Matrix

ห น้ า | 1

หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 2

เมทรกิ ซ์เป็นเร่อื งทีส่ ำคญั เรอื่ งหนึง่ ในการศึกษาคณติ ศาสตร์ เมทรกิ ซเ์ ป็นเครอ่ื งมือสำคญั ในการแก้ปัญหา
ทางวชิ าชีพและชวี ิตประจำวัน ในชีวติ ประจำวันของเรามกั จะไดพ้ บเหน็ หรือเกย่ี วขอ้ งกบั เมทรกิ ซ์อยูเ่ สมอ เพียงแต่ไม่ได้
เขียนเป็นสญั ลกั ษณ์ของ เมทริกซ์ ตวั อย่างเชน่ การบันทึกขอ้ มลู การขายสนิ ค้าประเภทโทรศัพทม์ อื ถอื ดังตาราง
ขา้ งลา่ งน้ี

ปริมาณการขายโทรศพั ท์มือถอื ประจำเดอื นมกราคม

Huawei Samsung Iphone

รา้ นที่ 1 27 53 34

รา้ นท่ี 2 30 42 40

จากขอ้ มูลท่บี ันทกึ ในตาราง เปน็ ปรมิ าณการขายโทรศพั ทม์ ือถือของแต่ละร้าน นำมาบันทึกในวงเล็บได้ ดงั น้ี

ร้านท่ี 1 Huawei Samsung Iphone
รา้ นท่ี 2
27 53 34
30 42 40

ลกั ษณะการเขยี นในวงเล็บข้างต้นนเี้ รียกว่า เมทริกซ์ (matrix) ส่ิงทอี่ ย่ใู นวงเลบ็ เรียกวา่ สมาชกิ ของเมทริกซ์
บรรทดั แรกเปน็ ข้อมูลการขายโทรศัพทข์ องร้านที่ 1
บรรทดั ท่สี องเป็นข้อมูลการขายโทรศัพทข์ องรา้ นท่ี 2

แต่ละบรรทดั เรยี กว่าแถว (row) แสดงจำนวนสนิ ค้าของแต่ละรา้ น และแสดงขอ้ มูลเป็นหลกั (column) โดยทแี่ ตล่ ะหลดั
แสดงจำนวนสินค้าแตล่ ะชนดิ

หลักท่ี 1 หลักที่ 2 หลกั ท่ี 3

แถวที่ 1 27 53 34
แถวที่ 2 30 42 40

ตำแหน่งของสมาชิกมีความสำคัญ จะสลับท่ีกันไมไ่ ด้ และเขียนอยูภ่ ายในวงเลบ็ [ ] หรือ ( )

เอกสารประกอบการเรียน วชิ า คณติ ศาสตร์เกษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ ิมล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 2

มติ แิ ละการเขยี นเมทรกิ ซใ์ นรปู ทว่ั ไป
เมทริกซท์ ี่มี m แถว และ n หลกั เรยี กวา่ mn เมทริกซ์ (อ่านว่า เอม็ คณู เอ็นเมทริกซ์ หรือ เมทริกซ์เอ็มคูณเอ็น) และ

เรียก mn ว่า ขนาดหรือมติ ขิ องเมทริกซ์
รปู ทวั่ ไปของเมทริกซ์

A= a11 a12 … a1n เมทริกซ์ A มมี ติ เิ ท่ากับ mn มี a เปน็ สมาชิก
a21 a22 … a2n น่นั คือ A = [aij]mn
เมอื่ i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …, n
… ………

… ………

am1 am2 … amn

Ex. 1 กำหนดให้ A = -2 1 และ B = 3 2 -1 จงหา

03 4 0 -5
-2 -3 0

1.1 a11 + b21 = (-2) + 4 = 2
1.2 2a22 - 3b32 = 2(3) – 3(-3) = 6 – (-9) = 6 + 9 = 15
1.3 (b13)2 + (a21)2 = (-1)2 + (0)2 = 1 + 0 = 1

ชนดิ ของเมทรกิ ซ์
1. เมทรกิ ซจ์ ตั รุ สั (Square Matrix) คอื เมทรกิ ซ์ทม่ี จี ำนวนแถวเทา่ กบั จำนวนหลัก (mn)

บทนยิ าม ถ้า A = [aij]mn จะเรยี ก A ว่าเป็นเมทริกซ์จัตุรัสก็ต่อเมื่อ m = n

Ex.2 A = 0 1 B= 1 2 3
2 3 22 456
7 8 9 33

เอกสารประกอบการเรียน วชิ า คณิตศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ มิ ล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 3

2. เมทรกิ ซเ์ ชงิ สามเหลย่ี มดา้ นลา่ ง (Lower Triangular Matrix) คอื เมทริกซจ์ ตั รุ ัสท่มี สี มาชกิ ทุกตวั ท่อี ยู่เหนือเสน้
ทแยงมมุ หลกั เปน็ 0 ทุกตัว สมาชกิ ที่อยตู่ งั้ แต่เส้นทแยงมุมหลักลงมาเปน็ เท่าไรก็ได้

บทนยิ าม ถ้า A = [aij]nn จะเรียก A ว่าเปน็ เมทริกซ์สามเหล่ียมดา้ นลา่ ง
กต็ ่อเม่ือ aij = 0 เมื่อ i < j

Ex. 3 A = 1 0 B= 1 0 0
23 230
456

3. เมทริกซเ์ ชงิ สามเหลย่ี มดา้ นบน (Upper Triangular Matrix) คอื เมทริกซ์จตั รุ ัสที่มี
สมาชกิ ทกุ ตัวทต่ี ำ่ กว่าเส้นทแยงมุมหลักเปน็ 0 สมาชิกท่อี ยู่ตง้ั แต่เสน้ ทแยงมุมหลักขึ้นไปเป็นเท่าไรกไ็ ด้

