ซิมเปิลฮาร์มอนิก

ก า ร เ ค ลื่ อ น ที่ แ บ บ ฮ า ร์ ม อ นิ ก อ ย่ า ง ง่ า ย

จัดทำโดย ครูสาสนะ บาเหม

โรงเรียนนาทวีวิทยาคม

เอกสารประกอบการสอนเรื่องการเคลอื่ นทแี่ บบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย เรียบเรยี งโดยครูบญุ เกิด ยศรุง่ เรอื ง www.krukird.com 1

บทที่ 8 การเคลือ่ นทแ่ี บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย

8.1 ลกั ษณะการเคล่ือนทแี่ บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย
การเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple harmonic motion, SHM) เป็นการเคลอื่ นที่ของวัตถุ

กลับไปกลบั มาซา้ํ รอยเดิมผ่านตาํ แหนง่ สมดุล โดยไมม่ ีการสูญเสียพลังงาน มขี นาดของการกระจดั สูงสุดคงตัวเรียกว่า
แอมพลจิ ดู (Amplitude, A) และช่วงเวลาท่ีวัตถเุ คล่ือนท่คี รบหนึ่งรอบคงตวั ทีเ่ รยี กวา่ คาบ (Period, T) โดยสัมพันธ์
กบั ความถี่ (Frequency, f) ซง่ึ เป็นจํานวนรอบทเี่ คลือ่ นที่ไดใ้ น 1 วินาที ดังสมการท่ี (1)

= (1)

การเคลื่อนที่แบบกลับไปกลับมาน้ีเป็นการเคล่ือนท่ีแบบส่ันหรือแกว่งกวัด (Oscillatory motion) หรือการ
เคล่อื นทแี่ บบมีคาบ (Periodic motion) วัตถุซ่ึงเคล่ือนท่ีแบบมีคาบเป็นวัตถุท่ีมีตําแหน่งสมดุลเสถียรเสมอ เมื่อย้าย
วัตถุจากตําแหน่งสมดุลแล้วปล่อยจะมีแรงดึงวัตถุเข้าสู่สมดุล เรียกแรงนี้ว่า แรงดึงกลับ (Restoring force) แต่
ระหว่างที่วัตถุเคล่ือนที่ไปยังตําแหน่งสมดุล วัตถุได้พลังงานจลน์มาจํานวนหนึ่งซ่ึงทําให้วัตถุเคล่ือนท่ีเลยไปหยุดท่ี
ตําแหน่งอีกฝั่งหน่ึง แล้ววัตถุก็ถูกดึงกลับสู่ตําแหน่งสมดุลอีกที และพร้อมท่ีจะเริ่มกระบวนการท้ังหมดซํ้าอีก ถ้าไม่มี
แรงเสียดทานหรือแรงอื่นที่เอาพลังงานกลออกจากระบบ การเคล่ือนท่ีนี้จะซ้ําตัวเองไปเรื่อยๆ แรงดึงกลับจะดึงวัตถุ
เข้าหาตําแหน่งสมดุลแต่ว่าวัตถุจะเคล่ือนที่เลยไปคร้ังแล้วคร้ังเล่า การเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ได้แก่
การสั่นของวัตถุท่ีตดิ ปลายสปรงิ การแกว่งของชงิ ช้า การแกวง่ ของลูกตมุ้ นาฬิกา เป็นตน้

ลกั ษณะการเคลื่อนทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ยของวัตถตุ ิดปลายสปริง

ในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ของวัตถุติดปลายสปริงเราจะพิจารณาจากการนําวัตถุมาติด (ก) สปริงไมย่ ืดหรอื หด
กับดา้ นหน่ึงของปลายสปรงิ โดยมีวัตถุวางอยู่บนพ้ืนราบซึง่ ไม่

มีแรงเสียดทาน จัดให้ลวดสปริงขนานกันดังรูปที่ 1 ตําแหน่ง

เริ่มต้นท่ีสปริงยังไม่ยืดหรือหด ( = 0) เรียกว่า ตําแหน่ง (ข) สปรงิ ยืด
สมดุล (Equilibrium) การกระจัดของสปริงที่ตําแหน่งใดๆ

จะวัดจากจุดสมดุลไปยังตําแหน่งน้ันโดยมีการกระจัดเท่ากับ

ดังรูปที่ 1 (ข) โดยกําหนดให้ทิศที่ชี้ไปทางขวามือเป็นบวก

เมื่อสปริงยดื ออกทําให้การกระจัดเป็นบวกเนื่องจากมีทิศชี้ไป (ค) สปรงิ หด
ทางขวามือ สว่ นกรณที ่ีสปรงิ หดเขา้ ดังรปู ท่ี 1 (ค) การกระจัด

มคี า่ เปน็ ลบเน่ืองจากมีทศิ ชไ้ี ปทางซ้ายมอื

เม่ือขยับวัตถุให้สปริงให้ยืดหรือหด จะพบว่าสปริง รูปท่ี 1 การยืดหดของสปรงิ
จะมแี รงดึงกลับ ( ) ทดี่ ึงวัตถเุ ขา้ สูต่ ําแหน่งสมดุล

เอกสารประกอบการสอนเรือ่ งการเคลอื่ นทแ่ี บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย เรียบเรียงโดยครบู ุญเกิด ยศร่งุ เรอื ง www.krukird.com 2

ดังน้ันทิศทางของแรงดึงกลับจะมีทิศเข้าหาตําแหน่งสมดุลเสมอดังรูปที่ 1 (ข)-(ค) โดยขนาดของแรงดึงกลับ
นจ้ี ะแปรผันตรงกบั ขนาดของการกระจดั ของสปรงิ จงึ เขียนสมการแรงดงึ กลับของสปรงิ ไดด้ ังสมการที่ (2)

= − (2)

โดยที่ คอื แรงดึงกลบั ของสปริง มีหนว่ ยเป็น นิวตนั (N)

คอื คา่ นิจหรอื ค่าคงตวั ของสปรงิ มหี น่วยเปน็ นวิ ตันต่อเมตร (N/m)

คือ การกระจดั ซง่ึ วัดจากตําแหนง่ สมดุล มีหนว่ ยเปน็ เมตร (m)

จากสมการที่ (2) เคร่ืองหมายลบแสดงเหน็ วา่ แรงดึงกลบั มที ิศทางตรงข้ามกบั การกระจัดเสมอโดยมีทิศช้ีเข้า

