การแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใช้ทฤษฎีเศษเหลอื

ผลการเรียนรู้
1. อธิบายเกี่ยวกบั การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสงู กวา่ สองที่มสี ัมประสิทธ์ิเปน็ จำนวนเต็ม
โดยอาศัยวธิ ที ำเป็นกำลังสองสมบรู ณห์ รือใชท้ ฤษฎเี ศษเหลอื
2. แสดงการแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี ูงกวา่ สองที่มีสัมประสทิ ธเิ์ ปน็ จำนวนเต็ม
โดยอาศัยวธิ ที ำเป็นกำลงั สองสมบูรณห์ รือใชท้ ฤษฎเี ศษเหลือ

จุดประสงค์การเรียนรู้
1. อธิบายเก่ยี วกับการแยกตัวประกอบของพหนุ ามทมี่ ีสมั ประสทิ ธ์เิ ป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎเี ศษเหลอื (K)
2. มีทกั ษะและสามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามท่มี ีสัมประสิทธ์เิ ปน็ จำนวนเตม็ โดยใช้ทฤษฎีเศษเหลือ (P)
3. ตระหนักและเห็นคณุ ค่าของการนำความรเู้ กยี่ วกับทฤษฎเี ศษเหลือมาประยกุ ตใ์ นการแยกตวั ประกอบของพหุ
นามท่ีมีสมั ประสิทธเ์ิ ป็นจำนวนเต็ม (A)

ทบทวนความรู้เดิมเกย่ี วกับเรื่องการหารพหุนาม (โดยการหารยาว และ การหารสังเคราะห์)

1. จงหาร x2 + 10x + 25 ดว้ ย x + 5 2. จงหาร x2 – 18x + 81 ดว้ ย x – 10

2.4 การแยกตวั ประกอบของพหุนามทม่ี ีสัมประสิทธ์ิเปน็ จำนวนเตม็ โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ

พจิ ารณาการหารพหนุ าม x2 + 3x − 4 ดว้ ยพหนุ าม x − 2 ดงั นี้

x+5

x – 2 x2 + 3x – 4
x2 – 2x
5x – 4
5x – 10

0

จากการหารข้างต้น จะเห็นว่าเม่อื หารพหุนาม x2 + 3x − 4 ด้วยพหนุ าม x − 2 จะได้เศษเป็น 6
ให้ P(x) แทนพหนุ าม x2 + 3x − 4
นั่นคอื P(x) = x2 + 3x − 4
เม่ือแทน x ด้วย 2 ใน P(x) = x2 + 3x − 4 จะได้
P(2) = (2)2 + 3(2) − 4

= 4+6−4
=6
P(2) เปน็ ค่าทีไ่ ดจ้ ากการแทน x ดว้ ย 2 ในพหุนาม P(x)
จากทแี่ สดงขา้ งต้น จะเหน็ ว่า เมอื่ หารพหุนาม P(x) ใดๆ ดว้ ยพหุนาม x – a ท่ี a เป็นค่าคงตวั จะไดเ้ ศษ
ซงึ่ ต่อไปนจ้ ะเรยี กวา่ เศษเหลอื ดงั ทฤษฎีบทตอ่ ไปนี้

ทฎษฎีบท (ทฎษฎีบทเศษเหลอื )
ถ้าหารพหนุ าม P(x) ดว้ ยพหนุ าม x – a ที่ a เป็นค่าคงตวั แล้วจะได้เศษเหลือเปน็ P(a)

ตัวอยา่ งที่ 1 จงใช้ทฎษฏบี ทเศษเหลือหาเศษเหลือหาเศษเหลือที่ได้จากการหาร 2x2 − 5x + 6 ดว้ ย x – 3
วธิ ีทำ ให้ P(x) = 2x2 − 5x + 6

จากทฤษฎีบทเศษเหลอื จะได้ P(3) เปน็ เศษเหลือทีไ่ ด้จากการหาร P(x) ดว้ ย x – 3
P(3) = 2(3)2 − 5(3) + 6

= 18 −15 + 6
=9
ดงั นัน้ เศษเหลอื เท่ากับ 9
ตอบ 9

ตวั อย่างท่ี 2 จงใช้ทฤษฎีบทเศษเหลอื หาเศษเหลือที่ไดจ้ ากการหาร 8x2 − 4x + 11 ด้วย x + 5
วิธที ำ ให้ P(x) = 8x2 − 4x + 11

เนื่องจาก x + 5 = x –(-5) เทียบกับ x – a ทำใหไ้ ด้วา่ a = -5
จากทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ P(-5) เป็นเศษเหลือที่ ไดจ้ ากการหาร P(x) ด้วย x – (-5)