บทนยิ าม ถา้ A = [aij]mn จะเรียก A ว่าเป็นเมทริกซส์ ามเหลีย่ มดา้ นบน
กต็ ่อเมื่อ aij = 0 เม่ือ i > j

Ex. 4 A = 1 2 B= 1 2 3
03 045
006

4. เมทริกซศ์ นู ย์ (Zero Matrix) คอื เมทรกิ ซท์ ี่มีสมาชิกทกุ ตัวเป็น 0

บทนยิ าม ถ้า A = [aij]mn จะเรียก A ว่าเปน็ เมทรกิ ซศ์ นู ย์กต็ ่อเมอ่ื aij = 0
เมือ่ i = 1, 2, 3, , m และ j = 1, 2, 3, , n
เขียนเปน็ สัญลกั ษณ์แทนดว้ ย A = [0]mn หรอื A = 0

Ex. 5 A = 0 0 B= 0 0 0
0 0 22 000
0 0 0 33

เอกสารประกอบการเรียน วชิ า คณิตศาสตร์เกษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ มิ ล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 4

5. เมทรกิ ซเ์ ฉยี ง (Diagonal Matrix) คือ เมทรกิ ซ์จัตุรัสที่มสี มาชิกท่อี ย่เู หนือและตำ่ กวา่ เส้นทแยงมุมหลักเป็น 0
ทง้ั หมด สมาชกิ ท่ีอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักเป็นเท่าใดกไ็ ด้

บทนยิ าม ถา้ A = [aij]nn จะเรยี ก A วา่ เป็นเมตริกซเ์ ฉยี งก็ต่อเมอื่ aij = 0
เมือ่ i > j หรือ i < j

Ex. 6 A = 1 0 0 B= 1 0 0 0
020 0200
003 0030
0004

6. เมทรกิ ซส์ เกลาร์ (Scalar Matrix) คือ เมทรกิ ซท์ ม่ี ีสมาชกิ ทุกตวั บนเส้นทแยงมุมหลักมีคา่ เทา่ กนั สมาชิกอื่นๆ เปน็
0 ทุกตัว

บทนยิ าม ถา้ A = [aij]nn จะเรียก A วา่ เป็นเมทริกซ์สเกลารก์ ต็ ่อเม่ือ
1. A เป็นเมทรกิ ซ์เฉยี ง

2. สมาชิกตัวบนเส้นทแยงมุมหลกั มคี า่ เท่ากัน

Ex. 7 A = 2 0 0 B= 3 0 0 0
020 0300
002 0030
0003

เอกสารประกอบการเรียน วิชา คณติ ศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวิมล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 5

7. เมทริกซเ์ อกลกั ษณ์ (Unit Matrix) คอื เมทรกิ ซท์ มี่ สี มาชกิ ทกุ ตวั บนเสน้ ทแยงมมุ หลกั เปน็ 1 ทกุ ตวั สมาชกิ อื่นๆ
เปน็ 0 ทกุ ตวั

บทนยิ าม ถา้ A = [aij]nn จะเรยี ก A ว่าเปน็ เมทริกซเ์ อกลักษณ์ กต็ อ่ เม่ือ
1. A เป็นเมทรกิ ซส์ เกลาร์
2. สมาชกิ ตวั บนเส้นทแยงมุมหลักเปน็ 1

เมทริกซเ์ อกลัษณเ์ ขยี นแทนดว้ ยลกั ษณ์ I, I3, I4, 

Ex. 8 I2 = 1 0 I3 = 1 0 0 I4 = 1 0 0 0

01 010 0100
001 0010
การเทา่ กันของเมทรกิ ซ์ 0001

บทนยิ าม สองเมทรกิ ซ์ A = [aij] และ B = [bij] เทา่ กัน ถา้ เมทรกิ ซ์ทัง้ สอง
มีขนาดหรือมติ ิ (mn) และ aij = bij โดย 1  i  m, 1  j  n

Ex. 9 จงหา a11, a12, a21 และ a22 เมือ่ กำหนด a11 a12 = 2 -1

a21 a22 -3 0

Sol. เพราะวา่ สองเมทรกิ ซเ์ ทา่ กนั สมาชิกตำแหน่งเดียวกนั เท่ากันตำแหน่งต่อตำแหน่ง

ดงั นัน้ a11 = 2, a12 = -1, a21 = -3 และ a22 = 0 Ans.

Ex. 10 กำหนดให้ A = x 1 และ B = 0 w เม่อื A = B จงหาค่า w, x, y และ z
y z3 3 8 Ans.

Sol. w = 1 , x = 0 , y = 3 , z = 2

เอกสารประกอบการเรยี น วชิ า คณิตศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวิมล ชยั นันทนาพร

ห น้ า | 6

ทรานสโพสของเมทรกิ ซ์ (Transpose of a Matrix)

บทนยิ าม ถา้ A เปน็ เมทริกซข์ นาด mn หรอื A = [aij]mn
ทรานสโพสของ A เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ AT หรอื At
อ่านว่า ทรานสโพสของเมทรกิ ซเ์ อ
AT = [bij]nm โดยที่ bij = aji
สำหรบั i = 1, 2, 3, …, n และ j = 1, 2, 3, …, m

Ex. 11 A = 1 2 3 ดังนั้น AT = 14
456 25
36

B= 012 ดงั นัน้ BT = 036
345 147
258
678

การบวก-ลบเมทริกซ์

บทนยิ าม ถ้า A = [aij] และ B = [bij] เปน็ เมทริกซ์ที่มีขนาดเป็น mn เท่ากนั
A+B = [aij + bij] และ A-B = [aij - bij]

