใด ๆ ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซต ของจ านวนจริง โดยที่ และ แล้ว เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ x a lim f (x) L → = x a lim g(x) M → = ( ) x a x a x a lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) L M → → → + = + = + ( ) x a x a x a lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) L M → → → − = − = − ( ) x a x a x a lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) L M → → → = = x a x a x a lim f (x) f (x) L lim g(x) lim g(x) M → → → = = เมื่อ M 0 ( ) n n n x a x a lim f (x) lim f (x) L → → = = เมื่อ n N n n n x a x a lim f (x) lim f (x) L → → = = เมื่อ n N {1} − n f (x) R ส าหรับ x ที่เข้าใกล้ a และ n L R นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา 2 x 5 lim(2x 3x 4) → − + 2 x 5 lim(2x 3x 4) → − + = 2 x 5 x 5 x 5 lim 2x lim3x lim 4 → → → − + = 2 x 5 2lim x → x 5 3lim x → − + 4 = 50 15 4 − + 2 5 = 255 = 39
5/24/2021 3 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา 3 2 x 2 x 2x 1 lim →− 5 3x + − − = 3 2 x 2 x 2x 1 lim →− 5 3x + − − 3 2 x 2 x 2 lim (x 2x 1) lim (5 3x) →− →− + − − = 3 2 x 2 lim (x 2x 1) →− + − 3 2 x 2 x 2 x 2 lim x lim 2x lim 1 →− →− →− + − = 3 ( 2) − 2 x 2 2 lim x →− + −1 = 2 − + − − 8 2( 2) 1 = −1 = x 2 lim (5 3x) →− − x 2 x 2 lim 5 lim 3x →− →− − = 5 x 2 3 lim x →− − = 5 3( 2) − − = 11 = 1 1 1− = 1 11 − นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา 2 4 x 2 lim(x 1) → − = 2 4 x 2 lim(x 1) → − ( ) 4 2 x 2 lim(x 1) → − = ( ) 4 2 x 2 x 2 lim x lim1 → → − = 4 3 2 2 = 4 1 = 81 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา 3 3 2 x 4 lim 3x 20x → + = 3 2 3 x 4 lim(3x 20x ) → + = 8 3 3 2 x 4 lim 3x 20x → + = 3 2 3 x 4 x 4 3lim x 20lim x → → + = 3 3 2 3 4 20 4 + = 3 192 380 + = 3 572 = 3 3 3 3 4 5 4 + 54 3 3 (3 5) 4 + = 3 48 = 42 = 8 จงหา 2 x 2 lim(x 5x 7) → − + นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ทฤษฎีบทที่ 3 ให้ p เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ a เป็นจ านวนจริงใด ๆ จะได้ว่า x a lim p(x) p(a) → = 2 x 2 lim(x 5x 7) → − + = 2 2 2 − + 5 7 = 1 จงหา 2 2 x 1 2x 3x 4 lim → x 4 − + − นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ทฤษฎีบทที่ 4 ให้ f เป็นฟังก์ชันที่ เมื่อ p และ q เป็นฟังก์ชันพหุนาม จะได้ว่า ส าหรับจ านวนจริง a ใด ๆ ที่ q(a) 0 x a p(a) lim f(x) → q(a) = = = 3−3 p(x) f(x) q(x) = 1 2 2 x 2x 3x 4 lim → x 4 − + − 2 2 2 3 4 1 1 1 4 − + − = −1 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา 2 x 1 x 1 lim → x 1 − − = 2 x 1 x 1 lim → x 1 − − x =1 x 1 x 1 lim → (x 1)(x 1) − − + = x 1 1 lim → x 1+ = 1 1+1 = 1 2 0
5/24/2021 4 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา 2 2 x 0 x 9 3 lim → x + − = x 0 2 1 lim x 9 3 → + + = 2 1 0 + + 9 3 = 1 6 2 0 2 x x 9 3 lim → x + − x = 0 0 2 2 x 9 3 x + − = 2 2 2 2 x 9 3 x 9 3 x x 9 3 + − + + + + = 2 2 2 2 2 x 9 3 x ( x 9 3) + − + + = 2 2 2 x 9 9 x ( x 9 3) + − + + ก าหนดให้ จงหา x 4 ; x 4 f (x) 8 2x ; x 4 − = − นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ในกรณีที่ และ มีค่า x a lim f(x) → − x a lim f(x) → + จะได้ว่า ก็ต่อเมื่อ x a lim f(x) L → = x a x a lim f(x) L lim f(x) → → − + = = x 4 lim f (x) → = = 8 − 2 4 4 x 4 x 4 8 2x − x 4 − x 4 lim f (x) → − x 4 lim (8 2x) → − − = 0 = = 4 − 4 x 4 lim f (x) → + x 4 lim 4 x → + − = 0 = x 4 lim f (x) → 0 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา x 1 x 1 lim →− x 1 + + = x1+ x1+ − + (x 1) x 1 − x 1 x 1 lim x 1 → − − + + x 1 (x 1) lim