คณิตศาสตร์ ม.ปลาย พค 31001

หนงั สอื เรียนสาระความรูพ้ืนฐาน

รายวิชา คณิตศาสตร

พค31001

ระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย

(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2554)

หลกั สตู รการศกึ ษานอกระบบระดบั การศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน
พทุ ธศกั ราช 2551

สํานักงานสง เสรมิ การศกึ ษานอกระบบและการศึกษาตามอธั ยาศยั
สํานกั งานปลัดกระทรวงศกึ ษาธกิ าร
กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

2

หนงั สอื เรียนสาระความรูพน้ื ฐาน

รายวิชา คณติ ศาสตร พค31001

ระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย

ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. 2554

ลิขสิทธเ์ิ ปนของ สาํ นกั งาน กศน. สํานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ
เอกสารทางวิชาการลาํ ดับที่ 8/2555

3

สารบัญ 4

คาํ นํา หนา
สารบัญ 3
คําแนะนําการใชหนังสือ 4
โครงสรางวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย 5
บทที่ 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ 6
บทที่ 2 เลขยกกําลังที่มีเลขชกี้ ําลังเปนจํานวนตรรกยะ 7
บทที่ 3 เซต 21
บทที่ 4 การใหเ หตุผล 35
บทที่ 5 อตั ราสว นตรโี กณมิติและการนําไปใช 59
บทที6่ การใชเคร่ืองมือและการออกแบบผลิตภณั ฑ 71
บทที่ 7 สถิติเบ้ืองตน 95
บทที่ 8 ความนาจะเปน
บทที่ 9 การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ 120
151
170

5

คําแนะนําการใชแบบเรียน

หนังสือเรยี นสาระความรูพ ื้นฐาน รายวชิ า คณิตศาสตร (พค 31001) ระดับมัธยมศึกษา
ตอนปลาย เปน หนังสอื เรยี นทีจ่ ดั ทําขึน้ สําหรบั ผูเรยี นทเี่ ปนนกั ศึกษานอกระบบ

ในการศึกษาหนงั สอื เรยี นสาระความรพู ้นื ฐาน รายวชิ า คณติ ศาสตร ผเู รียนควร
ปฏิบัติดงั น้ี

1. ศึกษาโครงสรางรายวิชาใหเขาใจในหัวขอสาระสําคัญ ผลการเรียนรูที่คาดหวังและ
ขอบขายเนื้อหา

2. ศึกษารายละเอียดเนื้อหาของแตละบทอยางละเอียด และทํากิจกรรมตามที่กําหนด
แลว ตรวจสอบกบั แนวตอบกจิ กรรมที่กําหนด ถาผูเรยี นตอบผดิ ควรกลบั ไปศกึ ษา
และทําความเขาใจในเน้ือหานั้นใหมใหเ ขาใจกอนที่จะศกึ ษาเรื่องตอ ไป

3. ปฏิบัตกิ จิ กรรมทายเร่ืองของแตละเรื่อง เพื่อเปนการสรุปความรูความเขาใจของ
เนือ้ หาในเรอ่ื งนนั้ ๆอีกคร้งั และการปฏบิ ตั กิ ิจกรรมของแตละเน้อื หาในแตล ะเร่ือง
ผเู รียนสามารถนําไปตรวจสอบกับครแู ละเพื่อนๆทร่ี วมเรียนในรายวชิ าและระดับ
เดยี วกนั ได

แบบเรยี นเลมนี้มี 9 บท คือ
บทที่ 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ
บทที่ 2 เลขยกกําลังที่มีเลขชกี้ ําลังเปนจํานวนตรรกยะ

บทที่ 3 เซต
บทที่ 4 การใหเหตผุ ล
บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกนมิติและการนําไปใช
บทท6ี่ การใชเคร่ืองมือและการออกแบบผลติ ภัณฑ
บทที่ 7 สถติ เิ บื้องตน
บทที่ 8 ความนาจะเปน

บทที่ 9 การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ

6

โครงสรางรายวชิ าคณติ ศาสตร
ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย

สาระสําคัญ
มีความรคู วามเขา ใจเกีย่ วกบั จํานวนและตวั เลข เศษสว น ทศนิยมและรอยละ

การวดั เรขาคณิต สถิติ และความนาจะเปน เบือ้ งตน

ผลการเรยี นรทู ค่ี าดหวัง
1. ระบหุ รือยกตวั อยา งเก่ียวกับจํานวนและตวั เลข เศษสว น ทศนิยมและรอ ยละ
การวัด เรขาคณิต สถติ ิ และความนาจะเปน เบื้องตนได
2. สามารถคิดคํานวณและแกโจทยปญหาเกี่ยวกับจํานวนนับเศษสวน ทศนิยม
รอยละ การวัด เรขาคณติ ได

ขอบขา ยเน้ือหา
บทที่ 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ

บทที่ 2 เลขยกกําลังที่มีเลขชกี้ ําลังเปนจํานวนตรรกยะ

บทที่ 3 เซต

บทที่ 4 การใหเหตุผล

บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกนมิติและการนําไปใช

บทที6่ การใชเครื่องมือและการออกแบบผลติ ภัณฑ

บทที่ 7 สถติ เิ บอ้ื งตน

บทที่ 8 ความนาจะเปน

บทที่ 9 การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ

สื่อการเรียนรู
1. ใบงาน
2. หนังสอื เรยี น

7

บทท่ี 1

จาํ นวนและการดําเนินการ

สาระสําคัญ
1. โครงสรางของจํานวนจริงประกอบไปดวย จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ และ
จาํ นวนเตม็
2. สมบัติของจํานวนจรงิ ทีเ่ กยี่ วกบั การบวกและการคณู ประกอบไปดว ยสมบตั ปิ ด
สมบัติการเปลยี่ นกลมุ สมบตั ิการสลบั ที่ การมีอนิ เวอรส การมีเอกลักษณและสมบัติ
การแจกแจง
3. สมบัติการเทากันจะใชเครื่องหมาย “=” แทนการมีคาเทากัน
4. สมบัติการไมเทากันจะใชเครื่องหมาย “ ≠ , < , >, ≤ , ≥”
5. คาสมั บรู ณใชส ญั ลักษณ “ | |” แทนคาสัมบูรณซ่งึ
x ถา x >0
x = 0 ถา x = 0
- x ถา x < 0

ผลการเรยี นรูทค่ี าดหวงั
1. แสดงความสัมพันธของจํานวนตาง ๆ ในระบบจํานวนจริงได
2. อธิบายความหมายและหาผลลัพธที่เกิดจากการบวก การลบ การคณู การหารจาํ นวน
จรงิ ได
3. อธิบายสมบัตขิ องจํานวนจริงท่เี ก่ียวกับการบวก การคูณ การเทากนั การไมเทากนั
และนาํ ไปใชไ ด
4. อธิบายเกี่ยวกับคาสัมบูรณของจํานวนจริงและหาคาสมบูรณของจํานวนจริงได

ขอบขา ยเน้ือหา
เรื่องที่ 1 ความสัมพันธของระบบจํานวนจริง
เรื่องท่ี 2 สมบตั ขิ องการบวก การลบ การคูณ และการหารจาํ นวนจริง
เรื่องท่ี 3 สมบัติการไมเทากัน
เร่ืองที่ 4 คา สมั บรู ณ

8

เรื่องที่ 1 ความสมั พันธข องระบบจํานวนจริง

1.1. โครงสรา งของจาํ นวนจรงิ
จาํ นวนจรงิ

จาํ นวนอตรรกยะ จาํ นวนตรรกยะ

จาํ นวนท่ีเขยี นใน ทศนิยม จาํ นวนเตม็ ทศนิยมซํา้ เศษสว น
ไมร จู บไมซ้ํา
รูปของกรณฑ
หรือเรียกวา จาํ นวนนบั หรือ ศนู ย จาํ นวน
รากหรือรูต จาํ นวนเตม็ บวก เตม็ ลบ

