การแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง

1.1 การแยกตวั ประกอบโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง

สมบัติการแจกแจงกลา่ ววา่ ถ้า a, b และ c แทนจำนวนเตม็ ใด ๆ แล้ว

a(b + c) = ab + ac หรอื (b + c)a = ba + ca

เราอาจเขียนสมบตั ิการแจกแจงข้างตน้ ใหม่ เปน็ ดังน้ี

ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a

ถา้ a, b และ c เปน็ พหุนาม เราก็สามารถใชส้ มบัตกิ ารแจกแจงข้างต้นไดด้ ว้ ย และเรยี ก a ว่า ตัวประกอบรว่ มของ

ab และ ac หรอื ตัวประกอบร่วมของ ba และ ca

พจิ ารณาวิธกี ารแยกตวั ประกอบของ 15x2y -18xy2 โดยใช้สมบตั กิ ารแจงแจง ดงั น้ี

15x2y -18xy2 = 3(5x2y - 6xy2 ) (3 เปน็ ห.ร.ม. ของ 15 และ 18)

= 3x(5xy - 6y2 ) (x เปน็ ตัวประกอบรว่ มของ 5x2y และ 6xy2 )

= 3xy(5x - 6y) (y เป็นตวั ประกอบรว่ มของ 5xy และ 6y2 )

ดังนน้ั 15x2y -18xy2 = 3xy(5x - 6y)

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ 5xy + 6x2

วธิ ที ำ 5xy + 6x2 = x(5y + 6x)

ตวั อย่างท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ 12y2z + 20yz

วิธีทำ 12y2z + 20yz = 4yz(3y + 5)

ตัวอยา่ งที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 16x3y3 - 24x4y

วธิ ีทำ 16x3y3 - 24x4y = 8x3y(2y2 - 3x)

การตรวจสอบวา่ การแยกตวั ประกอบนัน้ ถูกตอ้ งหรอื ไม่ ทำไดโ้ ดยการหาผลคณู ย้อนกลับจากคำตอบ ซ่งึ ต้องเท่ากบั
พหุนามทโ่ี จทย์กำหนด

ในการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามที่มีหลายพจน์ นอกจากจะใชส้ มบตั กิ ารแจกแจงแล้ว อาจต้องใช้สมบตั ิการสลบั ท่ี
และสมบตั กิ ารเปลย่ี นหมู่ประกอบด้วย ดงั ตวั อย่างต่อไปน้ี
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตวั ประกอบของ ab - 2ac + bc - 2c2
วิธที ำ ab - 2ac + bc - 2c2 = (ab - 2ac) + (bc - 2c2 )

= a(b - 2c) + c(b - 2c)
= (b - 2c)(a + c)
ดังนนั้ ab - 2ac + bc - 2c2 = (b - 2c)(a + c)

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ 5x2z - 3y + 5yz - 3x2
วิธีทำ 5x2z - 3y + 5yz - 3x2 = 5x2z - 3x2 + 5yz - 3y
= (5x2z - 3x2 ) + (5yz - 3y)
ตัวอยา่ งที่ 6 = x2 (5z - 3) + y(5z - 3)
วิธีทำ = (5z - 3)(x2 + y)

ดงั นัน้ 5x2z - 3y + 5yz - 3x2 = (5z - 3)(x2 + y)
จงแยกตวั ประกอบของ mr2 - 3mp +15np - 5nr2

mr2 - 3mp +15np - 5nr2 = mr2 - 3mp - 5nr2 +15np
= (mr2 - 3mp) - (5nr2 - 15np)
= m(r2 - 3p) - 5n(r2 - 3p)
= (r2 - 3p)(m - 5n)

ดังนนั้ mr2 - 3mp +15np - 5nr2 = (r2 - 3p)(m - 5n)

1.2 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว
ในหัวขอ้ นจี้ ะกล่าวถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตวั แปรเดยี ว ท่แี ต่ละพจน์มีสัมประสทิ ธิ์เปน็

