Ebook สมบัติของจำนวนเต็ม

กลม่ ุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปี ท่ี 1

นายจกั รกรชิ เกษฎา

นกั ศึกษาสาขาวิชาคณิตศาสตร์

นวตั กรรมและเทคโนโลยีในการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

ก

คำนำ

ใบความรู้และแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 1
เรื่อง สมบัติของจำนวนเต็ม จัดทำตามมาตรฐานและตัวชี้วัดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ หลักสูตร
แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) เพื่อใช้ประกอบกิจกรรม
การเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์พื้นฐาน รหสั ค21101 ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 1 เร่อื งระบบจำนวนเต็ม
เพื่อส่งเสริมผู้เรียนด้านทักษะทางคณิตศาสตร์ ผู้เรียนสามารถฝึกฝนเพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนมีความเข้าใจ
เกิดทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ กระตุน้ ใหน้ กั เรยี นมีเจตคติที่ดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์ ตระหนัก
และเห็นคุณค่าของการเรียน อันนำไปสู่การบรรลุผล ตามมาตรฐานการเรียนรู้ และตัวชี้วัดของหลักสูตร
คณิตศาสตร์

หวังเป็นอย่างยิ่งว่าใบความรู้และแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ จะเป็นประโยชน์ต่อ
การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ การศึกษาค้นคว้าหาความรู้ของนักเรยี นและบุคคลที่สนใจ
เปน็ อย่างดี

จักรกรชิ เกษฎา

ข

สารบญั

เร่ือง หนา้
คำนำ ก
สารบญั ข
สมบตั ิของจำนวนเตม็ 1
สมบัติของศูนย์ 1
สมบตั ขิ องหน่งึ 3
สมบตั ิการสลบั ท่ี 5
สมบตั ิการเปลี่ยนหมู่ 6
สมบัตกิ ารแจกแจง 7
แบบฝึกทกั ษะ 9
เฉลย 11

1

สมบตั ขิ องจำนวนเตม็

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้
1. อธิบายสมบัตขิ องหนงึ่ ศูนย์ และนำไปใช้ได้
2. อธบิ ายเก่ยี วกับการบวก การคูณ จำนวนเตม็ และนำไปใช้ได้

1. สมบัติของหนง่ึ และศูนย์

1) สมบัตขิ องศูนย์

(1) จำนวนเต็มใดๆ บวกด้วยศูนย์ หรอื ศูนย์บวกด้วยจำนวนเตม็ ใดๆ จะได้
ผลบวกเทา่ กบั จำนวนนน้ั เชน่

3+0= 0+3 = 3
(-5) + 0 = 0 + (-5) = -5

a + 0 = 0 + a = a เม่อื a แทนจำนวนเต็มใดๆ

2

(2) จำนวนเตม็ ใดๆ คณู ด้วยศนู ย์ หรอื ศูนยค์ ณู ดว้ ยจำนวนเตม็ ใดๆ จะได้
ผลคณู เทา่ กับศนู ย์ เช่น

3×0=0×3 =0
(-5) × 0 = 0 × (-5) = 0

a × 0 = 0 × a = 0 เมือ่ a แทนจำนวนเต็มใดๆ

(3) ศนู ยห์ ารดว้ ยจำนวนเต็มใดๆ ท่ไี มใ่ ชศ่ นู ย์ จะไดผ้ ลหารเท่ากบั ศนู ย์ เชน่
0 =0

3

0 =0

(−5)

= 0 เมอื่ a แทนจำนวนเตม็ ใดๆ ท่ไี ม่เทา่ กับ 0



คณติ น่ารู้

ถา้ a แทนจำนวนเตม็ ใดๆ
แล้ว ไมม่ ีความหมายทาง

0

คณิตศาสตร์

3

(4) ถา้ ผลคณู ของจำนวนเตม็ สองจำนวนใดๆ เท่ากบั ศนู ย์ แล้วจำนวนใดจำนวนหนง่ึ
ต้องเท่ากบั ศูนย์ กลา่ วคอื a และ b แทนจำนวนเตม็ ใดๆ และ a × b = 0 แลว้
a = 0 หรือ b = 0

2) สมบตั ขิ องหน่ึง

(1) จำนวนเตม็ ใดๆ คณู ดว้ ยหนึง่ หรอื หนึง่ คณู ดว้ ยจำนวนเตม็ ใดๆ จะไดผ้ ลคณู เทา่ กบั
จำนวนน้ัน เช่น

3×1=1×3 = 3
(-5) × 1 = 1 × (-5) = -5

a × 1 = 1 × a = a เมอื่ a แทนจำนวนเต็มใดๆ

4

(2) จำนวนเตม็ ใดๆ หารด้วยหน่ึง จะได้ผลหารเท่ากบั จำนวนนน้ั เช่น
3÷1=3

(-5) ÷ 1 = -5

a ÷ 1 = a เมอ่ื a แทนจำนวนเต็มใดๆ

ตวั อยา่ ง

จงหาผลลพั ธข์ องของจำนวนตอ่ ไปนี้

1) (18 - 17) × (-9)

