โครงงานคณิตศาสตร์

โครงงานคณิตศาสตร์
เร่ือง ระบบจานวนจริง

โดย

นาย ธนธชั นครกณั ฑ์ เลขท่ี 1
เลขท่ี 3
นาย สุกฤต อิสมาแอล เลขท่ี 18
เลขที่ 20
นางสาว แพรพิยดา อินทะหอม เลขท่ี 22

นางสาว สุนนั ทา คาดีสวสั ด์ิ

นางสาว ชนญั ชิดา เฉลิมรัตนโกมล

ครูทป่ี รึกษา

คุณครู อรทยั สินไหม
คุณครู ธนิวรรณ ถิระประพฒั น์

โรงเรียนชิโนรสวทิ ยาลยั
รายงานโครงงานนเี้ ป็ นส่วนประกอบหน่งึ ของรายวชิ า โครงงานคณติ ศาสตร์

ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 5 ภาคเรียนท่ี 1 ปี การศึกษา 2564

1

โครงงานคณติ ศาสตร์ เรื่อง ระบบจานวนจริง

ผู้จัดทา นาย ธนธชั นครกณั ฑ์

นาย สุกฤต อิสมาแอล

นางสาว แพรพยิ ดา อินทะหอม

นางสาว สุนนั ทา คาดีสวสั ด์ิ

นางสาว ชนญั ชิดา เฉลิมรัตนโกมล

ครูที่ปรึกษา คุณครู อรทยั สินไหม
คุณครู ธนิวรรณ ถิระประพฒั น์

สถานที่ศึกษา โรงเรียนชิโนรสวทิ ยาลยั
ปี การศึกษา 2564

บทคดั ย่อ

คณิตศาสตร์ในแต่ละยุคสมยั น้ันมีความแตกต่างกนั มีการพฒั นาสูตรและหลกั ทฤษฎีมา
เรื่อยๆ ทาให้คณิตศาสตร์น้ันเป็ นมากกว่าแค่ตวั เลข จึงเป็ นเร่ืองยากต่อการทาความเขา้ ใจและไม่
อยากศึกษาต่อ อนั เน่ืองจากความคิดท่ีว่า คณิตศาสตร์เป็ นเร่ืองของสูตรและหลกั ทฤษฎีท่ีมีความ
ซบั ซอ้ น และไม่มีความน่าสนใจ

การทาโครงงานคร้ังน้ีเป็ นการศึกษาเกี่ยวกบั คณิตศาสตร์ โดยมีวตั ถุประสงคเ์ พ่ือศึกษาเร่ือง
ระบบจานวนจริง ให้ออกมาในรูปแบบเกม โดยใชค้ วามรู้ทางคณิตศาสตร์ในเรื่องหลกั ทฤษฎีและ
สูตรของระบบจานวนจริง เพื่อนามาพฒั นาความรู้และการนาไปใชต้ ่อ

2

สารบญั หน้า

บทคดั ย่อ 2
สารบญั 3
สารบัญภาพ 4
สารบญั ตาราง 4
บทที่ 1 บทนา 5
5
ท่ีมาและความสาคญั 6
วตั ถุประสงค์ 6
ผลท่ีคาดวา่ จะไดร้ ับ 6
ขอบเขตการศึกษา 6
นิยามศพั ทเ์ ฉพาะและสญั ลกั ษณ์ท่ีใชใ้ นการศึกษา 7
บทที่ 2 เอกสารท่เี กย่ี วข้อง 7
จานวนจริง 8
สมบตั ิของจานวนจริง 9
การแกส้ มการพหุนามตวั แปรเดียว 10
สมบตั ิของการไม่เท่ากนั 11
ช่วงและการแกอ้ สมการ 13
คา่ สมั บูรณ์ 14
การแกส้ มการและอสมการในรูปคา่ สมั บูรณ์ 16
บทที่ 3 วธิ ีการดาเนินโครงงาน 17
บทที่ 4 ผลการดาเนินการศึกษา 18
บทที่ 5 สรุปผลการศึกษาและข้อเสนอแนะ 19
บรรณานุกรม 20
ภาคผนวก
3

สารบญั ภาพ

รูปภาพท่ี 2.1 แผนภาพแสดงระบบจานวนจริง หน้า
รูปภาพที่ 2.2 รูปภาพแสดงตวั อยา่ งช่วง 7
รูปภาพท่ี 2.3 รูปภาพแสดงตวั อยา่ งค่าสมั บูรณ์ 12
รูปภาพที่ 2.3 รูปภาพแสดงตวั อยา่ งค่าสมั บูรณ์ 14
14
สารบัญตาราง
หน้า
ตารางท่ี 3.1 ตารางการดาเนินงาน 16

4

บทท่ี 1

บทนา

ท่ีมาและความสาคญั
คณิตศาสตร์เป็ นศาสตร์ท่ีเก่ียวขอ้ งกบั ชีวิตประจาวนั หากกล่าวถึงคณิตศาสตร์ ทุกคนคงคิด