จาํ นวนจรงิ ( Real number ) ประกอบดวยจาํ นวนตรรกยะและจาํ นวนอตรรกยะ
1. จาํ นวนตรรกยะ ( Rational number ) ประกอบดว ย จาํ นวนเตม็ ทศนยิ มซาํ้ และเศษสว น

1. จาํ นวนเตม็ ซึ่งแบงเปน 3 ชนิด คอื
1.1 จาํ นวนเตม็ บวก (I+) หรอื จาํ นวนนบั (N)
∴ I+ = N = {1, 2, 3, …}
1.2 จาํ นวนเตม็ ศูนย มีจํานวนเดยี ว คอื {0}
1.3 จาํ นวนเตม็ ลบ (I-)
∴ I- = {-1, -2, -3, …}

2. เศษสว น เชน 3 , 3 3 , - 5 เปนตน

4 47

3. ทศนยิ มซา้ํ เชน 0.6 , 0.12 , 0.532
2. จาํ นวนอตรรกยะ ( irrational number ) คือจํานวนที่ไมใชจ าํ นวนตรรกยะ เขยี นไดใ นรปู
ทศนยิ มไมซ้ํา เชน 2 มคี า เทา กบั 1.414213…

3 มีคา เทากบั 1.7320508…
π มคี าเทากับ 3.14159265…
0.1010010001… มีคาประมาณ 1.101

9

แบบฝกหดั ที่ 1
1.จาํ นวนทก่ี าํ หนดใหต อไปนจ้ี าํ นวนใดเปน จาํ นวนนบั จํานวนเตม็ จํานวนตรรกยะ หรือ

จาํ นวนอตรรกยะ

ขอ จาํ นวนจรงิ จาํ นวนนบั จาํ นวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ

1) − 9,− 7 ,5 2 , 2,0,1
23

2) 5,−7 7 ,3,12, 5
34

3) 2.01,0.666...,-13 ,

4) 2.3030030003...,

5) − π ,− 1 , 6 , 2 ,−7.5
33 2

6) 25,−17,− 12 , 9,3,12, 1 π
52

2. จงพจิ ารณาวา ขอความตอ ไปนี้เปนจริงหรอื เท็จ
1) 0.001001001001…เปน จํานวนตรรกยะ
2) 0.110110110110… เปน จํานวนตรรกยะ
3) 0.767667666766667… เปน จาํ นวนตรรกยะ
4) 0.59999…. เปน จาํ นวนตรรกยะ
5) 0 เปน จาํ นวนจรงิ
6) จาํ นวนทเ่ี ขยี นไดในรปู ทศนยิ มซํา้ ไมเปนจํานวนตรรกยะ

10

2. สมบตั กิ ารบวก การลบ การคณู และการหารจาํ นวนจรงิ

สมบัติของจํานวนจริง คือ การนําจํานวนจริงใด ๆ มากระทาํ ตอ กันในลักษณะ เชน

การบวก การลบ การคูณ การหาร หรือกระทําดวยลกั ษณะพเิ ศษทก่ี าํ หนดข้นึ แลวมีผลลัพธท ี่
เกิดข้ึนในลกั ษณะหรือทาํ นองเดยี วกนั สมบัตทิ ่ีใชใ นการบวก การลบ การคูณ และการหาร มีดังน้ี

2.1 สมบตั ิการเทา กันของจาํ นวนจริง กาํ หนด a, b, c เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ

สมบัติการสะทอน a=a

สมบัติการสมมาตร ถา a = b แลว b = a

สมบัติการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c

สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากันทั้งสองขาง ถา a = b แลว a + c = b + c

สมบัติการคูณดวยจาํ นวนที่เทา กนั ท้งั สองขาง ถา a = b แลว ac = bc

2.2 สมบัติการบวกและการคูณในระบบจาํ นวนจรงิ เมอ่ื กําหนดให a, b และ c เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ
2.2.1 สมบตั ิการบวก

สมบัติปด ถา a ∈R และ b ∈R แลว a + b ∈ R

สมบัติการสลับที่ a+b= b+a

สมบตั กิ ารเปลยี่ นกลมุ a + (b + c) = (a + b) + c

สมบัติการมีเอกลกั ษณการบวก คือ 0 0+a = a+0 = a
สมบัติการมีอินเวอรสการบวก
a มีอนิ เวอรสการบวก คอื − a และ

− a มีอนิ เวอรส การบวก คอื a

จะได a + (−a) = (−a) + a = 0

นั่นคือจํานวนจริง a จะมี − a เปน

อนิ เวอรส ของการบวก

2.2.2 สมบตั ิการคณู ถา a ∈R และ b ∈R แลว ab ∈ R
สมบัติปด ab = ba
สมบัติการสลับที่ a(bc) = (ab)c
สมบัตกิ ารเปลี่ยนกลุม 1. a = a .1 = a
สมบัติการมีเอกลักษณการบวก คือ 1
สมบัติการมอี ินเวอรส การคูณ a มีอินเวอรสการคณู คือ 1 และ

(ยกเวน 0 เพราะ 1 ไมมีความหมาย) a

0 1 มอี นิ เวอรสการคณู คือ a

a

11

สมบตั กิ ารแจกแจง จะได a  1  =  1 a = 1 ; a ≠ 0

a a

น่ันคือ จํานวนจริง a จะมี 1 เปน

a

อินเวอรสการคณู

a(b + c) = ab + ac

(b + c)a = ba + ca

จากสมบัติของจํานวนจริงสามารถใชพิสูจนทฤษฎีบทตอไปนไ้ี ด
ทฤษฎบี ทท่ี 1 กฎการตดั ออกสาํ หรบั การบวก
เมอ่ื a, b, c เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ
ถา a + c = b + c แลว a = b

ถา a + b = a + c แลว b = c
ทฤษฎบี ทท่ี 2 กฎการตัดออกสาํ หรับการคูณ

เมอ่ื a, b, c เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ
ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b

ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c
ทฤษฎบี ทท่ี 3 เมอื่ a เปน จาํ นวนจริงใดๆ

a·0=0
0·a=0
ทฤษฎบี ทท่ี 4 เมือ่ a เปน จาํ นวนจริงใดๆ
(-1)a = -a
a(-1) = -a
ทฤษฎีบทท่ี 5 เม่อื a, b เปน จาํ นวนจริงใดๆ
ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0
ทฤษฎบี ทท่ี 6 เม่อื a เปน จาํ นวนจริงใดๆ
a(-b) = -ab
(-a)b = -ab
(-a)(-b) = ab

12

การลบและการหารจาํ นวนจรงิ
• การลบจาํ นวนจรงิ

บทนิยาม เมอ่ื a, b เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ
a - b = a + (-b)

น่นั คือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอรสการบวกของ b
• การหารจาํ นวนจรงิ

บทนิยาม เมอ่ื a, b เปน จาํ นวนจริงใดๆ เมือ่ b ≠ 0
a = a( b−1)

b

นน่ั คอื a คอื ผลคูณของ a กับอินเวอรสการคูณของ b

b

13

แบบฝกหดั ท่ี 2

1. ใหผเู รียนเตมิ ชองวางโดยใชสมบตั กิ ารเทากนั
1. ถา a = b แลว a +5 = ………………………………………………………..……………

2. ถา a = b แลว -3a = …………………………………………………………………..…

3. ถา a + 4 = b + 4 แลว a =……………………………………………………….…………

4. ถา a +1 = b +2 และ b +2 = c -5 แลว a +1………………………………….…..………

5. ถา x2 + 2x +1 = (x +1)2 แลว (x +1)2 = .……………………………………………

6. ถา x = 3 y แลว 2x = ………………………………………………………….…………

2

7. ถา x2 +1 = 2x แลว (x −1)2 = ……………………………………………….….………

8. ถา ab = a + b แลว 1 (ab)= ……………………………………………….………….

