ค22201-พหุนามและเศษส่วนพหุนาม

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง พหุนามและเศษส่วนพหนุ าม 1

บทที่ 2 พหนุ ามและเศษส่วนพหนุ าม

1. ทบทวนเอกนาม พหนุ าม

เอกนาม คอื นิพจน์ทีส่ ามารถเขยี นให้อยู่ในรปู การคณู ของคา่ คงตัวกับตัวแปรตั้งแตห่ นึ่งตวั ข้นึ ไป และเลขชี้กำลงั

ของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรอื จำนวนเตม็ บวก

นพิ จน์ที่เป็นเอกนาม เชน่ 3, −7x, 1 x, −xyz, 2x3 y2
นิพจนท์ ่ีไม่เป็นเอกนาม เชน่ 2

3 − 5x2 , −7x−1, 1 x, 2x + 5y + z
y

เอกนามประกอบดว้ ยสองส่วน คอื สว่ นทเ่ี ปน็ ค่าคงตัว และส่วนทอี่ ยูใ่ นรปู ของตัวแปรหรอื การคูณกนั ของตวั แปร

เรยี กสว่ นทีเ่ ป็นคา่ คงตวั ว่า สมั ประสิทธ์ขิ องเอกนาม

เช่น 4x มสี มั ประสิทธิเ์ ป็น 4

1 x2y2 มสี ัมประสทิ ธิ์เป็น 1
5 5
2 xyz 2
− 3 มีสัมประสทิ ธเ์ิ ป็น − 3

เอกนามคลา้ ย คือ เอกนามที่มตี ัวแปรชุดเดยี วกัน และ เลขช้กี ำลงั ของตวั แปรตัวเดยี วกนั ในแต่ละเอกนามเทา่ กัน

เช่น 3xy เอกนามคล้ายกับ 4xy

2 x2 y เอกนามคล้ายกับ 5x2 y
3
25 เอกนามคลา้ ยกับ -23

7s ไม่เอกนามคล้ายกับ 7t

2 x2 y ไม่เอกนามคลา้ ยกับ 3x2 y2

ตัวอย่างท่ี 1 จงพิจารณาวา่ ข้อต่อไปนเ้ี ปน็ เอกนามหรือไมเ่ ปน็ เอกนาม โดยกาเคร่ืองหมายถูก ( √ ) ในชอ่ งที่ตรงกับคำตอบ

พร้อมทง้ั สัมประสิทธ์ิของเอกนาม

ข้อ นิพจน์ เอกนาม สัมประสทิ ธ์ิ ขอ้ นิพจน์ เอกนาม สัมประสทิ ธ์ิ
เป็น ไม่เป็น เป็น ไม่เป็น

1 -2 5 7x2y

2 4x 6 2 x 2 yz
3 -0.7xy 3
7 5xyz−1

4 4x−2 8 2
3x

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรื่อง พหุนามและเศษสว่ นพหนุ าม 2

พหุนาม คือ นิพจน์ที่อยใู่ นรูปเอกนาม หรือเขยี นอยูใ่ นรูปการณ์บวกกนั ของเอกนามตงั้ แตส่ องเอกนามขึน้ ไป

ตวั อย่าง พหนุ าม 1 − 3x2 , 8x1, 1 xyz, 3x + 5y + 2z
y

ตัวอย่าง ไมเ่ ป็นพหนุ าม 3x−2 , 8 x −1 , 1 xyz, 3x +5y
y3 3z

เพื่อความสะดวกในการอ้างถึง เราจะเรยี กแตล่ ะเอกนามที่ปรากฏในพหนุ ามว่า พจน์ ในกรณีที่พหนุ ามนัน้ มเี อกนาม

ท่ีคล้ายกัน จะเรยี กเอกนามท่ีคล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน

เชน่ −4x3 + 3x2 − 2x + x2 เปน็ พหุนามที่มีพจน์ −4x3 , 3x2 , 2x, x2

พจนท์ ค่ี ล้ายกนั คือ −4x3 และ 3x2

x3 + x2 y + 3yx2 − 2xy + 5xy เป็นพหุนามที่มีพจน์ x3 , x2 y,3yx2 ,2xy,5xy

พจน์ที่คลา้ ยกัน คือ x2 y และ 3yx2

2xy และ 5xy

จะเรียกพหุนามที่ไม่มพี จนท์ ่ีคล้ายกนั เลยวา่ พหุนามในรปู ผลสำเรจ็

ตัวอย่างที่ 2 จงพจิ ารณาวา่ นพิ จน์ทกี่ ำหนดใหต้ ่อไปนจ้ี ดั เปน็ พหุนามหรือไม่ โดยกาเคร่ืองหมายถูก ( √ ) ในช่องท่ีตรงกบั

คำตอบของนกั เรยี น พร้อมทั้งหาพหนุ ามในรูปผลสำเร็จและระบุดีกรีของพหุนาม

ขอ้ นพิ จน์ พหุนาม พหุนามในรปู ดีกรี
เป็น ไม่เปน็ ผลสำเรจ็ ของพหนุ าม

1 4x −11y +12x − 2x + 9y − 5

2 5x −2 +14x −3 − 2x −3 −10x −2

3 1.2a 2b + 3.5ab 2 + 0.5ab −2 − 0.5ab −2

4 1+ 1 xyz − 2 xy 2z + 3 xyz − 4 xy 2z
23 43

5 20x − 1 + 3 −13xy
xy y

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรื่อง พหุนามและเศษสว่ นพหนุ าม 3

2. การบวกและการลบเอกนาม
การหาผลบวก ผลลบ ของเอกนามที่คล้ายกันใช้หลักเกณฑ์ต่อไปนี้

ผลบวกของเอกนามทคี่ ล้ายกนั
= (ผลบวกของสัมประสทิ ธ์)ิ  (สว่ นที่อยใู่ นรูปของตัวแปรหรือการคูณกันของตวั แปร)

ผลลบของเอกนามทคี่ ล้ายกัน
= (ผลลบของสมั ประสิทธิ)์  (ส่วนที่อยใู่ นรูปของตัวแปรหรือการคณู กนั ของตัวแปร)

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาผลบวกต่อไปน้ี 2) −7ab + 4ab + 2ab
1) 7xy2 + 2xy2 ………………………………………………………..
…………………………………………………….. ………………………………………………………..
…………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………..
4) 7xy2 −15xy2 − (−2xy2 )
3) 12xy − 7xy ………………………………………………………..
…………………………………………………….. ………………………………………………………..
…………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………..
6) −3xy2 + 5xy2 − (−2xy2 )
5) xy − 7xy − 2xy ………………………………………………………..
…………………………………………………….. ………………………………………………………..
…………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………..
8) s2t − 1 ts2 − 2ts2
7) − 2 s2t + 2ts2 − 1 ts2 5
32
………………………………………………………..
…………………………………………………….. ………………………………………………………..
…………………………………………………….. ………………………………………………………..
…………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………..

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรื่อง พหนุ ามและเศษส่วนพหนุ าม 4

จงหาผลลพั ธ์ แบบฝกึ หดั ที่ 1
1) 15x + (−12x) + 4x
……………………………………………………………… 2) −4x + (−8x) + (−6x)
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
3) −12u + 5u +13u 4) −7x2 + 3x2 + 4x2
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
6) a3 − 9a3 − 7a3
5) 10mn − 9mn − 5mn ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… 8) −b − (−5b) − (−8b)
7) −15xyz − 20xyz − 3xyz ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… 10) −3x2 y − 5x2 y + 9x2 y
………………………………………………………………….
9) 5x − 8x + 3x − 4x ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
………………………………………………………………
……………………………………………………………… 12) −12x2 y + 4 x2 y −13x2 y + (−8x2 y)

11) 5 xy + 15 xy − 6xy ………………………………………………………………….
4 4 ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
14) 10t2s − 8t2s + t2s −12t2s
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….