ว่า “ศาสตร์ท่ีว่าดว้ ยเร่ืองตวั เลข” ซ่ึงอนั ที่จริงแลว้ คาจากดั ความน้ีเป็ นเพียงคาจากดั ความด้งั เดิมของ
คณิตศาสตร์เท่าน้นั ปัจจุบนั คณิตศาสตร์ไดถ้ ูกพฒั นาจนไม่สามารถใชค้ าจากดั ความดงั กล่าวไดอ้ ีก
ต่อไป แต่เน่ืองดว้ ยคณิตศาสตร์มีตวั เลข สูตร และหลกั ทฤษฎีท่ีมากมาย ทาให้คนส่วนใหญ่มกั มี
ความคิดว่าคณิตศาสตร์เป็ นเรื่องยากต่อการทาความเข้าใจและไม่อยากศึกษาต่อ อนั เน่ืองจาก
ความคิดที่วา่ คณิตศาสตร์เป็นเร่ืองของสูตรและหลกั ทฤษฎีท่ีมีความซบั ซอ้ น และไม่น่าสนใจ

คณิตศาสตร์เริ่มจากเป็ นเกร็ดความรู้ท่ีมนุษยน์ ามาใชใ้ ห้เป็ นประโยชน์ในการดารงชีวิตใน
สมยั ส่ีพนั ปี ก่อนค่อยๆ มีกฎเกณฑท์ วีเพ่ิมพูนข้ึนตลอดมา คณิตศาสตร์เปรียบเหมือนตน้ ไม้ นบั วนั
จะผลิดอกออกผลนาประโยชน์มาให้มนุษยชาติ มนุษยท์ ุกยคุ ทุกสมยั สนใจวิชาคณิตศาสตร์ การให้
ความรู้ทางคณิตศาสตร์แก่เยาวชนของชาติ จึงมีความสาคญั อยา่ งมาก ระบบจานวนจึงเป็นเรื่องของ
ธรรมชาติที่มนุษยต์ อ้ งการใชใ้ นการนบั จานวน เพื่อจะไดท้ ราบปริมาณ และเปรียบเทียบค่า หรือใช้
ประโยชน์ในชีวิตประจาวนั ไดม้ ากมายมหาศาล ความเป็นอยขู่ องผคู้ นเกี่ยวขอ้ งกบั การทาการเกษตร
การเพาะปลูก เมื่อดาเนินการต้งั ถิ่นที่อยู่อาศยั ก็ตอ้ งมีการคานวณพ้ืนท่ี มีการเรียนรู้เรื่องเวลาและ
ฤดูกาล เมื่อเพาะปลูกไดก้ ต็ อ้ งรับรู้ปริมาณผลผลิตท่ีไดร้ ับ เป็นท่ีมาของมาตราต่าง ๆ ที่ใช้ ชีวิตความ
เป็ นอยู่ของชนทุกชาติจะคุน้ เคยกบั หน่วยปริมาณ และมาตราวดั ท่ีแตกต่างกนั ออกไป แต่ปัจจุบนั
คณิตศาสตร์เริ่มมีการพฒั นาทาใหม้ ีหลกั ทฤษฎีและสูตรการคานวณที่มากมาย คณะผจู้ ดั ทาจึงไดน้ า
เร่ืองระบบจานวนจริง มาคิดวิเคราะห์ หากจะทาอย่างไรให้เขา้ ใจในระบบจานวนจริงมากข้ึน จะ
สามารถจาหลกั ทฤษฎีและสูตรของระบบจานวนจริงไดใ้ นระยะเวลาอนั ส้นั หรือไม่ ทางคณะผจู้ ดั ทา
จึงมีความสนใจท่ีจะทาระบบจานวนจริงเป็นเกม เพอ่ื ใหง้ ่ายต่อความเขา้ ใจในจาหลกั ทฤษฎีและสูตร
การคานวณ ที่ท้งั สนุกและสามารถนาไปใชไ้ ดจ้ ริง

คณะผูจ้ ดั ทาจึงมีความสนใจในการจัดทาโครงงาน เรื่องระบบจานวนจริง ให้ออกมาใน
รูปแบบเกม โดยใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ในเร่ืองหลกั ทฤษฎีและสูตรของระบบจานวนจริง
เพือ่ ท่ีจะขยายแนวคิด พฒั นาความรู้และการนาไปใชต้ ่อไป

5

วตั ถุประสงค์
1. เพ่อื ศึกษาความสมั พนั ธต์ ่าง ๆ ในระบบจานวนจริง
2. เพอื่ ศึกษาทฤษฎีและสูตรในระบบจานวนจริง ไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นการแกโ้ จทยป์ ัญหาได้

ผลที่คาดว่าจะได้รับ
1. ไดเ้ รียนรู้เกี่ยวกบั หลกั ทฤษฎีและสูตร ในระบบจานวนจริง
2. สามารถนาหลกั ทฤษฎีและสูตร ในระบบจานวนจริง ไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นการแกป้ ัญหาได้

