BAHAN AJAR FUNGSI KOMPOSISI

BAHAN AJAR PERTEMUAN 2

KOMPETENSI DASAR 3.6
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS SMA KELAS X

(MATEMATIKA WAJIB)

Disusun untuk memenuhi tugas Pendidikan Profesi Guru (PPG)
Dosen Pengampu: Drs. Mashuri, M.Si.

Disusun oleh:
Woro Alma Manfaati (4101021110)

PROGRAM PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG) 1
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2022

Bahan Ajar Fungsi Komposisi

BAHAN AJAR
“FUNGSI KOMPOSISI”

Identitas : SMA
: X/Genap
Satuan Pendidikan : Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Kelas/Semester
Materi Pokok

Kompetensi Inti

KI 1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
KI 2 Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran,

damai), santun, responsif, dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam
berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri sebagai
cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
KI 3 Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan
rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan
bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
KI 4 Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metode
sesuai kaidah keilmuan.

Kompetensi Dasar-IPK

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

3.6 Menjelaskan operasi komposisi pada fungsi 3.6.5 Mendefinisikan operasi fungsi komposisi.

dan operasi invers pada fungsi invers serta 3.6.6 Menentukan fungsi komposisi.

sifat-sifatnya serta menentukan eksistensinya. 3.6.7 Menentukan nilai hasil operasi fungsi

komposisi.

4.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan 4.6.2 Menyelesaikan permasalahan dalam

operasi komposisi dan operasi invers suatu kehidupan sehari-hari yang berkaitan

fungsi. dengan operasi fungsi komposisi.

Bahan Ajar Fungsi Komposisi 2

Deskripsi

Dalam kehidupan sehari-hari, tentunya Saudara sering menjumpai suatu masalah yang berkaitan dengan
fungsi komposisi. Salah satu contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan
fungsi komposisi adalah proses pembuatan buku yang diproses melalui dua tahap yaitu tahap editorial
dilanjutkan dengan tahap produksi. Proses pembuatan buku ini menerapkan konsep fungsi komposisi. Selain
proses pembuatan buku contoh lainnnya yaitu proses mendaur ulang logam, proses pembuatan perhiasan,
dan bidang lainnya seperti ekonomi, fungsi komposisi digunakan untuk menghitung dan memperkirakan
sesuatu seperti fungsi permintaan dan penawaran. Untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan
dengan fungsi komposisi, Saudara harus memahami dulu definisi fungsi komposisi, cara menentukan fungsi
komposisi, dan menentukan nilainya.

Petunjuk Penggunaan

Untuk mempelajari bahan ajar ini, hal-hal yang perlu Saudara lakukan adalah sebagai berikut.
a. Untuk mempelajari bahan ajar ini harus berurutan, karena materi yang mendahului merupakan

materi prasyarat untuk mempelajari materi selanjutnya.
b. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam

mengerjakan soal, Saudara mengalami kesulitan, kembalilah mempelajari materi terkait.
c. Kerjakan soal latihan dengan cermat. Jika dalam mengerjakan soal latihan, Saudara mengalami

kesulitan, kembalilah mempelajari materi terkait.
d. Jika Saudara mempunyai kesulitan yang tidak dapat Saudara pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan

kepada guru pada saat ada jadwal guru di sekolah atau bacalah referensi lain pada link
https://files1.simpkb.id/guruberbagi/rpp/152466-1600783048.pdf. Dengan membaca referensi lain,
Saudara juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan

A. Peta Konsep Isi Materi

Fungsi
Operasi pada Fungsi

Fungsi Komposisi Fungsi Invers Invers Fungsi Komposisi
Bahan Ajar Fungsi Komposisi Gambar 1 3

B. Motivasi

Joseph-Louis de Lagrange (25 Januari 1736 – 10 April 1813) Sumber: en.wikipedia.org
adalah seorang matematikawan dan astronom Prancis-Italia yang membuat
sumbangan penting pada mekanika klasik, angkasa dan teori bilangan.
Selain itu, Joseph Louis Lagrange juga seorang matematikawan yang
menjadi pelopor dalam mengkaji teori fungsi pada akhir abad ke-18.
Selanjutnya kajian Lagrange dilanjutkan oleh Louis Cauchy pada awal abad
ke-19. Dia juga mengembangkan penelitian tentang fungsi bernilai bilangan
kompleks. Hasil kerja keras Cauchy ini kemudian dikembangkan oleh Karl
Theodor Weierstrass dan George Friederich B. Riemann.