13) 17x2 y − 2x2 y − 3x2 y

………………………………………………………………

………………………………………………………………

………………………………………………………………

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง พหนุ ามและเศษสว่ นพหนุ าม 5

15) −6x2 − 4 x2 − x2 − ( x2 ) 16) 3ab2 − (−6ab2 ) −12ab2 − (−15ab2 )
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
17) a2 − a + 3a − a2
18) −7x4 y − 2 −11yx4 + yx3 + 6
22
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………….

3. การบวกและการลบพหนุ าม
ในการบวก การลบพหนุ าม จะใชห้ ลกั การเดียวกนั กบั การบวก การลบเอกนาม

3.1 การบวก ลบพหนุ ามในแนวราบ 3.2 การบวก ลบพหุนามในแนวต้งั
1. เขยี นพหนุ ามท่ีกำหนดให้ท้งั หมดท่ี 1. เขียนพหนุ ามทีก่ ำหนดให้ โดยที่
ต้องการบวกกันในบรรทดั เดียว
2. บวกหรือลบพจนท์ ีค่ ลา้ ยกนั พจนท์ ค่ี ลา้ ยกันอยตู่ รงกนั
3. เขยี นผลลพั ธใ์ หเ้ ป็นพหนุ าผลสำเร็จ 2. บวกหรอื ลบพจนท์ ่ีคล้ายกัน
3. เขียนผลลพั ธ์ให้เปน็ พหนุ าม
ตวั อย่างที่ 3 จงหาผลบวก
1) 3x2 − 2x + 4 กับ 7x2 + 4 x + 5 ผลสำเร็จ
………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. 2) 7x3 − 4 x2 − 6 กับ −5x3 + 2x2 + 3x + 2
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

ตวั อย่างท่ี 4 จงหาผลลบ 2) 5x2 − 2x − 4 กบั 2x2 − 7x + 7
1) x2 + 5x + 3 กบั 3x2 − 4x ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………..

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เร่ือง พหุนามและเศษสว่ นพหุนาม 6

แบบฝึกหัดท่ี 2

1. จงเขยี นพหนุ ามในแต่ละข้อต่อไปน้ใี ห้เป็นพหุนามในรูปผลสำเรจ็

1) −5x +1+ 7x −11 2) 4 x2 + x − x2 −18

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

3) 6x3 − 2x2 − 3x3 + 5x2 4) x − xy + 4 + x − 3xy

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

5) 2x2 y + y2 − 3 + x2 y 6) 10 + 13rs2 − 6rs −12s2r + 5rs

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

7) −6a − 6b − 5a − 3c − 5b + c 8) b + 2b − 3c + 8 − 4b + 5c2

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

2. จงหาผลบวก ผลลบพหนุ ามในแต่ละข้อต่อไปน้ี 2) (13r − 2t − 2s) + (−14r +11s − 7t)
1) (2x2 − 3x + 7) + (−x2 + x − 8) ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………..

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง พหนุ ามและเศษสว่ นพหุนาม 7

3) (7y −16y + 2) + ( y2 + 6y) 4) (8x2 − 3y + 3) + (4 y − 2x2 − 4)
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
5) (8x2 − 3y + 3x − 3) + (3x + 2y) 6) (b2 + 3ab) + (2ab + 4) + (ab − 2)
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
8) (3 + 5x + x2 ) − (8x2 − 9x)
7) (18x − 2) − (16x − 4) ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. 10) (7x2 − 8x −11) − (−2x2 + 10x −1)
9) (−x2 + x −1) − ( x2 + 3x + 9) ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. 12) ( x2 − 2 x + 2) − ( 1 x2 − x + 10)

11) (5x2 + 6x − 4) − (3x2 −12x −1) 32
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………..