ขอบเขตการศึกษา
ขอบเขตการศึกษาด้านเนื้อหา
การศึกษาคน้ ควา้ ในเรื่องน้ี มุ่งในการศึกษาเรื่องจานวนจริง สมบตั ิของระบบจานวนจริง การ

แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดียว สมบตั ิของการไม่เท่ากนั ช่วงและการแกอ้ สมการ คา่ สมั บูรณ์ การแก้
สมการและอสมการในรูปค่าสมั บูรณ์ โดยคณะผจู้ ดั ทาไดใ้ ชค้ วามรู้ระดบั ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 เร่ือง
ระบบจานวนจริง

ขอบเขตด้านระยะเวลา
วนั ท่ี 1 มิถนุ ายน 2564 – วนั ท่ี 30 กนั ยายน 2564

นิยามศัพท์เฉพาะและสัญลกั ษณ์ทใ่ี ช้ในการศึกษา
จานวนอตรรกยะ หมายถึง จานวนท่ีไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจานวนเต็ม

หรือ ทศนิยมซ้าได้ ยกตวั อยา่ งเช่น √2 , √3 , √5 หรือคา่ π เป็นตน้
จานวนตรรกยะ หมายถึง จานวนท่ีสามารถเขียนให้อยใู่ นรูปเศษส่วนของจานวนเต็ม หรือ

ทศนิยมซ้าไดย้ กตวั อยา่ งเช่น 1 , 1 , 2 เป็นตน้
235
จานวนเต็ม หมายถึง จานวนท่ีเป็นตวั เลขเต็มๆ หรือ ตวั เลขที่ไม่มีทศนิยมนน่ั เอง นน่ั คือ ตวั

เลขท่ีเราใชน้ บั นน่ั เอง ยกตวั อยา่ งเช่น 1, 2, 3, 4 , ... ท้งั น้ีท้งั น้นั รวมไปจนถึงค่าที่ติดลบของจานวน
นบั น้ีและศูนยด์ ว้ ย เช่น 0, -1, -2, -3, -4 , ...

6

บทท่ี 2

เอกสารทเี่ กย่ี วข้อง

จานวนจริง

จานวนอตรรกยะ คือ จานวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยูใ่ นรูปเศษส่วนของจานวนเต็ม หรือ

ทศนิยมซ้าได้ ยกตวั อยา่ งเช่น √2 , √3 , √5 หรือคา่ π เป็นตน้

จานวนตรรกยะ คือ จานวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจานวนเต็ม หรือ

ทศนิยมซ้าไดย้ กตวั อยา่ งเช่น 1 , 1 , 2 เป็ นตน้
2 3 5
จะเห็นไดว้ า่ จานวนตรรกยะ จะประกอบดว้ ยสองส่วนคือ จานวนเตม็ และ จานวนตรรกยะ

ที่ไม่ใช่จานวนเตม็

จานวนเต็ม คือจานวนท่ีเป็นตวั เลขเตม็ ๆ หรือ ตวั เลขท่ีไม่มีทศนิยมนน่ั เอง นนั่ คือ ตวั เลขท่ี

เราใชน้ บั นนั่ เอง ยกตวั อยา่ งเช่น 1, 2, 3, 4 , ... ท้งั น้ีท้งั น้นั รวมไปจนถึงค่าที่ติดลบของจานวนนบั น้ี

และศูนยด์ ว้ ย เช่น 0, -1, -2, -3, -4 , ....

จานวนตรรกยะท่ีไม่ใช่จานวนเต็ม คือ ตวั เลขเขียนในรูปของทศนิยมซ้าไดโ้ ดยท่ีไม่ไดเ้ ป็ น

เลขจานวนเตม็ นน่ั เอง อยา่ งเช่น 1 = 0.5 หรือ 1 = 0.333...
23

รูปภาพที่ 2.1 แผนภาพแสดงระบบจานวนจริง

7

สมบตั ิของจานวนจริง
ถา้ ให้ , และ เป็นจานวนจริงใด ๆ แลว้ จะไดว้ า่ จานวนจริงจะมีสมบตั ิดงั ต่อไปน้ี