2

2. กาํ หนดให a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ จงบอกวาขอความในแตละขอตอไปนี้เปนจริงตาม
สมบัติใด

1) 3 + 5 = 5 + 3
2) (1+2)+3 = 1+(2+3)
3) (-9)+5 = 5 +(-9)
4) (8 X 9) เปน จาํ นวนจรงิ
5) 5 X 3 = 15 = 3 X 5
6) 2(a+b) = 2a +2b
7) (a + b) + c = a+( b + c)
8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a
9) 4 X (5 + 6) = (4 X 5) + (4 X 6)
10) c(a +b) = ac +bc
3 . เซตท่ีกาํ หนดใหในแตล ะขอตอไปนี้ มีหรอื ไมม ีสมบัตปิ ด ของการบวกหรือสมบัติปดของการคูณ
1) { 1 , 3 , 5 }
2) { 0 }
3) เซตของจาํ นวนจรงิ
4) เซตของจาํ นวนตรรกยะ
5) เซตของจาํ นวนทห่ี ารดว ย 3 ลงตวั

14

4. จงหาอินเวอรสการบวกของจํานวนจรงิ ในแตล ะขอ ตอไปน้ี
1) อินเวอรสการบวกของ 8
2) อนิ เวอรส การบวกของ - 5
3) อนิ เวอรส การบวกของ - 0.567
4) อนิ เวอรส การคณู ของ 3 − 2

5) อนิ เวอรสการคณู ของ 1

5− 3

15

3. สมบัตกิ ารไมเ ทา กัน

ใหผ เู รยี นทบทวนเรอ่ื งสมบตั ิการเทา กนั ในเร่ืองท่ีผา นมาเพ่อื เปนความรูเพิ่มเติม สว นใน
เร่ืองน้จี ะเนน เร่ืองสมบัติการไมเ ทากันเทา น้นั

ประโยคคณิตศาสตรจะใชสัญลกั ษณ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนการไมเทากัน เรยี กการไมเทากนั
วา “อสมการ” (Inequalities)

บทนิยาม a < b หมายถงึ a นอ ยกวา b
a > b หมายถงึ a มากกวา b

กาํ หนดให a, b, c เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ
1. สมบัติการถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c
2. สมบตั กิ ารบวกดว ยจํานวนทีเ่ ทา กัน ถา a > b แลว a + c > b+ c
3. จาํ นวนจรงิ บวกและจาํ นวนจรงิ ลบ
a เปนจํานวนจริงบวก กต็ อเม่ือ a > 0
a เปนจํานวนจริงลบ ก็ตอเม่อื a < 0
4. สมบตั กิ ารคณู ดวยจาํ นวนเทากนั ทไี่ มเ ทา กับศูนย
กรณีท่ี 1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc
กรณที ี่ 2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc
5. สมบัติการตัดออกสาํ หรบั การบวก ถา a + c > b + c แลว a > b
6. สมบัตกิ ารตดั ออกสําหรบั การคณู
กรณีท่ี 1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b
กรณีที่ 2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b

บทนิยาม a≤b หมายถึง a นอยกวาหรอื เทากับ b
a≥b หมายถึง a มากกวาหรือเทากับ b
a<b<c หมายถึง a < b และ b < c
a≤b≤c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

16

ชว ง (Interval)
ชวง หมายถึง เซตของจํานวนจริงท่ีเปนสวนใดสวนหนึง่ ของเสน จาํ นวน
3.1 ชว งของจาํ นวนจรงิ กาํ หนดให a, b เปน จาํ นวนจรงิ และ a < b

1. ชวงเปด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b }
2. ชวงปด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }
3. ชวงครึ่งเปด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b }
4. ชวงครึ่งเปด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b}
5. ชวง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a}
6. ชวง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a}
7. ชวง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a}
8. ชวง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}

17

แบบฝกหัดท่ี 3

1. ใหผ ูเ รียนบอกสมบตั กิ ารไมเ ทากัน (เม่ือตวั แปรเปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ)
1. ถา x < 3 แลว 2x <6 ………………………………………………………………..
2. ถา y>7 แลว -2y < 14 ………………………………………………………………..
3. ถา x+1 > 6 แลว x+2 > 7 …………………………………………………………..
4. ถา y+3 < 5 แลว y< 2 ………………………………………………………………
5. ถา x< 7 และ 7< y แลว x<y ……………………………………………………….
6. ถา a > 0 แลว a+1 > 0 +1 ………………………………………………………….
7. ถา b< 0 แลว b + (-2) < 0+(-2) ……………………………………………………
8. ถา c> -2 แลว (-1)c < (-1)(-2) …………………………………………………….

2. จงใชเสนจํานวนแสดงลักษณะของชวงของจํานวนจริงตอไปนี้
1) (2,7)

2) [3,6]

3) [-1,5)

4) (-1,4]

18

5) (2, ∞ )
6) (- ∞ ,4)
7) (0,8)
8) [-5,4)

19

4. คา สมบรู ณ

คา สัมบรู ณข องจํานวนจรงิ หมายถงึ ระยะหา งจากจดุ ศูนยบ นเสนจํานวน พิจารณาคา
สมั บรู ณข อง 4 และ -4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
4 อยูหา งจาก 0 4 หนวย คาสมั บูรณข อง 4 คือ 4
- 4 อยหู า งจาก 0 4 หนวย คาสัมบูรณของ -4 คอื 4
น่ันคอื คา สัมบูรณของจาํ นวนจรงิ ใดๆ ตองมีคา มากกวา หรือเทากับศนู ยเ สมอ
สัญลกั ษณแ ทนคา สมั บรู ณคือ | | เชน คาสมั บรู ณของ 4 คือ |4| คาสัมบูรณของ – 4 คือ |-4|

บทนยิ าม กาํ หนดให a เปน จํานวนจรงิ

4.1 สมบตั ิของคา สมั บรู ณ
1. | x | = | -x |
2. | xy | = | x||y |
3. x = x

yy

4. | x - y | = | y - x |
5. | x |2 = x2
6. | x + y | ≤ | x | +| y |

6.1 ถา xy > 0 แลว | x + y | = | x | + | y |
6.2 ถา xy < 0 แลว | x + y | < | x | + | y |
7. เมอ่ื a เปน จาํ นวนจรงิ บวก
| x | < a หมายถึง -a < x < a
| x | ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
8. เมอ่ื a เปน จาํ นวนจรงิ บวก
| x | > a หมายถึง x < -a หรือ x > a
| x | ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรอื x ≥ a

20

1) | x | ≥ 2 แบบฝก หัดท่ี 4

เซตคําตอบของอสมการ คือ ...........................................................................................................

-3 < X < 3
เซตคําตอบของอสมการ คือ..............................................................................................................

เซตคําตอบของอสมการ คือ.............................................................................................................

-x ≤ -3 -2 หรอื -x ≥ -3 -2
-x ≤ -5 หรอื –x ≥ 1
-x ≥ 5 หรือ x ≤ -1
เซตคําตอบของอสมการ คือ.............................................................................................................

21

บทท่ี 2

เลขยกกําลังทีม่ เี ลขชก้ี าํ ลงั เปนจาํ นวนตรรกยะ

สาระสําคัญ อา นวา a ยกกาํ ลงั n โดยมี a เปน ฐาน และ n เปนเลขช้กี ําลงั
1.

