Bab 10 Persamaan differensial-1

Persamaan differensial

BAB X
PERSAMAAN DIFFERENSIAL

10.1. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL (PD)

Persamaan Differensial adalah suatu persamaan yang mengandung turunan
pertama atau lebih dari sebuah fungsi. Persamaan differensial disingkat dengan
PD, diklasifikasikan dalam: tipe (jenis), tingkat (ordo), derajat (pangkat), sebagai
berikut:
- Tipe PD, yaitu PD biasa (Ordinary Differential Equation), yaitu jika PD

memuat turunan dari suatu fungsi satu peubah dan PD Parsial (Partial
Differential Equation), yaitu jika PD memuat turunan parsial dari suatu
fungsi dengan dua atau lebih peubah bebas.
- Tingkat PD, Tingkat dari suatu PD adalah bilangan yang menunjukkan
tingkat tertinggi dari turunan yang terdapat dalam PD tersebut.

157

Persamaan differensial

- Derajat PD atau Pangkat/Degree, Pangkat suatu PD adalah pangkat tertinggi
dari turunan tingkat tertinggi yang terdapat dalam PD tersebut.

Contoh 10.1

1. dy  4x adalah PD biasa tingkat 1 pangkat 1
adalah PD biasa tingkat 3 pangkat 1
dx adalah PD biasa tingkat 2 pangkat 3
adalah PD parsial tingkat 2 pangkat 1
2. d3y  3y  0
dx3

3.  d2y 3   dy 6  x
 dx 2   dx 
   

4.  2  2 0
y 2 x 2

Penyelesaian PD Biasa

Penyelesaian PD biasa adalah suatu hubungan fungsional antara peubah-

peubahnya yang tidak mengandung lagi differensial atau turunan yang memenuhi

PD. Penyelesaian PD dapat berbentuk fungsi eksplisit atau fungsi implisit.

Penyelesaian umum atau general solution dari PD pangkat n adalah

penyelesaian yang memuat n konstanta dari hasil integrasi. Penyelesaian partikulir

dari suatu PD adalah suatu penyelesaian yang diperoleh dari penyelesaian umum

dengan memberi suatu nilai pada konstanta dari PU.

Pada integrasi sederhana, konstanta dari hasil integrasi dari PD dapat

mempunyai nilai tertentu dengan adanya syarat batas atau syarat awal yang

diberikan. Misalnya pada suatu PD diketahui untuk nilai maka , hal

ini disebut syarat awal.

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO SATU DERAJAT SATU

PD ordo satu derajat satu dapat dinyatakan dalam bentuk dy  f (x, y) . Jika

dx

( ) suatu konstanta, maka penyelesaian didapat dengan mencari anti

turunannya, yaitu . Jika ( ) fungsi dengan peubah dan secara

nyata ada, misalkan ( ) ( ) biasanya PD diubah ke bentuk
( )

158

Persamaan differensial

() ()

penyelesaiannya merupakan fungsi implisit.

Metode penyelesaian PD tergantung dari klasifikasi bentuk PD kadang-

kadang dapat diselesaikan dengan lebih dari satu metode. Berdasarkan pada

metode penyelesaiannya, PD ordo satu derajat satu dapat diklasifikasikan ke

dalam bentuk

1. PD dapat dipisah, peubah-peubah fungsinya dapat dipisahkan dalam ruas

persamaan yang berbeda atau dapat dikelompokkan dalam 2 kelompok,

kelompok peubah saja dan kelompok saja sehingga bentuknya menjadi

() () () ()

atau

() ()
() ()

Penyelesaiannya kemudian diperoleh dengan cara mengintegralkan kedua

ruasnya.
2. PD homogen, bila fungsi ( ) dan fungsi ( ) keduanya merupakan

fungsi homogen dengan derajat sama (pengertian fungsi homogen akan

dibahas kemudian).