สู่ตําแหน่งสมดุล และมีขนาดแปรผันตรงกับค่านิจของสปริงและขนาดของการกระจัด ในความเป็นจริงแล้วแรงท่ี

กระทําต่อมวล ยังมีนํ้าหนัก ในทิศชี้ลงและแรงต้ังฉากจากพ้ืนในทิศช้ีขึ้นด้วย แต่เน่ืองจากแรงทั้งสองอยู่ใน

แนวด่งิ จึงไมม่ ีผลต่อการเคล่ือนที่ในแนวราบของวัตถุติดปลายสปริงและไม่ต้องนํามาพจิ ารณา

จากกฎการเคลอ่ื นที่ขอ้ ท่สี องของนิวตนั

= (3)

ทําใหไ้ ด้เขยี นสมการท่ี (2) ใหม่ได้วา่

= −

และไดค้ วามสมั พันธ์ = − (4)

โดยที่ คือ แรงดึงกลับ มีหน่วยเปน็ นวิ ตนั (N)

คือ มวลของวัตถุ มีหน่วยเปน็ กิโลกรมั (kg)
มีหนว่ ยเปน็ เมตร (m/s2)
คือ ความเร่งของวัตถุ

คอื การกระจดั ซึง่ วดั จากตาํ แหนง่ สมดลุ มีหน่วยเปน็ เมตร (m)

คอื ค่านิจของสปรงิ มหี น่วยเป็น นิวตนั ตอ่ เมตร (N/m)

จากสมการท่ี (4) จะเห็นว่าความเร่งมีขนาดแปรผันตรงกับค่านิจของสปริงและขนาดของการกระจัด แต่มี

ทิศทางตรงข้ามกันกับการกระจัดดังจะเห็นได้จากเคร่ืองหมายลบ ดังนั้นทิศทางของความเร่งจะช้ีเข้าหาตําแหน่ง

สมดุลเสมอเหมอื นกนั กบั ทศิ ทางของแรงดงึ กลับ

แบบฝกึ ทบทวนครงั้ ที่ 1

1. การเคลอื่ นทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อย่างง่ายมลี กั ษณะอย่างไร
แนวคําตอบ การเคลอ่ื นท่แี บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ยเปน็ การเคลอ่ื นท่ีกลบั ไปกลบั มาซ้ํารอยเดิม
ผ่านตําแหนง่ สมดลุ โดยมขี นาดของการกระจดั สูงสดุ (แอมพลจิ ดู ) และคาบของการเคลอ่ื นที่
คงตวั
2. จงอธิบายตําแหนง่ สมดลุ
แนวคําตอบ ตาํ แหนง่ สมดลุ เปน็ ตําแหน่งของวตั ถุขณะแรงลพั ธ์กระทาํ ตอ่ วตั ถุมคี ่าเปน็ ศนู ย์
ตามแนวการเคลื่อนที่ เช่น ตาํ แหนง่ สมดลุ ของลกู ตมุ้ นาฬิกาอยู่ ณ จุดตํา่ สุดในแนวด่ิง
3. การเคลื่อนที่แบบวงกลมของจุกยาง การแกว่งของลูกตมุ้ อยา่ งง่าย เป็นการเคลอ่ื นทแ่ี บบฮาร์มอนกิ

อยา่ งง่ายหรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

เอกสารประกอบการสอนเร่อื งการเคลอื่ นทแี่ บบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย เรียบเรียงโดยครูบญุ เกิด ยศรงุ่ เรือง www.krukird.com 3

4. การส่ันของวตั ถุตดิ ปลายสปรงิ และการแกวง่ ของลูกตมุ้ อยา่ งงา่ ยเป็นดงั รปู ดา้ นล่าง ตาํ แหนง่ สมดุลของ
การ เคล่อื นท่ที ัง้ สองแบบน้ีอยู่ตําแหนง่ ใด

ตําแหน่งสมดลุ คอื ......................................... ตําแหนง่ สมดลุ คอื .........................................
5. ถ้าอนุภาคสน่ั ครบ 20 รอบ ในเวลา 40 วินาที จงหาความถ่ีและคาบของอนภุ าค

6. จงหาคาบของการเคลอ่ื นท่ีตอ่ ไปนี้ (ในหน่วยวนิ าที)
ก. ชีพจรเตน้ 29 ครั้ง ใน 20 วนิ าที
ข. เครือ่ งยนตห์ มนุ 3200 รอบตอ่ นาที

7. จงหาความถข่ี องเหตุการณ์ตอ่ ไปนี้ (ในหน่วยต่อวนิ าทหี รอื เฮริ ตซ)์
ก. สายซอส่นั 43 รอบ ใน 0.1 วนิ าที
ข. ใบพัดเคร่ืองปน่ั อาหารหมนุ 13 000 รอบ ใน 1 นาที

เอกสารประกอบการสอนเรอื่ งการเคลื่อนทแี่ บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย เรยี บเรียงโดยครบู ุญเกิด ยศรุ่งเรือง www.krukird.com 4

8.2 ปรมิ าณทเี่ กี่ยวขอ้ งกบั การเคล่อื นทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย

8.2.1 ความสมั พนั ธข์ องการกระจดั ความเรว็ แสง
และความเร่ง
dcb
เนื่องจากการเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

กับการเคลื่อนที่แบบวงกลมมีลักษณะคล้ายกันคือ ω
เคลือ่ นท่ีซ้ํารอยเดิมเมื่อเคลื่อนท่ีครบรอบ การมองวัตถุท่ี
กําลังเคลื่อนที่แบบวงกลมทางด้านข้างหรือฉายแสง e o. R a

เพ่ือให้เกิดเงาของวัตถุบนฉากรับจะเห็นวัตถุเคลื่อนที่ f gh

กลับไปกลับมาซ้ํารอยเดิมเช่นเดียวกับการเคล่ือนที่ของ ฉากรบั เงา e d c b a t=0 เงาวัตถุ
วัตถุติดปลายสปริง ดังนั้นในการพิจารณาหาปริมาณ e f g h a t=T
ต่างๆ ของการเคล่ือนที่แบบฮาร์-มอนิกอย่างง่ายจะ
พิจารณาจากเงาของวัตถุที่เคล่ือนท่ีเป็นวงกลมในระนาบ แนวสมดุล
ด่ิงด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว เมื่อพิจารณาการเคลื่อนท่ี
ของเงาวัตถุที่เคล่ือนท่ีเป็นวงกลมรัศมี R รอบจุด