2. อานวา กรณฑท ่ี n ของ a หรืออา นวา รากท่ี n ของ a

3. จํานวนจรงิ ที่อยใู นรปู เลขยกกําลังทีม่ เี ลขชก้ี ําลังเปน จํานวนตรรกยะจะมีความสมั พันธกบั

จํานวนจริงท่ีอยใู นรปู ของกรณฑหรอื ราก ( root ) ตามความสัมพันธดังตอไปนี้

และ
4. การบวก ลบ คณู หาร จํานวนท่ีมีเลขชกี้ าํ ลังเปนจาํ นวนตรรกยะโดยใชบทนิยามการบวก

ลบ คูณ หาร เลขยกกาํ ลังของจํานวนเตม็

ผลการเรยี นรทู ่คี าดหวัง
1. อธิบายความหมายและบอกความแตกตางของจํานวนตรรกยะและอตรรกยะได
2. อธบิ ายเกยี่ วกบั จาํ นวนจรงิ ที่อยูในรูปเลขยกกําลงั ท่มี เี ลขชกี้ ําลังเปนจํานวนตรรกยะ และ
จํานวนจรงิ ในรปู กรณฑไ ด
3. อธิบายความหมายและหาผลลัพธท เี่ กิดจากการบวก การลบ การคณู การหาร จํานวนจรงิ ท่ี
อยูในรูปเลขยกกาํ ลังทีม่ ีเลขชกี้ ําลังเปนจํานวนตรรกยะ และจํานวนจรงิ ในรปู กรณฑได

ขอบขา ยเน้ือหา
เร่ืองที่ 1 จํานวนตรรกยะและอตรรกยะ
เร่ืองท่ี 2 จาํ นวนจรงิ ในรปู กรณฑ
เร่ืองที่ 3 การบวก การลบ การคูณ การหาร จํานวนทม่ี ีเลขชกี้ ําลังเปนจํานวนตรรกยะและ
จํานวนจรงิ ในรูปกรณฑ

22

เร่อื งท่ี 1 จํานวนตรรกยะ และจาํ นวนอตรรกยะ

1.1 จาํ นวนตรรกยะ หมายถึง จาํ นวนทเ่ี ขยี นแทนในรปู เศษสว น a เมอ่ื a และ b เปน จาํ นวนเตม็

b

และ b ≠ 0 ตวั อยา ง จาํ นวนท่เี ปนจํานวนตรรกยะ เชน จาํ นวนเต็ม , เศษสว น , ทศนิยมซ้าํ เปนตน

1.2 จาํ นวนอตรรกยะ หมายถงึ จาํ นวนทไี่ มสามารถเขียนใหอยใู นรูปของเศษสวน a เม่ือ a และ b

b

เปน จาํ นวนเตม็ และ b ≠ 0 จาํ นวนอตรรกยะประกอบดวยจาํ นวนตอ ไปน้ี เปนทศนิยมแบบไมซา้ํ เชน
1.235478936... 5.223322233322223333...

ความแตกตา งระหวางจาํ นวนตรรกยะ และจาํ นวนอตรรกยะ

จาํ นวน จาํ นวนเตม็ เศษสวน ความแตกตา ง คาทางพีชคณิต
ตรรกยะ มี มี ทศนยิ ม
อตรรกยะ - คาทางพีชคณิตที่หาคาได
ไมมี ไมมี - ทศนิยมรูจบ ลงตัว หรือไดคําตอบเปน
- ทศนยิ มรูจบแบบซาํ้ เศษสว น

- ทศนยิ มไมรจู บ - คาทางพีชคณิตที่มีคา
เฉพาะ เชน

2, 3, 5,π ,e เปน ตน

1.3 เลขยกกาํ ลังท่มี ีเลขชีก้ าํ ลงั เปนจาํ นวนเตม็

นิยามเลขยกกําลัง an หมายถึง a ×x a × a ×a…………….. × a
n ตวั

เมือ่ a เปน จาํ นวนใด ๆ และ n เปน จาํ นวนเตม็ บวก
เรยี ก an วาเลขยกกาํ ลงั ทมี่ ี a เปน ฐาน และ n เปนเลขชีก้ าํ ลงั

เชน 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

ถา a,b เปน จาํ นวนจรงิ ใด m และ n เปนจํานวนเต็มบวก จะไดกฎของการยกกําลัง ดังนี้

กฎขอ ที่ 1 =a m ⋅ b n a m+n

กฎขอ ที่ 2 (ab)n = a nbn

กฎขอท่ี 3 ( ) =am n a mn

23

กฎขอท่ี 4 เม่ือ x ≠ 0

am = 1 ถา m = n

bn

= a m−n ถา m > n

=1 ถา n > m

กฎขอท่ี 5 a n−m

เมอ่ื y ≠ 0

 x  n = xn
y yn

นิยาม a = 1 เมอ่ื a เปน จาํ นวนจริงใด ๆ ทไี่ มเทา กบั ศูนย

นิยาม a−n = 1 เมอ่ื a เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ ท่ไี มเทากบั ศนู ยแ ละ n เปน จาํ นวนเตม็ บวก

an

24

แบบฝก หัดท่ี 1

1. จงบอกฐานและเลขชก้ี าํ ลงั ของเลขยกกาํ ลงั ตอ ไปน้ี
1) 63 ฐานคือ.....................................เลขช้กี าํ ลังคอื .................................
2) (1.2) −5 ฐานคือ.................................เลขชก้ี ําลงั คือ.................................
3) ( − 5)0 ฐานคือ.................................เลขช้ีกาํ ลังคือ...................................
3
4)  1 ฐานคือ.....................................เลขชกี้ ําลังคอื .................................
2
2. จงหาคา ของเลขยกกาํ ลังตอ ไปน้ี
1) ( − 4)5 = ……………………….
4
2)  1 = ………………………..….
5
3) (1.2)3 = ………………………….
4) ( 3)6 = ………………………….
3. จงทาํ ใหอยใู นรปู อยางงายและเลขชี้กําลงั เปนจาํ นวนเตม็
1) (a2 )4 = ………………………….

( )2)  5 3 4 = ………………………….
= ………………………….
3)  4  5 = ………………………….
 
 2 
 3 

4) ( )(1.1)5 3

( )5) x−2 −5 = ………………………….

25

เร่ืองท่ี 2 จํานวนจรงิ ในรปู กรณฑ

การเขียนเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะสามารถทําไดโดยอาศัยความรูเรื่อง รากที่ n
ของจํานวนจริง a ( ซึ่งเขยี นแทนดวยสัญลักษณ a ) และมบี ทนยิ ามดงั น้ี

นยิ าม ให n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1
a และ b เปน จาํ นวนจรงิ
a เปน รากที่ n ของ b ก็ตอ เมอ่ื an = b

ตัวอยา ง กต็ อ เมื่อ

a=n b an = b

2=3 8 ก็ตอ เม่ือ 23 = 8

− 3 = 5 − 243 กต็ อ เมื่อ (− 3)5 = −243

ลองทาํ ดู 9 = 3×3 3 เปน รากที่ 2 ของ 9

3 8 = ………….………………………..

4 81 = ……………………………………

5 −32 = …………………………………….

สมบตั ิของรากที่ n ของจาํ นวนจรงิ เมอ่ื n เปน จาํ นวนเตม็ บวกทม่ี ากกวา 1

1

n a = an
( )1.

a เมือ่ a ≥ 0
 เม่อื a < 0 และ n เปน จํานวนค่ี
2.) n an =  a
3) n ab เมอื่ a < 0 และ n เปนจํานวนคู
| a |

= n a•n b

4). n a = n a ,b≠0

b nb

26

ตวั อยา ง 1 24 = 16 และ (-2)4 = 16
2 เปน รากท่ี 4 ของ 16 เพราะ 24 = 16
-2 เปนรากท่ี 4 ของ 16 เพราะ (-2)4 = 16
∴รากท่ี 4 ของ 16 คือ 2 และ -2

ตวั อยาง 2 23 = 8
2 เปนรากท่ี 3 ของ 8 เพราะ 23 = 8
แต -2 ไมใ ชเปนรากท่ี 3 ของ 8 เพราะ (-2)3 = -8
∴รากท่ี 3 ของ 8 คือ 2

นยิ าม ให a เปน จาํ นวนจรงิ และ n เปน จาํ นวนเตม็ บวกท่ีมากกวา 1 จะเรียก n a วา รากที่ n ของ a
หรือ กรณฑอนั ดบั ท่ี n ของ a
โดยท่ี 1. ถา n เปน จาํ นวนคูแลว a ตอ ง ≥ 0
2. ถา n เปน จาํ นวนค่ีแลว a เปน จาํ นวนจรงิ

หมายเหตุ 1. เครื่องหมาย “ ” เรียกวา เครอ่ื งหมาย กรณฑ เขียน “n” วา เปน อันดบั ท่ี
2. เมอ่ื a เปนจาํ นวนจริงใด ๆ จาํ นวนจริงท่ีเขยี นในรูป n a เรียก กรณฑ เชน

5, 3 25, 3 − 64

27

แบบฝก หัดที่ 2

1. จงหาคาของรากที่ n ของจํานวนจริงตอไปนี้
1) 25 = ……………………….

