MATEMATIK BAB 2 TINGKATAN 1(NOTA)

Bab 2

Faktor dan Gandaan

1. Faktor bagi suatu nombor ialah nombor yang boleh membahagi nombor itu
dengan tepat tanpa sebarang baki.
Contohnya, 5 ialah salah satu faktor bagi 15 kerana 15 boleh dibahagi dengan
5 tanpa baki.

2. Sesuatu nombor bulat boleh mempunyai dua atau lebih faktor yang boleh
disenaraikan.
Contohnya, 1, 2, 3 dan 6 boleh membahagi 6 dengan tepat. Maka 1, 2, 3 dan 6
ialah faktor – faktor untuk 6.

Contoh 1

Tentukan sama ada
a. 7 ialah faktor bagi 49
b. 3 ialah faktor bagi 22
c. 4 ialah faktor bagi 20
d. 9 ialah faktor bagi 80

Penyelesaian
a. 49 7 = 7

49 boleh membahagi 7 dengan tepat.
Maka 7 ialah faktor bagi 49.

b. 22 3 = 7 baki 1
22 tidak boleh membahagi 3 dengan tepat.
Maka 3 bukan faktor bagi 22.

c. 20 4 = 5
20 boleh membahagi 4 dengan tepat.
Maka 4 ialah faktor bagi 20.

d. 80 9 = 8 baki 8
80 tidak boleh membahagi 9 degan tepat.
Maka 9 bukan faktor bagi 80.

Contoh 2

Senaraikan semua faktor bagi 24.

Penyelesaian
1 24 = 24
2 12 = 24
3 8 = 24
4 6 = 24
Maka faktor – faktor bagi 24 ialah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 dan 24.

Contoh 3

Senaraikan semua faktor bagi 50

Penyelesaian
1 x 50 = 50
2 x 25 =50
5 x 10 =50
Maka faktor – faktor bagi 50 ialah 1, 2, 5, 10, 25 dan 50.

Contoh 4

Senaraikan semua faktor bagi 70

Penyelesaian
1 70 = 70
2 35 =70
5 14 =70
7 10 = 70
Maka faktor – faktor bagi 70 ialah 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 dan 70.

Tips
 Setiap nombor mempunyai sekurang-kurangnya 2 faktor iaitu 1 dan dirinya
sendiri.
 Nombor 1 merupakan faktor bagi semua nombor.

Faktor Perdana bagi Nombor Bulat

1. Nombor Perdana ialah integer positif yang hanya boleh dibahagi dengan 1 dan
nombor itu sendiri.

2. Faktor Perdana bagi suatu nombor bulat ialah nombor perdana yang menjadi faktor
bagi nombor bulat itu.

Misalnya 2 dan 3 ialah faktor bagi 6 dan 2 dan 3 ialah nombor perdana, maka 2
dan3 ialah faktor perdana bagi 6.

Contoh 5
Senaraikan semua faktor perdana bagi 18.

Penyelesaian
18 = 1 18
18 = 2 9
18 = 3 6

Faktor bagi 18 ialah 1, 2, 3, 6, 9 dan 18.
Maka faktor perdana bagi 18 ialah 2 dan 3.
3. Suatu nombor bulat itu boleh diungkap dalam hasil darab faktor – faktor

perdananya.
4. Proses mengungkap suatu nombor bulat sebagai hasil darab faktor – faktor

perdananya disebut pemfaktoran perdana.

Tip
Pemfaktoran perdana boleh dilakukan dengan

 Pembahagian berulang
 Kaedah pokok faktor
 Kaedah penyenaraian

Contoh 6

Tentukan semua faktor perdana bagi 90

I. Kaedah penyenaraian
i. Senaraikan semua faktor bagi 90.
ii. Kenal pasti nombor perdana antara faktor- faktor tersebut.

Penyelesaian
Faktor bagi 90
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 dan 90.
Maka, faktor perdana bagi 90 ialah 2, 3 dan 5.

II. Kaedah pembahagian berulang
i. Bahagikan 90 dengan nombor perdana terkecil yang mungkin.
ii. Lakukan pembahagian berulang dengan nombor perdana
sehingga hasil bahagi menjadi satu.
iii. Senaraikan pembahagi sebagai faktor perdana bagi 90.

