การแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้ผลต่างกำลังสอง-กำลังสองสมบูรณ์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่ีเป็ นผลต่างของกาลงั สอง

การแยกตวั ประกอบพหุนามโดยการใชส้ ตู ร

ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาการคณู ของพหุนามต่อไปน้ี

1. ( )( )
2. ( )( )
3. ( )( ) ...................

4. ( )( )
5. ( )( ) ...................

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ นกั เรยี นจะเหน็ ว่าผลคณู ทไ่ี ดเ้ ป็นพหุนามดกี ร.ี .............และมจี านวนพจน์..............พจน์

ในทางกลบั กนั ถา้ นกั เรยี นพจิ ารณาทางขวาเป็น

1. ( )( )

( )( )

2. ( )( )
......... ( )( )

3. …………………………………………………………

………………………………………………………...

4. ( )( )

( ) ( )( )

5. ………………….. ( )( )

………………….. ( )( )

เรยี กพหนุ ามในรปู แบบน้วี า่ “ผลต่างกาลงั สอง”

จากแบบรปู

( )( )

ถา้ ให้ แทนดว้ ยพจน์หน้า (น.)
ให้ แทนดว้ ยพจน์หลงั (ล.)

1

สตู ร ผลต่างกาลงั สอง

น ล (น ล)(น ล)
หรอื ( )( )

นกั เรยี นรจู้ กั สตู รการแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี องทเ่ี ป็นผลต่างของกาลงั สองมาแลว้ ดงั น้ี
( )( ) เมอ่ื และ เป็นพหนุ าม

นกั เรยี นยงั ทราบมาแลว้ ว่า (√ ) เมอ่ื เป็นจานวนจรงิ บวกหรอื ศูนย์ เรานาความรดู้ งั กล่าว
มาใชแ้ ยกตวั ประกอบของพหนุ ามทเ่ี ป็นผลต่างของกาลงั สองได้ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี
ตวั อย่างที่ 1 จงแยกตวั ประกอบของ
วิธีทา ( ) ( )

…...................

ตวั อย่างที่ 2 จงแยกตวั ประกอบของ ()

วิธีทา ( ) ( ) ( )

[ ( )][ ( )]
[ ][ ]

…............................................

ตวั อย่างที่ 3 จงแยกตวั ประกอบของ ( )( )
วิธีทา ( ) (
) [( ) ( )][( ) ( )]

……………………………………
……………………………………

2

ตวั อย่างที่ 4 จงแยกตวั ประกอบของ ( ) ( )

วิธีทา

( )( ) ( )( )

แบบฝึ กหดั ( )( )

[( ) ( )][( ) ( )]

…..................................................................

…..................................................................

จงแยกตวั ประกอบพหุนามต่อไปน้ี โดยการใชส้ ตู รผลต่างกาลงั สอง

…..................................................................

…..................................................................

…..................................................................

() ( ) …..................................................................

…..................................................................

…..................................................................

( ) ( ) …..................................................................

…..................................................................

…..................................................................

…..................................................................

( ) ( ) …..................................................................

…..................................................................

( ) ( ) …..................................................................

…..................................................................

3

ตวั อย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ
วิธีทา (√ )

( √ )( √ )

ดงั นนั้ ( √ )( √ )

ตวั อย่าง 2 จงแยกตวั ประกอบของ
วิธีทา ( ) (√ )

( √ )( √ )

ดงั นนั้ ( √ ) ( √ )

ตวั อย่างที่ 3 จงแยกตวั ประกอบของ ( )
วิธีทา ( ) ( √ ) ( )

[ √ ( )][ √ ( )]

ดงั นนั้ ( ) [ √ ( )][ √ ( )]

ตวั อย่างท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ ( )

วิธีทา ( ) ( ) (√)
) √ ][(
ดงั นนั้ ( ) [( ) √]
( √ )( √)
( √ )( √)

4

แบบฝึ กหดั 2.1

จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี

1.
2.
3.
4.
5.

6.

7.

8.