จำนวนเตม็ เชน่ 3x2 + 4x + 5

2x2 - 6x - 1
x2 - 9
y2 + 3y - 7
-y2 + 8y
พหนุ ามข้างตน้ เป็นตัวอย่างของพหุนามดกี รีสองตัวแปรเดียว
พหุนามดีกรสี องตัวแปรเดียว คือ พหนุ ามท่เี ขยี นได้ในรปู ax2 + bx + c เมือ่ a, b, c เป็นค่าคงตัวท่ี a ≠ 0 และ x
เปน็ ตวั แปร
การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องในรปู ax2 + bx + c เมอ่ื a, b เป็นจำนวนเตม็ และ c = 0
ในกรณที ่ี c = 0 พหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดยี วจะอยใู่ นรปู ax2 + bx เราสามารถใช้สมบัติการแจกแจง แยกตวั
ประกอบของพหนุ ามในรปู น้ีได้ในลักษณะเดียวกับทก่ี ลา่ วมาแล้วในหวั ขอ้ 1.1
ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ -15x2 + 12x

-15x2 + 12x = -3x(5x - 4)
หรอื -15x2 + 12x = 3x(-5x + 4)
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี องในรปู ax2 + bx + c เมอ่ื a = 1, b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0

ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยใู่ นรปู x2 + bx + c เราสามารถแยกตวั ประกอบ
ของพหุนามในรูปนี้ไดโ้ ดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหนุ ามดังตวั อย่างต่อไปนี้

พจิ ารณาการหาผลคูณของพหนุ ามตอ่ ไปน้ี
1. ( x + 2)(x + 3) = ( x + 2)(x) + (x + 2)(3)

= (x2 + 2x) + 3x + (2)(3)
= x2 + (2x + 3x ) + (2)(3)
= x2 +(2 + 3)x +(2)(3)
= x2 + 5x + 6
ดงั นัน้ แยกตัวประกอบของ x2 + 5x + 6 ได้ดงั นี้ x2 + 5x + 6 = ( x + 2)(x + 3)
จากการหาผลคูณ ( x + 2)(x + 3) ดงั กลา่ ว จะได้ขน้ั ตอนการแยกตวั ประกอบของ x2 + 5x + 6 โดยทำ
ขั้นตอนย้อนกลับ ดังน้ี
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3) x + (2)(3)
= x2 + (2x + 3x ) + (2)(3)
= (x2 + 2x) + 3x + (2)(3)
= (x +2)(x)+(x + 2)(3)
= (x +2)(x +3)
นั่นคือ x2 + 5x + 6 = ( x + 2)( x + 3)
ซึ่งสงั เกตได้วา่ เราจะแยกตัวประกอบของ x2 + 5x + 6 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณ
กันได้เท่ากบั พจน์ท่ีเปน็ ค่าคงตัว คือ 6 และบวกกันไดเ้ ทา่ กับสัมประสิทธข์ิ อง x คือ 5

จากทีก่ ลา่ วมาข้างตน้ นี้ ถ้าเราตอ้ งการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง เช่น x2 + 6x + 8 เราจะต้องหาจำนวน
เตม็ สองจำนวนท่ีคณู กนั ได้ 8 และบวกกนั ได้ 6 ก่อน ดังนี้

เนอื่ งจาก (2)(4) = 8 และ 2 + 4 = 6
ดงั นน้ั x2 + 6x + 8 = x2 + (2 + 4) x + (2)(4)

= x2 + (2x + 4x ) + (2)(4)
= (x2 + 2x) + 4x + (2)(4)
= (x + 2)x +(x +2)(4)
= (x + 2)(x +4)
นัน่ คือ x2 + 6x + 8 = ( x + 2)( x + 4)

ในกรณีทั่วไป เราสามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง x2 + bx + c เม่อื b, c เปน็ จำนวนเตม็ และ c ≠ 0
ได้ ถ้าเราสามารถหา จำนวนเตม็ สองจำนวนท่ีคณู กนั ได้เท่ากับพจน์ที่เป็นคา่ คงตัวคือ c และบวกกันได้เท่ากบั สัมประสทิ ธิข์ อง
x คอื b

ถา้ ให้ m และ n เป็นจำนวนเตม็ สองจำนวน ซ่ึง mn = c และ m + n = b จะได้ว่า

x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

ตวั อยา่ งที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 8x + 15
วธิ ีทำ
เนื่องจาก (3)(5) = 15
8
และ 3 + 5 = (x + 3)(x + 5)