3. PD Eksak, jika memenuhi turunan parsial ( ) terhadap sama dengan

turunan parsial ( ) terhadap , atau dapat dinyatakan dengan

() ()

4. PD linier, jika PD dapat dibawa ke dalam bentuk persamaan

() () () ()

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO SATU DERAJAT SATU DENGAN
PEUBAH DAPAT DIPISAH

Bentuk PD ( ) () dikatakan PD dapat dipisah
jika dapat dibentuk menjadi

159

Persamaan differensial

() ()
() ()

sehingga dengan mengintegralkan akan diperoleh

∫ () ∫ ()
() ()

gambar 10.1 Solusi PD ( )


Contoh 10.2
Selesaikan PD

()

Jawab: ) , selanjutnya dengan
Bentuk PD diubah menjadi ( ) ) , maka diperoleh

mengalikan kedua ruas dengan ((

Integralkan kedua ruas diperoleh ∫
∫

()

(( ) )

()

Jika ruas kanan diambil (hal ini boleh karena juga merupakan
160
konstanta), maka solusi PD adalah

Persamaan differensial

() √

Grafik solusinya seperti terlihat pada gambar 10.1

Contoh 10.3

Selesaikan PD .

Jawab:

Dengan pemisahan peubah, diperoleh

∫∫

Solusi PD adalah sebuah ellips,
lihat gambar 10.2.

gambar 10.2 Ellips sebagai solusi umum PD


Contoh 10.4

Selesaikan PD .

Jawab

Dengan metode pemisahan peubah

∫∫

() Gambar 10.3 Fungsi ( )
Solusi berupa fungsi tangent dapat
dilihat pada gambar 10.3

Contoh 10.5 ()
Selesaikan PD dengan syarat awal berikut
Jawab:

161

Persamaan differensial

Diketahui ( ) , maka

Jadi solusi khususnya adalah gambar 10.4 fungsi ( )

( ) , grafiknya seperti terlihat pada gambar 10.4.

PD HOMOGEN ORDO SATU DERAJAT SATU

Misalkan sebuah fungsi dua peubah yang dinyatakan oleh bentuk ( ),

fungsi tersebut disebut fungsi homogen pangkat jika untuk sebarang konstanta

berlaku

() ()

Contoh 10.6 dan ( )
Tentukan apakah fungsi ( )

( ) adalah fungsi homogen.

Jawab ) ,
a. ( ) ( )( ) ( )( )

(

( )
()

162

Persamaan differensial

b. ( ) ()

( ) ( )( ) ( ) ( )

()()

( )( )

()

Jadi fungsi adalah fungsi homogen berderajat 5 tapi bukanlah fungsi
homogen.

Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa jika jumlah pangkat
peubah dan pangkat peubah sama pada setiap suku dari ( ), maka fungsi
tersebut adalah homogen.

Penyelesaian PD Homogen Ordo Satu Derajat Satu

PD yang berbentuk ( ) () disebut PD homogen

jika ( ) dan ( ) keduanya fungsi homogen dengan derajat sama.

Penyelesaian PD homogen dilakukan dengan memisalkan atau ,

sehingga PD tersebut dapat terpisahkan atas peubah-peubahnya selanjutnya

diselesaikan dengan metode PD dapat dipisah.

Jika maka atau maka
. Selanjutnya disubstitusi ke () ()

sehingga menjadi PD dapat dipisah.

Contoh 10.7 ( ) .
Selesaikan PD

Jawab adalah fungsi homogen berderajat dua,
Perhatikan bahwa ( ) . Jadi PD di atas adalah PD homogen.
demikian pula dengan ( )

Misalkan , maka disubstitusi ke persamaan, menjadi
(
)( )

163

Persamaan differensial

()
Bentuk terakhir di atas merupakan PD dapat dipisah atas peubah dan , menjadi

Sehingga solusi PD adalah ∫
∫

Jika kita kembalikan solusi tersebut untuk PD semula, maka diperoleh

Contoh 10.7

Selesaikan .

Jawab

Dengan membagi setiap sukunya dengan diperoleh

()

Jika , maka , maka persamaan dapat diubah menjadi
()

Bentuk terakhir sudah menjadi PD terpisah terhadap peubah-peubah dan ,
sehingga diperoleh

∫∫

() ||

()

Karena , maka diperoleh solusinya adalah keluarga lingkaran-lingkaran

yang berbentuk

()

164

Persamaan differensial

gambar 10.5 Keluarga lingkaran berpusat di ( ) dengan jari-jari


Kadang–kadang dalam soal PD diketahui suatu syarat awal/batas, sehingga
diharapkan penyelesaian partikulir (khusus).

Contoh 10.8

Tentukan penyelesaian partikulir dari PD jika memberikan

.

Jawab: ) adalah PD homogen, karena dan adalah fungsi
(

homogen berderajat 2.

Misalkan maka , sehingga PD menjadi:

( )( )

()

∫ ∫ , maka

|| ||
atau ( ) . Kemudian substitusi

Karena diketahui untuk maka , maka atau . Sehingga
solusi khususnya adalah
.