วธิ ีทำ (18 - 17) × (-9) = 1 × (-9)

= -9

2) 6 ÷ [(-4) + 5]

วธิ ีทำ 6 ÷ [(-4) + 5] = 6 ÷ 1

=6

ลองทำดู

จงหาผลลพั ธข์ องจำนวนต่อไปนี้

1) (12 – 11) × (-7) 2) 9 ÷ [23 + (-22)]

5

2. สมบัตเิ กย่ี วกบั การบวกและการคณู จำนวนเต็ม

1) สมบตั กิ ารสลับที่
(1) การบวกจำนวนเตม็ สองจำนวน เราสามารถสลบั ที่ระหว่างตวั ต้งั

และตวั บวกไดโ้ ดยที่ผลบวกยังคงเทา่ กัน เช่น
3 + (-5) = (-5) + 3 = -2

ถ้า a และ b แทนจำนวนเต็มใดๆ แล้ว a + b = b + a
สมบัตนิ ้ีเรยี กวา่ สมบตั กิ ารสลบั ท่สี ำหรับการบวก

(2) การคณู จำนวนเต็มสองจำนวน เราสามารถสลบั ทร่ี ะหวา่ งตัวต้งั
และตัวคณู ได้ โดยทผ่ี ลคูณยงั คงเทา่ กนั เชน่

3 × (-5) = (-5) × 3 = -15

ถา้ a และ b แทนจำนวนเต็มใดๆ แลว้ a × b = b × a
สมบตั ินี้เรยี กว่า สมบตั กิ ารสลบั ท่ีสำหรับการคณู

6

2) สมบตั กิ ารเปลย่ี นหมู่
(1) สมบัตกิ ารเปลย่ี นหมสู่ ำหรับการบวก เมอ่ื มจี ำนวนเตม็ สามจำนวน

บวกกัน นักเรียนสามารถบวกจำนวนเต็มคู่แรกหรอื คู่หลงั กอ่ นได้ โดยท่ี
ผลบวกสุดทา้ ยยังคงเทา่ กนั เชน่

[2 + (-7)] + (-3) = 2 + [(-7) + (-3)] = -8

ถา้ a, b และ c แทนจำนวนเต็มใดๆ แลว้ (a + b) + c = a + (b + c)
สมบัตนิ เี้ รยี กว่า สมบตั กิ ารเปล่ียนหมู่สำหรบั การบวก

(2) สมบตั ิการเปลย่ี นหมู่สำหรบั การคูณ เมื่อมจี ำนนเต็มสามจำนวน
คูณกนั นกั เรยี นสามารถคณู จำนวนคู่แรกหรอื ค่หู ลังกอ่ นได้ โดยที่
ผลคณู สุดท้ายยงั คงเท่ากนั เช่น

[2 × (-7)] × (-3) = 2 × [(-7) × (-3)] = 42

ถ้า a, b และ c แทนจำนวนเต็มใดๆ แลว้ (a × b) × c = a × (b × c)
สมบตั ินี้เรียกวา่ สมบตั กิ ารเปลี่ยนหมูส่ ำหรบั การคูณ

7

3) สมบตั ิการแจกแจง เป็นสมบัติท่ีเกีย่ วขอ้ งระหว่างการบวกและการคูณ เชน่
3 × [(-6) + 2] = 3 × (-6) + [3 × 2] = -12

[(-2) + 8] × (-3) = [(-2) × (-3)] + [8 × (-3)] = -18

ถา้ a, b และ c แทนจำนวนเตม็ ใดๆ แล้ว
a × (b + c) = (a × b) + (a × c) และ (b + c) × a = (b × a) + (c × a)

ตัวอย่าง
จงหาผลบวกของ (-18) + 31 + (-34)
วิธที ำ (-18) + 31 + (-34) = (-18) + (-34) + 31 (สมบัติการสลับทสี่ ำหรบั การบวก)

= [(-18) + (-34)] + 31 (สมบัตกิ ารเปลยี่ นหมสู่ ำหรบั การบวก)
= (-52) + 31
= -21

ลองทำดู
จงหาผลบวกของ (-27) + 35 + (-42)

8

ตวั อยา่ ง
จงหาผลคณู ของ (-3) × (-5) × 4
วธิ ที ำ (-3) × (-5) × 4 = (-3) × [(-5) × 4] (สมบตั กิ ารเปลย่ี นหมู่สำหรับการคณู )

= (-3) × (-20)
= 60
ลองทำดู
จงหาผลคณู ของ (-7) × 5 × (-6)

ตัวอยา่ ง
จงหาผลคณู ของ 123 × (-15)
วิธที ำ 123 × (-15) = 123 × [(-10) + (-5)]

= [123 × (-10)] + [123 × (-5)] (สมบัตกิ ารแจกแจง)
= (-1,230) + (-615)
= -1,845
ลองทำดู
จงหาผลคณู ของ 213 × (-26)

9

แบบฝกึ ทกั ษะ

ชอ่ื -นามสกลุ ……………………………………………………..เลขท…่ี ……หอ้ ง……..