x 1 − →− − + + = x 1 lim ( 1) → − − − x 1 − = −1 = x 1 x 1 lim x 1 → + − + + x 1 x 1 lim x 1 → + − + + = x 1 lim 1 → + − = 1 x 1 x 1 lim →− x 1 + + ไม่มีค่า นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ แบบฝึกหัดลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า = 2 x 0 lim(3x 7x 12) → 1 + − 2 3 0 7 0 12 + − = −12 = 5 x 1 lim(x 2x) →− 2 − 5 1 2 1 − = −1 = 5 x 5 lim x (x 2) → 3 − 5 5 (5 2) − = 9,375 = 2 x 1 lim (x 3)(x 2) →− 4 + + 2 ( 1 3)[( 1) 2] − + − + = 6 = x 3 x 1 lim → 2x 5 + − 5 3 1 2 3 5 + − = 4 6 = x 5 (x 5)(x 5) lim →− x 5 − + + = −−5 5 = −10 = 2 x 1 x 1 lim → x x 2 + − − 7 = −2 2 1 1 1 1 2 + − − 2 x 5 x 25 lim →− x 5 − + 0 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ แบบฝึกหัดลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า = 2 2 x 1 x x 2 lim → x 4x 3 − − + + 1 2 2 1 1 2 1 4 1 3 − − + + = 2 8− = 1 4 − 2 = 0 x 1 1 x lim → 1 x − − x 1 1 x lim (1 x)(1 x) → − − + = 1 2 2 2 1 x − 3 = = 1 6 = 1 4 − 0 2 2 3 x − x 9 3 x lim → 9 x − − x 9 3 x lim (3 x)(3 x) → − − + นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ แบบฝึกหัดลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา = = 0 x 1 2 x 3 lim → x 1 − + − x 1 1 lim 2 x 3 → − + + 2 x 3 x 1 − + − = 2 x 3 2 x 3 x 1 2 x 3 − + + + − + + = 4 (x 3) (x 1)(2 x 3) − + − + + = 1 x (x 1)(2 x 3) − − + + = (x 1) (x 1)(2 x 3) − − − + + 1 2 1 3 − + + = 1 4 − x 1 2 x 3 lim → x 1 − + −
5/24/2021 5 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ แบบฝึกหัดลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา = = 3 2 2 x 0 lim (x 1) → − 3 2 2 x 0 lim (x 1) → − = = 1 3 2 2 x 0 lim (x 1) → − 3 2 2 (0 1) − 2 2 3 x 0 lim(x 1) → − 4 2 3 x 0 lim(x 2x 1) → − + = 3 4 2 0 2 0 1 − + = 1 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ แบบฝึกหัดลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา = x 4 lim x 4 →− + x 4 + x 4 + − + (x 4) x 4 − x 4 − x 4 lim x 4 →− − + x 4 lim [ (x 4)] →− − − + = 0 = x 4 lim x 4 →− + + x 4 lim (x 4) →− + + = 0 = x 4 lim x 4 →− + 0 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ แบบฝึกหัดลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา x 2 x 2 lim → x 2 − − x 2 − x2 − − − (x 2) x2 x2 = x 2 x 2 lim x 2 → − − − x 2 (x 2) lim x 2 → − − − − = x 2 lim ( 1) → − − = −1 = x 2 x 2 lim x 2 → + − − x 2 x 2 lim x 2 → + − − = x 2 lim 1 → + = 1 x 2 x 2 lim → x 2 − − ไม่มีค่า จงหา x 0 1 1 lim x x → − + นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ แบบฝึกหัดลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา x 4 x 4 lim x 4 →− − + + x 4 + x 4 − = x 4 x 4 lim x 4 →− − + + = x 4 lim ( 1) →− − − = −1 − + (x 4) x 4 (x 4) lim x 4 →− − − + + x x0 −x x 0 1 1 lim x x → − + = x 0 1 1 lim x x → − + − = x 0 1 1 lim x x → − − = x 0 lim 0 → − = 0 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ แบบฝึกหัดลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จงหา 2 3 x 2 2x 3x lim → 2x 3 − − 2x 3 − = 2 3 x 2 2x 3x lim 2x 3 − → − − 2x 3 − − − (2x 3) 3 x 2 3 x 2 3 x 2 (2x 3)x lim (2x 3) − → − − − = 3 x 2 lim ( x) − → − = 3 2 − = 2 3 x 2 2x 3x lim 2x 3 + → − − 3 x 2 (2x 3)x lim 2x 3 + → − − = 3 x 2 lim x + → = 3 2 2 3 x 2 2x 3x lim → 2x 3 − − ไม่มีค่า นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม X Y 0 a f 0 a Y X f พิจารณากราฟของฟังก์ชัน f ดังรูป หาค่าได้ x a lim f (x) → f (a) ไม่มีค่า หาค่าได้ x a lim f (x) → f (a) ไม่มีค่า หาค่าได้ x a lim f (x) → f (a) มีค่า X Y a f 0 f(a) L จะเรียกฟังก์ชัน f ทั้ง 3 รูปแบบนี้ว่าเป็น ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่ x = a