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง พหุนามและเศษสว่ นพหนุ าม 8

13) (3x3 + 5x2 − x + 2) + (7x3 − x2 − x + 6) 14) (a4 + 5a3 − 8a2 − 9a − 8) + (7x4 − 9a2 − 7)

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

15) (6c3 − 7ab2 + 5ab − 9) + (10c3 + 6ab2 + 6) 16) (5x3 + 4 x2 − 2x − 3) − (6x3 − 7x2 + 4 x − 8)

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

17) (−5x3 − 3x2 + 5x) − (5x3 − 4 x2 + 7x −1) 18) (2ab − ab2 − b3 − 7ab4 ) − (4ab + b3 − ab4 )

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

19) (5a4 −10a3 − 4a) − (8a4 − 3a2 − 2) 20) (−a3b + 4ab2 + 8) − (−9a3b + b3 − 7ab2 )

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เร่ือง พหนุ ามและเศษส่วนพหนุ าม 9

4. การคูณพหุนาม

เนื่องจากในท่ีนเี้ อกนามแทนจำนวน ดังนนั้ เราสามารถนำสมบตั กิ ารสลับท่ี สมบัติการเปลีย่ นหมู่ สมบัติการแจกแจง

หรอื สมบตั ขิ องหนง่ึ และศนู ย์ มาใชใ้ นการหาผลคูณระหวา่ งเอกนามกบั เอกนาม การคูณระหวา่ งเอกนามกับพหนุ าม และการ

คณู ระหว่างพหนุ ามกบั พหุนาม

4.1 การคูณระหวา่ งเอกนามกบั เอกนาม

1. (7a)(5b) = …………………………………………………………

= …………………………………………………………

2. (9x)(−x2 ) = …………………………………………………………

= …………………………………………………………

= …………………………………………………………

3. (3x2 y2 )(−8xy2 ) = …………………………………………………………

= …………………………………………………………

= …………………………………………………………

4.2 การคูณระหวา่ งเอกนามกับพหุนาม

1. 7( x + 2) = …………………………………………………………

= …………………………………………………………

= …………………………………………………………

2. 2x(x − 3) = …………………………………………………………

= …………………………………………………………

= …………………………………………………………

3. (9 − 4x + x2 )( x ) = …………………………………………………………

= …………………………………………………………

= …………………………………………………………

( )4. (2x2 + 3x −1) −x2 = …………………………………………………………

= …………………………………………………………

= …………………………………………………………

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง พหุนามและเศษสว่ นพหุนาม 10

แบบฝึกหัดที่ 3

จงหาผลคณู ต่อไปนี้ 2) (−x)(−y)
1) (2x)(3x)
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………
3) (−2xy)(−y)
……………………………………………………………………….. 4) (−9xy2 )(11xy)
………………………………………………………………………..
5) ( 1 x)(8x2 ) ……………………………………………………………………………

2 ……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. 6) (− 1 x )(−39 xy )
7) (2x)(3xy)(−y2 ) 3
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
9) (−x5 yz)(2zy2 )(−xyz)
……………………………………………………………………….. 8) (−3xyz)(2xy2 )(−xyz3 )
………………………………………………………………………..
11) (6)(5x + 2) ……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
13) ( 1 a)(ab2 − a + 2)
……………………………………………………………………………
2
……………………………………………………………………….. 10) (−2x2 yz3 )(2xy3 )(−x2 yz3 )
………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
15) ( x2 −10x + 9)(2x)
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………..
12) (−2x)(4x + y)

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

14) x( x2 − 2x −1)

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
16) (−7x)(2x2 − 8x + 9)
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง พหุนามและเศษส่วนพหุนาม 11

17) (−5x)( x2 + 8) 18) (2)(3x2 − 4 x − 7)
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
19) (9x)( x2 + 2x − 3) 20) (8x)(−6x3 + 5x2 −11x − 2)
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

4.3 การคูณระหวา่ งพหุนามกบั พหนุ าม

การคูณระหวา่ งพหุนามกับพหุนาม ทำไดโ้ ดยคณู แต่ละพจน์ของพหนุ ามหนึ่งกบั ทุกๆ พจนข์ องอีกพหุนามหน่งึ แล้ว

นำผลคณู เหล่าน้นั มาบวกกัน

1. (x + 7)(x + 2) 2. (x − 3)(x + 8)

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

3. (−x + 5)(x −1) 4. (2x − 6)(x − 7)

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

5. (3x + 2)(5x −1) 6. (6x2 −1)(2 + 3x)