165

Persamaan differensial

Contoh 10.9

Selesaikan masalah nilai awal , (√ ) .
, maka persamaan menjadi
Jawab: , maka ,
Misalkan

∫∫

Karena , maka √ √ .
Jika (√ ) () . Jadi solusinya adalah

, maka

10.2. PENYELESAIAN PD DENGAN FAKTOR INTEGRASI

Pada bagian 10.1 telah diklasifikasikan PD menurut cara penyelesaiannya dan
telah dibahas di bagian tersebut tentang PD dapat dipisah dan PD homogen.
Berikut ini adalah tentang PD Eksak (dan PD Non eksak).

PD EKSAK

Bentuk PD:

() ()

Dengan dan adalah fungsi yang (mungkin) tidak dapat dipisahkan. Misalkan

dapat ditemukan fungsi ( ), dengan turunan totalnya adalah

() () ()

maka ( ) adalah merupakan penyelesaian dari bentuk PD di atas karena

dF = 0, sehingga:

166

Persamaan differensial

() () () ()

Turunan parsial kedua untuk masing-masing peubah dari adalah

() () () ()

Jika adalah fungsi yang kontinu, maka ()
()

PD yang memenuhi syarat sama dengan inilah yang disebut PD

Eksak. Uraian di atas melahirkan suatu teori sebagai berikut:

Teorema 10.1

Jika dan adalah fungsi kontinu dari dan maka syarat

perlu dan cukup bahwa adalah PD eksak adalah

Penyelesaian PD eksak dapat dikerjakan dengan dua cara, yakni:

Cara I ( ) maka ( ) ( ).
( ))
() () (∫
()
Jika

Maka

∫

() ∫

( ) ∫( ∫)

Jadi solusi PD Eksak adalah ∫( ∫ )
( )∫

167

Persamaan differensial

Cara II ( ) maka ( ) ( ).
( ))
() () (∫
()
Jika

Maka

∫

() ∫

( ) ∫( ∫)

Jadi solusi PD Eksak adalah
( ) ∫ ∫( ∫ )

Contoh 10.10 )( ).
Selesaikan PD (
Jawab:

Perhatikan bahwa

, dan . Karena

, maka PD adalah eksak.

Cara I maka ( ) ( ) ( ).
() ) ( ))

(∫(

( ) ∫( )

()

Maka ( ) . Jadi solusi PD adalah

168

Persamaan differensial

()

Cara II maka ( ) ( ) ( ).
() (∫( ) ( ))

( ) ∫( )
()

Maka ( ) . Jadi solusi PD adalah
()
Contoh 10.11
Selesaikan Pd ( )( ).
Jawab

Uji eksak:

Gambar 10.6 Solusi PD dalam bentuk fungsi implisit

Solusi implisitnya

( )∫ () ( ) () ()

() ()
.
Maka ( )

169

Persamaan differensial

Jadi solusinya adalah ( ) ( ) (lihat gambar 10.6).

Perhatikan persamaan , dapat dilihat bahwa , yang
mengakibatkan
noneksak. dan . Bentuk PD seperti ini disebut PD

PD NON EKSAK (FAKTOR INTEGRASI)

Gagasan untuk menyelesaikan PD seperti adalah

mengupayakan suatu faktor tertentu pada PD sehingga bentuk PD menjadi PD

eksak. Misalkan bentuk PD semula adalah

() ()

yang ternyata bukan PD eksak, namun jika dikalikan dengan sebuah fungsi

( ) tertentu, maka bentuk PD menjadi

( )( ) ( )( )

menjadi PD eksak,

sehingga solusinya dapat dicari dengan Cara I atau cara II. Fungsi ( ) disebut
dengan faktor integrasi.

Contoh 10.12 , persamaan
Tunjukkan bahwa dengan faktor integrasi
dapat diselesaikan dengan metode PD eksak.
Jawab

Maka () ()
Solusinya dengan eksak

()

170

Persamaan differensial

Solusinya sama jika dikerjakan dengan metode PD dapat dipisah (perhatikan

perbedaan mungkin hanya di titik yang dalam fungsi implisitnya ,

lihat gambar 10.7).

gambar 10.7 Keluarga solusi PD

Contoh 10.13

Tunjukkan bahwa faktor integrasi , , dan juga
menjadi PD eksak.
dapat membuat persamaan

Jawab

Untuk :

Untuk ()
:

( ( )) ()

171

Persamaan differensial

(Perhatikan bahwa solusi ini bisa dikembalikan ke bentuk )

Untuk :

( ( )) ()

(Perhatikan bahwa solusi ini juga bisa dikembalikan ke bentuk )

Untuk mencari faktor integrasi dari PD sedemikian sehingga PD tersebut dapat

dikerjakan dengan metode PD eksak tidak selalu mudah. Di bawah ini akan

diberikan dua petunjuk untuk menentukan faktor integrasi, yaitu:

a. Jika ( ) (yaitu fungsi dari peubah saja), berarti dan .