ถา้ A = [aij] และ B = [bij] เปน็ เมทรกิ ซท์ ี่มขี นาดไม่เท่ากันจะบวก-ลบกันไม่ได้

เอกสารประกอบการเรยี น วิชา คณติ ศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ มิ ล ชยั นันทนาพร

Ex. 12 กำหนดให้ A = -1 2 และ B = 1 3 จงหา A+B และ A-B ห น้ า | 7
0 1 -1 2
Ans.
Sol. หา A+B = -1 2 + 1 3 = -1+1 2+3 = 05
-1 3
0 1 -1 2 0+(-1) 1+2

หา A-B = -1 2 - 1 3 = -1-1 2-3 = -2 -1

0 1 -1 2 0-(-1) 1-2 1 -1

สมบตั เิ กย่ี วกับการบวกเมทรกิ ซ์ สมบตั กิ ารมเี อกลักษณข์ องการบวก
สมบตั ปิ ดิ ของการบวก A = [aij]mn , 0 = [0ij] mn
A = [aij]mn , B = [bij] mn A+0 = [aij+0ij] mn= [aij]mn
A+B = [aij+bij] mn A+0 = A
สมบตั ิการสลบั ทขี่ องการบวก
A = [aij]mn, B = [bij] mn สมบตั ิการมีอนิ เวอรส์ การบวก
A = [aij]mn , -A = [-aij] mn
A+B = [aij+bij] mn A+(-A) = [aij+(-aij)] mn = [0ij]mn
B+A = [bij+aij] mn A+(-A) = 0
[aij+bij] mn = [bij+aij] mn
A+B = B+A
สมบตั ิการเปลย่ี นกลมุ่ ของการบวก
A = [aij]mn , B = [bij] mn , C = [cij] mn
(A+B)+C = ([aij+bij] mn)+ [cij] mn

= [aij+bij+ cij] mn
A+(B+C) = [cij] mn +([aij+bij] mn)

= [aij+bij+ cij] mn
(A+B)+C = A+(B+C)

การคณู เมทรกิ ซด์ ว้ ยจำนวนจรงิ

เอกสารประกอบการเรยี น วชิ า คณิตศาสตร์เกษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ ิมล ชยั นันทนาพร

ห น้ า | 8

บทนยิ าม ถ้า A = [aij] เป็นเมทรกิ ซ์ mn และ c เปน็ จำนวนจรงิ cA = [caij]mn

Ex. 13 กำหนด A = 1 2 4 จงหาค่าของ 3A และ -2A
-3 0 -1
212

Sol. 3A = 3 1 2 4 = 13 23 43 = 3 6 12

-3 0 -1 (-3)3 03 (-1)3 -9 0 -3

212 23 13 23 636

-2A = -2 1 2 4 = 1(-2) 2(-2) 4(-2) = -2 -4 -8
-3 0 -1
212 (-3)(-2) 0(-2) (-1)(-2) 602
2(-2) 1(-2) 2(-2) -4 -2 -4

Ans.

Ex. 14 ถ้า A = -2 1 3 , B = 5 -3 8 และ C = 0 9 -2 จงหาค่าของ 5A – 2B+C

4 -1 0 3 2 -9 -5 -3 7

Sol. 5A – 2B + C = 5 -2 1 3 - 2 5 -3 8 + 0 9 -2
4 -1 0 3 2 -9 -5 -3 7

= -10 5 15 - 10 -6 16 + 0 9 -2
20 -5 0 6 4 -18 -5 -3 7

= -10-10+0 5-(-6)+9 15-16+(-2) = -20 20 -3

20-6+(-5) -5-4+(-3) 0-(-18)+7 9 -12 25 Ans.

Ex. 15 จากตารางขา้ งลา่ งน้ี เป็นขอ้ มลู ยอดขายเส้ือยืดประจำเดือนกันยายน ของรา้ นค้าแห่งหน่ึง

เอกสารประกอบการเรยี น วิชา คณิตศาสตร์เกษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ ิมล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 9

ขนาด จำนวนการขายเสือ้ ยดื (ตวั )
แบบ SML
20 35 42
ผชู้ าย 25 30 28
ผหู้ ญงิ

ถ้าในเดือนธันวาคม ยอดขายเป็น 3 เท่าของเดือนกนั ยายน ในทกุ แบบทุกประเภท ยอดขายจะเปน็ เทา่ ใด

Sol. ให้ A = 20 35 42
25 30 28

3A = 203 353 423
253 303 283

ดังนน้ั ยอดขายเสือ้ ในเดือนธนั วาคม ในทุกแบบทุกประเภท คือ 60 105 126 Ans.
75 90 84

เอกสารประกอบการเรยี น วิชา คณิตศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ ิมล ชยั นันทนาพร

ห น้ า | 10

การคณู เมทรกิ ซด์ ว้ ยเมทรกิ ซ์

บทนยิ าม ถ้า A = [aij] เป็น mn เมทรกิ ซ์
B = [bij] เปน็ np เมทริกซ์

แลว้ ผลคูณ AB เป็น mp เมทรกิ ซ์ AB = [cij]
โดย cij =aijbij+ ai2b2j+ai3b3j++ainbnj

Ex. 16 กำหนดให้ A = 1 3 , B = 2 -1 จงหา AB และ BA
24 1 0

Sol. หา AB (1(-1))+(30)
(2(-1))+(40)
AB = 1 3  2 -1 = (12)+(31)
2 4 1 0 (22)+(41)

= 2+3 -1 + 0 = 5 -1
4+4 -2 + 0 8 -2

หา BA (21)+(-12) (23)+(-14)
(11)+(02) (13)+(04)
BA = 2 -1  1 3 =
10 24 Ans.