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เร่ือง พหนุ ามและเศษส่วนพหุนาม 12

แบบฝึกหัดที่ 4

จงหาผลคณู ตอ่ ไปน้ี 2) (x − 4)(x + 7)
1) (x + 9)(x +11) ...................................................................................
........................................................................................ .................................................................................. .
........................................................................................ ...................................................................................
........................................................................................ 4) (x + 2)(x − 6)
3) (x − 5)(x − 9) ...................................................................................
........................................................................................ ...................................................................................
.................................................................................. ...... ...................................................................................
........................................................................................ ...................................................................................
........................................................................................ 6) (x − 5)(x − 5)
5) (x − 6)(x + 6) ...................................................................................
........................................................................................ ...................................................................................
.................................................................................. ...... ...................................................................................
........................................................................................ ...................................................................................
........................................................................................ 8) ( x − 8)2
...................................................................................
7) (x +12)(x +12) ...................................................................................
........................................................................................ ...................................................................................
........................................................................................ ...................................................................................
........................................................................................
........................................................................................ 10) (2x +1)(x − 3)
9) ( x + 7)2 ...................................................................................
........................................................................................ ...................................................................................
........................................................................................ ...................................................................................
........................................................................................ ...................................................................................
........................................................................................ 12) (2x2 + 1)( x − 2)
...................................................................................
11) (2x +1)(2x +1) ...................................................................................
........................................................................................ ...................................................................................
........................................................................................
........................................................................................

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง พหนุ ามและเศษส่วนพหุนาม 13

13) (3x + 2)(4x + 5) 14) (3x +10)(7x − 2)

........................................................................................ ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

........................................................................................ .................................................................................. .

........................................................................................ ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

15) (8x + 3)(8x − 3) 16) (2x +1)(2x +1)

........................................................................................ ...................................................................................

.................................................................................. ...... ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

17) (2x − 3)(2x2 + 1) 18) (x − y)(2x − y)

........................................................................................ ...................................................................................

.................................................................................. ...... ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

19) (7x + 9y)(−6y + x) 20) (10x − 5y)(−12y2 −11)

........................................................................................ ...................................................................................

.................................................................................. ...... ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

21) ( x2 + xy + y2 )( x − 2y) 22) ( x + y)2 ( x − y)

........................................................................................ ...................................................................................

.................................................................................. ...... ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

........................................................................................ ...................................................................................

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง พหนุ ามและเศษส่วนพหนุ าม 14

5. การหารพหุนาม
การหารพหุนาม มีข้อตกลงว่า เอกนามหรือพหนุ ามท่เี ปน็ ตัวหารตอ้ งไม่เปน็ ศนู ย์

ตัวตัง้ = (ตวั หาร ผลหาร) + เศษ

เมื่อผลหารพหุนามและเศษเป็นศนู ย์ หรอื พหนุ ามทีม่ ีดีกรนี ้อยกว่าดีกรีของตัวหาร
การหารพหุนามใดไดเ้ ศษเปน็ ศนู ย์ ถือว่าการหารพหนุ ามน้ันเปน็ การหารลงตัว ส่วนการหารพหุนามใดได้เศษเป็นไม่
ศูนย์ ถือว่าการหารพหนุ ามนั้นเปน็ การหารไมล่ งตวั

5.1 การหารเอกนามด้วยเอกนาม 2) จงหาผลลพั ธ์ของ 12a4b6c−4  4a3b4c−6
1) จงหาผลลพั ธข์ อง 24 x3 y2 z6  8xyz4 …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………

5.2 การหารพหนุ ามด้วยเอกนาม 2) จงหาผลลัพธ์ของ 18x4 − 24x2 + 9x  3x
1) จงหาผลลพั ธ์ของ 24 x3 + 16x2 + 12x  2x …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………

แบบฝึกหัดที่ 5.1

จงหาผลหารตอ่ ไปนี้ 2) 18x4 y2  (−10x2 y)
1) 2x10  x3 …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง พหุนามและเศษส่วนพหุนาม 15

3) 20 xy 4) −27m2n2
5x −9mn
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