P(4) = 8(−5)2 − 4(−5) + 11
= 200 + 20 +11
= 231

ดงั นั้น เศษเหลอื เทา่ กับ 231
ตอบ 231

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงใช้ทฤษฎีบทเศษเหลอื หาเศษเหลือทไ่ี ด้จากการหาร −5x2 + x − 7 ดว้ ย x – 4
วิธที ำ ให้ P(x) = −5x2 + x − 7

จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื จะได้ P(4) เปน็ เศษเหลอื ทีไ่ ดจ้ ากการหาร P(x) ดว้ ย x – 4
P(4) = −5(4)2 + (4) − 7
= −320 + 4 − 7
= −323

ดังนน้ั เศษเหลอื เท่ากับ −323
ตอบ −323

ตวั อย่างท่ี 4 จงใช้ทฤษฎีบทเศษเหลอื หาเศษเหลือทไี่ ด้จากการหาร 3x5 − x4 − 5x3 + 2x2 − 9x + 7 ดว้ ย
x+2
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 5 จงใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจ้ ากการหาร x3 + 4x2 − 11x − 30 ด้วย x – 3
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
จากตวั อย่างท่ี 5 จะเหน็ วา่ เมือ่ หาร x3 + 4x2 − 11x − 30 ด้วย x – 3 จะได้เศษเหลอื เปน็ 0 แสดงวา่ x -3
หาร x3 + 4x2 − 11x − 30 ไดล้ งตวั ดังนัน้ จะได้ว่า x – 3 เปน็ ตัวประกอบหนึง่ ของ x3 + 4x2 − 11x − 30
นำ x – 3 ไปหาร x3 + 4x2 − 11x − 30 โดยการตัง้ หาร จะไดด้ ังน้ี

x2 + 7x + 10

x – 3 x3 + 4x2- 11x – 30
x3 - 3x2
7x2 - 11x
7x2 - 21x
10x – 30
10x – 30
0

จะเห็นว่า เมอื่ นำ x – 3 ไปหาร x3 + 4x2- 11x – 30 จะไดผ้ ลหารเปน็ x2 + 7x + 10 และ เศษเหลอื เป็น 0

จากความสมั พันธข์ องตวั ตัง้ ตวั หาร ผลหาร และเศษเหลอื ซึ่งป็นตังนี้

ตัวต้ัง = (ตัวหาร x ผลหาร) + เศษเหลอื

จะได้วา่ x3 + 4x2- 11x – 30 = (x – 3)( x2 + 7x + 10) + 0

= (x – 3)( x2 + 7x + 10)

= (x – 3)(x + 2)(x + 5)

น่ันคือ การแยกตวั ประกอบของ x3 + 4x2- 11x – 30 = (x – 3)(x + 2)(x + 5)
จะเหน็ วา่ การแยกตวั ประกอบของ P(x) = x3 + 4x2- 11x – 30 ข้างตน้ น้ใี ช้ทฤษฎีบทเศษเหลอื ในการ

แยกตัวประกอบกอ่ น โดยพิจารณาจาก P(3) = 0 ทำใหไ้ ดว้ า่ x – 3 เปน็ ตวั ประกอบหนง่ึ ของ P(x) จากนน้ั จึงหาตวั
ประกอบอน่ื ๆต่อไป

กลา่ วไวว้ ่า ในการแยกประกอบของพหุนาม P(x) โดยใชท้ ฎษฏีบทเศษเหลือต้องหาจำนวน a ท่ที ำให้ P(a)
= 0 ก่อน

ให้สังเกตวา่ พหุนาม x3 + 4x2- 11x – 30 นี้มีสมั ประสิทธ์ิเป็นจำนวนเตม็ และสมั ประสทิ ธ์ิของตัวแปรทีม่ ี
กำลังสงู สดุ เปน็ 1 และเม่อื พิจารณาตัวประกอบของ x3 + 4x2- 11x – 30 คอื x – 3, x + 2 และ x + 5 จะเหน็ ว่า
จำนวนเต็ม 3, -2 และ -5 หารจำนวนเตม็ -30 ได้ลงตัว ซึง่ -30 คอื พจน์ทีเ่ ปน็ ค่าคงตวั ของพหุนาม x3 + 4x2- 11x
– 30 นอกจากน้เี มอ่ื หา P(-2) และ P(-5) จะได้ P(-2) = 0 และ P(-5) = 0 ด้วยเช่นกัน