C. Materi

Operasi fungsi komposisi secara umum dilakukan untuk menghasilkan nilai tertentu setelah
melalui tahapan/prosedur operasi tertentu. Hal ini banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari,
misalkan tata cara mencuci baju pada mesin cuci adalah proses pencucian dilanjutkan proses
pengeringan. Jika dibalik maka hasilnya akan berbeda. Begitu juga dengan benda-benda di sekitar kita
banyak yang pembuatannya tidak sekaligus jadi, tetapi pengerjaannya bisa melalui beberapa tahap.

Perhatikan masalah di bawah ini!

Grobogan merupakan salah satu kabupaten dengan penghasil beras terbesar di Provinsi Jawa
Tengah. Grobongan memiliki luas lahan persawahan yang menghasilkan panen padi sekitar 136.209,59
hektar, dengan produksi padi yang diperoleh sebesar 772.521 ton atau produksi berasnya sebesar 443.196
ton.

Gambar 2
Sumber: liputan6.com

Untuk menghasilkan beras yang siap diolah, padi yang telah dipanen harus melalui tahapan penggilingan.
Terdapat dua tahapan proses menghasilkan beras yang siap untuk dimasak yaitu tahap pertama
menggunakan mesin I untuk menghasilkan beras setengah jadi berupa pelepasan kulit padi. Tahap kedua
menggunakan mesin II untuk menghasilkan beras super siap masak.

Bahan Ajar Fungsi Komposisi 4

Padi Mesin I Mesin II

Gambar 3

Dalam produksinya, mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi ( ) =
0,75 dan mesin II mengikuti fungsi ( ) = 0,867 , dengan merupakan banyak bahan dasar padi
dalam satuan kg. Jika bahan dasar padi yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 1 ton. Dengan
menggunakan operasi fungsi komposisi maka beras yang dihasilkan dalam satuan ton dapat dihitung.

Proses di atas dapat diilustrasikan sebagai berikut.

( ) = 0,75 ( ) = 0,867

Tahap I Tahap II Hasil
x f(x) Produksi
g(f(x))

Gambar 4

Dari gambar di atas, terlihat bahwa tahap produksi beras terdiri atas dua tahap yang hasil produksi setiap

tahapnya dapat dihitung sebagai berikut.

Hasil produksi tahap I

Rumus fungsi pada produksi tahap I:

( ) = 0,75 .

Untuk = 1.000 karena 1 ton = 1.000 kg, sehingga diperoleh:

f(1.000) = 0,75(1.000) (substitusi x = 1.000)

= 750

Hasil produksi tahap I adalah 750 kg beras setengah jadi.

Rumus fungsi pada produksi tahap II:

g( ) = 0,867 .

Karena hasil produksi pada tahap I akan dilanjutkan pada produksi tahap II, maka hasil produksi tahap

I menjadi bahan dasar produksi tahap II, sehingga diperoleh:

g(750) = 0,867 (750) (substitusi hasil produksi tahap I = 750)

= 650,25

Bahan Ajar Fungsi Komposisi 5

Dengan demikian, hasil produksi tahap II adalah 650,25 kg beras super.

Jadi, hasil produksi yang dihasilkan penggilingan padi tersebut jika bahan dasar padinya sebanyak 1 ton

adalah 0,65025 ton beras super.

