นำเสนอ สาทิส ริง ริงย่อย

เลน่ ลนุ้ A

7 November 2021
Abstract Algebra’ Zoom Meeting



Game 1

สาทสิ สัณฐานของกรุป
(Group homomorphism)

นยิ ามฟงั กช์ ัน  : 3  5  3
โดย  (x, y)  3y สาหรับ (x, y)  3  5

จงแสดงวา่  เป็นเอกสณั ฐาน อปุ รสิ ณั ฐาน หรอื สมสัณฐานหรอื ไม่

Proof

พิจารณา  เปน็ homomorphism หรอื ไม่

ให้ a,b , c ,d   3  5

 พจิ ารณา  a,b   c , d    a  c , b  d
   a  c, b  d

 3b  d

  เปน็ homomorphism  3b  3d

  a,b   c,d 

Proof (ต่อ)
พจิ ารณา  เปน็ ฟังกช์ ัน 1-1 หรอื ไม่

0,0  3

 0
1
1,0  2

 2, 4 

เนอ่ื งจาก 0, 0 และ 1, 0  3  5
แต่   0, 0  0 และ  0, 1  0

 ไม่เป็นฟังกช์ นั 1-1

Proof (ต่อ)

พิจารณา  เป็นฟงั กช์ นั onto หรือไม่

0,0  3

 0
1
 2, 4  2

เนอื่ งจาก 1 3

แต่ไมม่ ี  a,b  3  5
ซึง่  a,b   3b  1

 ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ นั onto

สรุป

1. เนื่องจาก  เป็น homomorphism แต่ไม่เป็นฟงั กช์ นั 1-1
ดังนัน้  ไมเ่ ปน็ monomorphism

2. เน่อื งจาก  เป็น homomorphism แตไ่ มเ่ ปน็ ฟังก์ชัน onto
ดงั นั้น  ไมเ่ ปน็ epimorphism

3. เนอ่ื งจาก  เป็น homomorphism
แต่ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชัน 1-1 และไมเ่ ป็นฟังกช์ ัน onto

เพราะฉะนั้น  ไมเ่ ป็นสมสัณฐาน

20

Game 2

รงิ
(Rings)

จงพจิ ารณาเซตและการดาเนินการตอ่ ไปน้ี
ประกอบกันเป็นริงหรอื ไม่

 , , 

Proof

1 จะแสดงวา่ , เปน็ กรปุ อาบเี ลียน

จะแสดงวา่ มสี มบัติปิดภายใต้
ให้ a, b 
จะได้ a  b 

มีสมบตั ปิ ดิ ภายใต้

Proof (ต่อ)

จะแสดงวา่ มสี มบัตเิ ปล่ียนหมู่ภายใต้
ให้ a,b,c 

จะได้ a bc  a b c

มสี มบตั เิ ปลยี่ นหมภู่ ายใต้

Proof (ตอ่ )

จะแสดงว่า มี 0 เป็นเอกลกั ษณ์ภายใต้
ให้ a 
จะได้ a  0  0  a  a
มี 0 เปน็ เอกลักษณภ์ ายใต้

Proof (ต่อ)

จะแสดงวา่ a  มตี ัวผกผนั ภายใต้
ให้ a 
เลอื ก a 
จะได้ a  (a)  (a)  a 0
a  มตี ัวผกผนั ภายใต้

Proof (ตอ่ )

จะแสดงวา่ มสี มบัติสลับทภ่ี ายใต้
ให้ a, b 
จะได้ a b  b  a
มีสมบตั สิ ลบั ทภี่ ายใต้
เพราะฉะนัน้ , เป็นกรปุ อาบีเลียน

Proof (ต่อ)

2 จะแสดงว่า , เปน็ กึ่งกรุป

จะแสดงวา่ มีสมบตั ปิ ดิ ภายใต้
ให้ a, b 
จะได้ a b 
มสี มบัตปิ ิดภายใต้

Proof (ตอ่ )

จะแสดงว่า มีสมบตั เิ ปลี่ยนหม่ภู ายใต้
ให้ a, b, c 

จะได้ abc  ab c

มีสมบตั เิ ปลยี่ นหมภู่ ายใต้
เพราะฉะนนั้ , เป็นก่ึงกรปุ

Proof (ต่อ)

3 จะแสดงว่า มีกฎการแจกแจง

ให้ a, b, c 

จะได้ ab c  ab  a c
และ a  b c  a c  b c

มีกฎการแจกแจง

สรปุ

จากการพิสจู น์ 1 , เป็นกรุปอาบเี ลยี น
2 , เป็นกึ่งกรุป
3 มีกฎการแจกแจง

เพราะฉะนนั้ , , เปน็ ริง

30

Game 3

รงิ ย่อย
(Subring)

จงแสดงวา่ 3  6 เปน็ ริงย่อยของ

Proof

0 จะแสดงวา่ 3  6   และ 3  6 

เนื่องจาก 0  3(0) และ 0  6(0)
จะได้ 03 และ 06
ดงั นนั้ 03  6



 3 6  

Proof (ตอ่ )

ให้ x3  6
จะได้ x3 และ x6
นน่ั คือ x  3a และ x  6b โดย a,b
เนือ่ งจาก 3,6, a,b จะได้ 3a,6b
ดงั นัน้ x

 3 6 

Proof (ต่อ)

ให้ x, y 3  6 
จะได้ x,y3 และ x,y  6
ดงั นัน้ x  3a และ y  3c โดย a,c 
ดังน้นั x  6b และ y  6d โดย b, d 

Proof (ต่อ)

1 จะแสดงว่า x, y 3 6 , x  y3 6

พิจารณา x  y  3a  3c

 3a c3

และ x  y  6b  6d

 6b  d6

ดังนัน้ x  y 3 และ x  y 6

 x y3 6

Proof (ต่อ)

2 จะแสดงวา่ x, y 3  6 , xy 3  6

พจิ ารณา xy  3a3c

 3a3c 3

และ xy  6b6d 

 6b6d  6

ดังน้ัน xy 3 และ xy 6

 xy 3  6

สรุป

จากการพสิ จู น์

0 3  6   และ 3  6 
1 x y3 6
2 xy 3  6

เพราะฉะน้นั 3 6 เป็นรงิ ยอ่ ยของ

40

1A00

สมาชิกในกล่มุ

นายธวชั ชัย นวลมุสกิ 6201102001032
6201102001040
นางสาวจฬุ าวลั ย์ สุระกา 6201102001041
6201102001042
นายธาม สุวรรณ์ 6201102001047
6201102001048
นายปฏิภาน หนบู รรจง 6201102001057

นางสาววรารัตน์ อ้อยเปน็

นางสาววราลักษณ์ รอดมี

นางสาวมนชนก กาญจนถงึ