หน่วย 1 ลำดับและอนุกรม

1. ลาดบั (Sequence)

1.1 ความหมายของลาดับ

ถา้ กาหนดใหฟ้ ังกช์ นั y  f x เป็ นฟังกช์ นั ท่มี ีโดเมนเป็ นจานวนเตม็ บวก
จะเรียก f 1 , f 2 , f 3 , ... , f n , ... วา่ ลาดับ
และถา้ โดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก n จานวนแรก
จะเรียก f 1 , f 2 , f 3 , ... , f n วา่ ลาดับจากดั (finite sequence)
แต่ถา้ กาหนดใหโ้ ดเมนของฟังกช์ นั เป็ นจานวนเตม็ บวก
จะเรียก f 1 , f 2 , f 3 , ... , f n , ... วา่ ลาดบั อนันต์ (infinite sequence)
ตวั อยา่ งเช่น กาหนด y  f x  2x 1

จะได้ f 1  3
f 2  5
f 3  7



f n  2n 1



จะเรียก 3 , 5 , 7 , ... , (2n + 1) วา่ ลาดบั จากัด
และเรียก 3 , 5 , 7 , ... , (2n + 1) , ... วา่ ลาดบั อนันต์

บทนิยาม “ลาดบั ” คือ ฟังกช์ นั ท่มี ีโดเมนเป็ นเซตของจานวนเตม็ บวก n ตวั แรก หรือ
เซตของจานวนเตม็ บวก
ลาดบั ท่มี ีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก n ตวั แรก เรียกวา่ “ลาดบั จากดั ”
ลาดบั ท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก เรียกวา่ “ลาดบั อนนั ต”์

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 2 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

นนั่ คอื ถา้ ให้ y  f x เป็ นฟังกช์ นั ของลาดบั
เรียก f 1 วา่ พจนท์ ี่ 1 ของลาดบั เขียนแทนดว้ ย a1
เรียก f 2 วา่ พจน์ที่ 2 ของลาดบั เขียนแทนดว้ ย a2
เรียก f 3 วา่ พจนท์ ่ี 3 ของลาดบั เขียนแทนดว้ ย a3



เรียก f n วา่ พจนท์ ี่ n ของลาดบั เขียนแทนดว้ ย an หรือ เรียก พจนท์ ว่ั ไปของ

ลาดบั

ดงั น้นั จะไดว้ า่ a1 , a2 , a3 , ... , an เป็ นลาดบั จากดั
และ a1 , a2 , a3 , ... , an , ... เป็ นลาดบั อนนั ต์

ตวั อย่างท่ี 1 จงหา 4 พจน์แรกของลาดบั an  1
แนวคดิ 2n 1

จาก an  1
2n 1

จะได้ a1  1  1

21 1

a2  1  1
3
22 1

a3  1  1
5
23 1

a4  1  1
7
24 1

 4 พจนแ์ รกของลาดบั น้ี คอื 1 , 1 , 1 , 1

357

ตวั อย่างท่ี 2 จงเขยี น 3 พจนแ์ รกของลาดบั an  1n
แนวคดิ
n

จาก an   1n

n

จะได้ a1   11  1

1

a2   12  1
2
2

a3   13  1
3
3

 3 พจน์แรกของลาดบั น้ี คือ 1 , 1 , 1

23

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 3 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

ตวั อย่างท่ี 3 กาหนด an  2n เมื่อ n เป็นจานวนคบี่ วก
แนวคดิ จงหาลาดบั อนนั ตข์ องลาดบั น้ี

n + 1 เม่ือ n เป็ นจานวนคูบ่ วก

a1  21  2

a2  2 1  3

a3  23  6

a4  4 1  5

a5  25  10

a6  6 1  7

ดงั น้นั ลาดบั อนนั ตน์ ้ี คอื 2 , 3 , 6 , 5 , 10 , 7 , ...

1.2 การหาพจน์ทั่วไปของลาดับ

การหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เป็ นการเขียนแสดงพจนท์ วั่ ไป an ในรูปท่ีมี n เป็ นตวั แปร เมื่อ
แทน n เป็นเซตของสมาชิกของจานวนเตม็ บวก

การหาพจนท์ ว่ั ไปใชก้ ารสงั เกตความสมั พนั ธข์ องพจน์ตา่ งๆ และสงั เกตความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพจน์
กบั พจน์และลาดบั ที่ (n) ของพจน์ดว้ ย

ตัวอย่างที่ 4 จงหาพจนท์ วั่ ไปของลาดบั จากดั 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001

แนวคดิ จะได้ a1  0.1 1 1
10 101

a2  0.01  1  1
100 102

a3  0.001  1 1
1,000 103

a4  0.0001  1 1
10,000 104

ดงั น้นั an 1  10n
10n

ตัวอย่างท่ี 5 จงหาพจนท์ ่ี n ของลาดบั จากดั 2 , 3 , 4 , 5
แนวคดิ
3456

จะได้ a1  2  11
3 1 2

a2  3  2 1
4 22

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 4 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

a3  4  31
5 32

a4  5  4 1
6 42

ดงั น้นั an  n 1
n2

แบบฝึ กพฒั นาการเรียนรู้ ชดุ ท่ี 1

1. จงเขียน 4 พจนแ์ รกของลาดบั ตอ่ ไปน้ี

1) an  2n  3 2) an  n2 1
2n

................................................................................. ....................................................................................

................................................................................. ....................................................................................

................................................................................. ....................................................................................

................................................................................. ....................................................................................

................................................................................. ....................................................................................

3) an   1n 4) an  1 1
nn 1 2n n

................................................................................. ....................................................................................
................................................................................. ....................................................................................
................................................................................. ....................................................................................
................................................................................. ....................................................................................
................................................................................. ...................................................................................

– 3 , n เป็นจานวนคบี่ วก

5) an =

2 , n เป็ นจานวนคู่บวก

n3

.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 5 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

2. จงเขียนพจน์ทวั่ ไปของลาดบั ต่อไปน้ี 3) 1 , 1 , 1 , 1

1) 1 , 3 , 5 , 7 3579
.................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................ .................................................................................
................................................................................ .................................................................................
.................................................................................
2) 0.4 , 0.04 , 0.004 , 0.0004
................................................................................. 4) 1 , 2 , 3 , 4
.................................................................................
................................................................................. 5 25 125 625
.................................................................................
................................................................................. .................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................

แบบทดสอบตนเอง ชดุ ท่ี 1

จงตรวจสอบว่าข้อความต่อไปนี้เป็ นจริงหรือเทจ็
_______ 1. ถา้ A = {(1 , 1) , (2 , 3) , (3 , 5) , (4 , 7) , ...} เป็นเซตท่มี ีโดเมนเป็นจานวนเตม็ บวก
_______ 2. เซตทีม่ ีโดเมนเป็นจานวนเตม็ บวก เรียกวา่ ลาดับ
_______ 3. ถา้ A = {(1 , 1) , (2 , 3) , (3 , 5) , (4 , 7) , ...} แลว้ 1 , 3 , 5 , 7 , ... เป็ นลาดบั จากดั
_______ 4. ถา้ A = {(1 , 1) , (2 , 3) , (3 , 5) , (4 , 7) , ...} แลว้ 1 , 3 , 5 , 7 , ... เป็นลาดบั อนนั ต์
_______ 5. ลาดบั ทมี่ ีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก n ตวั แรก เรียกวา่ ลาดับจากัด
_______ 6. ลาดบั ท่มี ีโดเมนเป็ นเซตของจานวนเตม็ บวก เรียกวา่ ลาดบั อนันต์
_______ 7. พจน์ต่างๆ ในลาดบั เขียนแทนดว้ ย a1 , a2 , a3 , ... , an , ... และเรียก an วา่ พจน์ทวั่ ไป

ของลาดบั
_______ 8. ลาดบั 2 , 3 , 4 , 5 เป็ นลาดบั ทีม่ ี 4 พจน์ และมีพจนท์ วั่ ไป คอื n + 1

เอกสารประกอบการเรียนรู้ “ ลาดับและอนุกรม” 6 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.6/1-6/3

_______ 9. ถา้ an  2n 1 แลว้ 4 พจน์แรกของลาดบั น้ี คอื 1 , 3 , 5 , 7

_______ 10. ถา้ an  1n 2n แลว้ พจน์ที่ 5 ของลาดบั น้ี คอื 10

_______ 11. ลาดบั 1 1 1 1  1 n1 เป็ นลาดบั จากดั ท่มี ี an   1 n1
, , , ,..., ,...
3 5 7 9 2n 1 2n 1

_______ 12. ลาดบั 1 1 1 1  1 n1 เป็นลาดบั อนนั ตท์ ม่ี ี a20  1
, , , ,..., ,... 41
3 5 7 9 2n 1

เฉลยแบบทดสอบตนเอง ชดุ ท่ี 1

ขอ้ ทเี่ ป็นเทจ็ คือ ขอ้ 3 , 10 , 11

2. ลาดบั เลขคณิต (Arithmatic Sequence)

ถา้ an = 2n + 1
จะได้ a1 = 2(1) + 1 = 3

a2 = 2(2) + 1 = 5
a3 = 2(3) + 1 = 7
a4 = 2(4) + 1 = 9
เมื่อ a1 , a2 , a3 , ... , an เป็ นลาดบั จะสงั เกตไดว้ า่
a2  a1  a3  a2  a4  a3  คา่ คงตวั เรียกคา่ คงตวั น้ีวา่ “ผลตา่ งร่วม”
เขียนแทนดว้ ย d และเรียกลาดบั ท่ีมีผลตา่ งร่วมวา่ “ลาดบั เลขคณิต”
ในทีน่ ้ี จะได้ a2  a1  a3  a2  a4  a3  2 โดยท่ี d = 2

บทนิยาม ลาดบั เลขคณิต คือ ลาดบั ทีผ่ ลต่างซ่ึงไดจ้ ากพจน์ที่ n + 1 ลบดว้ ยพจนท์ ี่ n
มีค่าคงตวั เป็นค่าเดียวกนั สาหรบั ทุก ๆ n = 1 , 2 , 3 , … เรียกค่าคงตวั น้ีวา่
“ผลต่างร่วม” (Common Difference)

รปู ทวั่ ไปของลาดบั เลขคณิต
เมื่อ a1 เป็ นพจน์แรกของลาดบั เลขคณิต และ d เป็ นผลตา่ งร่วม ดงั น้นั
รูปทว่ั ไปของลาดบั เลขคณิต คอื

a1, a1  d, a1  2d, a1  3d,...,a1  n 1d

เอกสารประกอบการเรียนรู้ “ ลาดับและอนกุ รม” 7 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.6/1-6/3

พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เลขคณิต
เม่ือ a1 เป็ นพจนแ์ รกของลาดบั เลขคณิต และ d เป็ นผลตา่ งร่วม ดงั น้นั
พจนท์ วั่ ไปของลาดบั เลขคณิต คอื

an  a1  n 1d

และ d  an1  an

สมบตั ิบางประการของลาดบั เลขคณิต

ถา้ a1 , a2 , a3 ,... และ b1 , b2 , b3 ,... เป็ นลาดบั เลขคณิต แลว้ จะไดว้ า่

1. a1 , a3 , a5 ,... เป็นลาดบั เลขคณิต

2. a2 , a4 , a6 ,... เป็นลาดบั เลขคณิต

3. a1  a2 , a2  a3 , a3  a4 ,... เป็นลาดบั เลขคณิต

4. a1  k , a2  k , a3  k ,... เป็นลาดบั เลขคณิต

5. a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ,... เป็นลาดบั เลขคณิต

6. a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ,... เป็นลาดบั เลขคณิต

ตวั อย่างที่ 6 จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เลขคณิตต่อไปน้ี
(1) 1 , 3 , 5 , 7 , ...
(2) 15 , 12 , 9 , 6 , ...