2) 64 = ……………………….
3) 5 −243 = ……………………….
4) 3 −125 = ……………………….

5) 8 = ……………………….

3

27

6) 4 16 = ……………………….

7) 3 125 = ……………………….

8) −64 = ……………………….

9) 3 −8 = ……………………….

10) 4 −16 = ……………………….

2. จงเขียนจํานวนตอไปน้ีใหอยูใ นรูปอยา งงาย โดยใชสมบัติของ รากที่ n

1) 52 = ……………………..………… 2) 3 23 = ………………….………..

3) 3 (−2)3 = ……………………………. 4) 5 (−2)5 =……………….………..

5) (−3)2 = ………………..…………… 5) 4 (−2)4 =………………………..
6) 200 = …………………………… 7) 75 = …………………..……….
8) 3 240 = …………………………… 9) 45 = …………………..……….
10) 5 15 = …………….……………. 11) 3 81⋅ 3 32 = …………………….

12) 4 = 4 = ……………………. 13) 5 = …………………………..

3

99 8

28

เร่อื งท่ี 3 การบวก การลบ การคณู การหาร จํานวนที่มเี ลขชกี้ าํ ลงั เปน จาํ นวนตรรกยะและ
จํานวนจริงในรูปกรณฑ

3.1 การบวก และการลบจํานวนทอ่ี ยใู นรปู กรณฑ
สมบัติของการบวกจํานวนจริง ขอหนึ่งที่สําคัญและมีการใชมาก คือ สมบัติการแจกแจงในการ
บวก พจนคลาย ดังตัวอยา ง
1) 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x สมบัติของการแจกแจง
2) 8a − 3a = (8 − 3)a = 5a
ดวยวธิ กี ารเชน นีเ้ ราสามารถนาํ มาใชในเรื่องการบวก การลบ ของจาํ นวนที่อยใู นรปู กรณฑที่
เรยี กวา “พจนคลา ย” ซึ่งเปนกรณฑอ นั ดับเดยี วกัน จาํ นวนทอี่ ยภู ายในเครือ่ งหมายกรณฑเ ปน จํานวน
เดยี วกนั
เราทราบวา 3 2 = 3× 2 และ 5 2 = 5× 2

( ) ( )ดังน้นั 3 2 + 5 2 = 3× 2 + 5× 2

= (3 + 5) 2 (สมบตั กิ ารแจกแจง)

=8 2

ตวั อยางท่ี 1 จงหาคา ของ 12 + 27 − 3
วธิ ที าํ 12 + 27 − 3 = 4 × 3 + 9 × 3 − 3

ตวั อยา งท่ี 2 จงหาคาของ = 2 3+3 3− 3

= (2 + 3 −1) 3

= 43

20 + 45 − 125

วธิ ที าํ 20 + 45 − 125 = 4 5 + 9 5 − 25 5

= 2 5+3 5−5 5

= (2 + 3 − 5) 5

=0 5

=0

ตวั อยา งท่ี 3 จงหาคา ของ 3 20 + 2 18 − 45 + 8

วธิ ีทํา 3 20 + 2 18 − 45 + 8 = (3)(2) 5 + (2)(3) 2 − 3 5 + 2 2

= 6 5+6 2−3 5+2 2

= 6 5−3 5+6 2+2 2

= 3 5+8 2

29

3.2 การคูณ และการหารจํานวนท่อี ยูใ นรูปกรณฑ
การคูณ
จากสมบตั ขิ อที่ 3 ของรากที่ n ท่กี ลา ววา

n ab = n a • n b เม่ือ n a และ n b เปน จาํ นวนจริง

∴

ตัวอยางท่ี 2 (3 8)(5 2) = 3⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ 2

30

การหาร
ใชส มบตั ิขอ 4 ของรากท่ี n ที่กลาววา
n a = n a เมอ่ื b ≠ 0

nb b

หรอื ใชส มบตั ิขอ 3 ของรากที่ n ทีก่ ลา ววา

=2
หรอื ใชส มบตั ทิ ่ีวา ดวยการคูณตัวเศษและตวั สวนดว ยจํานวนเดียวกัน

= 20 ⋅ 5 = 100 = 10
5 55

=2

31

จงทาํ จาํ นวนตอไปนีใ้ หอ ยใู นรูปอยางงาย แบบฝกหัดที่ 3
1) 8x2

2) 4 256

3) 3 8y 6

4) 5 − 32

5) 3 8 − 2 + 32

6) 3 5( 10 + 2 5)

7) 3 2a 2 ⋅ 3 4a

8) 3 54 ⋅ 3 4

32

3.2 เลขยกกาํ ลงั ท่ีมกี ําลงั เปน จํานวนตรรกยะ
บทนยิ าม เมือ่ a เปน จํานวนจริง n เปน จาํ นวนเตม็ ทีม่ ากกวา 1 และ
a มีรากท่ี n จะไดวา

1

an = n a

ตวั อยางที่ 1 1

1 93 = 3 9

32 = 3 1

1 73 = 3 7

82 = 8

บทนิยาม ให a เปนจาํ นวนเต็มที่ n > 0 และ m เปน เศษสว นอยา งตา่ํ จะไดวา

n

33

แบบฝก หัดท่ี 4

1. จงทําจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปอยางงาย

1) 8x2

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

2) 3

3 − 27

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

3) ( 2 + 8 + 18 + 32)2
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….

4) 5 −32 + 26
3 27
3

(64) 2

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

34

21

5) 8 3 ⋅ 18 2

4 144 6

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….

35

บทท่ี 3

เซต

สาระสําคัญ
1. เซต โดยท่วั ไปหมายถึง กลมุ คน สตั ว สงิ่ ของ ที่รวมกันเปน กลมุ โดยมีสมบตั ิบางอยา ง
รว มกัน และบรรดาสงิ่ ทั้งหลายที่อยใู นเซตเราเรยี กวา “ สมาชิก” ในการศึกษาเรื่องเซตจะ
ประกอบไปดว ย เซต เอกภพสมั พทั ธ สบั เซตและเพาเวอรเซต
2. การดําเนินการบนเซต คือ การนาํ เซตตา ง ๆ มากระทํารวมกันเพอื่ ใหเ กิดเปน เซตใหม ซึ่ง
ทาํ ได 4 วิธีคือ การยเู นย่ี น การอินเตอรเซคชนั่ ผลตางระหวางเซต และการคอมพลีเมนต
3. แผนภาพเวนน – ออยเลอร จะชว ยใหก ารพิจารณาเกย่ี วกบั เซตไดงายขน้ึ โดยใชห ลกั การคอื

3.1 ใชรปู สี่เหลีย่ มผนื ผาแทนเอกภพสมั พัทธ “U”

3.2 ใชวงกลมหรือวงรีแทนเซตตาง ๆ ที่เปนสมาชิกของ “U” และเขียนภายในสีเ่ หลี่ยมผนื ผา

ผลการเรียนรูท ี่คาดหวัง
1. อธิบายความหมายเกี่ยวกับเซตได
2. สามารถหายูเนย่ี น อินเตอรเซกชัน่ คอมพลีเมนต และผลตางของเซตได
3. เขียนแผนภาพแทนเซตและนําไปใชแกปญหาที่เกี่ยวกับการหาสมาชิกของเซตได