= 2 + (-2) 6 + (-4) = 0 2

1+0 3+0 13

เอกสารประกอบการเรยี น วิชา คณติ ศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ มิ ล ชยั นันทนาพร

ห น้ า | 11

Ex. 17 กำหนดให้ A = 120 และ B = 3 0 0 จงหา AB และ BA
Sol. หา AB 321 112
1 12 31 1

AB = 1 2 0  3 0 0

321 112

1 12 31 1

= (13)+(21)+(03) (10)+(21)+(01) (10)+(22)+(01)
(33)+(21)+(13) (30)+(21)+(11) (30)+(22)+(11)
(13)+(11)+(23) (10)+(11)+(21) (10)+(12)+(21)

= 3+2+0 0+2+0 0+4+0 = 52 4
9+2+3 0+2+1 0+4+1 14 3 5
3+1+6 0+1+2 0+2+2 10 3 4

หา BA

BA = 3 0 0  1 2 0

1 12 321

31 1 1 12

= (31)+(03)+(01) (32)+(02)+(01) (30)+(01)+(02)
(11)+(13)+(21) (12)+(12)+(21) (20)+(21)+(32)
(31)+(13)+(11) (32)+(12)+(11) (30)+(11)+(12)

= 3+0+0 6+0+0 0+0+0 = 36 0
1+3+2 2+2+2 0+2+6 14 3 5
3+3+1 6+2+1 0+1+2 10 3 4

Ans.

เอกสารประกอบการเรยี น วชิ า คณิตศาสตร์เกษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวมิ ล ชยั นันทนาพร

ห น้ า | 12

Ex. 18 ชมรมรักษ์สขุ ภาพ บันทึกข้อมูลจำนวนผู้มาใช้บรกิ ารออกกำลังกายในแตล่ ะสัปดาห์ ดงั ตารางท่ี 1

สปั ดาหท์ ่ี จำนวนผมู้ าใชบ้ รกิ ารออกกำลงั กาย (คน) วา่ ยนำ้
แอโรบคิ ลีลาศ 40
สัปดาหท์ ่ี 1 35
สปั ดาห์ที่ 2 50 34
60 42

ถ้าชมรมกำหนดอัตราค่าบริการต่อคนแยกตามประเภทกีฬา ดังตารางท่ี 2

ประเภทกฬี า คา่ ใหบ้ ริการ (บาท/คน)

แอโรบิค 20

ลลี าศ 25

วา่ ยนำ้ 30

ให้ตารางท่ี 1 เป็นเมทริกซ์ A และ ตารางที่ 2 เปน็ เมทริกซ์ B จงหาคา่ AB พร้อมอธิบายผลลัพธท์ ีไ่ ด้ หมายถึงขอ้ มูลเกย่ี วกับอะไร

Sol. ให้ A = 50 34 40 และ B = 20
60 42 35 25
30

AB = 50 34 40 20 = (50)(20) + (34)(25) + (40)(30)
60 42 35 25 (60)(20) + (42)(25) + (35)(30)
30

= 1,000 + 850 + 1,200 = 3,050
1,200 + 1,050 + 1,050 3,300

ดังน้นั ชมรมรักษส์ ุขภาพ มีรายได้จากการใหบ้ รกิ าร Ans.
สัปดาหท์ ี่ 1 จำนวน 3,050 บาท และ
สปั ดาห์ที่ 2 จำนวน 3,300 บาท

เอกสารประกอบการเรียน วิชา คณิตศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ มิ ล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 13

สมบตั เิ กยี่ วกับการคณู เมทรกิ ซด์ ว้ ยเมทรกิ ซ์
ให้ A = [aij]mn, B = [bij]mp
1. มสี มบตั ขิ องการคณู
2. ไมม่ สี มบตั สิ ลบั ทขี่ องการคณู
AB  BA
3. มสี มบตั เิ ปลย่ี นกลมุ่ ของการคณู
(AB)C = A(BC)
4. มเี อกลักษณข์ องการคณู
AI = IA = A
5. มสี มบตั กิ ารแจกแจงของการคณู
A, B และ C เปน็ เมทรกิ ซท์ คี่ ูณกนั ได้
1) A(B+C) = AB+A
2) (B+C)A = BA+CA
การขาดสมบตั กิ ารคณู บางกรณี

ถา้ A, B และ C เปน็ เมทริกซจ์ ตั รุ ัส nn และ A = B จะไดว้ า่
AC = BC
CA = CB

CA ไมจ่ ำเปน็ ตอ้ งเทา่ กบั BC

เอกสารประกอบการเรยี น วชิ า คณิตศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ ิมล ชยั นันทนาพร

ห น้ า | 14

ดเี ทอรม์ นิ นั ต์

บทนยิ าม ถา้ A = a11 a12 เปน็ เมทริกซ์ 22 โดย a11, a12, a21, a22 เปน็ จำนวนจรงิ แลว้
a21 a22

ดีเทอร์มินันต์ของ A คือ a11a22 - a21a12 a11 a12
ดเี ทอรม์ นิ ันตข์ อง A เขียนแทนด้วย det (A) หรอื
a21 a22

Ex. 19 ถา้ A = 2 -3 จงหา det(A)
12

Sol. A = 2 -3
12

det(A) = (2)(2) – (1)(-3) Ans.
= 4 - (-3)

 det(A) = 7

เอกสารประกอบการเรยี น วิชา คณิตศาสตร์เกษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ ิมล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 15

บทนยิ าม ถ้า A = a11 a12 a13 เปน็ เมทรกิ ซ์ 33 โดย สมาชิกใน A เปน็ จำนวนจริงแลว้

a21 a22 a23

a31 a32 a33

หาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 33 ใหน้ ำ สองหลกั แรกไปตอ่ ทา้ ย