แนวคดิ (1) จากโจทย์ จะไดว้ า่ a1 = 1 และ d = 3 – 1 = 2
จากสูตร an  a1  n 1d
จะได้ an  1 n 12

an  2n 1

ดงั น้นั พจนท์ ว่ั ไป คอื 2n 1
(2) จากโจทย์ จะไดว้ า่ a1 = 15 และ d = 12 – 15 = – 3

จากสูตร an  a1  n 1d
จะได้ an  15  n 1 3

an  18  3n

ดงั น้นั พจน์ทว่ั ไป คือ 18  3n

เอกสารประกอบการเรียนรู้ “ ลาดับและอนกุ รม” 8 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.6/1-6/3
ตัวอย่างที่ 7 จงหาพจนท์ ่ี 20 ของลาดบั เลขคณิต 1 , 4 , 7 , ...

แนวคดิ จากสูตร an  a1  n 1d
ตวั อย่างท่ี 8 จากโจทย์ จะไดว้ า่ a1 = 1 และ d = 4 – 1 = 3
แทนคา่ ในสูตร จะได้ a20  1 20 13

= 58
ดงั น้นั พจน์ท่ี 30 ของลาดบั น้ี คือ 58
ถา้ พจน์ท่ี 12 และพจน์ที่ 28 ของลาดบั เลขคณิตมีค่าเป็ น – 21 และ 27 ตามลาดบั

จงหาพจนท์ ่ี 7 ของลาดบั น้ี

แนวคดิ จากโจทย์ จะไดว้ า่ a12 = – 21 และ a28 = 27

ดงั น้นั จาก a12 จะได้  21  a1  12 1d 1
2
และ จาก a28 จะได้ 27  a1  12 1d

(2) – (1) ; 16 d = 48

d=3

จาก (1) จะได้ a1 = – 54

 พจน์ทว่ั ไปของลาดบั น้ี คอื an  3n  57

ดงั น้นั พจนท์ ี่ 7 คือ a7  37 57 = – 36

ตวั อย่างท่ี 9 จงหาจานวนพจน์ท้งั หมดของลาดบั เลขคณิตทม่ี ีเง่ือนไขดงั ตอ่ ไปน้ี
(1) จานวนนบั ที่มีค่าระหวา่ ง 10 กบั 100
(2) จานวนนบั ที่มีค่าต้งั แต่ 10 กบั 100
(3) จานวนนบั ที่มีค่าต้งั แต่ 200 ถึง 800 ทีห่ ารดว้ ย 9 ลงตวั

แนวคดิ (1) จานวนพจนท์ ้งั หมด = 100 – 10 – 1 = 89 จานวน
(2)
(3) จานวนพจน์ท้งั หมด = 100 – 10 + 1 = 91 จานวน

จากโจทย์ จะไดว้ า่ ลาดบั เลขคณิต คือ 207 , 216 , 223 , ... , 792

 a1 = 207 , d = 9 และ an = 792
an  a1  n 1d
จากสูตร 792  207  n 19
จะได้

585  n 1
9

n = 66

ดงั น้นั จานวนนบั ทม่ี ีค่าต้งั แต่ 200 ถึง 800 ที่หารดว้ ย 9 ลงตวั มี 66 พจน์

เอกสารประกอบการเรียนรู้ “ ลาดับและอนุกรม” 9 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.6/1-6/3

ตัวอย่างท่ี 10 ถา้ จดั กอ้ นอิฐกองหน่ึงซอ้ น ๆ กนั ใหช้ ้นั ล่างมีกอ้ นอิฐเรียงตามยาวชิดกนั ตลอด 52 กอ้ น
วางช้นั ที่ 2 ใหแ้ นวก่ึงกลางของกอ้ นอิฐแต่ละกอ้ นในช้นั น้ีอยตู่ รงกบั รอยต่อของกอ้ นอิฐ
แต่ละคูใ่ นช้นั แรก ทาเช่นน้ีในช้นั ต่อ ๆ ไป จนช้นั บนสุดมีกอ้ นอิฐ 7 กอ้ น จงหาวา่
จะตอ้ งซอ้ นกอ้ นอิฐท้งั หมดก่ีช้นั

แนวคดิ  ช้นั ล่างสุดมีกอ้ นอิฐท้งั หมด 52 กอ้ น
ช้นั ที่ 2 มีกอ้ นอิฐท้งั หมด 51 กอ้ น
ช้นั ท่ี 3 มีกอ้ นอิฐท้งั หมด 50 กอ้ น



ช้นั บนสุดมีกอ้ นอิฐท้งั หมด 7 กอ้ น

 จานวนกอ้ นอิฐในแตล่ ะช้นั เรียงกนั เป็ นลาดบั เลขคณิต 52 , 51 , 50 ,... , 7

สมมุติให้ มีกอ้ นอิฐท้งั หมด n ช้นั

จากสูตร an  a1  n 1d

จะได้ 7  52  n 11
n = 53 – 7 = 46

 จานวนช้นั ของกอ้ นอิฐน้ีมี 46 ช้นั

การสมมตุ ิเพ่ือหาลาดบั เมื่อกาหนดลาดบั เลขคณิต k จานวน

(เทคนิคการสรา้ งพจนแ์ บบสมมาตร)
ช่วยในการแกโ้ จทยป์ ัญหาลาดบั เลขคณิตงา่ ยและสะดวกข้นึ เมื่อกาหนดสมาชิกของ
ลาดบั ให้ k จานวน ซ่ึงมีการสมมุติรูปทวั่ ไปของลาดบั ตามลกั ษณะโจทย์ ดงั น้ี

ถา้ k เป็ นจานวนคี่
สมมุตลิ าดบั ในรูป ,a  2d,a  d,a,a  d,a  2d, ซ่ึงมีผลต่างร่วมเทา่ กบั d

ถา้ k เป็ นจานวนคู่
สมมุตลิ าดบั ในรูป ,a  3d,a  d,a  d,a  3d, ซ่ึงมีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 2d

เอกสารประกอบการเรียนรู้ “ ลาดับและอนกุ รม” 10 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.6/1-6/3

ตัวอย่างท่ี 11 จานวนสามจานวนเรียงกนั เป็นลาดบั เลขคณิต โดยจานวนนบั ท้งั สามจานวนน้ีมีผลบวก
เทา่ กบั 12 และผลบวกกาลงั สองของแต่ละจานวนเทา่ กบั 66 จงหาจานวนท้งั สาม
จานวนน้ี

แนวคดิ สมมตใิ หจ้ านวนท้งั สามจานวนในลาดบั เลขคณิต คอื a  d,a,a  d
จากโจทย์ จะไดว้ า่ a  d  a  a  d  12

 3a = 12
a=4

และ a  d 2  a2  a  d 2  66

 a2  2ad  d 2  a2  a2  2ad  d 2  66

3a2  2d 2 = 66

แทนค่า a = 4 จะได้ 2d 2 = 18

d2 = 9

d = 3

ถา้ d = 3 จะไดจ้ านวนนบั ท้งั สามจานวน คอื 1 , 4 , 7

ถา้ d = – 3 จะไดจ้ านวนนบั ท้งั สามจานวน คอื 7 , 4 , 1

แบบฝึ กพฒั นาการเรียนรู้ ชดุ ที่ 2

1. ลาดบั เลขคณิตท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี จงหาคา่ ผลตา่ งร่วม d
(1) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ... มีค่าผลตา่ งร่วม d = ……………………………………………...
(2) 0 , 1 , 1 , 3 , 2 , … มีคา่ ผลตา่ งร่วม d = ……………………………………………...

22

(3) 20 , 17 , 14 , 11 , ... มีค่าผลต่างร่วม d = ……………………………………………...
(4) 8 , 5 , 2 , - 1 , - 3 , ... มีคา่ ผลตา่ งร่วม d = ……………………………………………...
(5) 3 , 1 , -1 , -3 , -5 , ... มีค่าผลต่างร่วม d = ……………………………………………...

เอกสารประกอบการเรียนรู้ “ ลาดับและอนุกรม” 11 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.6/1-6/3

2. จงเขยี น 4 พจนแ์ รกของลาดบั เลขคณิต เมื่อกาหนดพจนแ์ รก a1  และผลต่างร่วม d ใหด้ งั น้ี

(1) a1 = 5 , d = 3 (3) a1 = 10 , d = – 2

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

(2) a1 = – 3 , d = 2 (4) a1 = 2 , d = 1

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………....