9.
10. ( )
11. ( )
12. ( )
13. ( )
14. ( )
15. ( )
16. ( )
17. ( )
18. ( )

5

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองโดยวิธีทาเป็ นกาลงั สองสมบรู ณ์

นกั เรยี นรจู้ กั สตู รการแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี องทเ่ี ป็นกาลงั สองสมบูรณ์มาแลว้ ดงั น้ี

()
()

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี อง
ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาการคณู ของพหุนามต่อไปน้ี

1. ( )( )
2. ( )( )
3. ( )( ) ……………………………………...
4. ( )( ) ……………………………………... ………………………………
5. ( )( )
6. ( )( )
7. ( )( ) ……………………………………... ………………………………
8. ( )( ) ……………………………………... ………………………………
9. ( )( ) ……………………………………... ………………………………
10. ( )( ) ……………………………………... ………………………………

นักเรยี นจะเหน็ ว่าการหาผลคูณของพหุนามดกี รหี น่ึง สองวงเลบ็ ท่มี ลี กั ษณะท่เี หมอื นกนั ผลคูณท่ไี ด้จะมี

..............พจน์ และดกี รสี ูงสุดของพหุนามเป็น.............. เราจะเรยี กพหุนามทม่ี แี บบรปู ลกั ษณะน้ีว่า “กาลงั

สองสมบรู ณ์”

เช่น ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )( )

6

นนั่ คอื พหุนามใดทส่ี ามารถเขยี นใหอ้ ยใู่ นรปู

()

หรอื ( )

เราจะเรยี กพหนุ ามน้วี ่า สตู ร กาลงั สองสมบรู ณ์ หรอื ให้ แทนพจน์หน้า และ แทนพจน์หลงั

(น ล) น (น)(ล) ล
(น ล) น (น)(ล) ล

ใหน้ กั เรยี นจดั พหนุ ามต่อไปน้ใี หอ้ ยใู่ นรปู กาลงั สองสมบรู ณ์

1. ( )( ) ()

2. …………………………………….. ………………………

3. …………………………………….. ………………………

4. …………………………………….. ………………………

5. …………………………………….. ………………………

ในกรณที ส่ี มั ประสทิ ธหิ ์ น้า ( ) ( )( )
เชน่
()
( ) ( )( )
()

ใหน้ กั เรยี นจดั พหนุ ามต่อไปน้ใี นรปู กาลงั สองสมบรู ณ์
1. ……………………………………..
2. ……………………………………..
3. ……………………………………..
4. ……………………………………..
5. ……………………………………..

7

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสงู กว่าสองที่มีสมั ประสิทธ์ิเป็นจานวนเตม็

ในหวั ขอ้ น้จี ะกล่าวถงึ การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี งู กว่าสองทม่ี สี มั ประสทิ ธขิ ์ องแต่ละพจน์

เป็นจานวนเตม็ และตวั ประกอบทไ่ี ดม้ ามสี มั ประสทิ ธขิ ์ องแต่ละพจน์เป็นจานวนเตม็ ดว้ ย

พจิ ารณาการหาผลคณู ของพหุนามในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี

1. ( )( )

2. ( )( )

3. ( )( ()
)

4. ( )( )

เรยี กพหนุ าม เช่น () ว่า ผลบวกของกาลงั สาม

และ ( )

และเรยี กพหนุ าม เชน่ และ ( ) ว่า ผลต่างกาลงั สาม

จากผลคณู ในขอ้ 1 ถงึ 4 ขา้ งตน้ จะเหน็ ว่าเม่อื มผี ลคูณเป็นพหุนามทอ่ี ยใู่ นรปู ผลบวกของกาลงั สาม

หรอื ผลต่างของกาลงั สาม สามารถใชส้ มบตั ขิ องการเท่ากนั เขยี นพหุนามทเ่ี ป็นผลคูณนนั้ ในรปู คณู พหุนามได้