ดงั นน้ั x2 + 8x + 15 =

ตัวอย่างท่ี 9 จงแยกตัวประกอบของ x2 - 10x + 21 21
วธิ ที ำ เน่อื งจาก (-3)(-7) = -10
และ (-3) + (-7) = x + (-3)x + (-7)
ดงั น้ัน x2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7)
นั่นคือ x2 - 10x + 21 =

ตัวอย่างท่ี 10 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 5x - 6 -6
วิธีทำ เนอ่ื งจาก (-1)(6) = 5
และ (-1) + (6) = x + (-1)x + 6
ดงั นั้น x2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)
นน่ั คอื x2 + 5x - 6 =

ตัวอย่างท่ี 11 จงแยกตัวประกอบของ x2 - 2x - 24
วิธีทำ เนอ่ื งจาก (4)(-6) = -24

และ 4 + (-6) = -2
ดงั นัน้ x2 - 2x - 24 = x + 4x + (-6)
น่นั คอื x2 - 2x - 24 = ( x + 4)( x - 6)
สำหรับพหุนามดีกรีสอง เชน่ x2 + 3x +1 เน่อื งจากไมม่ จี ำนวนเตม็ สองจำนวนท่คี ูณกันได้ 1 และบวกกันได้ 3
ดังนัน้ เราจึงไมส่ ามารถเขยี นพหุนาม x2 + 3x +1 ให้อย่ใู นรปู การคณู ของพหุนามดกี รหี นึ่งทมี่ ีสมั ประสิทธ์ิเป็นจำนวนเต็ม
น่นั คือ เราไม่สามารถแยกตวั ประกอบของ x2 + 3x +1 ตามเงอ่ื นไขดังกล่าวได้

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เปน็ จำนวนเตม็ และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0
เพอ่ื ความสะดวกในการหาข้อสรุปของวธิ ีการแยกตัวประกอบของพหนุ าม ax2 + bx + c เราจะเรยี ก ax2 วา่ พจน์

หน้า เรียก bx วา่ พจน์กลาง และเรียก c ว่าพจน์หลัง
พิจารณาการคูณพหุนามดีกรีหนึง่ ตอ่ ไปนโี้ ดยใชส้ มบัตกิ ารแจกแจง
(2x - 3)(3x + 1) = (2x - 3)(3x) + (2x - 3)(1)
= (6x2 - 9x) + (2x - 3)
= 6x2 + (-9x + 2x) - 3
= 6x2 - 7x - 3
จากการคูณขา้ งตน้ เราอาจเขียนแผนภาพแสดงวิธีหาพจน์หนา้ พจนห์ ลงั และพจน์กลาง ของพหุนามที่เป็นผลคณู ได้

ดงั น้ี

จากแผนภาพ แสดงผลคูณระหวา่ งพจน์หน้าของพหุนามในวงเลบ็ แรกกบั พจนห์ ลงั ของพหุนามในวงเลบ็ หลัง บวกกบั

ผลคณู ระหวา่ งพจนห์ ลังของพหนุ ามในวงเล็บแรกกับพจนห์ นา้ ของพหนุ ามในวงเลบ็ หลงั ได้พจนก์ ลางของพหนุ ามท่ีเป็นผล

คณู

ดงั นั้น ในการแยกตัวประกอบของ 6x2 - 7x - 3 จะทำดงั น้ี

1. หาพหุนามดกี รหี นงึ่ สองพหุนามทีค่ ูณกนั แลว้ ไดพ้ จนห์ นา้ คอื 6x2 ซ่งึ อาจเปน็ 2x กับ 3x หรือ x กบั 6x เขียนสองพหนุ าม

นน้ั เป็นพจน์หน้าของพหนุ ามในวงเล็บสองวงเลบ็ ดังน้ี

(2x )(3x ) หรอื ( x )(6x )

2. หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกนั แล้วไดพ้ จนห์ ลงั คอื -3 ซึ่งอาจเป็น 3 กับ -1 หรอื -3 กับ 1 แล้วเขียนจำนวนทง้ั สองนเ้ี ปน็