Sehingga

atau
()

( )
Jika diintegralkan, maka )∫

∫(

(∫ ( ))
menjadi PD eksak.
Contoh 10.14
Ubahlah
Jawab

172

Persamaan differensial

Faktor integrasi:

(∫ ( )) (∫ )

()

Dengan bentuk seperti pada contoh 10.12 telah ditunjukkan

menjadi PD eksak.

b. Jika ( ) (fungsi terhadap peubah saja), berarti berarti dan

. Sehingga

atau
()

( )
Jika diintegralkan, maka )∫

∫(

(∫ ( ))

Contoh 10.15 ( )
Selesaikan PD
( )
Jawab: , dan
Maka

173

Persamaan differensial

Faktor integrasinya ()

(∫ ) ()
dikalikan maka
Jika PD ( ) ))

((

()

maka

() ()

dengan menggunakan cara I, penyelesaian PD eksak diperoleh:

( )∫ ( ) ∫( ) ()

()

() ()

() ∫

Maka

()
Pada persoalan PD non eksak sering dijumpai rumus–rumus turunan yang
berbentuk khusus dan jika diterapkan pada Persamaan Diffferensial (PD) akan
sangat membantu mempercepat penyelesaiannya, karena dapat ditemukan
langsung faktor integrasinya.

Faktor integrasi ada kalanya kita duga, dengan menggunakan
pengelompokan suku–suku yaitu:

174

Persamaan differensial

pendugaan faktor integrasi kita lakukan dengan memperhatikan suku–suku

lainnya dari persamaan differensialnya.
TABEL KELOMPOK SUKU–SUKU

Kelompok Faktor Differensial eksak
suku Integrasi

()

()

()

()

()

(√ )

() () ( ( )( ) )

Contoh 10.16 ) .
Selesaikanlah PD (

Jawab:
Pengelompokan suku–suku

Kelompok suku–suku – , maka faktor integrasi yang mungkin adalah

tergantung pada suku lainnya yaitu .

Jadi, faktor integrasinya PD dikalikan dengan diperoleh

()

Maka

∫

Jadi

175

Persamaan differensial

()

Contoh 10.17 ( ).
Selesaikan PD

Jawab
Pengelompokan suku–suku ( ) diperoleh

. Bentuk tersebut adalah kelompok suku-suku , maka

faktor integrasi yang mungkin adalah atau ( ) tergantung pada suku lainnya

yaitu . Jadi, faktor integrasinya ( ) .
PD ( ) dikalikan dengan diperoleh

() ()

maka

Contoh 10.18

Selesaikan PD .

Jawab : ,
Dengan memperhatikan bentuk PD, tabel kelompok suku–suku dan

maka faktor integrasinya adalah .

PD dikalikan dengan maka

atau )
()

Maka setelah diintegralkan diperoleh
(

176

Persamaan differensial

10.3. PD LINIER

PD ordo satu derajat satu disebut linier jika dapat dinyatakan sebagai

bentuk linier dalam dan , yaitu berbentuk

() () () ()

Jika dibagi dengan ( ), maka diperoleh ( ) ( ), dengan

() () () ()
() ()

Bentuk ( ) ( ) disebut bentuk umum dari PD linier ordo satu

derajat satu (yang tidak dapat diselesaikan dengan metode eksak), akan tetapi

dapat dicari fungsi ( ) sedemikian sehingga, jika bentuk ()

( ) dikalikan dengan ( ) maka akan menjadi eksak, sehingga PD dapat

diselesaikan dengan metode eksak.