Masalah di atas dapat diselesaikan menggunakan cara yang berbeda sebagai berikut.

Diketahui fugnsi-fungsi produksi sebagai berikut.

( ) = 0,75 x (1)

( ) = 0,867x (2)

Dengan menyubtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh fungsi

( ( )) = (0,75 )

= 0,867(0,75 )

= 0,65025

Dengan demikian, diperoleh fungsi ( ( )) = 0,65025 (3)

Jika disubtitusikan nilai x = 1000 pada persamaan (3), didapat: ( (1000)) = 0,65025(1.000)

= 650,25

Terlihat bahwa hasil produksi sebesar 650,25 kg. Nilai ini sama hasilnya dengan hasil produksi dengan

menggunakan perhitungan cara pertama di atas. Nilai g(f(x)) merupakan nilai suatu fungsi yang disebut

fungsi komposisi f dan g terhadap x yang dilambangkan dengan ( ° )( ) (dibaca g bundaran f terhadap
x). Karena itu nilai ° terhadap x ditentukan dengan ( ° )( ) = ( ( )).
Untuk mengkaji lebih dalam, perhatikan Gambar 5 berikut.

BC

Gambar 5

Berdasarkan gambar 5 di atas dapat dikemukakan beberapa hal berikut.
1. = daerah asal fungsi f; = daerah hasil fungsi f; = daerah asal fungsi g; = daerah hasil

fungsi g; ° = daerah asal fungsi komposisi ° ; ° = daerah hasil fungsi komposisi .
2. Fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B, ditulis : → .

Setiap unsur ∈ dipetakan ke ∈ dengan fungsi y = f(x). perhatikan Gambar 5 (a).

Bahan Ajar Fungsi Komposisi 6

3. Fungsi g memetakan himpunan B ke himpunan C, ditulis : → .
Setiap unsur ∈ dipetakan ke ∈ dengan fungsi z = g(y). Perhatikan Gambar 5 (b).

4. Fungsi h memetakan himpunan A ke himpunan C melalui himpunan B, ditulis ℎ: → .
Setiap unsur ∈ ℎ dipetakan ke ∈ ℎ dengan fungsi z = h(x). Perhatikan Gambar 5 (c).

Berdasarkan beberapa hal di atas diperoleh definisi berikut.

Definisi

Jika f dan g fungsi serta ∩ ≠ ∅, maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian Df ke
himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi dan (ditulis ) yang ditentukan dengan

h(x) = ( ° )( ) = ( ( ))
daerah asal fungsi komposisi f dan g adalah ° = { ∈ | ( ) ∈ }, dengan
= daerah asal fungsi f; = daerah asal fungsi g; = daerah hasil fungsi f; = daerah fungsi g.

Kapan suatu fungsi komposisi dikatakan terdefinisi?
1. Jika ∩ memiliki irisan ( ∩ ≠ ∅), maka fungsi

komposisi f dan g (ditulis ° ) dikatakan terdefinisi.
2. Jika ∩ memiliki irisan ( ∩ ≠ ∅), maka fungsi

komposisi g dan f (ditulis ° ) dikatakan terdefinisi.

Contoh 1

Diketahui fungsi dan yang dinyatakan dalam pasangan terurut:
= {(−3,1), (−2,4), (−1,5), (0,3)} = {(1, −2), (3, −1), (4, −3), (5,0)}

Tentukanlah:

1. ( ° ) 2. ( ° ) 3. ( ° )(1) 4. ( ° )(6)
Penyelesaian

1. Berdasarkan diagram panah di samping, ( ° ) pemetaan
oleh g dilanjutkan pemetaan oleh f. Sehingga diperoleh:
(1) = −2 ( (1)) = (−2) = 4

(3) = −1 ( (3)) = (−1) = 5

(4) = −3 ( (4)) = (−3) = 1

(5) = 0 ( (5)) = (0) = 3

sehingga ( ° ) = {(1,4)(3,5), (4,1), (5,3)}.