1. สมบตั ิปิ ดการบวก: a + b จะตอ้ งเป็นจานวนจริงเสมอ
2. สมบตั ิการเปล่ียนหมู่ของการบวก: a + (b + c) = (a + b) + c
3. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก: a + 0 = a = 0 + a โดยท่ีเราเรี ยก 0 ว่า
เอกลกั ษณ์ของการบวก
4. สมบตั ิการมีอินเวอร์สของการบวก: + (− ) = 0 = (− ) + โดยที่ (− )
เป็นอินเวอร์สการบวกของ
5. สมบตั ิปิ ดของการคูณ: คูณ หรือ จะตอ้ งมีผลลพั ธ์เป็นจานวนจริงเสมอ
6. สมบตั ิการเปล่ียนหมู่ของการคูณ: ( ) = ( )
7. สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์การคูณ: a x 1 = a = 1 x a โดยที่เราเรียก 1 วา่ เอกลกั ษณ์ของ
การคูณ
8. สมบตั ิการมีอินเวอร์สของการคูณ: ( − 1) = 0 = ( − 1) โดยท่ี − 1 เป็ น
อินเวอร์สการคูณของ
9. สมบตั ิการแจกแจงทางซา้ ย: a (b + c) = ab + ac
นอกจากสมบตั ิของจานวนจริงแล้ว ยงั มีทฤษฎีบทเบ้ืองตน้ สาหรับจานวนจริงด้วย ใน
ทานองเดียวกบั สมบตั ิของจานวนจริง
ถา้ ให้ a, b, c และ d เป็นจานวนจริงใด ๆ จะไดว้ า่
1. ถา้ a + c = b + c แลว้ a = b
2. ถา้ ไม่เท่ากบั ศูนย์ และ ac = ab แลว้ a = b
3. เม่ือ c > 0 แลว้ จะไดว้ า่

(1) ถา้ > แลว้ ac > bc
(2) ถา้ < แลว้ <
(3) ถา้ > แลว้ >
(4) ถา้ < แลว้ <

8

4. เมื่อ < 0 แลว้ จะไดว้ า่
(1) ถา้ > แลว้ <
(2) ถา้ < แลว้ >
(3) ถา้ > แลว้ <
(4) ถา้ < แลว้ >

5. ถา้ = 0 แลว้ = 0 หรือ = 0
6. ถา้ < และ < แลว้ – < −

การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดยี ว

บทนิยาม
ส ม ก า ร พ หุ น า ม ตั ว แ ป ร เ ดี ย ว คื อ ส ม ก า ร ท่ี อ ยู่ ใ น รู ป +

−1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 1 + 0 = 0 เม่ือ เป็ นจานวนเต็มบวก และ ,
−1 , −2 , … , 1 , 0 เป็ นจานวนจริง ท่ีเป็ นสัมประสิทธ์ิของพหุนาม โดยที่ ≠ 0 เรียก
สมการน้ีวา่ "สมการพหุนามกาลงั "

การแก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
สมการพหุ นามกาลัง ซ่ึ งอยู่ในรู ป + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ +

1 + 0 เมื่อ > 2 และ , −1 , −2 , … , 1 , 0 เป็ นจานวนจริง โดยที่ ≠ 0 จะ
สามารถหาคาตอบของสมการพหุนามกาลงั น้ีไดโ้ ดยใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตวั
ประกอบ

ทฤษฎบี ทเศษเหลือ
เมื่อ ( ) = รู ป + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 1 + 0 โดย > 2

และ , −1 , −2 , … , 1 , 0 เป็ นจานวนจริง และ ≠ 0 ถา้ หารพหุนาม ( ) ดว้ ยพหุ
นาม − เมื่อ เป็ นค่าคงตวั ใด ๆ แลว้ เศษของการหารจะมีค่าเท่ากบั ( ) นน่ั คือ เศษของพหุ
นาม คือ ( )

9

ทฤษฎบี ทตวั ประกอบ
เม่ือ f(x) = + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 1 + 0 โดย > 2 และ

, −1 , −2 , … , 1 , 0 เป็ นจานวนจริง และ ≠ 0 พหุนาม ( ) น้ีจะมี − เป็ น
ตวั ประกอบ กต็ ่อเม่ือ ( ) = 0

ถา้ ( ) = 0 แลว้ เศษของพหุนามคือ 0 แสดงว่า x − c หาร ( ) ได้ลงตวั น่ันคือ
− เป็ นตวั ประกอบของ ( )

ทฤษฎบี ทตัวประกอบจานวนตรรกยะ
เมื่อ f(x) = + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 1 + 0 โดย > 2 และ

, −1 , −2 , … , 1 , 0 เป็ นจานวนจริ ง และ ≠ 0 ถ้า – 1 เป็ นตัวประกอบของ
พหุนามของ ( ) โดยท่ี และ เป็ นจานวนเต็ม ซ่ึง ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ และ
เท่ากบั 1 แลว้

(1) จะเป็นตวั ประกอบของ
(2) จะเป็นตวั ประกอบของ 0

ข้นั ตอนการหาคาตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลือ มดี ังนี้
1. ถ้า = 1 ให้หาตัวประกอบ ของ 0 และตัวประกอบ m ของ a ท่ีทาให้

( ) = 0 ตามทฤษฎีบทตวั ประกอบจานวนตรรกยะ
2. นา x − c หรือ x − ท่ีหาไดใ้ นขอ้ 1. ไปหาร f(x) ผลหารจะเป็ นพหุนามท่ีมีดีกรีต่ากว่า

ดีกรีของ f(x) อยู่ 1
3. ถา้ ผลหารในขอ้ 2. ยงั มีดีกรีสูงกวา่ 2 ใหแ้ ยกตวั ประกอบต่อไปอีก โดยใชว้ ิธีตามขอ้ 1. และ 2.