( )( ()) () ()

Bentuk di atas dapat diubah menjadi PD Eksak yaitu

dimana dan , dengan sifat

sehingga atau . Jika diintegrasikan diperoleh

∫∫

Maka diperoleh faktor integrasinya adalah ( ). Selanjutnya
diperoleh

(∫ ) (∫ ) (∫ )

Maka

( (∫ )) (∫ )

177

Persamaan differensial

(∫ ) ∫ (∫ )

( )( () )

Contoh 10.19

Selesaikan PD

Jawab

Dapat dilihat bahwa bentuk PD memenuhi

bentuk umum PD linier ( ) ( ),

berarti ()
()

maka
() ( )

sehingga solusinya adalah gambar 10.8 keluarga solusi

(∫ ) (∫ )

Contoh 10.20 )
Selesaikan PD (

Jawab:

PD dapat diubah ke bentuk :

maka diperoleh

() ()

( ) (∫ ) ( ) ()
. Bentuk ini
Bentuk PD kemudian menjadi

kemudian dapat diubah menjadi

() ()

178

Persamaan differensial

Solusinya adalah )∫
∫(

Dalam bentuk eksplisit diperoleh .

Keluarga solusi PD dapat dilihat pada gambar 10.9.

Gambar 10.9 Solusi PD ( )

Bentuk PD linier ordo satu derajat satu juga dapat dibuat linier terhadap
dan , yaitu

() ()

dan solusinya dapat diperoleh dengan cara yang sama sehingga diperoleh

( ∫ ( ) ) (∫ ( ) (∫ ( ) ) )

Contoh 10.21 ( ) dengan nilai awal ketika ,
Selesaikan PD

maka .

Jawab:

Pertama kita akan mengubah bentuknya menjadi linier dalam dan ,

maka ( ) () . Bentuk ( ), sehingga
dan () ( ( ))

( ∫ () )

179

Persamaan differensial

Sehingga solusi umumnya

(∫ )
)
(∫
)
(∫ )
(
, maka
Diketahui ( )

Jadi solusi khususnya adalah

PD BERNOULLI (REDUKSI KE BENTUK PD LINIER)

PD Bernoulli adalah persamaan yang berbentuk:
() ()

Metode penyelesaian dilakukan dengan mengalikan bentuk tersebut dengan
sehingga diperoleh

() ()

maka dengan memisalkan diperoleh () .
dan , yaitu
Bentuk reduksi PD menjadi PD linier dalam
() ()
() () ) ( ).

dengan ( ) ( ) ( ) dan ( ) (

gambar 10.10 Model logistic

−


180

Persamaan differensial

Contoh 10.22 untuk dan adalah konstanta positif.
Selesaikan PD

Jawab:

Misalkan maka atau . Sehingga bentuk
atau .
reduksi PD-nya adalah ) . Karena
(
Maka solusi PD reduksinya adalah

, maka solusi PD adalah

()

Solusi ini merupakan model logistik. Contoh kurva model logistik pertumbuhan
populasi dapat dilihat pada gambar 10.10.

Contoh 10.23

Selesaikan PD .

Jawab:
Kedua ruas persamaan dikalikan dengan , sehingga menjadi

Misalkan maka atau

dengan melakukan penggantian pada beberapa suku di PD, diperoleh

Maka PD reduksi liniernya adalah ) (∫ ) )
( ∫ ) (∫( ))
(∫(

181

Persamaan differensial

()

Subtitusi diperoleh .

PD LINIER ORDO DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

Yang dimaksud dengan PD linier ordo adalah

dimana koefisien dan merupakan fungsi terhadap peubah

(atau konstanta). Jika disamakan dengan 0, maka PD disebut PD tereduksi atau

PD linier Homogen dan jika koefisien berupa konstanta, maka

dikatakan PD linier Homogen dengan koefisien konstan. Pada pembahasan kali

ini hanya akan dibahas PD linier ordo dengan koefisien konstan. PD ini

diselesaikan dengan 2 tahap, yaitu

1. Penyelesaian PD linier homogen

2. Penyelesaian PD linier tak homogen

PENYELESAIAN PD LINIER HOMOGEN

Dari bentuk PD linier ordo jika , maka

dapat diselesaikan dengan Metode Euler, yaitu dengan memisalkan ()

dengan . Maka turunan pertama, kedua, dan seterusnya sampai turunan ke-

adalah

Substitusi kembali ke PD linier homogen orde maka
atau

182

Persamaan differensial

()

Karena diharapkan bahwa maka

. Bentuk yang terakhir disebut persamaan karakteristik dan

penyelesaiannya merupakan akar-akar dari persamaan, biasanya disebut akar-akar
karakteristik. Penyelesaian dari PD homogen ini disebut penyelesaian komplemen

dan dinotasikan dengan .