- --

a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32

+++

ดเี ทอรม์ ินันตข์ อง A คือ a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a31a22a13 - a32a23a11 - a33a21a12

-2 0 1 จงหา det(A)
Ex. 20 ถา้ A = 1 2 3

0 -1 3

Sol. A = -2 0 1
1 23
0 -1 3

det(A) = -2 0 1 -2 0
1 2 3 12

0 -1 3 0 -1

det(A) = (-2)(2)(3) + (0)(3)(0) + (1)(1)(-1) - (0)(2)(1) - (-1)(3)(-2) - (3)(1)(0)
= (-12) + 0 + (-1) – 0 – 6 - 0
-19 Ans.
 det(A) =

เอกสารประกอบการเรียน วิชา คณิตศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวมิ ล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 16

ไมเนอร์ (Minor)

บทนยิ าม กำหนด A = [aij]nn โดยท่ี aijR และ n เปน็ จำนวนเตม็
ท่ีมากกว่า 2

ไมเนอร์ (minor) ของ aij คอื ดเี ทอรม์ นิ ันต์ของเมทริกซท์ ่ีได้จาก
การตดั แถวที่ i และหลกั ที่ j ของเมทรกิ ซ์ A ออก
เขยี นแทนไมเนอร์ของ aij ด้วย Mij(A)

Ex. 21 กำหนด A = 5 -3 จงหา Mij(A)
17

Sol. M11(A) = 5 -3 = 7
17

M12(A) = 5 -3 = 1
17

M21(A) = 5 -3 = -3
17

M22(A) = 5 -3 = 5
17

Ans.

เอกสารประกอบการเรียน วชิ า คณติ ศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวิมล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 17

Ex. 22 กำหนด A = 4 -1 3 จงหา M11(A), M13(A), M21(A), M32(A) และ M33(A)
6 5 -1

332

Sol. M11(A) = 4 -1 3 = 5 -1 = (5)(2) – (3)(-1) = 10 – (-3) = 13
6 5 -1 32

332

M13(A) = 4 -1 3 = 65 = (6)(3) – (3)(5) = 18 – 15 = 3
6 5 -1 33

332

M21(A) = 4 -1 3 = -1 3 = (-1)(2) – (3)(3) = (-2) – 9 = -11
6 5 -1 32

332

M32(A) = 4 -1 3 = 43 =
6 5 -1 6 -1

332

M33(A) = 4 -1 3 = 4 -1 = (4)(5) – (6)(-1) = 20 – (-6) = 26
6 5 -1 65

332

Ans.

เอกสารประกอบการเรยี น วชิ า คณิตศาสตร์เกษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวมิ ล ชยั นันทนาพร

ห น้ า | 18

โคแฟคเตอร์ (Cofactor)

บทนยิ าม กำหนด A = [aij]nn โดยที่ aijR และ n เปน็ จำนวนเต็ม
ทม่ี ากกว่า 2

โคแฟคเตอร์ (cofactor) ของ aij คือ ผลคณู ของ (-1)i+j และ Mij (A)

เขียนแทนโคแฟคเตอรข์ อง aij ดว้ ย Cij(A)

Cij(A) = (-1)i+j Mij (A)

Ex. 23 กำหนด A = 5 -3 จงหา Cij(A) Ans.
17

Sol. C11(A) = (-1)1+1 (7) = (1)(7) = 7
C12(A) = (-1)1+2 (1) = (-1)(1) = -1
C21(A) = (-1)2+1 (-3) = (-1)(-3) = 3
C22(A) = (-1)2+2 (5) = (1)(5) = 5

Ex. 24 กำหนด A = 4 -1 3 จงหา C11(A), C13(A), C21(A), C32(A) และ C33(A)
6 5 -1

332

Sol. จากตัวอยา่ งที่ 10 จะได้ ไมเนอร์

M11(A) = 13 M13(A) = 3 M21(A) = -11

M32(A) = -22 M33(A) = 26

C11(A) = (-1)1+1 (13) = (1)(13) = 13 Ans.
C13(A) = (-1)1+3 (3) = (1)(3) = 3
C21(A) = (-1)2+1 (-11) = (-1)(-11) = 11
C32(A) = (-1)3+2 (-22) = (-1)(-22) = 22
C33(A) = (-1)3+3 (26) = (1)(26) = 26

เอกสารประกอบการเรียน วิชา คณิตศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวิมล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 19

การหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชด้ เี ทอรม์ นิ นั ต์
จากที่ได้ศึกษาเร่ืองดีเทอร์มนิ ันต์ สามารถนำไปประยกุ ตแ์ กโ้ จทยป์ ญั หาในการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น ในทนี่ ี้

จะกลา่ วถงึ การหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร และการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สามตวั แปร โดยใช้กฎของครา
เมอร์ (Cramer’s Rules)

ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร
รูปท่ัวไปของระบบสมการ คือ

a1x + b1y = c1 ------- 
a2x + b2y = c2 ------- 

นำมาเขียนในรูปสมการเมทริกซ์

a1 b1 x = c1
a2 b2 y c2

ให้ A เปน็ เมทรกิ ซ์ 22 ท่มี สี มาชกิ เป็นสัมประสทิ ธข์ิ อง x และ y ในระบบสมการ

A = a1 b1
a2 b2

ให้ X เปน็ เมทรกิ ซ์ 22 ที่มีสมาชกิ เกิดจากการนำ c1 และ c2 มาแทนทีใ่ นหลักที่ 1 ของเมทรกิ ซ์ A