ศูนย์กลาง O โดยเคล่ือนท่ีทวนเข็มนาฬิกาจาก a ไป b รปู ท่ี 1 เงาวตั ถทุ เ่ี คลอ่ื นที่เปน็ วงกลมบนฉากรับ

ไป c…จนกลับมาท่ี a อีกคร้ัง ด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว

ω จะเหน็ วา่ เงาของวัตถบุ นฉากซึ่งวางในแนวนอนจะเคล่ือนทก่ี ลบั ไปกลบั มาในแนวตรงตามแนวระดบั ดงั รูปที่ 1

เมื่อพิจารณาการกระจัดของเงาวัตถุท่ีเคลื่อนท่ีเป็นวงกลมจากจุด a ไปยังจุด b เราจะพิจารณาการกระจัด

ในแนวระดับเนอื่ งจากเงาตกมาทฉ่ี ากในแนวระดับ (แกน x) ดงั รปู ที่ 2 (ก) เมือ่ ทาํ การแยกเวกเตอร์จะพบวา่

ขนาดของการกระจดั ในแนวระดับคอื =  (1)

แสง แสง แสง

b t=t  b t=t  b t=t
yR ω y Rω ω
y
 t=0  R t=0
 t=0 x x

x



ฉากรบั เงา

แนวสมดุล แนวสมดลุ แนวสมดลุ

(ก) การกระจดั (ข) ความเรว็ (ค) ความเร่ง

รูปที่ 2 (ก) การกระจดั (ข) ความเรว็ (ค) ความเรง่ ของเงาวตั ถทุ ีเ่ คลอื่ นที่เป็นวงกลมบนฉากรบั เงา ณ ตาํ แหน่ง b

เอกสารประกอบการสอนเรอ่ื งการเคล่ือนทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย เรยี บเรยี งโดยครูบุญเกดิ ยศร่งุ เรอื ง www.krukird.com 5

เมื่อพิจารณาความเร็วของเงาวัตถุท่ีเคลื่อนท่ีเป็นวงกลมจากจุด a ไปยังจุด b ความเร็วของวัตถุมีทศิ ทางไป
ตามเส้นทางการเคล่ือนท่ีหรือสัมผัสกับวงกลมดังรูปท่ี 2 (ข) ขนาดของความเร็ว ของเงาวัตถุจะเท่ากับขนาดของ
องค์ประกอบของความเร็ว ในทิศทางตามแนวแกน x เน่ืองจากเรากําหนดทิศทางของแกน x มีทิศไปทางขวามือ
แตท่ ิศทางของความเรว็ มีทศิ ทางไปทางซ้ายมอื ดงั นั้น

ขนาดความเรว็ ของวตั ถุคอื = −  (2)

เมื่อพิจารณาความเร่งของเงาวัตถุท่ีเคลื่อนที่เป็นวงกลมจากจุด a ไปยังจุด b ความเร่งของวัตถุจะเป็น
ความเร่งสู่ศูนย์กลางซึ่งมีทิศทางเข้าหาตําแหน่งสมดุลดังรูปท่ี 2 (ค) ขนาดของความเร่ง ของเงาวัตถุจะเท่ากับ
ขนาดขององค์ประกอบของความเร่ง ในทิศทางตามแนวแกน x เน่ืองจากเรากําหนดทิศทางของแกน x มีทิศไป
ทางขวามอื แตท่ ศิ ทางของความเร่ง มที ศิ ทางไปทางซา้ ยมอื ดังน้นั

ขนาดความเรง่ ของวัตถุคอื = − cos (3)

จากการเคลือ่ นท่แี บบวงกลมเราทราบว่าอตั ราเรว็ เชิงมมุ ของวตั ถุคอื = จะได ้ θ=ωt (4)

โดย ωt เป็นมุมเฟส (Phase angle) ณ เวลา t ซ่ึงเป็นคําท่ีใช้บอกตําแหน่งขณะหนึ่งของสิ่งท่ีเคลื่อนท่ีใน

ลักษณะเป็นรอบ จากความสัมพันธ์ของความเร็วเชิงเส้น ความเร่งสู่ศูนย์กลาง อัตราเร็วเชิงมุมของการเคล่ือนท่ีแบบ

วงกลม ดงั สมการ (2)-(4)

=ωR (5)

=ω2R (6)

เม่อื แทนสมการท่ี (4) (5) และ (6) ในสมการที่ (1) (2) และ (3) และ R คอื ระยะการกระจดุ สงู สดุ ซง่ึ กค็ อื

แอมพลิจดู ( ) นั่นเอง จะได้วา่ ขนาดของการกระจดั ความเรว็ และความเร่งเทา่ กบั

= sinω (7)
= − cosω = − (8)
= − (9)

เมี่อพิจารณาสมการที่ (7) และสมการที่ (9) เราจะได้ว่า การเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายน้ี ขนาดของ
ความเร่งของวัตถุจะแปรผันตรงขนาดของการกระจัดแต่มีทิศทางตรงกันข้าม โดยขนาดของความเร่งมีความสัมพันธ์
กบั การกระจัด ดังสมการท่ี (10)

= − (10)

โดยความเร็วและความเร่งสงู สุดมคี า่ เท่ากบั = และ =
เมือ่ เขียนกราฟจะไดก้ ราฟความสัมพนั ธ์ระหวา่ งการกระจัดกับเวลา ความเร็วกับเวลา และความเร่งกับเวลา
ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายมีลักษณะเป็นคลื่นรูปไซน์ดังรูปที่ 3 หากพิจารณาการเคล่ือนที่ของสปริง
สามารถอธิบายได้ดังน้ี
จากกราฟการกระจัดกับเวลา แสดงให้เห็นว่าวัตถุมีการเคลื่อนท่ีโดยมีการกระจัดมากที่สุดเรียกว่าแอมพลิ
จูด (A) โดยวัตถุติดปลายสปริงมีการกระจัด +A เมื่อวัตถุเคลื่อนท่ีไปทางขวาทําให้สปริงยืดออก หลังจากนั้นการ

กระจัดจะค่อยๆ ลดลงจนเป็นศูนย์ที่เวลา แล้ววัตถุจะเคลื่อนที่ไปทางซ้ายจนมีการกระจัดมากที่สุด –A เมื่อ