นนั่ คอื จไดก้ ารแยกตวั ประกอบของ () และ ( ) เป็นดงั น้ี

1. ( )( )
2. ( ) ( )( )
3. ( )(
4. ( ) ( )( )
)

8

พจิ ารณา ( )( )

หรอื ( )[ ( )( ) ]

และพจิ ารณา ( ) ( )( )

หรอื ( ) ( )[( ) ( )( ) ]

จะเหน็ ว่า การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามขา้ งตน้ มลี กั ษณะพเิ ศษทส่ี งั เกตไดด้ งั น้ี

(พจน์หน้า) (พจน์หลงั ) (พจน์หน้า พจน์หลงั ) *(พจน์หน้า) (พจน์หน้า)(พจน์หลงั ) (พจน์หลงั ) +

พจิ ารณา ( )( )

หรอื ( )[ ( )( ) ]

และพจิ ารณา ( ) ( )( )

หรอื ( ) ( )[( ) ( )( ) ]

จะเหน็ ว่า การแยกตวั ประกอบของพหุนามขา้ งตน้ มลี กั ษณะพเิ ศษทส่ี งั เกตไดด้ งั น้ี

(พจน์หน้า) (พจน์หลงั ) (พจน์หน้า พจน์หลงั ) *(พจน์หน้า) (พจน์หน้า)(พจน์หลงั ) (พจน์หลงั ) +

ในกรณที วั่ ไป เม่อื และ เป็นพหุนาม เรยี กหุนามทอ่ี ยใู่ นรปู ว่าผลบวกของกาลงั สาม

และเรยี กฟหนุ ามทอ่ี ยใู่ นรปู ว่าผลต่างของกาลงั สาม

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทงั้ สองทาไดต้ ามสตู รดงั น้ี

( )( )
( )( )

ตวั อย่างที่ 1 จงแยกตวั ประกอบของ

วิธีทา

( )( ( )( ) )

( )( )

ดงั นนั้ ( )( )

9

ตวั อย่าง 2 จงแยกตวั ประกอบของ

วิธีทา

( )( ( )( ) )

( )( )

ดงั นนั้ ( )( )

ตวั อย่าง 3 จงแยกตวั ประกอบของ
วิธีทา
()

( )(( ) ( )( ) )

( )( )

ดงั นนั้ ( )( )

ตวั อย่าง 4 จงแยกตวั ประกอบของ ( ) ( )

วิธีทา

( ) ( ) [( )( )][( )( )( ) ( )]
( )[( )( )(
( )( ) )]
( )( )

ดงั นนั้ ( ) ( ) ( )( )

ตวั อย่าง 5 จงแยกตวั ประกอบของ

วิธีทา

( )( ( )( ) )

( )( )

ดงั นนั้ ( )( )

10

ตวั อย่าง 6 จงแยกตวั ประกอบของ

วิธีทา

( )( ( )( ) )

( )( )

ดงั นนั้ ( )( )

ตวั อย่าง 7 จงแยกตวั ประกอบของ
วิธีทา
() ()

( )[ ( ) ( )( ) ( ) ]

( )( )

ดงั นนั้ ( )( )

ตวั อย่าง 8 จงแยกตวั ประกอบของ ( ) ( )

วิธีทา

( )( ) [( ) ( )][( ) ( )( )( )]

( )( )

( )( )

ดงั นนั้ ( ) ( ) ( )( )

จากสตู ร ( )( )

( )( )

เพ่อื ใหง้ า่ ยต่อการจดจาในการนาไปใช้ ใหจ้ ายอ่ ๆ ดงั น้ี

(หน้า) (หลงั ) (หน้า หลงั ) *(หน้า) (หน้า)(หลงั ) (หลงั ) +
(หน้า) (หลงั ) (หน้า หลงั ) *(หน้า) (หน้า)(หลงั ) (หลงั ) +

11

แบบฝึ กหดั 2.3 ก

จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี

1. () )
2. )( )
3. )(
4.
5. ) )
6. )( )
7. (
8. ( )(
9.
10.
11.
12.
13.
14. (
15. (
16. (

12