ตอนที่ 1 จงหาผลลทั ธข์ องจำนวนเต็มตอ่ ไปนี้
1. 0 + (-21) = …………..
2. (-21) × 0 = …………..
3. (-25) × 1 = …………..
4. 0 ÷ (-20) = …………..
5. 13 ÷ 13 = …………..
6. a ÷ a = …………..
7. 7 + (-7) = …………..
8. 1 × 52 = …………..
9. (-9) ÷ 1 = …………..
10. (-42) ÷ (-42) = …………..

10

ตอนที่ 2 จงเตมิ คำลงในช่องวา่ งและบอกสมบัติที่ใช้

1. (10 + 5) + 12 = ( …….+10 ) + 12 สมบัติ………………………………….

2. (-17) + [(-2) + 19] = [19 + (-2)] +……… สมบัติ………………………………….

3. [(-32) + 22] + 48 = ……… + [(-32) + 22] สมบตั ิ………………………………….

4. [11 +(-27)] + 39 = 11 + [(-27)+………] สมบตั ิ………………………………….

5. 45 + [(-100) + 39] = [45 + (-100)] +…….. สมบัติ………………………………….

6. (8 × 9) × 3 = (9 × …..) × 3 สมบัติ………………………………….

7. (-7) × [(-2) × 4] = [4 × (-7)] ×…………. สมบัติ………………………………….

8. [(-12) × 11] × 20 = (-12) × […….. × 11] สมบัติ………………………………….

9. 40 × [(-20) + 10] = [40 × ………] + [40 × ……….] สมบัติ……………………………

10. 6 ×[(-5) + 2] = [6 ×……..] + [6 × …………] สมบัติ………………………………….

ตอนท่ี 3 จงหาผลคูณในแตล่ ะข้อต่อไปนโ้ี ดยใช้สมบตั ขิ องจำนวนเตม็

1. 18 × 74

2. 138 × (-65)

3. 123 × 996

11

เฉลย

ตอนที่ 1 จงหาผลลัทธข์ องจำนวนเต็มตอ่ ไปน้ี
1. 0 + (-21) = …..-21…..
2. (-21) × 0 = …..0…..
3. (-25) × 1 = …..-25…..
4. 0 ÷ (-20) = …..0…..
5. 13 ÷ 13 = …..1…..
6. a ÷ a = …..1…..
7. 7 + (-7) = …..0…..
8. 1 × 52 = …..52…..
9. (-9) ÷ 1 = …..-9…..
10. (-42) ÷ (-42) = …..1…..

12

ตอนที่ 2 จงเตมิ คำลงในช่องว่างและบอกสมบัติทีใ่ ช้

1. (10 + 5) + 12 = ( ….5….+10 ) + 12 สมบัติการสลับท่ีสำหรับการบวก

2. (-17) + [(-2) + 19] = [19 + …-2..] +…(-7)… สมบตั ิการสลบั ทสี่ ำหรับการบวก

3. [(-32) + 22] + 48 = …48… + [(-32) + 22] สมบัติการสลับทส่ี ำหรับการบวก

4. [11 +(-27)] + 39 = 11 +[(-27) +…39…] สมบัติการเปลยี่ นหมู่สำหรับการบวก

5. 45 + [(-100) + 39] = [45 + (-100)] +..39.. สมบตั ิการเปลย่ี นหมสู่ ำหรับการบวก

6. (8 × 9) × 3 = (9 × …8..) × 3 สมบตั ิการสลบั ท่ีสำหรับการคูณ

7. (-7) × [(-2) × 4] = [4 × (-7)] ×…(-2)…. สมบัติการเปล่ียนหมู่สำหรับการคูณ

8. [(-12) × 11] × 20 = (-12) ×[..20.. × 11] สมบัติการเปล่ียนหมสู่ ำหรับการคณู

9. 40 × [(-20) + 10] = [40 × …(-20)…] + [40 × …10….] สมบัติการแจกแจง

10. 6 ×[(-5) + 2] = [6 ×…(-5)..] + [6 × …2……] สมบัติการแจกแจง

ตอนท่ี 3 จงหาผลคูณในแต่ละข้อตอ่ ไปนโี้ ดยใช้สมบตั ขิ องจำนวนเตม็

1. 18 × 74 ตอบ 1,332

2. 138 × (-65) ตอบ -8,970

3. 123 × 996 ตอบ 122,508