5/24/2021 6 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม พิจารณากราฟของฟังก์ชัน f ดังรูป หาค่าได้ x a lim f (x) → f (a) มีค่า X Y a f 0 f(a) = จะเรียกฟังก์ชัน f รูปแบบนี้ว่าเป็น ฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม บทนิยาม 1 ให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามบนช่วงเปิด (a, b) และ c (a, b) จะกล่าวว่า f เป็น ฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) ที่ x = c ก็ต่อเมื่อ x c lim f (x) f (c) → = จากบทนิยาม 1 การที่ f จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = c ต้องมีสมบัติครบทั้งสามข้อดังต่อไปนี้ 1 f(c) หาค่าได้ (นั่นคือ c อยู่ในโดเมนของ f ) 2 มีค่า x c lim f (x) → 3 x c lim f (x) f(c) → = นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ก าหนดให้ 2 x 4 ; x 2 f (x) x 2 3 ; x 2 − = − = 1 จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 2 หรือไม่ f (2) = 3 2 x 2 lim f (x) → = 2 x 2 x 4 lim → x 2− − = x 2 lim (x 2) → + = 4 2 x 4 x 2− − = (x 2)(x 2) x 2 − + − = x2 + 3 x 2 lim f (x) → f (2) ดังนั้น ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่ x = 2 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ก าหนดให้ 2 x 4 ; x 2 f (x) x 2 4 ; x 2 − = − = 1 จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 2 หรือไม่ f (2) = 4 2 x 2 lim f (x) → = 2 x 2 x 4 lim → x 2− − = x 2 lim (x 2) → + = 4 2 x 4 x 2− − = (x 2)(x 2) x 2 − + − = x2 + 3 x 2 lim f (x) → f (2) ดังนั้น ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = 2 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 f ( 1) − = −+11 2 x 1 lim f (x) →− − = x 1 lim [ (x 1)] →− − − + = x 1 lim ( x 1) →− − − − = 0 3 x 1 lim f (x) →− = f ( 1) − ดังนั้น ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = –1 ก าหนดให้f (x) x 1 = +จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = –1 หรือไม่ = 0 x 1 lim f (x) →− + = x 1 lim (x 1) →− − + = 0 x 1 lim f (x) →− = 0 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ทฤษฎีบท 5 ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a แล้ว f g + เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a f g −เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a fg เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a f g
5/24/2021 7 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ทฤษฎีบท 6 ส าหรับจ านวนจริง a ใด ๆ ฟังก์ชันพหุนาม p เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a ดังที่ได้ทราบมาแล้วจากทฤษฎีบท 3 ว่า ถ้า p เป็นฟังก์ชันพหุนาม แล้ว ส าหรับจ านวนจริง a ใด ๆ ดังนั้นจะได้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ x a lim p(x) p(a) → = โดยใช้ทฤษฎีบท 5 และ 6 จะสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน เมื่อ p และ q เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่ x = a ดังนี้ p q ทฤษฎีบท 7 ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่ เมื่อ p และ q เป็นฟังก์ชันพหุนาม แล้ว f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a เมื่อ a เป็นจ านวนจริงใด ๆ ซึ่ง q(a) 0 p(x) f (x) q(x) = นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม f (x) = ดังนั้น ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = 0 ก าหนดให้ จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 0 หรือไม่ 2 2 x 9 f (x) x 5x 6 − = − + 2 2 x 9 x 5x 6 − − + x = 0 2 0 0 − + 5 6 = 6 ไม่เท่ากับ 0 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องบนช่วง ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (a, b) ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุดในช่วง (a, b) 2 ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุดในช่วง (a, b) x a lim f (x) f (a) → + =และ x a lim f (x) f (b) → − = 3 ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (a, b] ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุดในช่วง (a, b) x a lim f (x) f (b) → − = 4 ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b) ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุดในช่วง (a, b) x a lim f (x) f (a) → + = นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องบนช่วง ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม c ( 3, 3) − ก าหนดให้ จงแสดงว่าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [–3, 3] 2 f (x) 9 x = − ให้ นั่นคือ −3 c 3 2 จะได้ c 9 2 9c − 0 2 ดังนั้น 9 c − 0 แสดงว่า f นิยามที่ c f (c) = 2 และ 9 c − x c lim f (x) → = 2 x c lim 9 x → − = 2 x c lim (9 x ) → − = 2 9 c − พบว่า = x c lim f (x) → f (c) ดังนั้น ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (–3, 3) นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องบนช่วง ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ก าหนดให้ จงแสดงว่าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [–3, 3] 2 f (x) 9 x = − f ( 3) − = 2 9 ( 3) − − = 0 = x 3 lim f (x) →− + 2 x 3 lim (9 x ) →− + − = 2 9 ( 3) − − = 0 จาก และ = x 3 lim f (x) →− + นั่นคือ f ( 3) − f (3) = 2 9 3 − = 0 = x 3 lim f (x) → − 2 x 3 lim (9 x ) → − − = 2 9 3 − = 0 จาก และ = x 3 lim f (x) → − นั่นคือ f (3) ดังนั้น ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [–3, 3] เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (–3, 3)และ x 3 lim f (x) f ( 3) →− + = −และ x 3 lim f (x) f (3) → − = นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องบนช่วง ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ก าหนดให้ จงพิจารณาว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่ 2 1 f (x) x 4 = − 1 ( , 2) − − 2 (2, 3] 1 ให้ c ( , 2) − − นั่นคือ c −2 2 จะได้ c 4 2 c 4 − 0 2 ดังนั้น c 4 − 0 แสดงว่า f นิยามที่ c f (c) = 2 1 c 4 − และ x c lim f (x) → = x c 2 1 lim x 4 → − = 2 x c 1 lim (x 4) → − = พบว่า = x c lim f (x) → f (c) ดังนั้น ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (–, –2) 2 1 c 4 −
5/24/2021 8 นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องบนช่วง ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ก าหนดให้ จงพิจารณาว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่ 2 1 f (x) x 4 = − 1 ( , 2) − − 2 (2, 3] 2 ให้ c (2, 3) นั่นคือ 2 c จะได้ 2 c 4 − 0 2 ดังนั้น c 4 − 0 แสดงว่า f นิยามที่ c และ f (c) = 3 4 2 c 9 2 1 c 4 − x c lim f (x) → = x c 2 1 lim x 4 → − = 2 x c 1 lim (x 4) → − = พบว่า = x c lim f (x) → f (c) ดังนั้น ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (2, 3) 2 1 c 4 − นายเสถียร วิเชียรสาร ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา Facebook เพจ : คณิตครูไอ ความต่อเนื่องบนช่วง ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แคลคูลัสเบื้องต้น คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ก าหนดให้ จงพิจารณาว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่ 2 1 f (x) x 4 = − 1 ( , 2) − − 2 (2, 3] 2 f (3) = = 1 5 = x 3 lim f (x) → − จาก และ = x 3 lim f (x) → − นั่นคือ f (3) ดังนั้น ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (2, 3] เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (2, 3)และ x 3 lim f (x) f (3) → − = 2 1 3 4 − x c 2 1 lim x 4 → − = 2 x 3 1 lim (x 4) → − − = 1 5