3. จงหาพจนท์ ่กี าหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี (3) a15 เมื่อ a1 = 8 , d = – 2
(1) a4 เม่ือ a1 = 3 , d = 2 ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… (4) a20 เมื่อ a1 = 5 , d = – 2
……………………………………………………
(2) a10 เม่ือ a1 = – 7 , d = 3 ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

4. จงหาพจน์ทว่ั ไปของลาดบั เลขคณิตตอ่ ไปน้ี (3) 0 , 1 , 1 , 3 , 2 , …

(1) 13 , 15 , 17 , 19 , … 22
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
(2) 8 , 5 , 2 , - 1 , - 3 , ...
…………………………………………………… (4) 3 , 1 , -1 , -3 , -5 , ...
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 12 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

5. จงหาพจน์ท่ี 25 ของลาดบั เลขคณิต 12 , 9 , 6 , ...
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

6. จงหาพจนท์ ่ี n ของลาดบั เลขคณิต – 10 , – 13 , – 16 , ...
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

7. ลาดบั เลขคณิตลาดบั หน่ึงมีพจน์แรกเป็น 20 และพจนท์ ่ี 11 เป็น 35 จงหาพจน์ที่ 30
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

8. ลาดบั เลขคณิต 96 , 83 , 70 , ... , – 294 น้ีมีกี่พจน์
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

9. จานวนเตม็ ทมี่ ีค่าระหวา่ ง 100 กบั 400 มีก่ีจานวนท่ี 9 หารลงตวั
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

10. จานวนจริง 4 จานวนเรียงกนั เป็นลาดบั เลขคณิต ผลบวกของจานวนท้งั 4 เท่ากบั 32 ถา้ จานวนแรก
และจานวนสุดทา้ ยต่างกนั 12 จงหาจานวนท้งั ส่ีน้ี
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 13 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

11. จงหาค่า k ท่ที าให้ 2k  4 , 3k  7 , k 12 เป็ นลาดบั เลขคณิต
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

12. ในการจดั ท่ีนง่ั กลางสนามหนา้ โรงเรียนแห่งหน่ึงสาหรับดูการแสดงดนตรีคร้งั หน่ึง โดยจดั เกา้ อ้ีแถว
แรก 70 ตวั แถวทีส่ อง 82 ตวั แถวท่ีสาม 94 ตวั และแถวสุดทา้ ย 298 ตวั จงหาวา่ ในการจดั เกา้ อ้ีคร้งั
น้ีมีก่ีแถว
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

แบบทดสอบตนเอง ชดุ ท่ี 2

จงตรวจสอบว่าข้อความต่อไปน้ีเป็ นจริงหรือเทจ็
_______ 1. 8 , 15 , 22 , 29 , ... เป็นลาดบั เลขคณิตทมี่ ีค่าผลต่างร่วมเทา่ กบั 7
_______ 2. 35 , 26 , 17 , 8 , ... เป็นลาดบั เลขคณิตท่มี ีคา่ ผลต่างร่วมเทา่ กบั – 9
_______ 3. – 2 , – 5 , – 8 , – 11 , ... เป็ นลาดบั เลขคณิตทีม่ ีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั – 3
_______ 4. 1 , – 3 , 2 , – 6 , 3 , – 9 , ... เป็นลาดบั เลขคณิตทีม่ ีผลตา่ งร่วมเท่ากบั – 4
_______ 5. ถา้ a1 , a2 , a3 , ... , an เป็ นลาดบั เลขคณิต แลว้ ค่าผลต่างร่วม หรือ ค่า d จะมีคา่ เทา่ กนั

โดย d  a2  a1  a3  a2  an1  an
_______ 6. ถา้ a1 , a2 , a3 , ... , an,... เป็ นลาดบั เลขคณิต โดยมีค่า d เป็ นคา่ ผลต่างร่วมของลาดบั แลว้

จะไดว้ า่ รูปทวั่ ไปของลาดบั เลขคณิตน้ี คอื a1,a1  d,a1  2d,...,a1  n 1d,...

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 14 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

_______ 7. จากขอ้ 6 เรียก a1 , a2 , a3 , ... , an วา่ ลาดบั เลขคณิตจากดั และ เรียก
a1 , a2 , a3 , ... , an ,... วา่ ลาดบั เลขคณิตอนนั ต์

_______ 8. ถา้ 5 , 9 , 13 , 17 , ... และ 12 , 8 , 4 , 0 , ... เป็นลาดบั เลขคณิตแล้ว จะไดว้ า่ 5 , 13 , 21 , ...
และ 12 , 4 , – 4 , ... เป็นลาดบั เลขคณิต

_______ 9. จากขอ้ 8 จะไดว้ า่ 5 + 12 , 9 + 8 , 13 + 4 , 17 + 0 , ... เป็นลาดบั เลขคณิต

_______ 10. จากขอ้ 8 ถา้ a1 , a2 , a3 , ... , an ,... และ b1 , b2 , b3 , ... , bn ,... เป็ นลาดบั เลขคณิต
แลว้ จะไดว้ า่ a1  b1,a2  b2,a3  b3,... เป็ นลาดบั เลขคณิต

_______ 11. ลาดบั เลขคณิต 2 , 4 , 6 , 8 , ... จะมีคา่ พจน์ที่ 10 เป็น 20 และมีคา่ พจนท์ ว่ั ไปเป็ น 2n หรือ

an  2n

_______ 12. จากขอ้ 11 จะไดว้ า่ พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เลขคณิต ( an ) คอื an = a1  n 1d

_______ 13. ลาดบั เลขคณิต 1 , 3 , 5 , 7 , ... มีพจน์ทวั่ ไป คือ an  2n 1

_______ 14. ลาดบั เลขคณิต 1 , 1 , 0 ,  1 , ... มีค่า d1 และมีพจน์ทวั่ ไป คือ an  3n
2 2
2 2

_______ 15. จานวนนบั ทีม่ ีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง 50 กบั 1005 จะมีท้งั หมด 954 จานวน

_______ 16. จานวนนบั ท่ีมีค่าต้งั แต่ 50 ถึง 1005 จะมีท้งั หมด 954 จานวน

_______ 17. จานวนนบั ท่ีมีค่าอยรู่ ะหวา่ ง a1 กบั an จะมีท้งั หมดเทา่ กบั an  a1 1 จานวน
_______ 18. จานวนนบั ทม่ี ีคา่ ต้งั แต่ a1 ถึง an จะมีท้งั หมดเท่ากบั an  a1 1 จานวน
_______ 19. จานวนนบั ทีม่ ีคา่ ต้งั แต่ 100 ถึง 1000 จะมีท้งั หมด 901 จานวน

_______ 20. ลาดบั ของจานวนนบั ทม่ี ีค่าต้งั แต่ 100 ถึง 1000 ท่หี ารดว้ ย 5 ลงตวั คือ
100 , 105 , ... , 1000

_______ 21. ลาดบั ของจานวนนบั ท่ีมีค่าอยรู่ ะหวา่ ง 100 กบั 1000 ที่หารดว้ ย 5 ลงตวั คอื
100 , 105 , ... , 1000

_______ 22. ลาดบั ของจานวนนบั ที่มีคา่ ต้งั แต่ 100 ถึง 1000 ที่หารดว้ ย 5 ลงตวั คือ
100 , 105 , ... , 1000 และมีจานวนท้งั หมด 181 จานวน

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 15 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

_______ 23. จานวนนบั ที่มีค่าต้งั แต่ 100 ถึง 1000 ท่ีหารดว้ ย 5 ไม่ลงตวั จะมีท้งั หมด 720 จานวน

_______ 24. n,2n 1,3n  2 เป็ นลาดบั เลขคณิตทม่ี ีคา่ d  2n 1 n  3n  2 2n 1

_______ 25. ลาดบั เลขคณิต 2k  4 , 3k  7 , k 12 จะมีคา่ k เทา่ กบั 12

เฉลยแบบทดสอบตนเอง ชดุ ที่ 2

ขอ้ ทเี่ ป็นเทจ็ คอื ขอ้ 4 , 14 , 16 , 21 , 25

3. ลาดับเรขาคณติ (Geometric Sequences)

ถา้ an  2n
จะได้ a1  21  2
a2  22  4
a3  23  8
a4  24  16

จะสงั เกตไดว้ า่ a2  a3  a4  2

a1 a2 a3

เรียกลาดบั ท่ีมีอตั ราส่วนมีคา่ คงทล่ี กั ษณะน้ีวา่ อตั ราส่วนร่วม เขียนแทนดว้ ย r และเรียกลาดบั ท่ี
มีอตั ราส่วนของพจนท์ ี่ n + 1 ต่อพจนท์ ่ี n มีคา่ คงตวั วา่ ลาดับเรขาคณิต

บทนิยาม ลาดบั เรขาคณิต คอื ลาดบั ท่ีอตั ราส่วนของพจน์ที่ n + 1 ต่อพจน์ที่ n มีคา่ คงตวั
เป็ นคา่ เดียวกนั สาหรบั ทุก ๆ n = 1 , 2 , 3 , … ค่าคงตวั น้ี เรียกวา่
อัตราส่วนร่วม (Common Ratio) แทนดว้ ย r

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 16 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

รปู ทวั่ ไปของลาดบั เรขาคณิต
เมื่อ a1 เป็ นพจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิต และ r เป็ นอตั ราส่วนร่วม ดงั น้นั
รูปทวั่ ไปของลาดบั เรขาคณิต คือ

a1, a1r, a1r 2 , a1r 3 ,..., a1r n1

พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เรขาคณิต
เม่ือ a1 เป็ นพจน์แรกของลาดบั เรขาคณิต และ r เป็ นอตั ราส่วนร่วม ดงั น้นั
พจน์ทว่ั ไปของลาดบั เรขาคณิต คอื

an  a1r n1

และ

r  an1 เม่ือ n 
an

สมบตั ิบางประการของลาดบั เรขาคณิต

ถา้ a1 , a2 , a3 ,... และ b1 , b2 , b3 ,... เป็นลาดบั เรขาคณิต แลว้ จะไดว้ า่
1. a1 , a3 , a5 ,... เป็นลาดบั เรขาคณิต
2. a2 , a4 , a6 ,... เป็นลาดบั เรขาคณิต
3. a1b1 , a2b2 , a3b3 ,... เป็นลาดบั เรขาคณิต

4. a1 , a2 , a3 ,... bi  0 เป็นลาดบั เรขาคณิต

b1 b2 b3 ไม่จาเป็นตอ้ งเป็นลาดบั เรขาคณิต
ไม่จาเป็นตอ้ งเป็นลาดบั เรขาคณิต
ข้อสังเกต 5. a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ,...

6. a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ,...

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 17 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

ตวั อย่างที่ 12 จงหาพจนท์ วั่ ไปของลาดบั เรขาคณิต

(1) 2 , 4 , 8 , 16 , … (2) 1, 1 , 1 , 1 ,...