Contoh 10.24

Selesaikan PD

Jawab

Misalkan , maka , sehingga PD menjadi

()

Akar-akar karakteristiknya diperoleh dari , yaitu atau

. Jadi penyelesainnya adalah

Biasanya, dalam perhitungan boleh langsung ditulis persamaan karakteristiknya.

Akar-akar karakteristik mungkin bernilai nyata atau khayal. Penyelesaian

persamaan homogen diklasifikasikan menurut macam akar-akar

karakteristiknya sebagai berikut :

1. semua akar-akar karakteristik merupakan bilangan nyata dan tidak ada yang

kembar, atau semua berlainan. Misalnya:

maka solusi

2. Semua akar-akar karakteristik merupakan bilangan nyata dan ada yang
kembar, atau ada yang sama. Misalnya:
maka

3. Ada akar-akar yang merupakan bilangan kompleks sekawan. Misalnya

maka solusinya

() ()

183

Persamaan differensial

()

Perhatikan bahwa dan

(dapat dibuktikan dengan deret Maclaurin, yaitu deret dari sama dengan

jumlah deret dan deret . Pembahasan untuk deret Taylor dan

Maclaurin dapat dilihat pada aplikasi turunan), maka

() ( ) . Maka

(( ) ( ))

Contoh 10.25

Selesaikan PD .

Jawab

Persamaan karakteristiknya , maka adalah akar
karakteristik yang berorde 2, (
) . Jadi solusinya adalah

Contoh 10.26 .
Selesaikan PD

Jawab: , yang akar-akarnya adalah
Persamaan karakteristik adalah

. Jadi solusinya adalah

Contoh 10.27 ,
Selesaikan PD 184

Jawab:
Persamaan karakteristiknya
sehingga akar-akarnya adalah

Persamaan differensial

, , , .
Maka solusinya adalah
() () ()
()
)( )
( )
(
(( ))
( )

Metode lain untuk mendapatkan penyelesaian PD linier homogen dengan
koefisien konstan adalah dengan menggunakan operator D, yaitu lambang yang
digunakan untuk turunan yang telah dipelajari pada Matematika Dasar I.
Notasinya adalah

Secara umum

Sehingga untuk persamaan PD linier homogen

menjadi

atau )
(

Persamaan di atas dapat disingkat
()

dan dibaca fungsi operator pada sama dengan 0 (nol). Bentuk persamaan yang

paling sederhana adalah( ) atau atau

185

Persamaan differensial

∫∫

Jika dimisalkan maka

( ) dan ()

sehingga persamaan ( ) menjadi:

() ( )

()

()

Karena ( ) maka ( ) hanya disebabkan oleh ( ) .

Persamaan ini selanjutnya disebut persamaan karakteristik sebagaimana telah

dijelaskan pada metode Euler.

Contoh 10.28
Selesaikan PD berikut dengan menggunakan operator D.

Jawab:

Jika diubah kebentuk operator D dengan memisalkan , maka

() .
)( )
Mempunyai persamaan karakteristik ( )

( )( ) ( )(

Akar-akar karakteristikanya diperoleh yang berordo 2 dan .

Maka penyelesaiannya adalah .

PD LINIER TAK HOMOGEN ORDE DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

Bentuk Umum:

()

Penyelesaiannya dapat diperoleh dengan tiga tahap:
1. Hitung dahulu penyelesaian komplemen ( ). (Penyelesaian PD linier
homogen selalu menjadi solusi pula untuk PD linier tak homogen.)

186

Persamaan differensial

2. Hitung penyelesaian PD dengan ruas kedua yang disebut penyelesaian
Partikulir, dilambangkan dengan ( ).

3. Penyelesaian umum (PU) adalah .

PENYELESAIAN PARTIKULIR

Menghitung dapat digunakan beberapa metode, antara lain

menggunakan metode integral selangkah demi selangkah, yaitu jika

akar-akar karakteristik dari PD, maka:

( )( )( −)

∫ ∫ ∫ ∫ ()

Contoh 10.29
Selesaikan PD
Jawab:
PD linier homogen

Persamaan karakteristiknya

( )( )

Sehingga akar-akar karakteristiknya dan .