ขอบขา ยเน้ือหา
เรื่องที่ 1 เซต
เร่ืองท่ี 2 การดาํ เนนิ การของเซต
เร่ืองท่ี 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรแ ละการแกป ญหา

36

เร่อื งที่ 1 เซต (Sets)

1.1 ความหมายของเซต
เซต หมายถงึ กลุม สิ่งของตางๆ ไมวาจะเปน คน สัตว สิ่งของหรือนิพจนทางคณิตศาสตร

ซึง่ ระบสุ มาชิกในกลมุ ได
ยกตวั อยาง เซต เชน
1) เซตของวิทยาลัยเทคนิคในประเทศไทย
2) เซตของพยัญชนะในคําวา “คณุ ธรรม”
3) เซตของจาํ นวนเตม็
4) เซตของโรงเรียนระดับมัธยมศึกษาในจังหวดั สกลนคร
เรียกสงิ่ ตาง ๆทอี่ ยูในเซตวา “สมาชิก” ( Element ) ของเซตนน้ั เชน
1) วิทยาลัยเทคนิคดอนเมืองเปนสมาชิกเซตวิทยาลัยเทคนิคในประเทศไทย
2) “ร” เปนสมาชิกเซตพยัญชนะในคําวา “คณุ ธรรม”
3) 5 เปนสมาชิกของจํานวนเต็ม
4) โรงเรียนดงมะไฟวิทยาเปนสมาชิกเซตโรงเรียนระดับมัธยมศึกษาในจังหวัด

สกลนคร
1.2 วธิ ีการเขียนเซต
การเขยี นเซตเขยี นได 2 แบบ

1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต โดยเขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บ
ปกกาและใชเครื่องหมายจุลภาค (,) คน่ั ระหวางสมาชิกแตละตวั นัน้

ตัวอยางเชน A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = { a, e, i, o, u}
C = {...,-2,-1,0,1,2,...}

2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต โดยใชตัวแปรแทนสมาชิกของเซต และบอก
สมบัติของสมาชิกในรูปของตัวแป

ตัวอยางเชน A = { x | x เปนจํานวนเตม็ บวกที่มคี า นอ ยกวา หรือเทากับ 5}
B = { x | x เปน สระในภาษาอังกฤษ}
C = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ }

สญั ลักษณเซต
โดยท่ัว ๆ ไป การเขยี นเซต หรอื การเรยี กชือ่ ของเซต จะใชอักษรภาษาอังกฤษ

ตัวพมิ พใ หญไ ดแก A , B , C , . . . , Y , Z เปน ตน ท้ังนี้เพ่อื ความสะดวกในการอางอิงเมือ่ เขียนหรือ
กลาวถึงเซตนน้ั ๆ ตอ ไป สาํ หรบั สมาชกิ ในเซตจะเขยี นโดยใชอกั ษรภาษาองั กฤษตัวพิมพเลก็

37

มีสญั ลักษณอ ีกอยา งหน่งึ ทีใ่ ชอยูเสมอ ๆในเรือ่ งเซต คือสัญลกั ษณ ∈ ( Epsilon)
แทนความหมายวา อยใู น หรือ เปนสมาชกิ

เชน กาํ หนดให เซต A มีสมาชิกคือ 2 , 3 , 4 , 8 , 10
ดังน้ัน 2 เปนสมาชิกของ A หรืออยูใน A เขยี นแทนดว ย 2 ∈ A

10 เปนสมาชิกของ A หรืออยใู น A เขยี นแทนดว ย 10 ∈ A

ใชสัญลกั ษณ ∉ แทนความหมาย “ไมอยู หรือไมเปนสมาชิกของเซต เชน
5 ไมเปนสมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย 5 ∉ A

7 ไมเปนสมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย 7 ∉ A

ขอ สงั เกต
1. การเรียงลําดับของแตละสมาชิกไมถอื เปนส่ิงสาํ คัญ
เชน A = { a , b , c }
B = {b,c,a}
ถือวาเซต A และเซต B เปนเซตเดยี วกนั
2. การนบั จํานวนสมาชิกของเซต จํานวนสมาชกิ ทเ่ี หมือนกันจะนับเพยี งครัง้ เดยี ว
ถงึ แมจะเขยี นซํา้ ๆ กัน หลาย ๆ คร้ัง
เชน A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มีจํานวนสมาชิก 4 ตวั คือ 0 , 1 , 2 , 3
เปน ตน

1.3 ชนดิ ของเซต

1.3.1 เซตวา ง ( Empty Set or Null Set )

บทนิยาม Ø หรือ { } แทนเซตวา ง

เซตวาง คอื เซตทไ่ี มม สี มาชิก ใชสัญลักษณ
(φ เปน อกั ษรกรกี อานวา phi)

ตวั อยา ง เชน A = { x | x เปนชื่อทะเลทรายในประเทศไทย }
ดงั นน้ั A เปนเซตวาง เนื่องจากประเทศไทยไมมีทะเลทราย

B = { x | x ∈ I+ และ x + 2 = x }
ดังน้นั B เปนเซตวาง เนื่องจากไมมีจํานวนเต็มบวกที่นํามาบวกกับ 2 แลว ได
ตัวมันเอง เซต B จึงไมมีสมาชิก

ขอสังเกต 1. เซตวา งมีจาํ นวนสมาชกิ เทากับศูนย ( ไมมีสมาชิกเลย )

2. 0 ≠ Ø
3. { 0 } ไมเปนเซตวาง เพราะมีจํานวนสมาชิก 1 ตวั

38

1.3.2 เซตจาํ กัด ( Finite Set )

บทนิยาม
เซตจาํ กัด คือ เซตที่สามารถระบุจํานวนสมาชิกในเซตได

ตวั อยา งเชน A = { 1 , 2 , {3} } มีจํานวนสมาชิก 3 ตัว หรือ n(A) = 3
B = { x | x เปน จาํ นวนเต็มและ 1 ≤ x ≤ 100 } มีจํานวนสมาชิก 100 ตวั

หรอื
n(B) = 100
C = { x | x เปนจํานวนเต็มทอี่ ยูระหวา ง 0 กบั 1 } ดังนน้ั C เปน เซตวา ง
มีจํานวนสมาชิก 0 ตัว หรอื n(C) = 0
D = { 1 , 2 , 3 , . . . , 99 } มีจํานวนสมาชิก 99 ตัว หรือ n(D) = 99
E = { x | x เปน วันในหน่ึงสปั ดาห } มีจํานวนสมาชิก 7 ตวั หรอื n(E) = 7
หมายเหตุ จํานวนสมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย n(A)
1.3.3 เซตอนนั ต ( Infinite Set )

บทนิยาม
เซตอนันต คือ เซตท่ไี มใชเ ซตจํากัด ( หรือเซตทม่ี ีจํานวนสมาชิกไมจาํ กัด นน่ั คอื

ไมส ามารถนบั จาํ นวนสมาชิกไดแ นน อน )

ตวั อยา งเชน A = { -1 , -2 , -3 , … }

B = { x | x = 2n เมอ่ื n เปน จาํ นวนนบั }

C = { x | x เปน จาํ นวนจริง }

T = { x | x เปน จาํ นวนนับ }
ตวั อยา ง จงพิจารณาเซตตอไปนี้ เซตใดเปน เซตวา ง เซตจํากัดหรอื เซตอนันต
เซต เซตวา ง เซตจาํ กัด เซตอนนั ต

1. เซตของผูท ่ีเรยี นการศึกษานอกโรงเรียน / /
/
ปก ารศึกษา 2552

2. เซตของจํานวนเต็มบวกคี่

3. เซตของสระในภาษาไทย /

4. เซตของจาํ นวนเตม็ ทห่ี ารดว ย 10 ลงตวั

5. เซตของทะเลทรายในประเทศไทย / /

39

1.3.4 เซตที่เทากัน ( Equal Set )
เซตสองเซตจะเทากันก็ตอเมื่อทั้งสองเซตมีสมาชิกอยางเดียวกนั และจาํ นวนเทา กนั
บทนิยาม เซต A เทา กับเซต B เขยี นแทนดว ย A = B หมายความวา สมาชิกทุกตัวของเซต A
เปนสมาชิกทุกตัวของเซต B และสมาชิกของเซต B เปนสมาชิกทุกตัวของเซต A