X = c1 b1
c2 b2

ให้ Y เปน็ เมทรกิ ซ์ 22 ท่ีมสี มาชกิ เกิดจากการนำ c1 และ c2 มาแทนท่ีในหลกั ที่ 2 ของเมทริกซ์ A

Y = a1 c1
a2 c2

การหาค่า x และ y โดยใช้กฎคราเมอร์ ดงั นี้

X= det(X) เมอ่ื det(A) ≠ 0
det(A)

Y = det(Y)
det(A)

เอกสารประกอบการเรียน วิชา คณติ ศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวมิ ล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 20

Ex. 25 จงหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ต่อไปน้ี โดยใช้กฎของคราเมอร์

3x + 4y = -7

2x + y = -3

Sol. สร้างสมการเมทริกซ์ 3 4 X = -7

21 y -3

ให้ A = 3 4 จะได้ det (A) = (3)(1) - (2)(4) = 3 – 8 = -5
21

X = -7 4 จะได้ det (X) = (-7)(1) - (-3)(4) = (-7) – (-12) = -7 + 12 = 5
-3 1

Y = 3 -7 จะได้ det (Y) = (3)(-3) - (2)(-7) = (-9) – (-14) = -9 + 14 = 5
2 -3

จากกฎของคราเมอร์

x= det(X) = 5 = -1
det(A) -5

y= det(Y) = 5 = -1
det(A) -5

ดงั นนั้ คำตอบของระบบสมการคอื x = -1 , y = -1 Ans.

เอกสารประกอบการเรียน วิชา คณติ ศาสตร์เกษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวิมล ชยั นันทนาพร

ห น้ า | 21

Ex. 26 จงหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ โดยใช้กฎของคราเมอร์
2x + y - z = 5
3x - 2y + 2z = -3
x - 3y - 3z = -2

Sol. สรา้ งสมการเมทริกซ์ 2 1 -1 x= 5
3 -2 2 y -3
1 -3 -3 z -2

2 1 -1 2 1 -1 2 1
ให้ A = 3 -2 2 จะได้ det (A) = 3 -2 2 3 -2

1 -3 -3 1 -3 -3 1 -3

= 12 + 2 + 9 – 2 – (-12) – (-9) = 42

5 1 -1 5 1 -1 5 1
X = -3 -2 2 จะได้ det (A) = -3 -2 2 -3 -2

-2 -3 -3 -2 -3 -3 -2 -3

= 30 + (-4) + (-9) – (-4) – (-30) – 9 = 42

2 5 -1 จะได้ det (A) = 2 5 -1 2 5
Y = 3 -3 2 3 -3 2 3 -3
1 -2 -3 1 -2
1 -2 -3

= 18 + 10 + 6 – 3 – (-8) – (-45) = 84

21 5 21 5 21
Z = 3 -2 -3 จะได้ det (A) = 3 -2 -3 3 -2

1 -3 -2 1 -3 -2 1 -3

= 8 + (-3) + (-45) – (-10) – 18 – (-6) = -42

เอกสารประกอบการเรียน วชิ า คณติ ศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ มิ ล ชยั นันทนาพร

จากกฎของคราเมอร์ ห น้ า | 22

x= det(X) = 42 =1 Ans.
det(A) 42

y= det(Y) = 84 =2
det(A) 42

z= det(Z) = -42 = -1
det(A) 42

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ x = 1 , y = 2 , z = -1

เอกสารประกอบการเรยี น วิชา คณติ ศาสตร์เกษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวมิ ล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 23

Ex. 27 ในกระจาดใบหนง่ึ มีจำนวนมะมว่ งและจำนวนส้มรวมกนั อยู่ 78 ผล ถา้ จำนวนมะมว่ งน้อยกวา่ จำนวนส้มอยู่ 24 ผล กระจาด

ใบนี้มีมะมว่ งและส้มอยา่ งละกผี่ ล

Sol. กำหนดให้ x : จำนวนมะม่วง

y : จำนวนส้ม

จะได้สมการ x + y = 78

y – x = 24

สรา้ งสมการเมทรกิ ซ์ จะได้ 1 1 X = 78

-1 1 y 24

ให้ A = 1 1 จะได้ det (A) = (1)(1) - (-1)(1) = 1 – (-1) = 2
-1 1

X = 78 1 จะได้ det (X) = (78)(1) - (24)(1) = 78 - 24 = 54
24 1

Y = 1 78 จะได้ det (Y) = (1)(24) - (-1)(78) = 24 – (-78) = 102
-1 24

จากกฎของคราเมอร์

x= det(X) = 54 = 27
det(A) 2

y= det(Y) = 102 = 51
det(A) 2

ดังนน้ั กระจาดใบนม้ี ีมะมว่ ง 27 ผล และมสี ้ม 51 ผล Ans.

เอกสารประกอบการเรียน วิชา คณิตศาสตร์เกษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ มิ ล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 24

Exercise

1. ขอ้ มลู ตอ่ ไปน้แี สดงจำนวนนักเรียนทส่ี มัครเป็นสมาชิกชมรมต่างๆ จำแนกตามเพศ

ดนตรี กีฬา จติ อาสา ศลิ ปะ

ชาย 10 25 20 5

หญงิ 8 20 24 12

1.1 จงเขยี นเมทรกิ ซ์ A แทนจำนวนนักเรียนในชมรมตา่ งๆ โดยใช้ข้อมลู จากตารางขา้ งต้น
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________

1.2 บอกมิตขิ องเมทรกิ ซ์ A _______

2. ขอ้ มูลต่อไปนแ้ี สดงจำนวนการซ้ือผลไมข้ องแมค่ า้ ผลไม้จำแนกตามขนาด

ใหญ่ กลาง เล็ก
เงาะ 30 40 20
มงั คดุ 30 25 10
ส้ม 40 30 20
ชมพู่ 50 20 45

2.1 จงเขยี นเมทริกซ์ B แทนจำนวนการซ้ือผลไม้ โดยใชข้ ้อมูลจากตารางขา้ งต้น
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________