พจนห์ ลงั ของพหุนามในแตล่ ะวงเล็บท่ไี ดใ้ นข้อ 1 ซงึ่ ทำใหเ้ กิดกรณีท่ตี ้องพิจารณา 8 กรณี ดงั น้ี

1) (2x + 3)(3x - 1) 2) (2x - 1)(3x + 3)

3) (2x - 3)(3x + 1) 4) (2x + 1)(3x - 3)

5) ( x + 3)(6x - 1) 6) ( x - 1)(6x + 3)

7) ( x - 3)(6x + 1) 8) ( x + 1)(6x - 3)

3. นำผลที่ได้ในข้อ 2 มาหาพจนก์ ลางทลี ะกรณี จนกวา่ จะไดพ้ จนก์ ลาง -7x ดังนี้

1) (2x + 3)(3x - 1) ไดพ้ จน์กลางเป็น 9x + (-2x) = 7x

2) (2x - 1)(3x + 3) ได้พจน์กลางเป็น (-3x) + 6x = 3x

3) (2x - 3)(3x + 1) ได้พจน์กลางเปน็ (-9x) + 2x = - 7x

จะเห็นวา่ เม่อื ถึงกรณี 3) จะได้พจนก์ ลางของพหนุ ามที่เปน็ ผลคณู เทา่ กับ -7x ดงั นน้ั ไมต่ ้องพจิ ารณากรณอี นื่ ๆ อกี

น่นั คอื แยกตัวประกอบของพหุนาม 6x2 - 7x - 3 ได้ดังนี้

6x2 - 7x - 3 = (2x - 3)(3x + 1)

ตวั อยา่ งท่ี 12 จงแยกตวั ประกอบของ 4x2 + 13x + 10
วธิ ีทำ 4x2 + 13x + 10 = (4x + 5)( x + 2)

ตรวจสอบ (4x)( x ) = 4x2 และ (5)(2) = 10

(4x)(2) + (5)( x ) = 8x + 5x = 13x

ตวั อย่างที่ 13 จงแยกตัวประกอบของ 8x2 - 26x + 15
วิธที ำ 8x2 - 26x + 15 = (2x - 5)(4x - 3)

ตรวจสอบ (2x)(4x) = 8x2 และ (-5)(-3) = 15

(2x)(-3) + (-5)(4x) = - 6x + (-20x ) = - 26x

ตัวอย่างท่ี 14 จงแยกตวั ประกอบของ 12x2 + 5x - 2
วธิ ีทำ 12x2 + 5x - 2 = (4x - 1)(3x + 2)

ตรวจสอบ

ตัวอยา่ งที่ 15 จงแยกตัวประกอบของ 6x2 - 10x - 4
วิธีทำ 6x2 - 10x - 4 = ……………………………………………..

= ……………………………………………..

ตรวจสอบ

ตวั อยา่ งท่ี 16 จงแยกตัวประกอบของ -3x2 + 10x + 8
วธิ ที ำ -3x2 + 10x + 8 = ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

1.1 การแยกตัวประกอบโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง
แบบฝึกหดั 1.1 ก

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปน้ี
1) 10x + 4 = …………………………………………… 2) 7x - 14 = …………………………………………
3) -9x + 3 = …………………………………………… 4) -8 - 12x = …………………………………………
5) 14y + 26z = …………………………………………… 6) x2 +13x = …………………………………………
7) 3z2 - 2z = …………………………………………… 8) 5y2 - 20y = …………………………………………
9) 12xz - 16z = …………………………………………… 10) 33y2 - 11yz = …………………………………………
11) 15x2y + 5x = …………………………………………… 12) 6xy - 8xy2 = …………………………………………
13) x3 + x = …………………………………………… 14) y3 + 4y = …………………………………………
15) 9y2z2 - 6yz = …………………………………………… 16) 21x3y2 - 28x2y3 = ……………………………………