Penyelesaian komplemennya adalah . Penyelesaian

partikulirnya untuk ( ) adalah

∫ ( )∫ ()

∫∫

∫

∫

Sehingga penyelesaian umumnya adalah .
187

Persamaan differensial

Dengan metode ini jika ( ) pada PD linier tak homogen bukan
merupakan bentuk untuk suatu konstanta, tidak semudah pada contoh ini
diperoleh, karena mungkin perlu menggunakan integral parsial dalam
perhitungannya.

PENYELESAIAN PD LINIER TAK HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN
KONSTAN DENGAN MENGUNAKAN OPERATOR D

Jika bentuk PD dapat diubah kebentuk ( ) dimana bukan salah satu

akar karakteristik dari persamaan homogennya, maka

()

Jika bentuk PD dapat diubah kebentuk ( ) dimana merupakan salah

satu akar karakteristik, maka dapat dibentuk terlebih dahulu fungsi operator D

yang lain, yaitu

() ()
()

dimana adalah bilangan yang menyatakan perulangan sebagai akar

karakteristik dari PD. Maka solusinya

()

Contoh 10.30

Selesaikan PD .

Jawab ) telah diperoleh akar-
Pada contoh sebelumnya bentuk (

akarnya adalah dan dan ini tidak sama dengan , akibatnya

188

Persamaan differensial

Jadi solusinya adalah . (hasil yang diberikan sama

dengan metode integral selangkah demi selangkah)

Contoh 10.31

Selesaikan PD: .
Jawab :

Bentuk PD di atas diubah menjadi ( ) , maka persamaan

karakteristiknya memberikan akar-akar karakteristik , dan

. memberikan sama dengan akar karakteristiknya ,
Karena ( )

maka

() ()

Maka

Contoh 10.31

Selesaikan PD .

Jawab:

Diubah ke bentuk operator D, )
(

Persamaan karakteristiknya ( ) ( ) , maka
. Sehingga penyelesaian
akar karakteristiknya (berordo 2) dan

komplemennya adalah

Menghitung menggunakan operator D,
()

Perhatikan ( ) untuk merupakan akar karakteristiknya yang berulang

dua kali, maka

189

Persamaan differensial

() ()
()

maka penyelesaian partikulirnya untuk ( ) dibedakan atas

dua penyelesaian partikulir. Yang pertama terhadap suku ,

Yang kedua, adalah terhadap suku , bukan salah satu
akar karakteristik, maka )

(

Jadi , sehingga solusi umumnya adalah

MENGHITUNG JIKA ( ) BERBENTUK FUNGSI POLINOMIAL

Jika ( ) pada PD linier dengan koefisien konstan berbentuk polinom,

misalnya ( ) , maka dapat dihitung dengan

menggunakan rumus ( ) ( ) sehingga akan diperoleh suatu deret

operator D yang dilakukan terhadap ( ) dan mungkin D berpangkat negatif,

yang berarti akan dihitung operator invers D.

Contoh 10.32 () ! )
Hitung dari PD (
Jawab:

maka

Perhatikan bahwa pembagian 1 terhadap adalah

190

Persamaan differensial

sehingga

( )( )

Contoh 10.33

Selesaikan PD .

Jawab: , maka akar karakteristiknya adalah dan .
Karena ( ) .

Penyelesaian komplemennya adalah )

( ) ( ) ( )(

karena

maka )( )( ) )
( )( )( )(
(
)( )( )
(

Jadi Penyelesaian umumnya adalah

191

Persamaan differensial

LATIHAN

1. Selesaikan PD (1 x) dy 1 0
2. Selesaikan PD y2 dx

dy  x5
dx y4

3. Selesaikan PD dy  ex y
4. Selesaikan PD dx
dy  y  9  0
dx x  5

5. Selesaikan PD dy  3 x2 y
6. Selesaikan PD dx

dy  ( y3  5)x2 0
dx (x3  1) y2

7. Selesaikan PD tg y dy  x cos2 y  0

dx

8. Selesaikan PD (4  e2x ) dy  y e2x
dx
9. Selesaikan PD
10. Selesaikan PD x2 y y’ = e y

cos x cos y dy  sin x sin y  0
dx

Selesaikan PD di bawah ini :
11. (x +y) dx + (x – y) dy = 0

12. dy  y2  t 2

dt 2ty

13. dy  x  y

dx x  y

14. (x3 – y3) dx + xy2 dy = 0
15. (x2 – xy + y2) dx – x y dy = 0
16. (3x2 – 2xy + 3y2) dx = 4xy dy
17. ( x2 + y2) dx = 2 xy dy, jika y = 0 untuk x = 1
18. ( xy2 + x2y) dy – xy2 dx = 0, jika y = 1 untuk x = 6
19. y( 3x + 2y) dx – x2 dy = 0, jika x = 1 ; y = 2
20. ( 3x2 + 2y2) y’ = 2 xy, jika x = 0 ; y = – 1