เคลือ่ นที่ครบคร่ึงรอบ หลงั จากนนั้ วัตถจุ ะเคลอ่ื นที่กลบั ไปยงั ตาํ แหน่งสมดุลทําให้มีการกระจัดเป็นศูนย์ แล้วเคล่ือนที่

เอกสารประกอบการสอนเร่อื งการเคลอ่ื นทแ่ี บบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย เรียบเรียงโดยครูบญุ เกดิ ยศร่งุ เรือง www.krukird.com 6

ต่อไปทางขวาจนสปริงยืดสุดทําให้การกระจัดเป็น +A การกระจัด ( )

ซึ่งเป็นการเคล่ือนที่ครบ 1 รอบพอดี โดยใช้เวลาในการ

เคลอ่ื นทค่ี รบ 1 รอบ คือ เวลา ( )
จากกราฟความเร็วกับเวลาเร่ิมต้นดึงวัตถุให้
2

สปรงิ ยดื ออกสุดแลว้ จบั ไว้ วตั ถุจะหยุดน่ิงทําให้ความเร็ว −
เป็นศูนย์ เม่ือปล่อยวัตถุความเร็วจะค่อยๆ เพ่ิมขึ้นแต่มี
ทิศทางไปทางซ้ายทําให้กราฟมีขนาดเพ่ิมขึ้นแต่ทิศทาง ความเรว็ ( )

เป็นลบ หลังจากน้ันวัตถุจะมีความเร็วมากท่ีสุดท่ีการ

กระจัดเท่ากับศูนย์ แล้วมีความเร็วเพ่ิมข้ึนจนเป็นศูนย์ เวลา ( )
อีกครั้งเม่ือสปริงหดสุด และความเร็วจะเพ่ิมขึ้นจนมี
2

ค่าสูงสุดเม่ือการกระจัดเท่ากับศูนย์ละความเร็วจะลดลง −

เม่ือสปริงยืดออกสุดอีกคร้ัง จะเห็นว่าความเร็วจะมีทิศ ความเร่ง ( )
เดียวกันกับทิศการเคลื่อนที่ของวัตถุติดปลายสปริงและ

มขี นาดแปรผกผนั กับการกระจดั

จากกราฟความเร่งกับเวลาจะเห็นว่าขนาดของ เวลา ( )
ความเร่งแปรผันตรงกับขนาดของการกระจัด แต่มี
2

ทิศทางตรงกันข้ามกัน กล่าวคือ เมื่อขนาดการกระจัด −

สูงสุด +A ขนาดของความเร่งจะมากที่สุด − ซึ่งมี
ทิศสวนทางกันกับการกระจัด และเม่ือการกระจัดเป็น รปู ท่ี 3 กราฟความสัมพันธร์ ะหวา่ งการกระจดั กับเวลา
ความเร็วกับเวลา และความเรง่ กับเวลา
ศูนยค์ วามเร่งจะเปน็ ศูนย์เช่นเดยี วกนั

จากความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งกับการ

กระจัดของการเคล่ือนทีแ่ บบฮารม์ อนิกอย่างง่ายดังสมการที่ (10)

= − (10)

เมอ่ื เปรยี บเทยี บสมการความเร่งของวัตถุติดปลายสปริงในสมการท่ี (11)

= − (11)

และสมการความเร่งของการเคล่ือนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายในสมการท่ี (10) จะได้ว่าอัตราเร็วเชิงมุมใน

การสน่ั ของวตั ถตุ ิดปลายสปรงิ คือ = หรอื =

จากความสัมพันธร์ ะหว่างคาบ ความถ่ใี นการสั่นและอตั ราเร็วเชงิ มมุ พบวา่ = 2 = จะไดว้ ่า

ความถ่ีในการเคลอ่ื นทข่ี องวัตถตุ ดิ ปลายสปรงิ คือ = = 2 (12)

คาบในการเคลอื่ นที่ของวัตถตุ ดิ ปลายสปริง คอื = = 2 (13)

จากสมการความถ่แี ละคาบการเคล่ือนท่ีของวัตถุติดปลายสปริงในสมการท่ี (12)-(13) จะเห็นว่าความถี่และ
คาบการแกว่งขึ้นอยู่กับค่าคงที่ของสปริงและมวลของวัตถุติดปลายสปริง โดยมวลมากกว่าจะมีความเร่งน้อยกว่า
เคลื่อนที่ช้ากว่า และใช้เวลานานกว่า ในทางตรงข้ามสปริงซ่ึงแข็งมากกว่า (ค่า k สูงกว่า) ต้องออกแรงมากกว่า

เอกสารประกอบการสอนเรอื่ งการเคลื่อนทแี่ บบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย เรียบเรยี งโดยครูบญุ เกิด ยศรุ่งเรือง www.krukird.com 7

เพ่ือให้ได้ระยะการกระจัดเดียวกันทําให้มีความเร่งมากกว่า อัตราเร็วสูงกว่า และมีเวลา ต่อรอบสั้นกว่า ใน
การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายคาบและความถี่ไม่ขึ้นกับแอมพลิจูด สําหรับ และ เดียวกันเวลาใน
การสั่นหนึ่งรอบมีค่าเท่ากันหมดไม่ว่าแอมพลิจูดจะใหญ่หรือเล็ก เน่ืองจากค่าแอมพลิจูดสูงหมายความว่าวัตถุไปถึง
การกระจัดท่ีสงู กว่าและมีแรงดึงกลับที่สูงกว่า สิ่งนี้เพิ่มอัตราเร็วเฉลี่ยของวัตถุในหน่ึงรอบและไปชดเชยการเคล่ือนท่ี
ระยะไกลกว่า ทําให้ได้เวลาทั้งหมดเท่ากัน ดังน้ันแอมพลิจูดจึงไม่มีผลกับความถี่และคาบการเคล่ือนท่ีแบบฮาร์มอ
นิกอย่างง่าย

แบบฝกึ ทบทวนครงั้ ที่ 2
1. กราฟระหวา่ งการกระจัดกับเวลาของวตั ถชุ น้ิ หนงึ่ ทม่ี ีการเคล่อื นทแ่ี บบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ยให้ขอ้ มูลอะไรบ้าง