2.2 บอกมติ ขิ องเมทริกซ์ B _____

เอกสารประกอบการเรียน วิชา คณิตศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวิมล ชยั นันทนาพร

ห น้ า | 25

3. กำหนด A = 1 7 B= -2 1 0 และ C = 1 2 -3 จงหา
7 -3 3 -4 2 41 2
-3 1
35 0

3.1 a11 + b21 + c31 ______________________________________________________
3.2 b22 - c12 + a32 _____________________________________________________
3.3 3c13 + 2a21 - 4b23 ___________________________________________________
3.4 2c21 – (a22)2 + c32 __________________________________________________
3.5 (b11)3 – (a31)2 – 2c21 __________________________________________________

4. จงนำคำตอบทางขวามือมาเตมิ ชอ่ งว่างทางซา้ ยมือ

______4.1 A = 1 3 5 A. เมทรกิ ซ์ศนู ย์
B. เมทริกซจ์ ัตรุ ัส
______4.2 B = 2 C. เมทริกซแ์ ถว
3 D. เมทริกซ์สเกลาร์
4 E. เมทริกซเ์ อกลักษณ์
F. เมทริกซ์เฉียง
______4.3 C = 4 0 0 G. เมทริกซ์เชิงสามเหล่ียมดา้ นลา่ ง
040 H. เมทรกิ ซ์หลัก
004 I. เมทรกิ ซเ์ ชิงสามเหลีย่ มดา้ นบน

______4.4 D = 0 0 0
000

______4.5 E = 100
220

463

5. กำหนดให้ A = 1 x และ B = 1 5 เมอ่ื A = B จงหาคา่ x , y และ z
2y 0 14 0
32
3 z+5

เอกสารประกอบการเรยี น วิชา คณิตศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ มิ ล ชยั นันทนาพร

ห น้ า | 26

6. กำหนดให้ A = 1 -10 และ B = 1 x+2y เม่อื A = B จงหาคา่ x และ y
2x 0 40

7. จงหาทรานสโพสของเมทริกซ์ทีก่ ำหนดให้ต่อไปน้ี

7.1 A = 1 2 3 4 7.2 B = 1 2 3
456

7.3 C = 01 7.4 D = 012
23 345
45 678
67 901

8. กำหนดให้ A = -2 0 , B = -1 3 และ C = 0 -1 จงหา
1 3 0 -2 -2 3

8.1 A + B 8.2 A + B + CT
8.3 A - C 8.4 A – BT + C
8.5 AT – CT – BT 8.6 AT – CT – 4BT
8.7 2AT – 2CT – BT 8.8 3AT – CT – 2BT
8.9 AT – 3CT – BT 8.10 2AT – 2CT – 3BT
8.11 AB + C 8.12 AB + C
8.13 AB + C 8.14 ATB – CT
8.15 B – CAT

9. กำหนดให้ A = -2 0 1 , B = 1 2 -3 และ C = 0 -2 3 จงหา
1 30
1 32 -1 -3 0 -2 1 4

1 23 4 21

9.1 A + B 9.2 A + B + CT
9.3 A - C 9.4 A – BT + C
9.5 AT – CT – BT 9.6 AT – CT – 4BT
9.7 2AT – 2CT – BT 9.8 3AT – CT – 2BT
9.9 AT – 3CT – BT 9.10 2AT – 2CT – 3BT
9.11 AB + C 9.12 AB + C
9.13 AB + C 9.14 ATB – CT
9.15 B – CAT

เอกสารประกอบการเรยี น วชิ า คณิตศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวิมล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 27

10. จากตารางข้างล่างน้ี เป็นข้อมลู ราคาปุย๋ เคมี ประจำเดือนมกราคม ของร้านคา้ แหง่ หนึง่

ขนาด ปริมาณ (กโิ ลกรมั )

สตู รปยุ๋ 1 5 10
690
8-24-24 72 350 490
380
46-0-0 51 250 630

16-16-16 40 175

25-7-7 65 300

ถา้ ในเดือนธนั วาคม ปรบั ราคาขายปยุ๋ เคมีทุกสตู รและทุกขนาดเป็น 2 เท่าของเดอื นมกราคม ราคาขายปุ๋ยแตล่ ะสูตรและ
ขนาด เปน็ เทา่ ใด
11. จำนวนบา้ นทั้งสามขนาดที่ปลูกในหมู่บา้ น ก และ ข เปน็ ดงั นี้

ใหญ่ กลาง เล็ก
ก 30 10 20
ข 20 90 40

จำนวนเคร่ืองปรับอากาศและพัดลมท่ใี ช้ในบ้านแต่ละหลังของบ้านทงั้ 3 ขนาด เปน็ ดังนี้

เครอ่ื งปรบั อากาศ พัดลม

ใหญ่ 8 12

กลาง 6 9

เลก็ 4 7

จงหาจำนวนเครื่องปรบั อากาศ และพดั ลมสำหรบั ในแตล่ ะหมู่บา้ น

เอกสารประกอบการเรียน วิชา คณิตศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศวิ ิมล ชยั นันทนาพร

ห น้ า | 28

12. ตารางตอ่ ไปนี้แสดงจำนวนชั่วโมง ในการทำงานของพนักงาน 3 คน ใน 1 สปั ดาห์ ของบรษิ ทั แห่งหนึ่ง

พนกั งาน จำนวนชว่ั โมงทำงานปกติ จำนวนชว่ั โมงทำงานลว่ งเวลา
ลซิ า่ 40 5
จซี ู 45 8
เจนน่ี 36 7