ในกรณที ่ัวไป เม่ือ P(x) เปน็ พหนุ ามท่ีมีสมั ประสิทธ์เิ ป็นจำนวนเตม็ และสัมประสิทธข์ องตวั แปรท่ีมกี ำลงั
สูงสุดเปน็ 1 และ a เป็นจำนวนเตม็ ท่ีทำให้ P(a) = 0 จะได้วา่ a หารพจน์ทเี่ ปน็ คา่ คงตัวของพหุนาม P(x) ไดล้ งตวั
ดังนัน้ การหารจำนวนเต็ม a ท่ีทำให้ P(a) = 0 จะพจิ ารณาจากจำนวนเตม็ ท่ีหารท่คี ่างคงตวั ของพหนุ าม P(x) ได้ลง
ตัว

จากท่ีกล่าวมาน้ี จะเหน็ ว่าอาจแยกตวั ประกอบของ P(x) ซ่ึงเป็นพหุนามทีม่ ีสมั ประสิทธ์เิ ปน็ จำนวนเตม็
และสัมประสิทธ์ขิ องตัวแปร

การแยกตวั ประกอบของ P(x) ซงึ่ เปน็ พหุนามที่มีสัมประสิทธ์เิ ป็นจำนวนเตม็ และสัมประสิทธ์ิของตัวแปรมี่ กี ำลงั
สงู สุดเป็น 1 ไดโ้ ดยใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลอื ซึ่งสรุปเปน็ ขัน้ ตอนได้ดงั น้ี

1. หาจำนวนเตม็ ทัง้ หมดทห่ี ารพจนท์ ่เี ป็นค่าคงตัวของพหนุ าม P(x) ได้ลงตวั

2. จากจำนวนเตม็ ท่หี าได้ในข้อ 1 เลอื กจำนวนเต็ม a ทที่ ำให้ P(a) = 0 จะได้ว่า x – a เปน็ ตวั ประกอบของ P(x)

3. นำ x – a ทีไ่ ด้ในข้อ 2 ไปหารพหนุ าม P(x) ได้ผลหารเปน็ พหุนามใหม่ทไี่ มซ่ ำ้ กับพหนุ าม P(x) จะได้ผลหารนเ้ี ป็น
พหุนาม Q(x) ซ่ึงดีกรีของพหุนาม Q(x) จะนอ้ ยกวา่ ดีกรีของพหุนาม P(x) อยู่ 1 และ P(x) = (x - a) Q(x)

4. ถา้ พหุนาม Q(x) ท่ไี ดจ้ ากขอ้ 3 เปน็ พหนุ ามที่มีดกี รีสูงกว่าสองและสามารถแยกตัวประกอบตอ่ ไปได้อีกก็แยกตวั
ประกอบของพหุนาม Q(x) โดยใช้วิธตี ามขน้ั ตอนในขอ้ 1 ข้อ 2 และ ข้อ 3 แต่ถา้ พหนุ าม Q(x) ท่ไี ด้ในข้อ 3 เป็น
พหนุ ามดกี รสี องและสามาระแยกตวั ประกอบตอ่ ไปไดอ้ ีก ก็ใหแ้ ยกตวั ประกอบของพหุนาม Q(x) โดยใช้วิธแี ยะตัว
ประกอบท่เี คยเรยี นมาแลว้ หรือจะใชว้ ิธตี ามขั้นตอนในข้อ 1 ข้อ 2 และข้อ 3 กไ็ ด้

ตวั อยา่ งที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ x3 − x2 − 8x + 12
วิธีทำ ให้ P(x) = x3 − x2 − 8x + 12

พจนท์ ีเ่ ป็นค่าคงตัวของ P(x) คอื 12
ตัวประกอบของ 12 ไดแ้ ก่ 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 และ -12
P(2) = (2)3 − (2)2 − 8(2) + 12

=0
จะได้ x − 2 เป็นตัวประกอบหน่ึงของ x3 − x2 − 8x + 12
นำ x – 2 ไปหาร x3 − x2 − 8x + 12 ได้ผลหารเป็น x2 + x − 6
จะได้ P(x) = (x − 2)(x2 + x − 6)

= (x − 2)(x + 3)(x − 2)
ดงั นนั้ x3 − x2 − 8x + 12 = (x − 2)(x + 3)(x − 2) หรือ (x − 2)2 (x + 3)

ตวั อยา่ งท่ี 7 จงแยกตัวประกอบของ x3 + 3x2 − 2
วิธีทำ ให้ P(x) = x3 + 3x2 − 2

พจนท์ เี่ ปน็ ค่าคงตัวของ P(x) คอื -2
ตัวประกอบของ -2 ได้แก่ 1, -1, 2 และ –2
พจิ ารณา P(1) จะได้ P(1)  0
พิจารณา P(-1)