2. ขณะทีว่ ตั ถสุ ั่นแบบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย ปรมิ าณใดที่มที ศิ ทางตรงขา้ มกันเสมอ

3. มมุ เฟสและเฟสเริ่มต้น ตา่ งกนั อย่างไร และมีความสําคญั อยา่ งไร

4. วตั ถุเคลอื่ นที่แบบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย มีแอมพลิจดู 30 เซนตเิ มตร มีคาบการเคลอื่ นท่ี 4 วนิ าที
อตั ราเร็วสูงสุดของการเคลอื่ นทมี่ คี า่ เท่าใด

5. วัตถเุ คลอ่ื นทแี่ บบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย ดว้ ยความถี่ 30 รอบตอ่ วินาที มขี นาดการกระจดั สูงสดุ
20 เซนติเมตร ความเร่งสูงสุดของวัตถนุ ม้ี ีค่าเท่าใด

6. จงเขยี นสมการการกระจดั ท่ขี นึ้ กบั เวลาของวัตถตุ ดิ ปลายสปรงิ ท่เี คลอ่ื นทแี่ บบฮารม์ อนิกอยา่ งง่าย
มตี ําแหนง่ เรม่ิ ตน้ ตา่ งกันในตาราง กําหนดให้ ความถี่เชงิ มมุ เท่ากบั ω แอมพลจิ ดู เท่ากบั A

เอกสารประกอบการสอนเรือ่ งการเคลอ่ื นทแ่ี บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย เรียบเรียงโดยครบู ญุ เกดิ ยศรุง่ เรอื ง www.krukird.com 8

7. วัตถุเคลอื่ นท่แี บบฮารม์ อนิกอย่างง่าย ดว้ ยความถี่ 5 รอบตอ่ วินาที
ก. เมอื่ เวลาผา่ นไป 2 วินาที วตั ถุอยใู่ นมุมเฟสตา่ งจากเดิมเทา่ ใด
ข. เม่ือวตั ถอุ ย่ใู นเฟสต่างจากเดิม π เรเดยี น วัตถเุ คลอ่ื นทีไ่ ด้กร่ี อบ
ค. วตั ถใุ ชเ้ วลาเท่าใด จงึ จะอยใู่ นเฟสตา่ งไปจากเดิม 4π เรเดยี น

8. วตั ถุหนึ่งเคลือ่ นทแี่ บบฮาร์มอนกิ อย่างง่ายรอบจดุ สมดลุ O โดยมอี ัตราเรว็ สงู สดุ 5.0 เซนติเมตรตอ่ วนิ าที และมี
คาบการสัน่ เท่ากบั 4_ วินาที ขณะท่ีวัตถมุ ีอตั ราเร็ว 3.0 เซนตเิ มตรตอ่ วนิ าที วัตถอุ ยหู่ ่างจากจุดสมดุล O เป็น
ระยะกี่เซนติเมตร

8.3 แรงกับการส่นั ของมวลการสนั่ ของมวลติดปลายสปริงและลูกตุ้มอยา่ งงา่ ย
การเคลื่อนที่แบบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ยของวตั ถุจะมแี รงดึงวตั ถใุ หก้ ลบั มาที่ตาํ แหน่งสมดลุ เรียกแรงนีว้ ่า

แรงดึงกลับ (restoring force) การส่นั ของมวลตดิ ปลายสปริงและการแกวง่ ของลูกตมุ้ อย่างง่าย เป็นตัวอย่างของ
การเคลอ่ื นทแี่ บบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย

8.3.1 การสั่นของมวลติดปลายสปรงิ

เอกสารประกอบการสอนเรื่องการเคลอื่ นทแี่ บบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย เรียบเรียงโดยครูบญุ เกดิ ยศรงุ่ เรือง www.krukird.com 9

เมอ่ื ดงึ มวล m ท่ตี ดิ สปรงิ ออกมาจากแนวสมดลุ จะเกดิ แรงดึงกลบั F = ks ทาํ ใหว้ ตั ถเุ คลอ่ื นทแี่ บบ

ฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย พบว่า

T = 2π m , T2  m2 . k1
k m1 k2
T1

f = 1 k , f2  m1 . k2
2π m f1 m2 k1

เพิม่ เติม
1. แตถ่ า้ เปลีย่ นสปริง
สปริงแขง็ k มาก → คาบนอ้ ย แกวง่ เร็ว
สปรงิ ออ่ น k น้อย → คาบมาก แกว่งช้า
2. ถา้ มีสปริงหลาย ๆ ตวั มาเรียงตอ่ กันจะทําให้ผลลัพธข์ องคา่ นจิ สปรงิ เปลี่ยนไป

8.3.2 การแกวง่ ของลกู ตุม้ อย่างง่าย

เมือ่ ดงึ วตั ถุมวล m ผูกเชอื กยาว L ให้เบนจากเดิมเปน็ มมุ เลก็ ๆ แล้วปลอ่ ยจะเกิดแรง mg sin ฉดุ ให้วตั ถุ

วัตถเุ คลอื่ นทแ่ี บบ S.H.M. จะได้

Tα L

T = 2π L , T2  L2 . g1
g L1 g2
T1

f = 1 g , f2  L1 . g2
2π L f1 L2 g1

เพิม่ เตมิ
1. การแกว่งไมข่ ึน้ กบั มวลถ้าเอาไปแกว่งในทไ่ี รน้ ํา้ หนักไมแ่ กว่ง
2. ถ้า g คงท่ี ถา้ เชือกยาว T มาก → แกวง่ ชา้
ถา้ เชอื กส้นั T น้อย → แกวง่ เร็ว

เอกสารประกอบการสอนเร่ืองการเคล่ือนทแี่ บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย เรียบเรยี งโดยครูบุญเกดิ ยศรุ่งเรือง www.krukird.com 10

แบบฝกึ ทบทวนครงั้ ที่ 3
1. ถา้ ต้องการเพมิ่ คาบการสนั่ ของวตั ถตุ ดิ ปลายสปรงิ สามารถทาํ ไดด้ ้วยวธิ ีใดบา้ ง

2. ถา้ ต้องการเพิ่มความถีเ่ ชงิ มุมของลกู ตุ้มอย่างง่าย ทาํ ไดด้ ้วยวิธีใดบ้าง

3. ถา้ ความยาวเชือกเท่ากับ 60 เซนติเมตร คาบของลูกตมุ้ อยา่ งงา่ ย มวล m และ 2m มคี า่ เท่ากนั หรอื ไม่ อยา่ งไร