ถา้ บรษิ ัทจา่ ยค่าจ้างพนักงานในการทำงานรายชว่ั โมง ดังน้ี

เวลาทำงาน คา่ จา้ งต่อชวั่ โมง
ทำงานปกติ 200
ทำงานลว่ งเวลา 250

จงหาว่าพนักงานแต่ละคนได้เงินค่าจ้างทง้ั หมดคนละเท่าใด

13. กำหนดให้ A = -2 0 , B = -1 3 และ C = 0 -1 จงหา
1 3 0 -2 -2 3

13.1 det(A) 13.2 det(B)
13.3 det(C) 13.4 det(AT)
13.5 det(BT) 13.6 det(CT)

14. กำหนดให้ A = -2 0 1 , B = 1 2 -3 และ C = 0 -2 3 จงหา
1 30
1 32 -1 -3 0 -2 1 4

1 23 4 21

14.1 det(A) 14.2 det(B)
14.3 det(C)

เอกสารประกอบการเรียน วชิ า คณิตศาสตรเ์ กษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวมิ ล ชยั นันทนาพร

ห น้ า | 29

15. กำหนดให้ A = -2 0 , B = -1 3 และ C = 0 -1 จงหา
1 3 0 -2 -2 3

15.1 M11(A) 15.2 M12(A)
15.3 M21(A) 15.4 M22(A)
15.5 M11(B) 15.6 M12(B)
15.7 M21(B) 15.8 M22(B)
15.9 M11(C) 15.10 M12(C)
15.11 M21(C) 15.12 M22(C)
15.13 C11(A) 15.14 C12(A)
15.15 C21(A) 15.16 C22(A)
15.17 C11(B) 15.18 C12(B)
15.19 C21(B) 15.20 C22(B)
15.21 C11(C) 15.22 C12(C)
15.23 C21(C) 15.24 C22(C)

16. กำหนดให้ A = -2 0 1 , B = 1 2 -3 และ C = 0 -2 3 จงหา
1 30
1 32 -1 -3 0 -2 1 4

1 23 4 21

16.1 M12(A) 16.2 M22(A)
16.3 M21(B) 16.4 M32(B)
16.5 M31(C) 16.6 M13(C)
16.7 C12(A) 16.8 C21(A)
16.9 C13(B) 16.10 C23(B)
16.11 C11(C) 16.12 C23(C)

เอกสารประกอบการเรยี น วิชา คณิตศาสตร์เกษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวมิ ล ชยั นนั ทนาพร

ห น้ า | 30

17. จงเขียนระบบสมการต่อไปนี้ ใหอ้ ยูใ่ นรปู เมทริกซ์ 17.2 3x + 2y = 3
17.1 4x + 3y = 1 2x – 5y = -17
2x + 5y = 11

17.3 3x + 2y = 5 17.4 x + 2y = 0
5x + 3y = 8 3x + y = 5

17.5 x + y + z = 6 17.6 2x + 5y + 6z = 2
4x – y + z = 5 2z – 3x – 4y = 1
y – z = -1 5y – 3z – 6 = 0

17.7 2x + y + z = 1 17.8 x – 2y + z = -1
x – 2y - 3z = 1 3x + y – 2z = 4
3x + 2y + 4z = 5 y–z+1=0

18. จงแก้ระบบสมการต่อไปน้ีโดยใช้กฎของคราเมอร์
3x + 2y = 1
X+y=0

19. จงแก้ระบบสมการตอ่ ไปนีโ้ ดยใช้กฎของคราเมอร์
x – 3z = -2
3x + y – 2z = 5
2x + 2y + z = 4

20. เลขสองหลักจำนวนหน่งึ ตวั เลขหลักหน่วยน้อยกว่าหลักสิบอยู่ 6 และผลบวกของสองเท่าของหลักสิบ กับสามเทา่ ของหลัก
หนว่ ย เท่ากับ 22 อยากทราบวา่ เลขสองหลักจำนวนนน้ั คือเลขใด

21. ธรี นันท์มีเงิน 100 บาท เขาตอ้ งการซือ้ ดอกกหุ ลาบและดอกคาร์เนช่ันคละกนั เปน็ จำนวน 12 ดอก อยากทราบว่าธรี นันท์จะซ้ือ
ดอกกหุ ลาบและดอกคารเ์ นชั่นได้อย่างละกด่ี อก ถ้าดอกกุหลาบราคาดอกละ 5 บาท และดอกคาร์เนชั่นราคาดอกละ 15 บาท

22. อตั ราคา่ บริการของสวนสตั ว์แหง่ หน่งึ ต่อครั้งเป็นดงั นี้ ผู้ใหญค่ นละ 60 บาท เด็กคนละ 30 บาท วันนี้มีผ้ใู ชบ้ รกิ ารท้งั หมด
80 คน และเก็บเงินได้ทง้ั หมด 3,000 บาท อยากทราบว่าวันนี้มีผู้ใหญ่เขา้ ใช้บริการกี่คน และเด็กเข้าใช้บรกิ ารกี่คน

23. นกั ศึกษาทเ่ี รยี นวิชาคณิตศาสตร์เกษตรกรรมมที ้งั หมด 66 คน ถา้ นกั ศึกษา ปวส. 2/6 มากกวา่ ปวส.2/7 จำนวน 14 คน
อยากทราบว่ามีนักศกึ ษา ปวส.2/6 กี่คน และ ปวส.2/7 ก่ีคน

เอกสารประกอบการเรียน วิชา คณติ ศาสตร์เกษตรกรรม 3000-1405
อ.ศศิวมิ ล ชยั นันทนาพร