3 9 27

แนวคดิ (1) จากโจทย์ จะไดว้ า่ a1 = 2 และ r = 4 =2
2

จากสูตร an  a1r n1

จะได้ an  22n1

an  2n

ดงั น้นั พจนท์ วั่ ไป คือ 2n

1

(2) จากโจทย์ จะไดว้ า่ a1 = 1 และ r = 3 = 1
1 3

จากสูตร an  a1r n1

จะได้ an  1 1 n1
3

an   1 n1
3

ดงั น้นั พจน์ทวั่ ไป คอื  1 n1

3

ตัวอย่างท่ี 13 จงหาพจนท์ ่ี 10 ของลาดบั เรขาคณิต 5 ,  5 , 10 , ...

2

แนวคดิ จากสูตร an  a1r n1

5

จากโจทย์ จะไดว้ า่ a1 = 5 และ r = 2 = –2
2
5

แทนค่าในสูตร จะได้ 5  2 101
2
 a10

= 1,280

ดงั น้นั พจน์ท่ี 10 ของลาดบั น้ี คอื 1,280

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 18 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

ตวั อย่างที่ 14 ลาดบั เรขาคณิตชุดหน่ึงมีพจน์ทส่ี องและพจนท์ ่หี า้ เป็น 3 และ 81 ตามลาดบั

8

จงหาพจนท์ ่ี 8

แนวคดิ จากโจทย์ จะไดว้ า่ a2 = 3 และ a5 = 81
8

ดงั น้นั จาก a2 จะได้ 3  a1r 21  a1r 1
2
และ จาก a5 จะได้ 81  a1r 51  a1r 4
8 2187
64
(2)  (1) ; r3 = 27  33
8  2

r= 3

2

จาก (1) จะได้ a1 = 3 2 =2
3

 พจน์ทว่ั ไปของลาดบั น้ี คอื an  3n  57

ดงั น้นั พจนท์ ี่ 8 คอื a8  3  7 = 37 หรือ
 2  26
 2 

ตัวอย่างที่ 15 จงหาจานวนพจน์ของลาดบั เรขาคณิต 2 ,  6 , 18 , ... ,486

แนวคดิ ใหจ้ านวนพจนข์ องลาดบั เรขาคณิต 2 ,  6 , 18 , ... ,486 เทา่ กบั n พจน์

จากโจทย์ a1  2 , r   6  3
2

จากสูตร an   486
จะได้ an  a1r n1

 486  2 3n1

 3 n1   486   243

2

 3n1   35

n 1  5

n6

ดงั น้นั จานวนพจน์ของลาดบั เลขคณิต 2 ,  6 , 18 , ... ,486 เท่ากบั 6 พจน์

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 19 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

ตัวอย่างที่ 16 ถา้ ผหู้ ญงิ 3 คน มีอายเุ รียงกนั ตามลาดบั เป็ น 10 , 18 และ 30 ปี อีกกี่ปี ขา้ งหนา้ จึง
จะทาใหอ้ ายะของผหู้ ญงิ ท้งั สามน้ีเรียงกนั เป็ นลาดบั เรขาคณิต

แนวคดิ ใหอ้ ีก x ปี ขา้ งหนา้ ท่ีจะทาใหอ้ ายขุ องผหู้ ญิงท้งั สามคนน้ี เรียงกนั เป็นลาดบั เรขาคณิต

ลาดบั เรขาคณิตน้ี คือ 10  x , 18  x , 30  x

อตั ราส่วนร่วม (r) คอื 18  x หรือ 30  x
10  x 18  x

จะไดว้ า่ 18  x  30  x
10  x 18  x

18  x18  x  30  x10  x

324  36x  x2  300  40x  x2

4x  24

x6

ดงั น้นั อีก 6 ปี ขา้ งหนา้ จะทาใหอ้ ายผุ หู้ ญงิ ท้งั สามน้ีเรียงกนั เป็ นลาดบั เรขาคณิต

การสมมตุ ิเพ่ือหาลาดบั เม่อื กาหนดลาดบั เรขาคณิต k จานวน
(เทคนคิ การสรา้ งพจนแ์ บบสมมาตร)
ช่วยในการแกโ้ จทยป์ ัญหาลาดบั เรขาคณิตให้งา่ ยและสะดวกข้นึ เม่ือกาหนดสมาชิกของ
ลาดบั ให้ k จานวน ซ่ึงมีการสมมุติรูปทวั่ ไปของลาดบั ตามลกั ษณะโจทย์ ดงั น้ี

ถา้ k เป็ นจานวนคี่
สมมุตลิ าดบั ในรูป , a , a , a,ar, ar2  ซ่ึงมีอตั ราส่วนร่วมเท่ากบั r

r2 r

ถา้ k เป็ นจานวนคู่
สมมุตลิ าดบั ในรูป , a , a , a , ar, ar3, ar5, ซ่ึงมีอตั ราส่วนร่วมเทา่ กบั r2

r5 r3 r

ตัวอย่างที่ 17 ผลบวกสามพจน์แรกในลาดบั เรขาคณิต คอื – 3 และผลคูณ คือ 8 จงหาพจน์ 3 พจน์น้ี

แนวคดิ สมมติพจนส์ ามพจน์ท่ีเรียงกนั คือ a ,a,ar

r

ผลคูณ 3 พจนแ์ รกในลาดบั เรขาคณิต คือ 8

 a aar  8

r

a3  8

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 20 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

a2

ผลบวกสามพจนแ์ รก คอื – 3

 a   a  ar   3

r

แทนค่า a  2

จะได้ 2  2  2r   3

r

2  2r  2r 2   3r

2r 2  5r  2  0

2r 1r  2  0

r  1 ,2
2

ดงั น้นั ลาดบั ทเ่ี ป็นไปไดม้ ี 2 กรณี คือ
ถา้ a   1 ลาดบั คือ  4 , 2 , 1

2

ถา้ a  1 ลาดบั คือ 1, 2 ,  4

2

แบบฝึ กพฒั นาการเรียนรู้ ชดุ ท่ี 3

1. ลาดบั เรขาคณิตทีก่ าหนดใหต้ ่อไปน้ี จงหาค่าอตั ราส่วนร่วม r
(1) 3 , 9 , 27 , 81 , ... มีค่าอตั ราส่วนร่วม r = …………………………………………

(2) 24 , 6 , 3 , 3 , … มีค่าอตั ราส่วนร่วม r = …………………………………………

28

(3) 2 , – 2 , 2 , – 2 , ... มีคา่ อตั ราส่วนร่วม r = …………………………………………

(4) 2 , 4 , 8 , 16 , ... มีค่าอตั ราส่วนร่วม r = …………………………………………

555 5

(5) 1 , 1 , 1 , 1 , ... มีคา่ อตั ราส่วนร่วม r = …………………………………….

a a3 a5 a7

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 21 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

2. จงเขียน 4 พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิต เมื่อกาหนดพจน์แรก a1  และอตั ราส่วนร่วม r ใหด้ งั น้ี

(1) a1 = 5 , r = 3 (3) a1 = 9 , r = 2
……………………………………………………. 16
………………………………………………….… 3
………………………………………………….…
…………………………………………………….

………………………………………………….…

………………………………………………….…

(2) a1 = 8 , r = 1 (4) a1 = x,r = y
2
y x

……………………………………………………. …………………………………………………….

………………………………………………….… ………………………………………………….…

………………………………………………….… ………………………………………………….…

3. จงหาสามพจนถ์ ดั ไปของลาดบั เรขาคณิตตอ่ ไปน้ี (3) 7 , 1 , 1 , 1 , ...
(1) 2 , 8 , 32 , 128 , ...
7 49
…………………………………………………….
………………………………………………….… …………………………………………………….
………………………………………………….… ………………………………………………….…
………………………………………………….…
(2)  5 , 10 ,  20 , 40 , ...
……………………………………………………. (4) 9 , 9 , 9 , 9 , ...

……………………………………………………. 248
………………………………………………….…
………………………………………………….…
………………………………………………….…
………………………………………………….…

4. จงหาพจนท์ วั่ ไปของลาดบั เรขาคณิตต่อไปน้ี (3) 2 , 4 , 8 , 16 , ...
(1) 18 , 6 , 2 , 2 , …
333 3
3
……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
(2) 1 , 2 ,  4 , 8 , ...
…………………………………………………… (4) 11 1
…………………………………………………… x , x 2 , x3 , ...
……………………………………………………
……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 22 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

5. จงหาพจนท์ ี่ 20 ของลาดบั เรขาคณิต 3 , 6 , 12 , 24 , …
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….

6. จงหาพจนท์ ่ี 8 ของลาดบั เรขาคณิต x x2 x3
1 , , , , ...
24 8

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

7. ลาดบั เรขาคณิต 8 , 4 , 2 , ... , 1 จงหาจานวนพจน์ท้งั หมด

16

……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

8. ถา้ 3 พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิตมีคา่ เป็ น 27 , – 18 , 12 จงหาวา่  512 เป็ นพจนท์ ี่เท่าใด

729

ของลาดบั
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 23 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

9. ถา้ 128 , a , b , c เป็ นจานวนจริงบวก ซ่ึงเรียงกนั เป็นลาดบั เรขาคณิต จงหา a + b + c
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….

10. จานวนจริง 3 จานวน เรียงกนั เป็ นลาดบั เรขาคณิต ซ่ึงผลบวกของจานวนท้งั 3 เท่ากบั 7 และ

4

ผลคูณของจานวนจริง 3 จานวนน้ีเท่ากบั 1 จงหา 3 พจนแ์ รกของลาดบั น้ี

8

……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….

11. จากการสารวจจานวนประชากรของหมู่บา้ นแห่งหน่ึงในปี พ.ศ. 2538 มีประชากร 10,000 คน ถา้
จานวนประชากรของปี ถดั มาเพมิ่ ข้ึน 2% จากจานวนประชากรของปี ทีผ่ า่ นมาเสมอ อยากทราบวา่ จานวน
ประชากรของปี 2543 ของหมู่บา้ นแห่งน้ีมีเทา่ ไร
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
12. จงบอกวา่ ลาดบั ทกี่ าหนดใหเ้ ป็นลาดบั เลขคณิต หรือลาดบั เราขาคณิต พรอ้ มท้งั บอกคา่ ผลต่างร่วม
หรือคา่ อตั ราส่วนร่วมของลาดบั น้นั ๆ ดว้ ย

1) 7 , 9 , 11 , 13 , … , 2n  5 , … เป็นลาดบั .....................................................................
2) 5 , – 5 , 5 , – 5 , … , 6 1 n1 , … เป็ นลาดบั .....................................................................
3) 4 , 2 , 0 , – 2 , … , 6  2n , … เป็นลาดบั .....................................................................