ถา สมาชกิ ตัวใดตวั หนึ่งของเซต A ไมเปนสมาชิกของเซต B หรือสมาชิกบางตัวของเซต B
ไมเปนสมาชิกของเซต A เซต A ไมเ ทา กับเซต B เขยี นแทนดว ย A ≠ B

ตวั อยางเชน A = { 0 , { 1,2 } }
B = { { 2 ,1 } , 0 }

ดงั นน้ั A = B

ตวั อยา ง กาํ หนดให A = { 2 , 4 , 6 , 8 }
B = { x | x เปนจาํ นวนเต็มบวกเลขคูที่นอยกวา 10 }

วิธที าํ A = { 2 , 4 , 6 , 8 }
พิจารณา B เปน จาํ นวนเต็มบวกคูท ี่นอ ยกวา 10
จะได B = { 2 , 4 , 6 , 8 }
ดังนน้ั A = B

ตัวอยา ง กาํ หนดให A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ C = { x | x2– 8x + 15 = 0 }
วธิ ีทํา
พิจารณา x2 - 8x + 15 = 0
( x – 3 ) (x – 5 ) = 0
X = 3,5
C = {3,5}

ดงั น้นั A = B
แต A ≠ C เพราะ 2 ∈ A แต 2 ∉ C

B ≠ C เพราะ 2 ∈ B แต 2 ∉ C

40

1.3.5 เซตทีเ่ ทียบเทากัน ( Equivalent Set )
เซตที่เทียบเทากัน เซตสองเซตจะเทียบเทากันก็ตอเมื่อทั้งสองเซตมีจํานวนสมาชิก

เทากัน

บทนิยาม เซต A เทียบเทากับเซต B เขยี นแทนดว ย A ~ B หรอื A ↔ B หมายความวา
สมาชิกของ A และสมาชิกของ B สามารถจับคูหนึง่ ตอ หนง่ึ ไดพ อดี
ตวั อยางเชน A = { 1 , 2 , 3 }

B = {4,5,6}
จะเห็นวา จํานวนสมาชิกของเซต A เทากับจํานวนสมาชิกของ B
ดังนน้ั A ↔ B

C = { xy , ab }
D = {0,1}
ดงั นน้ั C ~ D เพราะจํานวนสมาชิกเทากัน

ตวั อยา ง จงพจิ ารณาเซตแตละคตู อไปน้ีวา เซตคใู ดเทา กัน หรือเซตคูใดเทียบเทา กัน
1) A = { x / x เปน จาํ นวนเต็ม x2 – 10x + 9 = 0 }
B = {1,9}
2) C = { a , { b, c } , d }
D = {1,2,{3}}
3) E = { 1 , 4 , 7 }
F = {4,1,7}

วธิ ที ํา
1) A = B และ A ∼ B เพราะมีจํานวนสมาชิกเทากัน และสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
2) C ∼ D แต C ≠ D เพราะมีจํานวนสมาชิกเทากัน แตสมาชิกแตละคูไมเหมอื นกนั ทุกตวั
3) E = F และ E ∼ F เพราะมีจํานวนสมาชิกเทากัน และสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

ขอสังเกต

1.321...6 เถถอาา กภAAพส=∼ัมพBBัทแธแลลวว A ∼B B
A ไมจ ําเปนตอ งเทา กับ

41

บทนิยาม
เอกภพสมั พทั ธ คอื เซตท่ีกาํ หนดขึ้นโดยมีขอตกลงกนั วาจะไมก ลา วถงึ ส่ิงอ่ืนใด
นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กําหนด ใชสัญลกั ษณ U แทน เอกภพสัมพัทธ

ตวั อยา งเชน กาํ หนดให U เปน เซตของจาํ นวนนบั
และ A = {x | x2 = 4 } จงเขยี นเซต A แบบแจกแจงสมาชิก
ตอบ A = {2}

กาํ หนดให U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
และ A เปนจาํ นวนคู

ตอบ A = {2,4,6,8,10}

ขอสังเกต ถาไมมกี ารกาํ หนดเอกภพสมั พทั ธ ใหถือวาเอกภพสัมพัทธนนั้ เปนเซตของจํานวนจรงิ

42

แบบฝกหดั ท่ี 1

1. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

1) เซตของจงั หวัดในประเทศไทยทมี่ ชี ื่อขึน้ ตน ดวยพยัญชนะ “ส”

2) เซตของสระในภาษาอังกฤษ

3) เซตของจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลัก

4) เซตของจาํ นวนคูบวกทมี่ คี า นอยกวา 20

5) เซตของจํานวนเต็มลบที่มีคานอ ยกวา – 120

6) { x|x เปนจํานวนเตม็ ทมี่ ากกวา 5 และนอ ยกวา 15 }

7) { x|x เปนจาํ นวนเตม็ ทอี่ ยูระหวาง 0 กับ 0 }

2. จงบอกจํานวนสมาชิกของเซตตอไปนี้

1) A = {3456}

2) B = {a,b,c,de,fg,hij,}

3) C = { x|x เปนจาํ นวนเต็มบวกที่อยูระหวา ง 10 ถงึ 35 }

4) D = { x|x เปนจํานวนเต็มบวกทนี่ อยกวา 9 }

3. จงเขยี นเซตตอ ไปนแ้ี บบบอกเงอ่ื นไข

1) K = { 2,4,6,8}

2) P = { 1,2,3,...}

3) H = { 1,4,9,16,25,...}

4. จงพจิ ารณาเซตตอไปน้ี เปน เซตวา งหรอื เซตจํากัดหรือเซตอนันต
1) เซตของสระในภาษาไทย
2) เซตของจํานวนเตม็ ท่ีอยรู ะหวา ง 21 และ 300
3) A = { x | x เปน จาํ นวนเต็มและ x < 0 }
4) B = { x | x เปน จาํ นวนเต็มคูท ี่นอยกวา 2 }
5) C = { x | x = 9 และ x – 3 = 5 }
6) A = { x | x เปน จาํ นวนนับทน่ี อ ยกวา 1 }
7) E = { x | x เปน จาํ นวนเฉพาะ 1 < x < 3 }
8) F = { x | x เปน จาํ นวนเต็ม 4 < x < 5 }
9) B = { x | x เปน จาํ นวนนับ x2 + 3x + 2 = 0 }
10) D = { x | x เปน จาํ นวนเต็มทห่ี ารดว ย 5 ลงตวั }

43

5. เซตตอไปน้เี ซตใดบางท่เี ปน เซตที่เทา กัน
1) A = { 2,4,6,8,10 }
B = {x| x เปนจาํ นวนคูบวก 2 ถงึ 10 }
2) D = { 7,14,21,28,......343}
E = {x|x = 7r และ r เปนจํานวนนับท่มี คี า นอ ยกวา 50 }

3) F = { x|x =3n และ n และ n }
G = { 3,6,9}

4) Q = {4}
H = { x|x เปน จาํ นวนเตม็ และ x2= 16 }

44

เรอ่ื งที่ 2 การดําเนนิ การของเซต

การดําเนินการที่สําคัญของเซตที่จําเปนตองรูและทําความเขาใจใหถองแทมี 4 ชนดิ ไดแก
1. การยเู นยี นของเซต
2. การอนิ เตอรเซคช่ันของเซต
3. คอมพลีเมนทของเซต
4. ผลตางของเซต

2.1 การยเู นียนของเซต ใชสญั ลกั ษณ “ ∪ ”
บทนิยาม A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B } เรยี กวา ผลบวก หรือผลรวม (union)

ของ A และ B
ตัวอยา ง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7}

จะได A ∪ B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7}

ตวั อยาง 2. ถา M = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4}
จะได M ∪ L = M