4. แขวนมวล 10 กิโลกรมั กบั สปริง แลว้ ปล่อยใหส้ ัน่ ขน้ึ ลง วัดคาบของการสนั่ ได้ 0.5 วินาที ถา้ เอามวล 10 กิโลกรมั
ออก สปรงิ จะสั้นกว่าตอนทแ่ี ขวนมวลอยเู่ ทา่ ใด

5. เม่อื นาํ มวล 5 กโิ ลกรัม แขวนกับปลายสปริงในแนวด่ิง ทําให้สปริงมคี วามยาวเพม่ิ ข้ึน 5 เซนติเมตร ถา้ ทําให้
มวลตดิ สปริงส่ันในแนวดง่ิ จะสนั่ ได้กี่รอบในเวลา 1 วินาที (ให้คําตอบตดิ ค่า )

6. รถทดสอบมวล 2 กิโลกรมั ตดิ อยกู่ ับปลายสปรงิ เมอื่ ดงึ มวลแรง 10 นิวตันใหท้ ศิ ขนานกบั พ้นื จะทําใหส้ ปรงิ
ยดื ออก 20 เซนติเมตร เมอื่ ปลอ่ ยรถจะเคลือ่ นท่กี ลับไปมาบนพน้ื เกล้ยี งแบบซมิ เปิลฮารม์ อนกิ ดว้ ยคาบเทา่ ไร

7. (ข้อสอบ ENTRANCE) รถทดสอบมวล 500 กรมั ติดอยู่กับปลายสปริง เมอื่ ดงึ มวลแรง 5 นิวตนั ให้ทศิ ขนานกับ
พน้ื จะทําใหส้ ปรงิ ยืดออก 10 เซนตเิ มตร เมอื่ ปลอ่ ยรถจะเคลอื่ นท่ีกลบั ไปมาบนพ้นื เกล้ียงแบบซิมเปลิ ฮารม์ อนกิ
ด้วยคาบเทา่ ไร

เอกสารประกอบการสอนเรือ่ งการเคลื่อนทแี่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย เรียบเรยี งโดยครบู ญุ เกิด ยศรุ่งเรือง www.krukird.com 11

8. แขวนมวล 30 กรัม ทีป่ ลายลา่ งของสปรงิ ซ่ึงแขวนในแนวดิ่ง โดยที่ปลายบนถกู ยดึ ไว้ ถา้ ดงึ มวลลงเล็กน้อย
เพอ่ื ให้สปรงิ สัน่ ข้ึนลง วัดเวลาในการสน่ั ครบ 6 รอบให้เป็น 3 วนิ าที หากเปลยี่ นมวลท่ีแขวน เปน็ 120 กรัม
จะวดั คาบการสน่ั ไดเ้ ทา่ ใด

9. (ขอ้ สอบ ENTRANCE) แขวนมวล 50 กรัม ทป่ี ลายลา่ งของสปรงิ ซงึ่ แขวนในแนวดิ่ง โดยท่ีปลายบนถกู ยึดไว้ ถ้า
ดงึ มวลลงเล็กน้อย เพื่อให้สปรงิ ส่ันขน้ึ ลง วัดเวลาในการสน่ั ครบ 10 รอบให้เป็น 5 วนิ าที หากเปลยี่ นมวลท่แี ขวน
เปน็ 200 กรัม จะวดั คาบการสั่นได้เทา่ ใด

10. มวล m กิโลกรมั แขวนอยูท่ ่ปี ลายสปรงิ ซึ่งหอ้ ยในแนวดิ่ง ถูกดงึ แลว้ ปลอ่ ยให้ส่นั ขน้ึ ลงในแนวดิง่ พบวา่ มกี ารสนั่
5 รอบ/วนิ าที ถ้าเปล่ียนมวลทแี่ ขวนเป็นสองเทา่ ของมวลเดมิ แลว้ ปล่อยใหส้ นั่ เชน่ เดิม จะมีการส่ันเปน็ เทา่ ใด
ในหน่วยรอบ/วนิ าที

11. (ข้อสอบ ENTRANCE) มวล m กิโลกรมั แขวนอยทู่ ่ปี ลายสปรงิ ซ่ึงหอ้ ยในแนวดง่ิ ถกู ดงึ แล้วปลอ่ ยให้ส่นั ขึ้นลง
ในแนวด่ิง พบวา่ มกี ารส่นั n รอบ/วินาที ถ้าเปลย่ี นมวลที่แขวนเปน็ ครง่ึ ของมวลเดมิ แลว้ ปลอ่ ยใหส้ น่ั เชน่ เดมิ
จะมกี ารสน่ั เปน็ เท่าใดในหนว่ ยรอบ/วนิ าที

12. แกวง่ ลกู ตมุ้ นาฬิกาทีแ่ ขวนดว้ ยเชอื กยาว 0.1 เมตร จงหา
ก. คาบเวลาของลกู ตุ้ม

ข. ความถ่ขี องลูกตมุ้

เอกสารประกอบการสอนเรื่องการเคลื่อนทแี่ บบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย เรียบเรียงโดยครูบุญเกิด ยศรุ่งเรือง www.krukird.com 12

13. ลกู ตมุ้ แขวนด้วยเชอื กยาว 1 เมตร แกว่งไปมาดว้ ยคาบ 2 วินาที ถา้ ลกู ตมุ้ แขวนด้วยเชอื กยาว
16 เมตร จะแกวง่ ด้วยคาบเทา่ ไร

14. ลกู ตมุ้ แขวนดว้ ยเชอื กยาว 1 เมตร แกวง่ ไปมาด้วยคาบ 3 วนิ าที ถา้ ลกู ตมุ้ แขวนดว้ ยเชอื กยาว
9 เมตร จะแกวง่ ดว้ ยคาบเท่าไร

15. ลูกตมุ้ แขวนด้วยเชือกยาว 4 เมตร แกว่งไปมาวัดได้ 5 รอบตอ่ วนิ าที ถา้ ลกู ตมุ้ แขวนด้วยเชอื กยาว
1 เมตร จะแกวง่ ดว้ ยความถเี่ ทา่ ไร