P(-1) = (−1)3 + 3(−1)2 − 2
= −1 + 3 − 2
=0

ดงั น้นั x – (-1) หรือ x + 1 เป็นตวั ประกอบหนงึ่ ของ x3 + 3x2 − 2
นำ x + 1 ไปหาร x3 + 3x2 − 2 ไดผ้ ลการเป็น x2 + 2x − 2
จะได้ P(x) = (x + 1)(x2 + 2x − 2)
ดังนนั้ x3 + 3x2 − 2 = (x + 1)(x2 + 2x − 2)

ตัวอย่างท่ี 8 จงแยกตวั ประกอบของ x4 − 15x2 − 10x + 24
วิธีทำ ให้ P(x) = x4 − 15x2 − 10x + 24

พจน์ทีเ่ ป็นคา่ คงตวั ของ P(x) คือ 24
จำนวนเตม็ ทหี่ าร 24 ได้ลงตัว คือ 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, -12, 24, -24
พจิ ารณา P(1)
P(1) = 14 – 15(1)2 – 10(1) + 24

= 1 – 15 -10 + 24
=0
ดังน้นั x – 1 เปน็ ตวั ประกอบของ x4 − 15x2 − 10x + 24
นำ x -1 ไปหาร x4 − 15x2 − 10x + 24 ได้ผลหารเปน็ x3 + x2 −14x − 24
จะได้ P(x) = (x - 1)( x3 + x2 −14x − 24 )
ให้ Q(x) = x3 + x2 −14x − 24
พจนท์ ่เี ปน็ คา่ คงตวั ของ Q(x) คือ -24
จำนวนเต็มท่ีหาร -24 ได้ลงตัว คือ 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6 8, -8, 12, -12, 24, -24

พิจารณา Q(1), Q(-1) และ Q(2) จำได้ Q(1)≠ 0 , Q(-1)≠ 0 และ Q(2)≠ 0
พิจารณา

Q(-2) = (-2)3 + (-2)2 – 14(-2) – 24
= -8 + 4 + 28 – 24
=0

ดงั นน้ั x + 2 เป็นตวั ประกอบของ x3 + x2 −14x − 24
นำ x + 2 ไปหาร x3 + x2 −14x − 24 ได้ผลหารเปน็ x2 − x −12
จะได้ Q(x) = (x+ 2)(x2 − x −12)
ดงั น้ัน P(x) = (x - 1) (x+ 2)(x2 − x −12)

= (x - 1) (x+ 2)(x − 4)(x + 3)
นน่ั คือ x4 − 15x2 − 10x + 24 = (x - 1) (x+ 2)(x − 4)(x + 3)

แบบฝกึ หัด

1. กำหนด P(x) และ a ดังในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ จงหา P(a)

1) P(x) = x3 − x2 + 10x − 8 และ a = 3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) P(x) = x3 + 3x2 − 6x − 5 และ a = -4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) P(x) = 2x3 − 4x2 − 7x + 1 และ a = 0

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) P(x) = 3x4 + 5x3 + 9x2 − 6 และ a = -2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) P(x) = −x4 − 8x3 + 4x + 12 และ a = 2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6) P(x) = −2x5 − 9x4 + 19x3 + 51x2 − 89x + 30 และ a = -3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงใช้ทฤษฏีบทเศษเหลือหาเศษเหลอื ่ไี ดจ้ ากการหารพหนุ ามในแต่ละข้อต่อไปน้ี

1) x3 + 4x2 − x − 3 หารดว้ ย x – 4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) 5x3 − 3x2 + 7x + 6 หารด้วย x + 2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) 2x4 − 5x2 + 6x − 14 หารด้วย x + 3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) 2x4 − 2x3 − 5x2 + 3x + 4 หารดว้ ย x + 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) −2x5 + 4x4 − 3x3 + 8x + 7 หารด้วย x - 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6) 4x5 + 3x4 + 2x3 + 9x2 − 29x + 2 หารด้วย x + 2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. จงใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลือแสดงวา่ x + 2 หาร x3 − 2x2 − 2x + 12 ลงตัว
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. จงใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลอื แสดงว่า x – 4 เปน็ ตวั ประกอบของ x4 − 23x2 + 18x + 40
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปน้โี ดยใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลือ
1) x3 − 8x2 + 19x −12
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) x3 − 2x2 − 2x + 12
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) x3 −19x − 30
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) x3 + 4x2 −11x + 6
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) x3 + 2x2 − 16x − 32
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6) x4 − 5x3 − 17x2 + 129x − 180
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7) x4 − 34x2 + 225
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
8) x5 − 23x3 − 6x2 + 112x + 96
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9) 2x3 + 9x2 + 13x + 6
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
10) x3 – x2 – 9x + 9
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………