4) 3 , 1 , 1 , 1 , … , 91n , … เป็ นลาดบั .....................................................................
39 3

5)  1 ,  2 ,  1 ,  4 ,  ,  n ,  เป็ นลาดบั .....................................................................

4 5 2 7 n3

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 24 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

แบบทดสอบตนเอง ชดุ ที่ 3

จงตรวจสอบว่าข้อความต่อไปน้ีเป็ นจริงหรือเท็จ

_______ 1. ลาดบั 10 , 20 , 40 , 80 , … เป็ นลาดบั เรขาคณิต เนื่องจากมีค่าอตั ราส่วนร่วมมีค่าคงท่ีเท่ากบั 2

_______ 2. ลาดบั 1 , 1 , 1 , 1 , ... เป็นลาดบั เลขคณิตและเรขาคณิตเนื่องจากมีคา่ ผลตา่ งร่วมคงท่ีเทา่ กบั 0
และค่าอตั ราส่วนร่วมคงที่ เท่ากบั 1 ตามลาดบั

_______ 3. ลาดบั 0 , 0 , 0 , 0 , ... เป็นลาดบั เลขคณิตและเรขาคณิตเนื่องจากมีคา่ ผลต่างร่วมคงที่เท่ากบั 0
และคา่ อตั ราส่วนร่วมคงที่ เทา่ กบั 0 ตามลาดบั

_______ 4. เมื่อ a  R โดยท่ี a  0 แลว้ ลาดบั a,a,a,... จะเป็ นท้งั ลาดบั เลขคณิตและลาดบั
เรขาคณิต

_______ 5. ลาดบั 3 , – 3 , 3 , 1 – 3 , ... เป็นลาดบั เลขคณิต ทม่ี ีค่า d = 0

_______ 6. ลาดบั 3 , – 3 , 3 , 1 – 3 , ... เป็นลาดบั เรขาคณิต ที่มีคา่ r = – 1

_______ 7. ถา้ a  R โดยท่ี a  0 แลว้ ลาดบั a,a,a,a... จะเป็ นท้งั ลาดบั เลขคณิตและลาดบั
เรขาคณิตดว้ ย

_______ 8. เรียกลาดบั ท่ีมีค่าอตั ราส่วนร่วมคงที่ วา่ ลาดบั เรขาคณิต โดย r คอื อตั ราส่วนของพจนท์ ่ี
n + 1 ตอ่ พจน์ท่ี n

_______ 9. ลาดบั 2, 1 , 1 , 1 , เป็ นลาดบั เรขาคณิต ทม่ี ีค่า a1  2 และ r1
2 8 32 4

_______ 10. จากขอ้ 9 พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั น้ี คอื an  232n

_______ 11. จากขอ้ 10 พจน์ที่ 5 ของลาดบั น้ี คอื 1

64

_______ 12. ถา้ a1 , a2 , a3 , ... เป็ นลาดบั เรขาคณิตแลว้ จะไดว้ า่ พจนท์ ว่ั ไป an  ของลาดบั น้ี คอื
an  a1r n1 โดย r คอื อตั ราส่วนร่วมคงตวั ของลาดบั

_______ 13. ถา้ ลาดบั 2 , 4 , 8 , 16 , ... และ 1 , 3 , 9 , 27 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต แลว้
2(1) , 4(3) , 8(9) , 16(27) , … เป็นลาดบั เรขาคณิต

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 25 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

_______ 14. ถา้ ลาดบั 2 , 4 , 8 , 16 , ... และ 1 , 3 , 9 , 27 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต แลว้
2 , 4 , 8 , 16 , ... เป็ นลาดบั เรขาคณิต

1 3 9 27

_______ 15. ถา้ a1 , a2 , a3 , ... และ b1 , b2 , b3 , ... เป็ นลาดบั เรขาคณิต ยกเวน้ ( a1 , a2 , a3 , ...
= 0 , 0 , 0 , … หรือ b1 , b2 , b3 , ... = 0 , 0 , 0 , …) แลว้ ลาดบั เรขาคณิตสองลาดบั น้ีมี
สมบตั ิปิ ดการคูณ

_______ 16. ถา้ ลาดบั 2 , 4 , 8 , 16 , ... และ 1 , 3 , 9 , 27 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต แลว้
2 + 1 , 4 + 3 , 8 + 9 , 16 + 27 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต

_______ 17. ถา้ ลาดบั 2 , 4 , 8 , 16 , ... และ 1 , 3 , 9 , 27 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต แลว้
2 – 1 , 4 – 3 , 8 – 9 , 16 – 27 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต

_______ 18. จานวนที่อยรู่ ะหวา่ งลาดบั เรขาคณิต 2 , … , 8 คอื 4 หรือ – 4

_______ 19. ค่า k ที่ทาให้ k + 1 , k + 9 , k + 33 เป็นลาดบั เรขาคณิต คือ 3 หรือ – 3

_______ 20. ผลบวกสามพจน์แรกในลาดบั เรขาคณิต คอื – 3 และผลคูณ คือ 8 ลาดบั เรขาคณิตน้ีคอื
– 4 , 2 , – 1 หรือ – 1 , 2 , – 4



เฉลยแบบทดสอบตนเอง ชดุ ที่ 3

ขอ้ ที่เป็นเทจ็ คือ ขอ้ 3 , 5 , 11 , 16 , 17 , 19

4. อนุกรม (Series)

เมื่อ a1 , a2 , a3 , ...an เป็ นลาดบั จากดั
จะได้ a1  a2  a3  ...  an เป็ นอนุกรมจากดั
และเมื่อ a1 , a2 , a3 , ...an ,... เป็ นลาดบั อนนั ต์
จะได้ a1  a2  a3  ...  an  ... เป็ นอนุกรมอนนั ต์

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 26 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

บทนิยาม เมื่อ a1 , a2 , a3 , ...an เป็ นลาดบั จากดั และ a1 , a2 , a3 , ...an ,...เป็ น
ลาดบั อนนั ต์ เรียกการแสดงผลบวกของพจน์ ทกุ พจน์ของลาดบั ของลาดบั ในรูป
a1  a2  a3  ...  an หรือ a1  a2  a3  ...  an  ... วา่ อนุกรม เรียก
อนุกรมทไ่ี ดจ้ ากลาดบั จากดั วา่ อนุกรมจากดั และเรียกอนุกรมทไี่ ดจ้ ากลาดบั
อนนั ต์ วา่ อนกุ รมอนนั ต์

สาหรับอนุกรม a1  a2  a3  ...  an  ...
เรียก a1 วา่ พจน์ที่ 1 ของอนุกรม

a2 วา่ พจนท์ ่ี 2 ของอนุกรม
a3 วา่ พจน์ที่ 3 ของอนุกรม



an วา่ พจนท์ ี่ n ของอนุกรม

ตัวอย่างของอนุกรม

(1) 1 + 4 + 7 + 10 + … + 30 เป็ นอนุกรมจากดั ท่ีไดจ้ ากลาดบั จากดั 1 + 4 + 7 + 10 + … + 30

(2) 1  1  1  ...  1  ... เป็ นอนุกรมอนนั ตท์ ไี่ ดจ้ ากลาดบั อนนั ต์ 1  1  1  ...  1  ...
369 3n 369 3n

สญั ลกั ษณแ์ ทนการบวก

เพอื่ ใหก้ ารเขียนอนุกรมสะดวกข้ึนจึงนิยมใชอ้ กั ษรกรีก  (ซิกมา) เป็นสญั ลกั ษณ์แทน

การบวก เขียนแทน a1  a2  a3  ...  an ดว้ ย n

 ai
i 1

นน่ั คอื n = a1  a2  a3  ...  an

 ai
i 1

และเขยี นแทน a1  a2  a3  ...  an  ... ดว้ ย 

 ai
i 1

นนั่ คอื  = a1  a2  a3  ...  an  ...

 ai
i 1

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 27 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

สมบตั ิของ  ท่ีควรทราบ

1. n  nc เมื่อ c เป็ นคา่ คงตวั

c
i 1

2. n  n เม่ือ c เป็ นค่าคงตวั

 cai c ai
i1 i1

n nn

ai  bi   ai  bi
  3.
i1 i1 i1

n nn

ai  bi   ai  bi
  4.
i1 i1 i1

ตัวอย่างท่ี 18 จงหาค่าของ
แนวคดิ
(1) 3 (2) 4

5  2k 3
i1 k 1

(3) 3  2n  4 (4) 5  2

 5n2  3x2
n1 x1

(1) 3  555  35  15

5
i 1

44

2k 3  2 k 3  2 13  23  33  43
   (2)  200

k 1 k 1

3 3 33

 5n2  2n  4  5 n2  2 n   4
 (3)

n1 n1 n1 n1

 = 5 12  22  32  21 2  3 3 4

= 70

(4) 5  2  55

 3x2 3 x2   2
x1 x1 x1

 = 312  22  32  42  52  2 5

= 155

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 28 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

รปู แบบอนกุ รมที่ควรรจู้ กั ในชนั้ น้ี

1. n  1  2  3  ...  n  nn 1

i
i1 2

2. n  12  22  33  ...  n2 = nn 12n 1

i2
i1 6

3. n  13  22  33  ...  n3  nn 1 2

i3  2 

i 1

ตัวอย่างที่ 19 จงหาค่าของ

(1) 100 (2) 15

i k2
i 1 k 1

(3) 10 (4) 20

n3  i 1
n1 i 1

แนวคดิ (1) 100  100100 1  5,050
i
i1 2

(2) 15  1515 1215 1  1,240
k2
k 1 6

(3) 10  1010 12  3,025

n3  2 

n1

(4) 20  20 20  2021  1 20  230

i 1 i  1
2i1 i1 i1

ตัวอย่างที่ 20 จงหาค่าของ

(1) 14 (2) 32

 nn  5 i  32
n1 i 1

(3) 30 (4)  20

 4n  5k 2  2
n14 k 8

แนวคดิ (1) 14 14

 nn  5   n2  5n
n1 n1

 = 14 14

n2  5 n

n1 n1

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 29 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

= 141529  51415

62

= 1,540

32 32

i  32   i2  6i  9
 (2)

i1 i1

  = 14 14 14

i2 6 i  9

n1 n1

= 323365  63233  32 9

62

= 14,869

(3) 30 30

4n  4n
n14 n14

 = 4 30 n  13 n
 n1 n1 

= 4 3031  1314
2 2

= 4465  91

= 4374

= 1,496

(4)      20 20 7

 5k 2  2   5n2  2   5n2  2
k 8 k 1 k 1

   = 20 20 7 7

5 k2  25 k2  2

k 1 k 1 k 1 k 1

= 5202141  20 2  57815  7  2

66

= 14,350 – 40 – 700 + 14

= 13,624

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 30 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

แบบฝึ กพฒั นาการเรียนรู้ ชดุ ที่ 4

1. จงเขียนแทนสญั ลกั ษณ์ต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปการบวก

(1) 10 =……………………………………………………………………………………………...