สมบัติของการไม่เท่ากนั

บทนยิ าม < หมายถึง นอ้ ยกวา่
> หมายถึง มากกวา่

10

กาหนดให้ , , เป็นจานวนจริงใด ๆ
1. สมบตั ิการถ่ายทอด ถา้ > และ > แลว้ >
2. สมบตั ิการบวกดว้ ยจานวนท่ีเท่ากนั ถา้ > แลว้ + > +
3. จานวนจริงบวกและจานวนจริงลบ
เป็นจานวนจริงบวก กต็ ่อเม่ือ > 0
เป็นจานวนจริงลบ กต็ ่อเม่ือ < 0
4. สมบตั ิการคูณดว้ ยจานวนเท่ากนั ท่ีไม่เท่ากบั ศูนย์
ถา้ > และ > 0 แลว้ >
ถา้ > และ < 0 แลว้ <
5. สมบตั ิการตดั ออกสาหรับการบวก ถา้ + > + แลว้ >
6. สมบตั ิการตดั ออกสาหรับการคูณ
ถา้ > และ > 0 แลว้ >
ถา้ > และ < 0 แลว้ <

บทนิยาม ≤ หมายถึง นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั
≥ หมายถึง มากกวา่ หรือเท่ากบั
< < หมายถึง < และ <
≤ ≤ หมายถึง ≤ และ ≤

ช่วงและการแก้อสมการ

ทฤษฎบี ททใี่ ช้ในการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
1. | | < กต็ ่อเมื่อ – < <

2. | | ≤ กต็ ่อเมื่อ – ≤ ≤
3. | | > กต็ ่อเม่ือ < – หรือ >
4. | | ≥ กต็ ่อเมื่อ ≤ – หรือ ≥

11

ช่วง
ถา้ เราลากเส้นตรงเส้นหน่ึงแลว้ เลือกจุดใดจุดหนี่งบนเส้นตรงน้นั เป็ นจุดแทนจานวนศูนย์

หลงั จากน้นั เลือกหน่วยความยาว แลว้ ระบุจุดบนเส้นตรงน้ีท่ีระยะห่าง 1, 2, 3, … หน่วยทางขวามือ
ของศูนยเ์ ป็นจานวน 1, 2, 3, … ตามลาดบั และในทานองเดียวกนั ระบุจุดบนเส้นตรงน้ีท่ีระยะห่าง
1, 2, 3, … หน่วยทางซา้ ยมือของศูนยเ์ ป็นจานวน -1, -2, -3, … ตามลาดบั

นกั คณิตศาสตร์ ถือว่า จานวนจริงทุกจานวนจะสามารถเขียนแทนดว้ ยจุดบนเส้นจานวนน้ี
และในทางตรงกนั ขา้ ม ทุกจุดบนเส้นจานวนน้ีสามารถเขียนแทนดว้ ยจานวนจริงได้ เรียกเส้นตรง
แบบน้ีวา่ “เส้นจานวน”

ช่วงแต่ละช่วง หมายถึง เซตของจานวนจริงใด ๆ ท่ีเป็นสบั เซตของจานวนจริงท้งั หมด R ทุก
สมาชิกในช่วงช่วงน้ีจะสามารถเขียนแทนด้วยจุดบนเส้นจานวนได้ โดยเราสามารถแบ่งช่วง
ออกเป็น 4 แบบ

รูปภาพท่ี 2.2 รูปภาพแสดงตวั อยา่ งช่วง

12

การแก้อสมการ
อสมการ คือ ประโยคสญั ลกั ษณ์ท่ีกล่าวถึงความสมั พนั ธ์ของตวั แปร กบั จานวนใด ๆ โดยใช้

เคร่ืองหมาย ≠ , ≤ , ≥ , < , > เป็นตวั ระบุความสมั พนั ธข์ องตวั แปร และจานวนดงั กล่าว
คาตอบของอสมการ คือ คา่ ของตวั แปรที่ทาใหอ้ สมการเป็นจริง
เซตคาตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตวั แปรท้งั หมดที่ทาใหอ้ สมการเป็นจริง

หลกั ในการแกอ้ สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว
1. สมบตั ิการบวกดว้ ยจานวนที่เท่ากนั
ถา้ a > b แลว้ a + c > b + c
2. สมบตั ิการคูณดว้ ยจานวนที่เท่ากนั
ถา้ a > b และ c > 0 แลว้ ac > bc
ถา้ a > b และ c < 0 แลว้ ac < bc

ค่าสัมบูรณ์

ค่าสมั บูรณ์น้นั ปรากฏใหเ้ ห็นคร้ังแรกในขอ้ เขียนของ ฌอง โรเบิร์ต อาร์แกนด์ (Jean-Robert
Argand) นกั คณิตศาสตร์สมคั รเล่นชาวสวิส เขาใชค้ าว่า "absolute" และ "โมดูลสั (modulus) หรือ
โมดูล (module)" ในขอ้ เขียนดงั กล่าว ซ่ึงหมายถึงหน่วยวดั ในภาษาฝรั่งเศส เพ่ือระบุขนาดของ
เวกเตอร์และจานวนเชิงซ้อนในการสร้างกราฟ ต่อมาในปี ค.ศ. 1841 Karl Weierstrass นัก
คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้นาเสนอสัญลักษณ์ค่าสัมบูรณ์ | | และนามาใช้คานวณทาง
คณิตศาสตร์กนั ทว่ั ไป