Penyelesaian
2 90
3 45
3 15
55
1

Faktor perdana bagi 90 ialah 2, 3 dan 5

III. Kaedah melukis pokok faktor
i. Tulis 90 sebagai hasil darab dua faktor, salah satu faktor ialah
nombor perdana terkecil yang mungkin.
ii. Ulang langkah 1 bagi faktor yang bukan nombor perdana.
iii. Teruskan gambar rajah pokok faktor sehingga hasil darab
nombor perdana diperoleh.
iv. Senaraikan semua faktor perdana.

Penyelesaian

90

2 45

59

33

Faktor perdana bagi 90 ialah 2, 3 dan 5.

Menerang dan menentukan faktor sepunya bagi nombor bulat.

1. Faktor sepunya bagi dua atau lebih nombor bulat ialah nombor yang
merupakan faktor bagi setiap nombor bulat itu.
Misalnya, 3 ialah faktor bagi 6 dan 12. Maka 3 ialah faktor sepunya bagi 6 dan
12.

Contoh 7

Senaraikan semua faktor sepunya bagi 21 dan 33.

Penyelesaian
Faktor 21: 1, 3, 7 dan 21
Faktor 33: 1, 3, 11 dan 33
Maka, faktor sepunya bagi 21 dan 33 ialah 1 dan 3.

Contoh 8

Senaraikan semua faktor sepunya bagi 36 dan 24.

Penyelesaian
Faktor 36 : 1,2,3,4,6,9,12,18, dan 36
Faktor 24 : 1,2,3,4,6,8,12, dan 24
Maka, faktor sepunya bagi 36 dan 24 ialah 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Contoh 9

Senaraikan semua faktor sepunya bagi 15, 50 dan 115.

Penyelesaian
Faktor 15 : 1,3,5, dan 15
Faktor 50 : 1,2,5,10,25, dan 50
Faktor 115 : 1,5,23, dan 115
Maka, faktor sepunya bagi 15, 50 dan 115 ialah 1, 5.

Faktor Sepunya dan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB)

1. Antara faktor sepunya bagi beberapa nombor, faktor yang paling besar disebut
sebagi faktor sepunya terbesat (FSTB) bagi nombor itu. Misalnya, dalam
faktor sepunya bagi 24, 36, 42 dan 78 ialah 1,2,3,dan 6. Maka FSTB bagi 24,
36, 42 dan 78 ialah 6.

Contoh 10

Cari faktor sepunya terbesar (FSTB) bagi 14 dan 21.

Penyelesaian
Kaedah 1: Menyenaraikan faktor

Faktor 14: 1, 2, 7 dan 14
Faktor 21: 1, 3, 7 dan 21
Maka FSTB bagi 14 dan 21 ialah 7.

Contoh 11

Tentukan faktor sepunya terbesar (FSTB) bagi 18 dan 45.

Penyelesaian
Faktor 18: 1, 2, 3, 6, 9 dan 18
Faktor 45: 1, 3, 5, 9, 15, dan 45
Maka FSTB bagi 18 dan 45 ialah 9.

Kaedah 2 : Pembahagian berulang
Cari faktor sepunya terbesar (FSTB) bagi 12, 30 dan 54

2 12 30 54
3 6 15 27

259

Maka FSTB bagi 12, 30 dan 54 ialah 2 3 = 6

Kaedah 3 : Pemfaktoran perdana

12 = 2 2 2 3
3
30 = 2 3 5

54 = 2 3 3

Maka FSTB bagi 12, 30 dan 54 ialah 2 3 = 6

Menyelesaikan masalah yang melibatkan FSTB

1. Empat langkah yang boleh diikuti dalam menyelesaikan masalah melibatkan
FSTB ialah
i. Memahami masalah
ii. Merancang strategi
iii. Melaksanakan strategi
iv. Membuat refleksi

Contoh 12

Alia membahgi 60 biji epal, 108 biji oren dan 72 biji kiwi kepada beberapa
orang jirannya.
(a) Berapakah orang jiran yang terbanyak yang boleh diberi supaya semua buah-
buahan diagih sama rata kepada jirannya itu dengan tiada buah-buahan yang
tertinggal?
(b) Setiap jiran akan mendapat berapa biji epal, oren dan buah kiwi？

Penyelesaian 60 108 72
(a) 30 54 36
15 27 18
2 5 96
2
3

FSTB bagi 60, 108 dan 72 ialah 2 2 3 = 12. Maka, bilangan jiran
menerima buah-buahan Alia secara rata ialah 12 orang.