192

Persamaan differensial

dy  y , jika y = 3 ; x = 1

dx x

Tentukan penyelesaian dari PD di bawah jika eksak.
21. ( x + 2y ) dx + ( 2x + y ) dy = 0
22. ( 2xy – 3x2 ) dx + ( x2 + 2y ) dy = 0
23. (r + sin Q – cos Q) dr + r (sin Q + cos Q) dQ = 0
24. 2xy dx + ( y2 + x2 ) dy = 0
25. 3y( x2 – 1 ) dx + ( x3 + 8y – 3x ) dy = 0, jika x = 0 ; y = 1.
Selesaikan PD berikut ini
26. x dy – y dx = ( x2 + y2 ) dx
27. x dy – y dx = ( x2y + x2y3 ) dy
28. x dy – ( y + x3e2x ) dx = 0
29. ( x3 + y3 ) dx + 8xy = 0
30. ( 1 – x ) dx + ( 1 – x2 ) dy = 0
31. y2 dx + ( xy + 1 ) dy = 0
32. ( x2 + y2) dx = 2 xy dy, jika y = 0 untuk x = 1
33. ( xy2 + x2y) dy – xy2 dx = 0, jika y = 1 untuk x = 6
34. y( 3x + 2y) dx – x2 dy = 0, jika x = 1 ; y = 2
35. ( 3x2 + 2y2) y’ = 2 xy, jika x = 0 ; y = – 1
36. dy  y , jika y = 3 ; x = 1

dx x

37. dy  y  y2

dx x

38. ds  s  s2t

dt

39. x dy  y  y2 ln x

dx

40. x dy  y  xy3

dx

41. y  y  xy3ex2
42. 2x3y  y( y2  3x2)

193

Selesaikan PD linier di bawah ini: Persamaan differensial

43. dy  4 y 12 194
dx

44. dy  3x2 y  x2
dx

45. dy  4xy  6x
dx

46. 2 dy  2x3 y 9x2
dx

47. dy  2xy  ex2
dx

48. dy 3y 6x, jika x  0; y  1
dx 3

49. y’ = x3 – 2xy, jika x = 1, y = 2
50. y2 dx – x(2x + 3y) dy = 0

Hitung penyelesaian PD homogen :

d3y  3 d2y  3 dy  y  0
dx3 dx2 dx
51.

d3y  4 dy  0
dx3 dx
52.

53. d2y  5 dy  4y  0
dx 2 dx

54. y5y8 y  4y  0

55. d3y  2 dy  4y  0
dx3 dx

56. (D2 + 2D + 4) y = 0

Hitung Penyelesaian umum dari PD

57. d 2 y  4 dy  4y  2e2x

dx2 dx

58. (D2 + 5D + 4) y = 3 e-x

Persamaan differensial

59. d3y  3 d2y  4y  4e2x ex
dx3 dx2

60. (D3 + D2 - 4D + 4) y = 2ex +5e

61. d3y  d 2 y  dy y  4ex  3
dx3 dx2 dx

62. y y  y  ex  5

63. d 2 y  4 y  3 x5

dx2

64. d3y  3 d2y  2 dy  12 x2 
dx3 dx2 dx

65. d2y 3 dy  2 y  x2  2ex
dx2 dx

66. (D3 – 4D2 + 2D + 1) y = 0

67. d3y  4 d2y  3 dy  x2
dx3 dx2 dx

68. (2D2 + 2D + 3) y = x2 + 2x – 1

69. (D2 + 4D + 8 ) y = x , dimana y(0) =  1 dan y(0)  0

16

70. d2y 3 dy  2 y  ex dimana y(0) = 0 dan y(0)  1
dx2 dx

71. d2y  2 dy  y 0 jika y(0) = 0 dan y(1) = 1
dx 2 dx

72. y  2y  5y  8ex jika x = 0 maka y = 0 dan y(0)  8

73. (D2 – 2D – 3 ) y = 0 , jika x = 0 , y = 0 dan y’(0) = 0 dan tentukan

penyelesaian jika x = 1.

195

Persamaan differensial

196