ค่าสัมบูรณ์ เป็ นการบอกระยะทาง โดยไม่คานึงถึงทิศทาง จึงมีค่าเป็ นบวกหรือศูนยเ์ สมอ
ส่วนตวั เลขหรือจานวนในสัญลกั ษณ์ค่าสัมบูรณ์ จะเป็ นระยะทางจากจุดศูนยห์ รือจุดอา้ งอิงบนเส้น
จานวนไปยงั ตวั เลขหรือจานวนน้นั ๆ

13

ตวั อยา่ งเช่น ค่าสัมบูรณ์ของ 8 เขียนแทนดว้ ย | 8 | = 8 ซ่ึงหมายความว่า ระยะทางจาก 0
ถึง 8 คือ 8 หน่วย

รูปภาพท่ี 2.3 รูปภาพแสดงตวั อยา่ งค่าสมั บูรณ์

ค่าสมั บูรณ์ของ | − 3 | = 3 หมายความวา่ ระยะทางจาก 0 ถึง −3 คือ 3 หน่วย

รูปภาพท่ี 2.4 รูปภาพแสดงตวั อยา่ งค่าสมั บูรณ์

การแก้สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์

1. ตวั อย่างการใช้สมการในรูปค่าสัมบูรณ์ เช่น เรามีเศษเหรียญบาทอยู่ในกระเป๋ า แต่ไม่
แน่ใจว่ามีอยเู่ ท่าไร เมื่อถูกถาม จึงตอบไปว่ามีอยปู่ ระมาณ 20 บาท บวกลบ 5 ซ่ึงกรณีน้ีสามารถใช้
ค่าสัมบูรณ์เพ่ือหาจานวนเหรียญบาทท่ีน้อยที่สุดและมากที่สุดในกระเป๋ าได้ดว้ ยสมการ | −

20 | = 5

กรณที ี่ 1 เขียนไดเ้ ป็ น − 20 = 5 ดงั น้นั = 25
กรณที ่ี 2 เขียนไดเ้ ป็ น − 20 = −5 ดงั น้นั = 15
เพราะฉะน้นั จานวนเศษเหรียญบาทที่อยใู่ นกระเป๋ า จึงมีจานวนไดต้ ้งั แต่ 15 ถึง 25 เหรียญ
2. ตวั อยา่ งการใชอ้ สมการในรูปค่าสัมบูรณ์ เช่น กาหนดให้โรงงานหล่อโลหะทรงกลมท่ีมี
ขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 5.5 เซนติเมตร และยอมให้เกิดโอกาสคลาดเคล่ือนได้เพียง 0.05
เซนติเมตรเท่าน้ัน กรณีน้ีสามารถใช้ค่าสัมบูรณ์เพื่อหาขนาดของเส้นผ่านศูนยก์ ลางทรงกลมท่ี
โรงงานจะหล่อและลูกคา้ ยอมรับสินคา้ ไดด้ ว้ ยสมการ | − 5.5 | ≤ 0.2
กรณที ่ี 1 เขียนไดเ้ ป็ น − 5.5 ≤ 0.05 ดงั น้นั ≤ 5.55
กรณที ี่ 2 เขียนไดเ้ ป็ น − ( − 5.5) ≤ 0.05 ดงั น้นั ≥ 5.45
เพราะฉะน้ันขนาดของทรงกลมที่โรงงานจะหล่อและลูกคา้ ยอมรับสินคา้ ได้ จึงมีค่าอยู่
ในช่วง 5.45 ≤ ≤ 5.55

14

สมบัตขิ องค่าสัมบูรณ์
1. | − | = | |
2. | | = | || |
3. | | = | | (เม่ือ ≠ 0)

| |

4. | x − y | = | y − x |
5. | | 2 = x2
6. | x | = √ 2
7. | + | ≤ | | + | |
8. | | > 0 กต็ ่อเมื่อ | | =
9. < 0 กต็ ่อเมื่อ | | = −
10. | | = 0 กต็ ่อเมื่อ = 0
11. | − | = 0 กต็ ่อเม่ือ =
12. เม่ือ เป็นจานวนจริงบวก

| | ≤ กต็ ่อเม่ือ − ≤ ≤
| | ≥ กต็ ่อเม่ือ ≤ − หรือ ≥

15

บทท่ี 3

วธิ ีการดาเนินโครงงาน

1. ประชุมศึกษาหารือในการหาหวั ขอ้ โครงงานคณิตศาสตร์ที่คณะผศู้ ึกษาจะดาเนินการ โดย
ทางกลุ่มไดม้ ีการเสนอหัวขอ้ หลายอย่าง เช่น จานวนจริงน้ันประกอบดว้ ยอะไรบา้ ง สมบตั ิของ
จานวนจริง การแกส้ มการในระบบจานวนจริง และ อสมการ ซ่ึงทางคณะผศู้ ึกษาไดเ้ ห็นวา่ ในเรื่อง
ของระบบจานวนจริงน้นั น่าสนใจ จึงไดต้ กลงท่ีจะทาการศึกษาเรื่องระบบจานวนจริง ซ่ึงทางกลุ่ม
น้นั ไดท้ าการไปศึกษาเอกสารต่าง ๆ ท่ีเก่ียวขอ้ งอีกคร้ังหน่ึง