16. ลกู ตมุ้ แขวนด้วยเชือกยาว 8 เมตร แกว่งไปมาวัดได้ 9 รอบตอ่ วินาที ถา้ ลกู ตมุ้ แขวนด้วยเชอื กยาว
2 เมตร จะแกว่งดว้ ยความถเี่ ทา่ ไร

8.4 ความถ่ีธรรมชาตแิ ละการสน่ั พอ้ ง
เมอื่ ให้วตั ถสุ ่ันหรือแกวง่ อย่างอสิ ระ เชน่ การเคลือ่ นทแ่ี บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย ในวตั ถตุ ิดสปริงหรอื

ลูกตมุ้ อย่างงา่ ย วตั ถุจะสน่ั ดว้ ยความถ่ีเฉพาะตวั ค่าหนงึ่ เรยี กว่า ความถีธ่ รรมชาติ (natural frequency) เมอื่ วัตถุ
ถูกกระต้นุ ตอ่ เนอื่ งให้สั่นอยา่ งอิสระด้วยแรงหรอื พลังงานทม่ี คี วามถเี่ ท่ากบั หรอื ใกลเ้ คยี งกบั ความถ่ธี รรมชาตขิ องวัตถุ
วตั ถุน้ันจะส่ันดว้ ยความถ่ธี รรมชาติของวตั ถนุ ้ันและสน่ั ดว้ ยแอมพลจิ ูดท่มี คี า่ มาก เรียกปรากฏการณ์น้ีวา่ การสั่นพอ้ ง
(resonance)

ความรู้เร่ืองการเคลือ่ นทแี่ บบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย ความถ่ธี รรมชาติ และการสนั่ พอ้ งนํามาประยุกตใ์ ช้
ในชวี ติ ประจาํ วนั เชน่ ระบบต้านแผน่ ดินไหวของตกึ สูง การออกแบบสะพาน อาคาร และสิง่ ก่อสรา้ งตา่ ง ๆ

เอกสารประกอบการสอนเร่ืองการเคลอ่ื นทแี่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย เรียบเรยี งโดยครบู ุญเกิด ยศรุง่ เรือง www.krukird.com 13

แบบฝกึ ทบทวนครงั้ ท่ี 4
1. ในการกระตนุ้ ใหว้ ตั ถสุ นั่ อยา่ งอิสระพบว่าทุกคร้ัง วตั ถุส่ันดว้ ยความถค่ี ่าเดมิ เสมอ ความถี่น้ีเรียกวา่ อะไร

2. จากกจิ กรรม 8.3 การท่ลี กู ต้มุ ทมี่ ีความยาวเชอื กเท่ากบั ลกู ตมุ้ ลกู ใหญแ่ กว่งดว้ ยการกระจดั มากทส่ี ุด เพราะเกิด
ปรากฏการณใ์ ด

3. จงหาความถ่ีธรรมชาตขิ องการแกวง่ ของลกู ตมุ้ อย่างงา่ ยท่ีผกู ตดิ กับเชอื กเบาทม่ี คี วามยาว 50 เซนตเิ มตร

4. จงหาความถธ่ี รรมชาตขิ องวตั ถตุ ดิ ปลายสปริง เมื่อวตั ถมุ ีมวล 0.1 กิโลกรัม และสปรงิ มคี ่าคงตัวของสปรงิ 1000
นิวตันตอ่ เมตร

แบบทดสอบ(O-NET) บทท่ี 8 การเคลื่อนท่ีแบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย
1. (O-NET49) นอตขนาดเลก็ ผกู ด้วยสายเอน็ แขวนไว้ใหส้ ายยาว L ซงึ่ สามารถเปล่ียนให้มคี ่าตา่ ง ๆ ได้

คาบของการแกวง่ T ของนอตจะขึ้นกบั ความยาว L อย่างไร
1. T2 เปน็ ปฏิภาคโดยตรงกบั L
2. T เปน็ ปฏิภาคโดยตรงกบั L
3. T2 เป็นปฏิภาคโดยตรงกบั L2
4. เปน็ ปฏิภาคโดยตรงกบั L

เอกสารประกอบการสอนเรือ่ งการเคลือ่ นทแ่ี บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย เรียบเรยี งโดยครูบุญเกิด ยศรงุ่ เรือง www.krukird.com 14

2. (O-NET51) การทดลองเร่ืองการเคลอื่ นทแี่ บบฮารม์ อนิกอยา่ งง่าย ถา้ ให้ลกู ตมุ้ เคล่อื นท่จี าก A ไป B
ไป C แลว้ ไป B ดงั รปู ใช้เวลา 3 วนิ าทีคาบของการเคลื่อนท่ีมคี ่าเท่าใด
1. 2 s
2. 3 s
3. 4 s
4. 5 s

3. (O-NET51) ขอ้ ความใดถกู ตอ้ งเกี่ยวกับคาบของลกู ตุม้ อย่างงา่ ย
1. ไมข่ ึ้นกับความยาวเชือก
2. ไม่ขนึ้ กับมวลของลกู ตมุ้
3. ไมข่ ึน้ กบั แรงโนม้ ถว่ งของโลก
4. มคี าบเท่าเดมิ ถ้าไปแกวง่ บนดวงจนั ทร์

4. (O-NET52) ข้อใดตอ่ ไปนไ้ี มไ่ ด้ทําให้วตั ถมุ กี ารเคลอ่ื นทแ่ี บบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย
1. แขวนลกู ตุ้มด้วยเชอื กในแนวดง่ิ ผลักลกู ตมุ้ ใหแ้ กวง่ เปน็ วงกลม โดยเสน้ เชอื กทํามุมคงตัวกบั
แนวด่ิง
2. แขวนลกู ตุ้มดว้ ยเชอื กในแนวดิง่ ดึงลกู ตมุ้ ออกมาจนเชอื กทาํ มมุ กับแนวด่ิงเล็กน้อยแล้วปลอ่ ยมอื
3. ผกู วัตถกุ ับปลายสปริงในแนวระดับ ตรงึ อีกด้านของปลายสปริงไว้ ดงึ วตั ถุให้สปริงยืดออกเล็กนอ้ ย
แลว้ ปล่อยมอื
4. ผกู วัตถกุ ับปลายสปรงิ ในแนวดิง่ ตรงึ อีกด้านของปลายสปริงไว้ ดึงวัตถใุ หส้ ปริงยดื ออกเลก็ นอ้ ย
แลว้ ปล่อยมือ