(b) Baki buah-buahan ialah 5 biji epal, 9 biji oren dan 6 biji kiwi.

Gandaan, Gandaan Sepunya dan Gandaan Sepunya Terkecil (GSTK)

Menerang dan menentukan gandaan sepunya bagi nombor bulat.

1. Gandaan bagi suatu nombor ialah hasil darab nombor itu dengan suatu
nombor bulat kecuali sifar.
Misalnya, gandaan 4
= 4 1, 4 2, 4 3, 4 4, 4 5…
= 4, 8, 12, 16, 20

Contoh 13

Tentukan sama ada
(a) 15 ialah gandaan sepunya bagi 2 dan 5.
(b) 20 ialah gandaan sepunya bagi 4, 5 dan 6.
(c) 36 ialah gandaan sepunya bagi 3.9, 12 dan 18.

Penyelesaian
(a) 15

15 5 = 3
15 tidak boleh dibahagi tepat dengan 2.
Maka 15 bukan gandaan sepunya 2 and 5.

(b) 20

20
20 tidak boleh dibahagi tepat dengan 6.
Maka 20 bukan gandaan sepunya bagi 4, 5 dan 6.

(c) 36 36

36 36

36 boleh dibahagi tepat dengan 3, 9, 12 dan 18.

Maka 36 ialah gandaan sepunya bagi 3, 9, 12 dan 18.

Gandaan Sepunya Terkecil (GSTK)

1. Gandaan sepunya terkecil (GSTK) bagi dua atau lebih nombor bulat ialah
gandaan sepunya yang paling kecil.

Contoh 14

Cari gandaan sepunya terkecil (GSTK) bagi 2 dan 5.

Penyelesaian
Gandaan 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
Gandaan 5: 5, 10, 15, 20, 25
Maka GSTK bagi 2 dan 5 ialah 10.

Contoh 15

Cari gandaan sepunya terkecil (GSTK) bagi 3 dan 10.

Penyelesaian
Gandaan 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, dan 30
Gandaan 10: 10, 20, 30, 40, 50
Maka GSTK bagi 3 dan 10 ialah 30.

Contoh 16

Cari gandaan sepunya terkecil (GSTK) bagi 4, 6 dan 9.

Penyelesaian
Kaedah 1 : Menyenaraikan gandaan
Gandaan 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36…..
Gandaan 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60….
Gandaan 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54…

Maka , GSTK bagi 4, 6 dan 9 ialah 36.

Kaedah 2 : Pembahagian berulang

24 6 9
22 3 9
31 3 9
31 1 3
1
11

Maka, GSTK bagi 4, 6 dan 9 ialah 2 2 3 3 = 36.

Kaedah 3: Pemfaktoran perdana

4= 2 2

6= 2 3

9= 3 3

2 2 3 3 = 36

Maka, GSTK bagi 4, 6 dan 9 ialah 36.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan GSTK

1. Empat langkah yang boleh diikuti dalam menyelesaikan masalah melibatkan
GSTK:
a. Memahami masalah
b. Merancang strategi
c. Melaksanakan strategi
d. Membuat refleksi

Contoh 17

Satu kotak epal mempunyai 12 biji epal dan satu pek oren mengandungi 15 biji oren.
Raymond merancang majlis hari lahir untuk adiknya. Dia ingin membeli bilangan
epal dan oren yang sama. Berapakah bilangan epal dan oren yang harus dibeli oleh
Raymond.

Penyelesaian 15
5
3 12 1
54 1
44

1

GSTK = 3 5 4
= 60

Maka bilangan epal dan oren yang harus dibeli oleh Raymond ialah 60 biji.