Bahan Ajar Fungsi Komposisi 7

2. Berdasarkan diagram panah di samping, ( ° ) pemetaan 8
oleh f dilanjutkan pemetaan oleh g. Sehingga diperoleh:
(−3) = 1 ( (−3)) = (1) = −2

(−2) = 4 ( (−2)) = (4) = −3

(−1) = 5 ( (−1)) = (5) = 0

(0) = 3 ( (0)) = (3) = −1
sehingga , ( ° ) = {(−3, −2)(−2, −3), (−1,0), (0, −1)}
3. ( ° )(1) = 4 (dari hasil ( ° ) = {(1,4)(3,5), (4,1), (5,3)}.
4. ( ° )(6) = tidak ada, karena 6∉ Dg (Dg = {1, 3, 4, 5}).
Contoh 2
Diketahui fungsi : ℝ → ℝ dengan f(x) = 2x + 1 dan fungsi : ℝ → ℝ dengan g(x) = x2 – 1.
1. Tentukan fungsi komposisi dari ( ° )(x) dan ( ° )( ).
2. Jika nilai x = 4, tentukan nilai dari ( ° )(4) dan ( ° )(4).
Penyelesaian
Diketahui fungsi : ℝ → ℝ dengan f(x) = 2x + 1 dan fungsi : ℝ → ℝ dengan g(x) = x2 – 1.
1. Akan ditentukan fungsi komposisi dari:
( ° )(x) = g(f(x))

= g(2x + 1)
= (2x + 1)2 – 1
= (4x2 + 4x + 1) – 1
= 4x2 + 4x
( ° )( ) = f(g(x))
= f(x2 – 1)
= 2(x2 – 1) + 1
= 2x2 – 2 + 1
= 2x2 – 1
Dengan demikian diperoleh ( ° )(x) = 4x2 + 4x dan ( ° )( ) = 2 2 – 1.
2. Untuk nilai x = 4, akan ditentukan ( ° )(4) dan ( ° )(4).
Fungsi komposisi ( ° )(x) = 4x2 + 4x
substitusi nilai x = 4, sehingga diperoleh
( ° )(4) = 4(4)2 + 4(4)
= 80
Fungsi komposisi ( ° )( ) = 2 2 – 1
substitusi nilai x = 4, sehingga diperoleh
( ° )(4) = 2(4)2 – 1
= 2(16) – 1
= 32 – 1
= 31
Dengan demikian diperoleh ( ° )(4) = 80 dan ( ° )(4) = 31.

Bahan Ajar Fungsi Komposisi

D. Rangkuman

1. Jika f dan g fungsi serta ∩ ≠ ∅, maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian Df ke
himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi dan (ditulis ) yang ditentukan dengan
h(x) = ( ° )( ) = ( ( ))
daerah asal fungsi komposisi f dan g adalah ° = { ∈ | ( ) ∈ }, dengan
= daerah asal fungsi f; = daerah asal fungsi g; = daerah hasil fungsi f; = daerah fungsi g.

2. Jika ∩ memiliki irisan ( ∩ ≠ ∅), maka fungsi komposisi f dan g (ditulis ° ) dikatakan
terdefinisi.
Jika ∩ memiliki irisan ( ∩ ≠ ∅), maka fungsi komposisi g dan f (ditulis ° ) dikatakan
terdefinisi.

E. Latihan

1. Diketahui fungsi : ℝ → ℝ dengan f(x) =7x + 2 dan fungsi : ℝ → ℝ dengan g(x) = x2 – 1.
Tentukanlah rumus fungsi komposisi ( ° )( ). Jika nilai x = 5 tentukan nilai dari ( ° )(5).