5. (O-NET53) ลูกตุ้มนาฬกิ าแกว่งแบบฮาร์มอนกิ อย่างง่าย พบวา่ ผ่านจดุ ตา่ํ สดุ ทกุ ๆ 2.1 วนิ าทคี วามถี่ของ
การแกวง่ ของลกู ตุ้มนเี้ ปน็ ไปตามขอ้ ใด
1. 0.24 เฮิรตซ์
2. 0.48 เฮริ ตซ์
3. 2.1 เฮริ ตซ์
4. 4.2 เฮริ ตซ์

6. (O-NET54) ลกู ต้มุ นาฬิกากาํ ลงั แกว่งกลบั ไปกลับมาฮาร์มอนิกอย่างง่าย ทต่ี าํ แหนง่ ตาํ่ สดุ ของการแกวง่
ลกู ตมุ้ นาฬิกามสี ภาพการเคลอ่ื นทเ่ี ปน็ อย่างไร
1. ความเรว็ สงู สุด ความเรง่ สูงสุด
2. ความเร็วตา่ํ สดุ ความเร่งสงู สุด
3. ความเรว็ สงู สดุ ความเรง่ ตํา่ สดุ
4. ความเร็วตาํ่ สดุ ความเร่งตํา่ สดุ

เอกสารประกอบการสอนเร่ืองการเคล่ือนทแี่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย เรยี บเรยี งโดยครูบญุ เกิด ยศรงุ่ เรือง www.krukird.com 15

7. สปริงยาว 10 เซนติเมตร ถกู แขวนไวใ้ นแนวดิ่ง นาํ มวลกอ้ นหน่ึงมาถว่ งไวท้ ่ปี ลายด้านลา่ งทาํ ใหส้ ปริง
ยาวขึ้นอกี 1 เซนตเิ มตร หลังจากน้ันดงึ มวลก้อนดงั กล่าวลงมาอกี 2 เซนติเมตร แลว้ ปลอ่ ยมอื แอมพลิจดู
การสั่นจะมีค่าเทา่ ใด(O-Net 57)
1. 1 เซนตเิ มตร
2. 2 เซนตเิ มตร
3. 3 เซนติเมตร
4. 4 เซนตเิ มตร
5. 13 เซนติเมตร

8. O-Net 58 ลักษณะใดท่ใี กลเ้ คยี งการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่ายน้อยท่สี ดุ
1. การเตน้ ของหัวใจ
2. การแกวง่ ลูกตุ้มนาฬิกา
3. การแกวง่ มวลตดิ สปรงิ
4. การสัน่ ของโมเลกลุ อากาศ เนือ่ งจากเสยี งตวั โนต้ ดนตรีท่มี คี วามถี่เดยี ว
5. การไหลของกระแสไฟฟ้าชนดิ กระแสสลบั

9. ในขณะทม่ี วลตดิ ปลายสปรงิ กาํ ลังสน่ั และระบบมีพลงั งานรวมลดลง เราจะสงั เกตเหน็ การเปลี่ยนแปลง
อย่างไร (O-Net 59)
1. แอมพลจิ ดู คงที่ ความถลี่ ดลง
2. แอมพลิจดู คงท่ี ความถเ่ี พ่ิมขน้ึ
3. แอมพลจิ ดู ลดลง ความถีล่ ดลง
4. แอมพลิจดู ลดลง ความถค่ี งที่
5. แอมพลิจดู และความถ่ไี มเ่ ปลย่ี นแปลง แต่มปี รมิ าณอื่นท่เี ปล่ยี นแปลง

10. พิจารณารปู (ก) ถ้าตอ้ งการใหล้ กู ตมุ้ มคี าบของการแกว่งยาวข้ึน จะตอ้ งทาํ อย่างไร (O-Net 60)
1. ลดมวล

2. ลดความยาว

3. เพ่ิมความยาว

4. เพม่ิ มวล ลดความยาว
5. ลดแอมพลิจูดของการแกวง่

เอกสารประกอบการสอนเรอื่ งการเคลอ่ื นทแ่ี บบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย เรียบเรียงโดยครบู ุญเกิด ยศร่งุ เรอื ง www.krukird.com 16

11. พจิ ารณารปู (ข) สายลกู ตมุ้ แกว่งไปได้ครงึ่ ทางก็ชนหมุดแล้วแกวง่ ตอ่ เวลาทีใ่ ชแ้ กวง่ จากตาํ แหนง่ A
ไป B เป็นกี่เทา่ ของเวลา B ไป C (O-Net 60)

1.

2. √
3. 1
4. √2
5. 2

12. ศกึ ษาการเคลอื่ นที่แบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย โดยปลอ่ ยลูกตมุ้ จากจุด A พบวา่ ลกู ตุ้มแกว่งจากจดุ A
ผ่านจดุ B ไปถงึ จดุ C แล้วจึงแกว่งกลบั มาถงึ จดุ B อกี ครัง้ ใชเ้ วลารวมทง้ั สิน้ 3.0 วินาที
ความถ่ีของการแกวง่ เปน็ เท่าใด (O-Net 61)
1. 4.0 เฮิรตซ์
2. 1.0 เฮริ ตซ์
3. 0.50 เฮริ ตซ์
4. 0.33 เฮริ ตซ์
5. 0.25 เฮิรตซ์

13. ปลอ่ ยวัตถจุ ากตาํ แหนง่ A ให้เคลอ่ื นที่แบบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย ดงั ภาพ เม่อื สงั เกตการเคลอื่ นที่ของวัตถุ
จากแนวสมดลุ (ตําแหนง่ B) ไปตําแหนง่ สงู สุด (ตาํ แหนง่ C) แลว้ กลับมาทีแ่ นวสมดลุ (ตาํ แหนง่ B) อีกครง้ั
พบว่าใชเ้ วลา 0.4 วินาที

การแกวง่ น้มี ีความถ่ีเทา่ ใด และถ้าเพมิ่ มวลของวตั ถุ ความถ่จี ะเปลย่ี นแปลงหรอื ไม่ อย่างไร (O-Net 62)

ความถ่ี (s-1) ความถ่หี ลงั จากเพม่ิ มวล
1. 0.4 ไมเ่ ปลย่ี นแปลง
2. 1.25 ลดลง
3. 1.25 ไม่เปลยี่ นแปลง
4. 2.50 ลดลง
5. 2.50 ไม่เปลย่ี นแปลง