2. ทาการประชุมศึกษาหารือ และช่วยกนั วเิ คราะห์วางแผน แลว้ จึงทาการกาหนดแนวทางใน
การดาเนินงาน

3. ดาเนินการ ศึกษาวิธีดาเนินการและสมบตั ิของระบบจานวนจริง และนาผลที่ไดไ้ ปพิสูจน์
สมบตั ิต่าง ๆ ของ ระบบจานวนจริง แลว้ นาไปสร้างแบบทดสอบโดยทาเป็นเกม เพอ่ื เผยแพร่ความรู้
ความเขา้ ใจท่ีไดศ้ ึกษามา ดงั ต่อไปน้ี

ระยะเวลาดาเนินการ
ตารางที่ 3.1 ตารางการดาเนินงาน

ที่ วนั เดือน ปี กจิ กรรมการดาเนินการศึกษา ผู้รับผดิ ชอบ
คณะผศู้ ึกษาทุกคน
1 8 มิถุนายน 2564 คดั เลือกหวั ขอ้ โครงงาน คณะผศู้ ึกษาทกุ คน และครูที่ปรึกษา
คณะผศู้ ึกษาทกุ คน
2 16 มิถุนายน 2564 ส่งหวั ขอ้ โครงงานกบั ครูที่ปรึกษา

3 17-22 มิถุนายน2564 จดั ทา บทที่ 1 บทนา

4 26 มิถุนายน 2564 นาเสนอ บทท่ี 1 บทนา คณะผศู้ ึกษาทุกคน
5 13-30 กรกฎาคม 2564 จดั ทาบทที่ 2-3 คณะผศู้ ึกษาทุกคน
6 16 สิงหาคม 2564 จดั ทาบทท่ี 4-5 คณะผศู้ ึกษาทกุ คน
7 20 สิงหาคม 2564 ส่งโครงงานบทท่ื 1-5 คณะผศู้ ึกษาทุกคน และครูที่ปรึกษา
8 15 กนั ยายน 2564 นาเสนอโครงงาน คณะผศู้ ึกษาทกุ คน และครูที่ปรึกษา

16

บทที่ 4

ผลการดาเนินการศึกษา

จากผลการดาเนินการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ เร่ือง ระบบจานวนจริง ท่ีประยุกต์ใช้
ความรู้ในเรื่องของจานวนจริง สมบตั ิของจานวนจริง การแกส้ มการพหุนามตวั แปรเดียว สมบตั ิของ
การไม่เท่ากนั ช่วงและการแกอ้ สมการ ค่าสมั บูรณ์ การแกส้ มการ และอสมการในรูปค่าสมั บูรณ์ ใน
รูปแบบเกมเพ่ือที่จะทาให้ง่ายต่อความเขา้ ใจ และสามารถนาไปใช้ไดจ้ ริง ซ่ึงมีรายละเอียดและ
ข้นั ตอน ดงั น้ี
ข้นั ตอนการปฏิบตั ิ

1. คิดโจทยเ์ ลข เร่ือง ระบบจานวนจริง
2. นาโจทยท์ ี่ไดพ้ ร้อมคาตอบลงใน Quizz
3. ทาการทดสอบเพือ่ ตรวจสอบความถกู ตอ้ งและแม่นยา
4. เม่ือตรวจสอบเสร็จแลว้ จึงนา เกม Quizz เร่ือง ระบบจานวนจริง ส่งใหแ้ ก่ผเู้ ล่น
ข้นั ตอนวธิ ีการเล่น
1. หลงั จากท่ีผเู้ ล่นไดส้ แกนคิวอาร์โคด้ ของเกม Quizz แลว้ ผเู้ ลน่ จะอยใู่ นหนา้ เกม Quizz
เรื่อง ระบบจานวนจริง
2. อธิบายกฎและกติกา เกม Quizz เร่ือง ระบบจานวนจริง ใหผ้ เู้ ล่นไดร้ ับทราบ
3. ใหผ้ เู้ ล่นเร่ิมเล่น เกม Quizz เร่ือง ระบบจานวนจริง
4. ผเู้ ล่นคนใดท่ีมีคะแนนมากท่ีสุดจะเป็นผชู้ นะ
เกม Quizz เรื่อง ระบบจานวนจริง