แบบฝกึ หดั 1.1 ข

จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี

1) m(n + 3) + 5(n + 3) = ……………………………… 2) ( x + y)z - (x + y) = ………………………………

3) 4t(a + b) - s(a + b) = ……………………………… 4) (4y2 + 3)y + 6(4y2 + 3) = .……………………

5) a(b - 3c) + x(b - 3c) = ……………………………… 6) ax + by + bx + ay = ………………………………

7) 5a - 10x + ab - 2bx = ……………………………… 8) na + 3b + nb + 3a = ………………………………

9) xy - st - xt + sy = ……………………………… 10) n2m + n2p - 8m - 8p= ………………………………

11) ab2 - cb2 - 6a + 6c = ……………………………… 12) 2x3 - x +14x2 - 7 = ………………………………

13) a2 - 2b - 5a3 + 10ab = ……………………………… 14) x3 - x3z + y2z - y2 = ………………………………

1.2 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดียว

แบบฝกึ หัด 1.2 ก

จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปนี้

1) x2 + 4x + 3x +12 = ……………………………… 2) m2 - 5m + 2m - 10 = ………………………………

3) x2 + 9x + 14 = ……………………………… 4) n2 + 15n + 14 = ………………………………

5) y2 +10y + 24 = ……………………………… 6) x2 + 7x - 18 = ………………………………

7) x2 - 9x + 20 = ……………………………… 8) a2 - 8a - 9 = ………………………………

9) b2 + 9b - 10 = ……………………………… 10) x2 - 49 = ………………………………

11) 56 + 15a + a2 = ……………………………… 12) m2 - 13m + 42 = ………………………………
13) x2 - 20x - 21 = ……………………………… 14) x2 - 15x + 36 = ………………………………
15) y2 +13y +12 = ……………………………… 16) t2 - 11t + 30 = ………………………………
17) a2 - a - 72 = ……………………………… 18) x2 - 17x + 70 = ………………………………
19) y2 -18y + 81 = ……………………………… 20) n2 + 15n - 54 = ………………………………
21) x2 - 30x - 99 = ……………………………… 22) y2 - 729 = ………………………………
23) m2 - 22m +121 = ……………………………… 24) x2 - 12x - 85 = ………………………………
25) 144 + 24a + a2 = ……………………………… 26) s2 + 12s - 189 = ………………………………
27) 961 - m2 = ……………………………… 28) x2 - 28x + 195 = ………………………………
29) 225 + 34t + t2 = ……………………………… 30) y2 - 2y - 323 = ………………………………
31) x2 + 37x + 232 = ……………………………… 32) m2 - 19m - 372 = ………………………………

แบบฝกึ หดั 1.2 ข

จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี้

1) 2x2 - 2x - 4 = ……………………………… 2) 2a2 + 6a + 4 = ………………………………
= ………………………………
3) 3x2 - 6x - 9 = ……………………………… 4) 6y2 - y - 12 = ………………………………
= ………………………………
5) 9y2 - 6y +1 = ……………………………… 6) 6a2 + a - 12 = ………………………………
= ………………………………
7) 6a2 + 17a + 12 = ……………………………… 8) 5x2 + 14x - 3 = ………………………………
= ………………………………
9) 6 - 7x + x2 = ……………………………… 10) 4 + 10x + 6x2 = ………………………………
= ………………………………
11) 4x2 +16x - 9 = ……………………………… 12) 9y2 - 12y - 5 = ………………………………
= ………………………………
13) 5x2 + 4x - 1 = ……………………………… 14) 12a2 - a - 35 = ………………………………
= ………………………………
15) 16y2 - 8y +1 = ……………………………… 16) 4y2 - 36 = ………………………………
= ………………………………
17) 9a2 - 64 = ……………………………… 18) 15x2 + 8x - 7

19) 7a2 + 49a + 84 = ……………………………… 20) 35m2 + 18m - 8

21) 4 + 10x - 6x2 = ……………………………… 22) 9 - 42y + 49y2

23) 35 - 26b + 3b2 = ……………………………… 24) 4z2 - 28z + 49

25) -12a2 - 20a - 7 = ……………………………… 26) 10 - 19x - 15x2

27) 6b2 - 38b + 56 = ……………………………… 28) 7m2 + 72m - 55

29) 20a2 + 77a + 18 = ……………………………… 30) 3x2 - 40x + 117

31) -10x2 + 81x - 45 = ……………………………… 32) 13y2 + 69y - 54