 3i
i 1

(2) 15 =………………………………………………………………………………………

 j  2
j 1

(3) 20 =……………………………………………………………………………………...

8  2k
k 1

(4) n 1 =……………………………………………………………………………………………


i1 i

2. จงหาค่าของ

(1) 5 5i =…………………………………… (3) 5 i 2  2 =……………………………..

 
i 1 i 1

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

(2) 4 =…………………………… (4) 5 k  1 =…………………………………..
k  2
3 j  5 
j 1
k 1

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………



สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 31 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

5. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม

อนุกรมเลขคณติ

ถา้ a1,a2,a3 , ...,an เป็ นลาดบั เลขคณิต จะเรียก a1  a2  a3  ...  an วา่ เป็ นอนุกรมเลขคณิต
เช่น 1 , 6 , 11 , … , 5n – 4 เป็นลาดบั เลขคณิต

ดงั น้นั 1 + 6 + 11 + … + 5n – 4 เป็นอนุกรมเลขคณิต
ซ่ึงมีพจนแ์ รกเป็น 1 และมีผลต่างร่วมเป็น 2

ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคฺณิต

กาหนด a1,a2,a3 , ...,an เป็ นลาดบั เลขคณิต
ให้ Sn แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ทีม่ ี an เป็ นพจน์แรก และ d เป็ น
ผลต่างร่วม จะได้

Sn = a1  a2  a3  ...  an

Sn = a1  a1  d  a1  2d   ...  a1  n 1d  1

หรือ Sn = 2a1  n 1d 2a1  n  2d ...  a1  2d  a1  d  a1 2

1 2 จะได้ 2Sn = 2a1  n 1d 2a1  n 1d ...  2a1  n 1d

2Sn = n2a1  n 1d

Sn = n 2a1  n  1d 
2

หรือ = n a1  an 
2

สูตร ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ คือ Sn  n 2a1  n 1d 
2

หรือ Sn  n a1  an 
2

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 32 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

ตวั อย่างท่ี 21 จงหาผลบวก 30 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 1 + 4 + 7 + …

แนวคดิ  a1  1 , d = 3 , n = 30

Sn  n 2a1  n  1d 
2

S 30  30 21  293

2

= 15  89

= 1,335

 ผลบวก 30 พจน์ของอนุกรมน้ี เท่ากบั 1,335

ตวั อย่างท่ี 22 จงหา n ท่ที าให้ Sn ของ 24 + 22 + 20 + … เท่ากบั 150

แนวคดิ กาหนด Sn = 150

n 2a1  n  1d  = 150
2
= 150
n 2  24  n 1 2
= 150
2 = 150
= 0
n24  n 1 = 0
= 10 หรือ 15
25n  n2

n2  25n 150

n 10n 15
n

ตวั อย่างท่ี 23 จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 1 + 5 + 9 + … + 117

แนวคดิ  a1 1 , d = 4 , an  117 , n = ?

an  a1  n 1d
117 = 1 n 14
117 = 4n – 3
4n = 120
n = 30
 อนุกรมน้ีมี 30 พจน์

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 33 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

 Sn  n a1  an 
2

S 30  30 1117

2

= 15  118 = 1,770

 ผลบวกของอนุกรมน้ี เท่ากบั 1,770

ตัวอย่างที่ 24 จงหาผลบวกของจานวนเตม็ ที่อยรู่ ะหวา่ ง 65 ถึง 1,300 ทหี่ ารดว้ ย 4 ลงตวั

แนวคดิ จานวนเตม็ ทหี่ ารดว้ ย 4 ลงตวั ไดแ้ ก่ 68 , 72 , 76 , … , 1296

จาก a1  n 1d  an
จะได้ 68  n 14  1296

4n 1  1228

n 1  307

n = 308

จาก Sn  n a1  an 
2

จะได้ = 308 68 1296

2

= 210,056

ดงั น้นั ผลบวกของจานวนเตม็ ท่ีอยรู่ ะหวา่ ง 65 ถงึ 1,300 มีคา่ เท่ากบั 210,056

แบบฝึ กพฒั นาการเรียนรู้ ชดุ ที่ 5

1. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ท่ีกาหนดค่าตา่ งๆ ใหด้ งั น้ี

(1) a1  40 , d  3 , n  30 (3) a1  9 , a10  15 , n  10
…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

(2) a1  5 , d  0.1 , n  40 (4) a1  7 , d   2 , n  15
…………………………………………………… 3 3
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 34 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

2. จงหาผลบวก 30 พจนแ์ รกของอนุกรม 1 + 4 + 7 + …
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3. จงหาผลบวก 25 พจนแ์ รกของอนุกรม 20 + 18 + 16 + …
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

4. ถา้ อนุกรม 1 + 2 + 3 + … + n = 465 จงหา n
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

5. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 1 + 3 + 5 + 7 + …
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

6. อนุกรม 10 + 15 + 20 + … จะตอ้ งบวกกนั กี่พจน์ จงึ จะไดผ้ ลบวกเป็น 1,150
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

7. จงหาผลบวกของจานวนเตม็ ที่มีค่าอยรู่ ะหวา่ ง 200 กบั 500 เม่ือจานวนเตม็ แตล่ ะจานวน
(1) หารดว้ ย 6 ลงตวั

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 35 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

(2) หารดว้ ย 6 ไม่ลงตวั
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

8. อนุกรมเลขคณิตอนุกรมหน่ึงมีผลบวก 20 พจนแ์ รกเท่ากบั 790 ถา้ อนุกรมน้ีมีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 4
แลว้ จงหาพจนแ์ รกของอนุกรมน้ี
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

9. ถา้ อนุกรมเลขคณิตอนุกรมหน่ึงมี S3  24 และ S6  54 จงหา S9
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

10. อนุกรมเลขคณิตอนุกรมหน่ึงมี S10  465 และ 9S3  4S6 จงหาอนุกรมเลขคณิตน้ี
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

11. ไมก้ องหน่ึงถูกจดั วางเรียงกนั เป็นช้นั ๆ โดยทจ่ี านวนไมใ้ นช้นั ล่างมมี ากกวา่ จานวนไมใ้ นช้นั ถดั ไปซ่ึง
อยตู่ ดิ กนั เป็นจานวน 3 ทอ่ นเสมอ ถา้ ไมก้ องน้ีมจี านวนไมใ้ นช้นั บนสุดเป็นจานวน 70 ทอ่ น และช้นั
ล่างสุดซ่ึงอยตู่ ิดกบั พ้นื มีไมจ้ านวน 376 ท่อน จงหาวา่ ไมก้ องน้ีมีกี่ทอ่ น และวางซอ้ นกนั ก่ีช้นั
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 36 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

อนุกรมเรขาคณติ

ถา้ a1,a2,a3 , ...,an เป็ นลาดบั เรขาคณิต จะเรียก a1  a2  a3  ...  an วา่ เป็ นอนุกรมเรขาคณิต
เช่น 1 , 1 , 1 , 1 , ... เป็ นลาดบั เรขาคณิต

3 9 27

ดงั น้นั 1  1  1  1  ...เป็ นอนุกรมเรขาคณิต

3 9 27

ซ่ึงมีพจน์แรกเป็น 1 และมีอตั ราส่วนร่วมเป็ น 1

3

ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคฺณิต

กาหนด a1,a2,a3 , ...,an เป็ นลาดบั เรขาคณิต
ให้ Sn แทนผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต ทีม่ ี an เป็ นพจนแ์ รก และ r เป็ น
อตั ราส่วนร่วม จะได้

ให้ Sn = a1  a2  a3  ...  an 1
จะได้ =Sn a1  a1r  a1r 2  ...  a1r n1 2
(1)  r
(1) – (2) rS n  a1r  a1r 2  a1r 3  ...  a1r n

Sn  rS n  a1  a1r n

1  r Sn  a1  a1r n

 Sn
 a1 1  r n ,r1
1 r

สูตร ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ คอื

 Sn
 a1 1  r n เม่ือ r  1
1 r
 Sn
หรือ  a1 r n  1 เมื่อ r 1
r 1

หมายเหตุ ในกรณีที่ r = 1 จะได้ Sn  na1

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 37 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

ตัวอย่างท่ี 25 จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 4 + 8 + 16 + …

 Sn
แนวคดิ จากสูตร  a1 1  r n
จากโจทย์ 1 r

a1  4 , r  2 , n  8

 S8
 4 1 28
1 2

=  41 256

=  4 255

= 1,020

ตวั อย่างที่ 26 อนุกรมเรขาคณิต 3 + 6 + 12 + … จะตอ้ งบวกกนั ก่ีพจน์จึงจะไดผ้ ลบวกเป็ น 765

 Sn
แนวคดิ จากสูตร  a1 1  r n
1 r

จากโจทย์ a1  3 , r  2 , n  ? , Sn  765

765  31 2n 
1 2

765  3 2n 1
2 1

2n 1  255

2n  256  28

n =8
อนุกรมน้ีจะตอ้ งบวกกนั 8 พจนจ์ ึงจะไดผ้ ลบวกเป็น 765

ตัวอย่างท่ี 27 ถา้ ผลบวกของพจนแ์ รก และพจนท์ ่ีสองของอนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหน่ึงเป็น – 3 และ
ผลบวกของพจน์ทหี่ า้ กบั พจนท์ หี่ กเป็ น  3 จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมน้ี

16

แนวคดิ จากโจทย์ a1  a2   3
จะได้
a1  a1r   3
และ
a11 r   3 1
2
a5  a6  3
16

a1r 4  a1r 5  3
16

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 38 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

2 1 ได้ r4  1
16

 r  1
2

แทนค่า r ในสมการที่ (1) ได้

ถา้ r  1 ได้ a1   2

2  Sn
 a1 1  r n
จากสูตร 1 r
 S8
จะได้  a1 1  r 8
1 r

 21   1 8 
 2  
=
1 1
2

=  4 255 

 256 

=  255

64

ถา้ r  1 ได้ a1  6
2
 S8
จะได้  a1 1  r 8
1 r

 61    1 8 
 2  
=
1    1 
 2

=  41  1 

 256 

=  4 255 

 256 

=  255

64

 ผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนุกรมน้ีเท่ากบั  255

64

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 39 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

แบบฝึ กพฒั นาการเรียนรู้ ชดุ ท่ี 6

1. จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต ทกี่ าหนดค่าตา่ งๆ ใหด้ งั น้ี

(1) a1  2, r  1 , an  2 (3) a1  1 , r  3 , an  27
3 243 8 2 64

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

(2) a1  3, r  1 , an  3 (4) a1  6, r   3 , an   243
2 1024 2 8

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………..

2. จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม (3) 1  x  x2  x3  ...

(1) 5 + 25 + 125 + 625 + … 3 9 27
…………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………
(2) 1 3  3  27  ... (4) 2  2x1  22x1  23x1  ...
………………………………………………… …………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………

3. จงหาค่าของ

10 7

3k   1k 1
(1)  (2) k

2

k 1 k 1

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 40 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

4. จงหาผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต 1 + 2 + 4 + …
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..

5. จงหาผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต 1  1  1 , ...

39

………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..

6. อนุกรมเรขาคณิต 4 – 8 + 16 – 32 + … จะตอ้ งบวกกนั กี่พจน์จงึ จะไดผ้ ลบวกเป็ น – 340
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..

7. อนุกรมเรขาคณิต 48 – 96 + 192 – … จะตอ้ งบวกกนั ก่ีพจนจ์ ึงจะไดผ้ ลบวกเป็ น 144
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..

8. ถา้ ผลบวกของสามพจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหน่ึงเป็น 13 และผลคูณของสามพจนน์ ้ีเป็น
27 จงหาอนุกรมน้ี
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 41 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

9. จงหาคา่ x ทท่ี าใหผ้ ลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม x + x2 + x3+ … มีคา่ เทา่ กบั 0
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
10. ผจู้ ดั การฝ่ายขายของบริษทั แห่งหน่ึงต้งั ใจวา่ เขาจะเพม่ิ ยอดขายใหม้ ากข้ึนเป็ น 2 % ของยอดขายเดิม
ทกุ ไตรมาส ถา้ ขณะทเ่ี ขาวางแผนเขาทายอดขายได้ 400,000 บาท ในไตรมาสแรกของปี เมื่อครบสองปี
เขาควรจะทายอดขายรวมทกุ ไตรมาสไดเ้ ทา่ ใด
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..

แบบทดสอบตนเอง ชดุ ท่ี 4

จงตรวจสอบว่าข้อความต่อไปนี้เป็ นจริงหรือเทจ็

_______ 1. ลาดบั 10 , 20 , 40 , 80 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต และจะไดว้ า่ 10 + 20 + 40 + 80 + … เป็น
อนุกรมเรขาคณิต

_______ 2. ลาดบั 5 , 7 , 9 , 11 , ... เป็นลาดบั เลขคณิต และจะไดว้ า่ 5 + 7 + 9 + 11 + ... เป็นอนุกรม

เลขคณิต

_______ 3. อนุกรม 3 + 6 + 12 + 24 + … เป็ นอนุกรมเรขาคณิตทีม่ ีค่า a1  3 และ r = 2

_______ 4. อนุกรม 1 1  0  1  ... เป็ นอนุกรมเรขาคณิตทม่ี คี ่า a1  1 และ r = 1
22 2

_______ 5. อนุกรม 1 1  0  1  ... เป็ นอนุกรมเลขคณิตทม่ี ีคา่ a1  1 และ d = 1
22 2

_______ 6. 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 จะมีค่าเท่ากบั 100101 = 5050

2

_______ 7. 1 + 4 + 9 + 16 + …+100 จะมีคา่ เทา่ กบั 10  101121 = 385

i2
i1 6

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 42 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

_______ 8. 17 + 14 + 11 + 8+ … ผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนุกรมน้ี คอื S7  716  63

2

_______ 9. รูปทว่ั ไปของอนุกรมเลขคณิต คอื Sn  n2a1  n 1d 

2
  a1 1  r n
_______ 10. รูปทว่ั ไปของอนุกรมเรขาคณิต คอื Sn 1 r

เฉลยแบบทดสอบตนเอง ชดุ ท่ี 4

ขอ้ ที่เป็นเทจ็ คือ ขอ้ 4 , 8

แบบทดสอบตนเอง ชดุ ท่ี 5

จงเลือกคาตอบท่ีถูกต้อง

1. กาหนดลาดบั มี an  1  1n จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ใดผดิ

2n

1. a2 5 2. a3 7 3. a4  17 4. a5  33
4 8 16 32

2. ลาดบั ใดเป็นลาดบั เลขคณิต

1. 1 , 3 , 4 , 7 , 11 , … 2. 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , …

3. 3b+2 , 4b+5 , 5b+8 , 6b+11 , … 4. 12 , 8 , 5 , 3 , 0 , …

3. คา่ x ที่ทาใหล้ าดบั x , 5x , 6x+9 , … เป็ นสามพจนเ์ รียงกนั ในลาดบั เลขคณิตเทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 4 2. 3 3. 2 4. 1

4. ลาดบั เลขคณิตมีพจน์ที่ 4 เป็น 28 พจน์ท่ี 8 เป็น 48 ดงั น้นั พจน์ท่ี 20 เทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 113 2. 108 3. 95 4. 82

5. ถา้ x – 1 , x + 1 , 2x + 5 เรียงกนั เป็นลาดบั เรขาคณิตแลว้ x มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใด

1. – 3 , – 2 2. – 3 , 2 3. 3 , 2 4. – 2 , 3

6. ถา้ พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิตเป็น 3 และพจน์ท่ี 7 เป็น 192 แลว้ พจน์ท่ี 11 ของลาดบั เทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 5,120 2. 4,096 3. 3,072 4. 2,048

7. 54 , – 18 , 6 เป็ นสามพจน์ที่อยรู่ ะหวา่ งพจน์ในขอ้ ใด

1. – 162 และ – 2 2. 162 และ 2 3. – 162 และ 2 4. 162 และ – 2

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 43 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

8. – 176 เป็ นพจน์ทีเ่ ทา่ ไร ของลาดบั เลขคณิต – 1 , – 6 , – 11 , …

1. 30 2. 32 3. 34 4. 36

9. จานวนเตม็ บวกทีม่ ีค่าระหวา่ ง 100 กบั 500 ที่หารดว้ ย 3 ลงตวั แต่หารดว้ ย 2 ไม่ลงตวั เทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 65 2. 66 3. 67 4. 68

10. ลาดบั เรขาคณิตทม่ี ี a5  a2  a4  66 และ a3  a6  a5  132 คือขอ้ ใด

1. 3 , 6 , 12 , 24 , … 2. – 3 , – 6 , – 12 , – 24 , …

3. 3 , – 6 , 12 , – 24 , … 4. – 3 , 6 , – 12 , 24 , …

11. 10 เทา่ กบั ขอ้ ใด

k3
k 3

1. 3,016 2. 3,025 3. 3,084 4. 3,096

12. ถา้ พจนท์ ่ี n ของอนุกรมเลขคณิตเป็น 2n – 5 แลว้ ผลบวก 15 พจน์แรกของอนุกรมน้ีเทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 165 2. 175 3. 185 4. 195

13. อนุกรม 12 + 9 + 6 + … ก่ีพจน์จึงจะทาใหผ้ ลบวกของอนุกรมน้ีเท่ากบั – 330

1. 20 2. 25 3. 30 4. 35

14. ถา้ พจน์แรกและพจนท์ ี่ 13 ของอนุกรมเลขคณิตเทา่ กบั 2 และ 38 ตามลาดบั แลว้ ผลบวก 13 พจน์

แรกของอนุกรมน้ีเป็นเทา่ ใด

1. 337 2. 315 3. 273 4. 260

15. ถา้ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 7+ 13 + 19 + 25 + … เท่ากบั 279 แลว้ n มีคา่ เทา่ กบั

ขอ้ ใด

1. 7 2. 9 3. 13 4. 31

16. ถา้ พจนท์ ่ี n ของอนุกรมเป็น 2n แลว้ ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมน้ีเทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 1,022 2. 1,023 3. 2,046 4. 3,069

17. ผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต 120 + 60 + 30 + … เทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 255 2. 255 3. 3825 4. 3825
256 16 256 16

18. จานวนจริงหา้ จานวนเรียงกนั เป็นลาดบั เลขคณิต ผลบวกของจานวนท้งั หา้ เทา่ กบั 30 และผลบวกของ

กาลงั สองของแตล่ ะจานวนเท่ากบั 220 จงหาผลตา่ งระหวา่ งจานวนท่มี ากทส่ี ุดกบั จานวนท่นี อ้ ยทส่ี ุด

1. 6 2. 8 3. 10 4. 12

19. ผลบวกของ 18 พจนแ์ รกของอนุกรม 1 + 9 + 25 + 49 + 81 + … มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด

1. 7,734 2. 7,751 3. 7,753 4. 7,770

20. ถา้ 4 และ 5 จะได้ a + b เท่ากบั ขอ้ ใด

 ai  b  28  ai  b  44
i4 i1

1. 18 2. 16 3. 28 4. 8
55 55

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 44 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

เฉลยแบบทดสอบตนเอง ชดุ ท่ี 5

1. 4 2. 3 3. 2 4. 2 5. 2 6. 3
7. 1 8. 4 9. 2 10. 3 11. 1 12. 1
13. 2 14. 4 15. 2 16. 3 17. 4 18. 2
19. 4 20. 4