17

บทท่ี 5

สรุปผลการศึกษาและข้อเสนอแนะ

จากผลการดาเนินการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ เร่ือง ระบบจานวนจริง คร้ังน้ีคณะผศู้ ึกษา
ไดข้ อ้ สรุปของผลการศึกษา ดงั ต่อไปน้ี
สรุปผลการศึกษา

1. เกม Quizz เรื่อง ระบบจานวนจริง สามารถนามาประยกุ ตใ์ ชไ้ ดใ้ นรูปแบบเกม
2. นาการดาเนินการของโครงงานไปประยุกต์ใช้ในการส่งเสริมการใช้เวลาว่างให้เกิด
ประโยชน์มากยงิ่ ข้ึน
3. สามารถเรียนรู้และทบทวนเก่ียวกบั เรื่อง ระบบจานวนจริง
อภิปรายผล
1. ผูท้ ่ีเข้ามาศึกษาความรู้ เร่ือง ระบบจานวนจริงน้ี จะได้ทักษะการเรียนรู้ในรายวิชา
คณิตศาสตร์ เรื่อง ระบบจานวนจริง ที่สามารถใหผ้ ศู้ ึกษาไดอ้ ยา่ งสะดวกในรูปแบบเกม
2. จากการดาเนินการทางคณิตศาสตร์ เรื่อง ระบบจานวนจริง จะพบว่าทางกลุ่มไดศ้ ึกษา
ไดแ้ ก่ สมบตั ิของจานวนจริง การแกส้ มการพหุนามตวั แปรเดียว สมบตั ิของการไม่เท่ากนั ช่วงและ
การแกอ้ สมการ คา่ สมั บูรณ์ การแกส้ มการ และอสมการในรูปคา่ สมั บูรณ์
ข้อเสนอแนะ
โจทยย์ าก และเน้ือหาเยอะเกินไป

18

บรรณานุกรม

thanawanweb. “ประวตั ริ ะบบจานวนจริง”. (ออนไลน์). เขา้ ถึงไดจ้ าก:
https://thanawanweb.wordpress.com/ประวตั ิระบบจานวนจริง/ สืบคน้ 14 สิงหาคม 2564.

คลงั ความรู้ SciMath. “ระบบจานวนจริง”. (ออนไลน)์ . เขา้ ถึงไดจ้ าก:
https://www.scimath.org/lesson-mathematics/item/7058-2017-05-24-14-59-48
สืบคน้ 14 สิงหาคม 2564.

happywasinee. “ระบบจานวนจริง”. (ออนไลน์). เขา้ ถึงไดจ้ าก:
https://sites.google.com/site/happywasinee/rabb-canwncring สืบคน้ 14 สิงหาคม 2564.

Phichamon (ตุ๊กตา). “สมบตั ิของจานวนจริง”. (ออนไลน)์ . เขา้ ถึงไดจ้ าก:
https://sites.google.com/site/phichamonsite/smbati-khxng-canwncring
สืบคน้ 14 สิงหาคม 2564.

TUEMASTER.COM. “สมบัติของจานวนจริง”. (ออนไลน์). เขา้ ถึงไดจ้ าก:
https://tuemaster.com/blog/สมบตั ิของจานวนจริง/ สืบคน้ 14 สิงหาคม 2564.

ระบบจานวนจริง Real Number. “การแก้สมการตวั แปรเดยี ว”. (ออนไลน์). เขา้ ถึงไดจ้ าก:
https://sites.google.com/site/rabbcanwncringrealnumber/kar-kae-smkar-tawpaer-deiyw
สืบคน้ 14 สิงหาคม 2564.

Kongjai.af “สมบัติของการไม่เท่ากนั ”. (ออนไลน)์ . เขา้ ถึงไดจ้ าก:
https://sites.google.com/site/kongjaiaf/bth-thi5/rabb-canwncring/smbati-khxng-canwncring/kar-
kae-smkar-tawpaer-deiyw/smbati-khxng-kar-mi-thea-kan
สืบคน้ 14 สิงหาคม 2564.

SciMath. “ช่วงและการแก้อสมการ”. (ออนไลน)์ . เขา้ ถึงไดจ้ าก: https://www.scimath.org/lesson-
mathematics/item/7063-2017-05-25-14-45-11 สืบคน้ 14 สิงหาคม 2564.

Orawan Intawong. “ช่วงและการแก้อสมการ”. (ออนไลน)์ . เขา้ ถึงไดจ้ าก:
https://orawanintawong.wordpress.com/บทเรียน/หน่วยที่-1/ช่วงและการแกส้ มการ/ สืบคน้ 14
สิงหาคม 2564.

Ture ปลูกปัญญา. “ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริง”. (ออนไลน)์ . เขา้ ถึงไดจ้ าก:
https://www.trueplookpanya.com/knowledge/content/87965/-scimat-sci-
สืบคน้ 14 สิงหาคม 2564.

19

ภาคผนวก

เฉลยเกม Quizz เร่ือง ระบบจานวนจริง

20

21

22

ภาพขณะท่ีกาลงั ทางานร่วมกนั

23