ตวั อยาง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b}
จะได W ∪ Z = {a , s , d , f , p , k , b}

ตวั อยา ง 4 A ={1,2,3} , B= {3,4,5}
จะได A ∪ B = {1,2,3,4,5}

2.2 การอินเตอรเซคชัน ใชสญั ลักษณ “ ∩ ”
บทนิยาม A ∩ B = { x|x∈ A ∧ x∈B } เรยี กวา ผลตดั หรือผลทเี่ หมอื นกัน

(intersection) ของ A และ B

ตวั อยา ง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7}
จะได A ∩ B = {1 , 3}

ตวั อยาง 2. ถา M = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4}
จะได M ∩ L = L

45
ตัวอยาง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b}

จะได = { }
2.3 คอมพลเี มนตของเซต ใชส ญั ลักษณ “ / ”

บทนิยาม ถา U เปน เอกภพสัมพทั ธ คอมพลีเมนตของ A คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิก
ทีอ่ ยูใน ∪ แตไมอยูใน A เขยี น A′ แทนคอมพลีเมนทของ A

ดังน้นั A′ = { x | x ∉ A }
ตวั อยาง 1. ถา U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2}

จะได = {1, 3,4, 5}
ตวั อยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปน จาํ นวนคู}

จะได = { x |x U และ x เปนจาํ นวนค่ี }

2.4 ผลตา งของเซต ใชสญั ลักษณ “ – ”
บทนยิ าม ผลตางระหวางเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกของเซต A ซงึ่

ไมเปนสมาชิกของเซต B ผลตางระหวา งเซต A และ B เขยี นแทนดว ย A – B ซ่ึง A - B = { x | x ∈ A
∧x∉B}

ตัวอยา ง 1. ถา A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7}
จะได A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7}

46

ตัวอยา ง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปน จาํ นวนคบู วก}
จะได U – C = {x|x เปน จํานวนคบ่ี วก}

สมบัติของเซตท่ีควรทราบ
ให A,B และ C เปนสบั เซตของเอกภพสมั พัทธ U สมบตั ติ อ ไปน้ีเปนจรงิ
1) กฎการสลับที่

A∪B = B∪ A
A∩B = B∩ A

2) กฎการเปล่ียนกลมุ
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B)∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B)∩ C

3) กฎการแจงแจง
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B)∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)∪ (A ∩ C)

4) กฎเอกลักษณ

φ ∪ A = A∪φ = A

U ∩ A = A∩U = A

5) A ∪ A′ = U
6) φ′ = U และ U ′ = φ
7) (A′)′ = A
8) A ∪ A = A และ A ∩ A = A
9) A − B = A ∩ B′
10) A ∩φ = φ และ A ∪φ = A

47

แบบฝกหัดที่ 2

1) ถา A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา

1) A ∪ B ……………………………. 2). B ∪ A …………………………..……

3). A ∩ B ............................................. 4). B ∩ A ……………………………..…

5). A – B……………………..…………. 6). B – A……………………………….….

2). กาํ หนดให U = { 1,2,3, ... ,10 }

A = { 2,4,6,8,10 }

B = { 1,3,5,7,9}

C = { 3,4,5,6,7 }
จงหา
1. A ∩ B ………………………………………………………………………………………

2. B ∪ C ………………………………………………………………………………………

3. B ∩ C …………………………………………………………………………………….…

4. A ∩ C ..………………………………………………………………………………..……

5. C′..………………………………………………………………………………..………….

6. C′ ∩ A ………………………………………………………………………………..……..

7. C′ ∩ B ..………………………………………………………………………………..……

8. (A ……………………………………………….…………………………………

48

เร่อื งท่ี 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรแ ละการแกป ญ หา

3.1 แผนภาพเวนน - ออยเลอร
การเขียนแผนภาพแทนเซตชวยใหเขาใจเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางเซตชัดเจนยิ่งขึ้น เรยี ก
แผนภาพแทนเซตวา แผนภาพของเวนน-ออยเลอร เพอ่ื เปน เกยี รติแกนักคณิตศาสตรชาวองั กฤษ จอหน
เวนน (John Venn พ.ศ.2377-2466) และนกั คณิตศาสตรช าวสวสิ เลโอนารด ออยเลอร (Leonard Euler
พ.ศ. 2250-2326) ซึง่ เปน ผคู ดิ แผนภาพเพื่อแสดงความสัมพันธร ะหวางเซต
การเขยี นแผนภาพของเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler) เพอ่ื แสดงความสมั พนั ธระหวา งเซตนยิ ม
เขยี นรปู สเ่ี หลย่ี มมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ (U) และใชรูปวงกลม วงรี หรือรปู ปด ใด ๆ แทนเซต
ตางๆ ซึ่งเปนสับเซตของ U ลกั ษณะตา ง ๆ ของการเขียนแผนภาพ มีดงั น้ี

ซง่ึ แผนภาพเวนน-ออยเลอร เมอ่ื นํามาใชกบั การดําเนนิ การบนเซตแลว นั้นจะทาํ ใหผูเรียนเขาใจ
ในเรื่องการดําเนินการบนเซตมากขึ้น ดังตัวอยางตอไปนี้
ยเู นยี น (Union) สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเ ห็นกรณีตาง ๆ ของเซตใหมท ่ีเกิด
จาก ไดจากสว นทแ่ี รเงา ดงั น้ี

(ระบายพื้นที่ของทั้งสองเซตไมวาจะมีพื้นที่ซ้ํากนั หรือไมซาํ้ กนั )

49
อินเตอรเซกชนั (intersection)

สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเหน็ กรณีตาง ๆ ของเซตใหมทีเ่ กิดจาก
ไดจากสวนทีแ่ รเงา ดังนี้

คอมพลีเมนต (Complement)
กาํ หนดให เซต A เปน สบั เซตของเอกภพสัมพทั ธ U คอมพลเี มนตข อง A คือ เซตทป่ี ระกอบดวย

สมาชิกของเอกภพสัมพัทธ (U) แตไมเปนสมาชิกของ A เขยี นแทนดว ย (อา นวา เอไพรม) และ
เพอื่ ใหมองภาพไดชัดขน้ึ อาจใชแ ผนภาพของเวนน-ออยเลอรแ สดงการคอมพลเี มนตข องเซต A ได ดงั น้ี

A′ คอื สว นท่แี รเงา
ผลตาง (Relative Complement or Difference)

สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเ ห็นกรณตี า ง ๆ ของเซตใหมท ี่เกิดจาก A - B
ไดจ ากสว นทแ่ี รเงา ดงั น้ี (ระบายสีเฉพาะพื้นที่ของเซต A ที่ไมใชพ ื้นทขี่ องเซต B)

50

3.1 การหาจํานวนสมาชกิ ของเซตจาํ กดั
• ถา เซต A และ B ไมมีสมาชิกรวมกันจะได
n (A ∪ B) = n (A) + n (B)

• ถาเซต A และ B มีสมาชิกบางตัวรวมกันจะได
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)

พิจารณาจากรูป ตัวเลขในภาพแสดงจํานวนสมาชิกเซต

จะได 1) n (A) = 16 2) n (B) = 18

2) n (A ∩ B) = 6 4) n (A ∪ B) = 28
5) n ( A/ ) 6) n ( B / )
= 12 = 10

7) n (A ∩ B)/ = 22 8) n ( A/ ∪ B/ ) = 22

ตัวอยา งที่ 3 กาํ หนดให A มีสมาชิก 15 ตัว B มีสมาชิก 12 ตวั A ∩ B
มีสมาชิก 7 ตัว จงหาจํานวนสมาชิกของ A ∪ B

วิธที าํ
n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A ∩ B ) = 7
จากสตู ร n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A ∩ B) = 15 + 12 – 7 = 20
ดังน้ัน จํานวนสมาชิกของ A ∪ B เทา กบั 20 ตวั