2. Diketahui fungsi f, g, dan h pada bilangan real dan didefinisikan ( ) = 2, ( ) = 5 + 3, ℎ( ) =
√ + 1, dan = . Buktikan:
a. ( ° )( ) ≠ ( ° )( )
b. ( °( °ℎ))( ) = (( ° )°ℎ))( )
c. ( ° ))( ) = ( ° ))( ) = ( )

3. M

Suatu bank di Amerika menawarkan harga tukar Dollar Amerika (USD) ke Ringgit Malaysia
(MYR), yaitu 1 USD = 4,18 MYR, dengan biaya penukaran sebesar 2 USD untuk setiap transaksi
penukaran. Kemudian salah satu bank terkenal di Malaysia menawarkan harga tukar ringgit
Malaysia (MYR) ke Rupiah Indonesia (IDR), yaitu 1 MYR = Rp 3.439,42, dengan biaya penukaran
3 MYR untuk setiap transaksi penukaran.
Seorang turis asal Amerika ingin bertamasya ke Malaysia kemudian melanjutkannya ke Indonesia.
Jika pertama dia menukarkan semua uangnya ke mata uang Ringgit Malaysia di Amerika dan
kemudian menukarnya ke Rupiah Indonesia di Malaysia, Tentukan fungsi komposisi yang
terbentuk!

Bahan Ajar Fungsi Komposisi 9

F. Tugas Proyek
Petunjuk:
1. Amatilah permasalahan di bawah ini.
2. Kerjakan tugas proyek ini bersama teman satu kelompok.
3. Selesaikan permasalahan di bawah ini dengan konsep operasi fungsi komposisi.
4. Sajikan haisl diskusi kalian dalam bentuk slide power point.

Apakah kalian pernah mengetahui proses pembuatan baju? Untuk menambah wawasan kita
tentang proses pembuatan baju, simaklah video berikut.
Link: https://www.youtube.com/watch?v=8hxYq8n_1GY
Baju berasal dari kain yang ditenun. Indonesia memiliki beragam kain tenun khas daerah misalnya
kain tenun khas Kalimantan yang disebut kain kebat. Bu Naura merupakan seorang pengusaha
konveksi besar dengan bahan kain tenun khas Kalimantan. Beliau memproduksi sendiri kain tenun
yang akan dibuat baju. Untuk membuat baju tenun, Bu Naura menyiapkan benang tenun dan
membutuhkan 2 buah mesin yaitu mesin tenun dan mesin jahit. Mesin tenun (Mesin I) mengubah
benang menjadi kain dengan ukuran 2,4 m × 1,2 m, dan mesin jahit (Mesin II) mengubah kain
menjadi pakaian dewasa siap pakai. Jika Mesin I mengikuti fungsi f(x) = 3x + 4 dan Mesin II
mengikuti fungsi g(x) =2x + 15.
a. Jika benang yang digunakan sebanyak x gulung (tiap gulung panjangnya 840 yard), tentukan

komposisi fungsinya.
b. Jika banyak benang adalah 10 gulung, berapakah banyak baju yang dihasilkan?

G. Pengayaan

1. Diketahui fungsi : ℝ → ℝ dan fungsi : ℝ → ℝ dengan f(x) =1− dan g(x) = x2 – 1 dan ( ° )( ) =
− . Tentukan formula untuk g(x).

Bahan Ajar Fungsi Komposisi 10

2. Diketahui fungsi komposisi ( ° )( ) = 18 2 + 24 + 2 dan fungsi ( ) = 2 2 − 6. Tentukan
fungsi komposisi ( ° )( ).

3. Fungsi : → dan : → dinyatakan dengan ( ) = 2 + 2 − 5 dan ( ) = − 2.
Jika ( ° )( ) = 3. Berapakah nilai x yang memenuhi?

H. Daftar Pustaka

Sinaga, dkk. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan
Kebudayaan RI.

Sukino, dkk. 2007. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Erlangga.

Sutisna, Entis. 2020. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Matematika Umum Kelas X. Diakses melalui
laman https://files1.simpkb.id/guruberbagi/rpp/152466-1600783048.pdf.

Bahan Ajar Fungsi Komposisi 11