เฉลยละเอียดแบบทดสอบตนเอง ชดุ ที่ 5 เฉพาะขอ้ ยาก

3. 5x – x = 6x – 9 – 5x
4x = x – 9
x =3

5. x 1  2x  5

x 1 x 1

x2  2x 1  2x2  3x  5

x2  x 6  0

x  3x  2  0
x = 2 , -3

ดงั น้นั x = 2

10. a5  a2  a4  66

จะไดว้ า่ a1r 4  a1r  a1r 3  66

 a1r r3 1 r 2  66 1
2
a3  a6  a5  132

2 1 ; a1r 2  a1r 5  a1r 4  132

 a1r 2 1 r3  r 2  132

r = –2

แทน r = -2 ใน (1) ; -2a1 (-11) = 66
a1 = 3

ดงั น้นั ลาดบั เรขาคณิตน้ี คอื 3 , -6 , 12 , -24 , …

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 45 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

11. 10  kk 12  1011 2  3,025

k3  2   2 

k 1

ดงั น้นั 10  3,025 13  23  3,016

k3
k 3

12. จากโจทย์ an  2n  5

a1  21 5   3

a15  215  5  25

จะได้ S15  15 3  25  165

2

16. จากโจทย์ an  2n เป็ นลาดบั เรขาคณิต มี r = 2 , a1 = 2

 จะได้
S10  2 210 1  2,046
2 1

20. 4

ai  b  28
i 1

a  b 2a  b 3a  b 4a  b  28

10a + 4b = 28

5a + 2b = 14 1

5

ai  b  44

i 1

a  b 2a  b 3a  b 4a  b5a  b  44

15a + 5b = 44 2

(1) x (3) ; 15a + 6b = 42 3

(3) - (2) ; b = –2

แทนค่า b = 2 ใน (2) ; 15a + 5 (-2) = 44

a = 18

5

ดงั น้นั a + b = 18   2  8

55

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 46 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

แบบทดสอบตนเอง ชดุ ท่ี 6

จงเลอื กคาตอบทถี่ ูกต้อง

1. ถา้ an = n – 2 เม่ือ n  2
2n + 3 เมื่อ n > 2

จะได้ 4 พจน์แรกของลาดบั คือขอ้ ใด 3. – 1 , 0 , 1 , 2 4. 5 , 7 , 9 , 11
1. – 1 , – 1 , 9 , 9 2. – 1 , 0 , 9 , 11

2. ถา้ a1 , a2 , a3 , ...an เป็ นลาดบั เลขคณิต b1 , b2 , b3 , ...bn เป็ นลาดบั เลขคณิต ขอ้ ใดถูกต้อง

1. a1 , a2 , a3 , ... , an เป็ นลาดบั เลขคณิต
b1 b2 b3 bn

2. a1b1 , a2b2 , a3b3 , ... , anbn เป็ นลาดบั เลขคณิต

3. a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 , ... , an  bn เป็ นลาดบั เลขคณิต

4. มีขอ้ ถูกมากกวา่ 1 ขอ้

3. กาหนดลาดบั เรขาคณิตชุดหน่ึงมี a2  5 , a5  5 ขอ้ ใดต่อไปน้ี ถูกต้อง
8

1. a1  5 2. a10  5 3. a8  a6   15 4. an  102n
256 128 128

4. ถา้ พจน์ท่ี n ของลาดบั 54 , 18 , 6 , 2 , … เป็ น 2 แลว้ n มีค่าเทา่ ใด

729

1. 7 2. 8 3. 9 4. 10

5. จงพจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

ก. ถา้ k – 1 , k + 3 , 3k – 1 เป็นลาดบั เลขคณิตแลว้ k = 4

ข. ถา้ 2k – 5 , k – 4 , 10 – 3k เป็นลาดบั เรขาคณิตแลว้ k = 3 เพยี งคา่ เดียว

ค. ผลบวกของตวั กลางเลขคณิต 5 จานวนระหวา่ ง 8 และ 26 มีค่าเท่ากบั 84

ขอ้ สรุปใดถูกต้อง

1. ขอ้ ก – ค ผดิ ท้งั 3 ขอ้ 2. ขอ้ ก – ค ถูกท้งั 3 ขอ้

3. ขอ้ ก – ค ถูกเพยี ง 2 ขอ้ 4. ขอ้ ก – ค ถูกเพยี งขอ้ เดียว

6. ลาดบั ชุดหน่ึงมี Sn  n2  4n คา่ ของ a7  a16  9 เท่ากบั ขอ้ ใด

1. 59 2. 60 3. 61 4. 62

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 47 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

7. พจน์ท่ี 10 ของลาดบั เรขาคณิต  1 , 1 ,  1 , ... ตรงกบั ขอ้ ใด
27 9 3

1. 729 2. – 729 3. 243 4. – 243

8. จานวนจริง 6 จานวนเรียงกนั เป็นพจน์ต่อเน่ืองในลาดบั เรขาคณิต จานวนทมี่ ากท่สี ุดคือ 96 และที่นอ้ ย

ทสี่ ุดคือ 3 จานวนทีเ่ หลืออีก 4 จานวนคือขอ้ ใด

1. 6 , 12 , 24 , 48 2. 4 , 8 , 16 , 32

3. 2 , 6 , 18 , 54 4. 2 , 6 , 12 , 24

9. ผลบวกของจานวนเตม็ ระหวา่ ง 20 และ 80 ท่ีหารดว้ ย 4 ลงตวั เทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 700 2. 800 3. 900 4. 1,000

10. ลาดบั ชุดหน่ึงเป็ น 3 , 7 , 11 , 15 , … ถา้ a1 , a7 และ ax เรียงกนั เป็ นลาดบั เรขาคณิตแลว้ ค่าของ x
เท่ากบั ขอ้ ใด

1. 60 2. 61 3. 62 4. 63

11. อนุกรมชุดหน่ึงมี Sn  3n 1 คา่ ของ a4  a3 เทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 72 2. 64 3. 48 4. 36

12. ผลบวกของตวั กลางเรขาคณิต 5 จานวนระหวา่ ง 1 และ 64 มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใด

1. – 62 2. – 22 3. 62 4. 22

13. อนุกรมเลขคณิตชุดหน่ึงมี a15  45 , Sn  255 แลว้ a1  d จะมีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 15 2. 7 3. – 7 4. – 15

14. ผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต  2 6  18 54 ... เทา่ กบั ขอ้ ใด

1. – 1,190 2. – 1,094 3. – 1,096 4. – 1,196

15. ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิตทมี่ ี a1  2 และ a6  1,250 มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด
5

1. 1 5n 1 2. 1 5n 1 3.  1 5n 1 4.  1 5n 1
20 10 20 10

16. คา่ ของ 30 คือขอ้ ใด

i3
i 1

1. 456 2. 465 3. 645 4. 546

17. ถา้ 1 , a1 , a2 , a3 , … เป็ นท้งั ลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต ผลบวกของ 1,000 พจนแ์ รกเป็ น
เทา่ ใด

1. 1 2. 2 – 2- 1,000 3. 1,001 4. 1,000

18. ถา้ 13 + 23 + 33+ … + n3 = 3,025 แลว้ n2 + 1 มีค่าเท่าไร

1. 65 2. 82 3. 101 4. 122

19. ถา้ 1 2  3  ...  n  1 แลว้ n2 + 1 มีคา่ เท่าไร

12  22  32  ...  n2 7

1. 100 2. 101 3. 122 4. 145

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 48 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

20.  n เทา่ กบั ขอ้ ใด 2. n4  4n3  5n2  3n
4. n4  5n3  5n2  3n
 4i3  6i 2  2i  1
i 1

1. n4  5n3  5n2  2n

3. n4  4n3  4n2  2n

เฉลยแบบทดสอบตนเอง ชดุ ที่ 6

1. 2 2. 4 3. 3 4. 4 5. 4 6. 3
7. 1 8. 1 9. 1 10. 2 11. 4 12. 3
13. 3 14. 2 15. 2 16. 2 17. 4 18. 3
19. 2 20. 2

เฉลยละเอียดแบบทดสอบตนเอง ชดุ ที่ 6 เฉพาะขอ้ ยาก

5. (1) ถูก จาก k – 1 , k + 3 , 3k – 1 แทนค่า k = 4 จะได้ 3 , 7 , 11 เป็นลาดบั เลขคณิตท่ีมี d = 4
(2) ผดิ ถา้ 2k – 5 , k – 4 , 10 – 3k เป็นลาดบั เรขาคณิตแลว้

จะไดว้ า่ k  4  10  3k
2k  5 k 4

k  42  10  3k 2k  5

k 2  8k 16  20k  50  6k 2 15k

7k 2  43k  66  0

7k  22k  3  0

k  22 ,3
7

(3) ผดิ ตวั กลางเลขคณิต 5 จานวนระหวา่ ง 8 และ 26 คอื 11 , 14 , 17 , 20 , 23
จะไดผ้ ลบวก เทา่ กบั 11 + 14 + 17 + 20+ 23 = 85

11.    a4  S4  S3  34 1  33 1 = 54
   a3  S3  S2  33  1  32  1 = 18

 a4  a3  36

13. a15  45 จะได้ a1 14d  45 1

S15  255 จะได้ 15 2a1  14d   255
2

2a1 14d  34

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 49 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

a1  7d  17 2

1 2 7d = 28

d =4

แทนค่า d = 4 ใน (1) จะได้ a1  56 = 45 7
a1 = – 11

ดงั น้นั a1  d   11  4 

16. 30  30 30 12  30 30 1  465

i3 
i1  2  2

17. อนุกรมน้ีคอื 1 , 1 , 1, 1 , …

 S1000  1,000

18.  n n 12 = 3,025

2 

n n 1 = 55
0
2

n2  n 110 =

n 11n 10 = 0

n = 10

n2 1 = 101

19. 1 2  3  ...  n = n n 1

2

12  22  32  ...  n2 n 2n 1n 1

6

=3

2n 1

3 =1
2n 1
7
2n +1
= 21

2n = 20

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 50 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ม.5

n = 10
= 101
n2 1

20.  n nn n

 4i3  6i 2  2i  1 4 i3  6 i2  2 i  n
  =
i 1 i1 i1 i1

= 4 n n 12  6 n 2n 1n 1  2 n n 1  n
2  6  2 

= n2 n  12  n2n  1n  1  nn  1  n

= nn 1nn 1 2n 11 n

= nn 1n2  3n  2 n

= n4  4n3  5n2  3n