5) −x4y3 6) 15x3 y4 z−3
x2y2 10 x2 y5z2

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

7) 14 x3 − 8x2 + 6x  2x 8) 36x3 −12x2 + 9x  3x

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

9) −8x5 y + 16x4 y2 + 28x3 y3 10) 25a2 − 50a5 + 5a 4 −30a3
−4 x2 y 5a2

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

11) 32 x 5 + 16x3 + 24 x −8x 12) 18x5 y2 − 12x4 y3 − 6x3 y4 + 42x2 y5
8x −6x2 y

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง พหนุ ามและเศษส่วนพหนุ าม 16

5.3 การหารพหนุ ามด้วยพหนุ าม 2) (3x2 − 2x + 1)  ( x + 1)
1) (12x2 − 7x −10)  (3x + 2) …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………

3) (8x3 + 22x2 + 19x + 14)  (2x + 3) 4) (16x4 − 81)  (2x + 3)
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

แบบฝึกหดั 5.2

จงหาผลหารตอ่ ไปน้ี

1.) (8x2 + 26x +15)  (2x + 5) 2.) (6x2 + 29x + 35)  (3x + 7)

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง พหนุ ามและเศษส่วนพหนุ าม 17

3.) (8x2 −14 x −15)  (2x + 5) 4.) (12x2 − 7x −10)  (4 x − 5)
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

5.) (2x2 + 5x −12)  (2x − 3) 6.) (6x2 + 11x + 3)  (3x + 1)
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

7.) (6x2 + 11x + 3)  (3x + 1) 8) (9x2 − 6x − 35)  (3x + 5)
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง พหนุ ามและเศษส่วนพหนุ าม 18

9) (8x3 + 2x2 − 9x + 13)  (2x + 3) 10.) (18x4 −17x2 − 9x + 6)  (3x − 2)
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

11.) (−12x3 −13x2 − 7x)  (4 x + 3) 12.) (5x4 − 4 x3 + 3x2 − 2x + 1)  ( x2 −1)
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

13.) (12x2 −11xy −15y2 )  (4 x + 3y) 14.) (8x2 −10xy − 25y2 )  (2x − 5y)
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เร่ือง พหุนามและเศษส่วนพหนุ าม 19

6. เศษสว่ นพหุนาม

ถ้า P และ Q เป็นพหนุ าม โดยที่ Q  0 จะเรียก P วา่ เศษส่วนของพหุนาม ท่ีมี P เป็นตวั เศษ
Q
27 xy2
และ Q เปน็ ตวั สว่ น เชน่ 9x2y เม่อื 9x2 y  0

x+8 เมื่อ x2 − 4 x  0
x2 −4x

เศษสว่ นพหนุ ามทีจ่ ะกลา่ วต่อไปนี้ ใหถ้ ือวา่ พหนุ ามทตี่ ัวส่วนไมเ่ ทา่ กับ 0 ถงึ แม้วา่ จะไมไ่ ด้ระบเุ งื่อนไชของ

พหนุ ามทเ่ี ปน็ ตัวส่วนไว้

เศษส่วนของพหนุ ามในรูปผลสำเร็จ หมายถึง เศษสว่ นของพหนุ ามที่ไม่สามารถกระทำต่อไปไดอ้ ีกแลว้

จงทำเศษสว่ นพหนุ ามให้อยู่ในรูปผลสำเร็จ 2) −36a4 b2 c 2
8abc
1) 20x2 y
4 xy …………………………………………………………………………..

………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

3) 3x −6 4) 10 x2 − 5x
x 2 −2x 8x −4
………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

5) 28a3b4 − 12a2b3c 9) 15a3b2 + 15a2b3 + 15a2b2
42a4b5 − 18a3b4c 5a2b + 5ab2 + 5ab
……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง พหุนามและเศษสว่ นพหนุ าม 20

6.1 การคณู เศษส่วนของพหุนาม
การคูณเศษส่วนพหนุ ามทำได้เช่นเดียวกบั การคูณเศษสว่ น กล่าวคอื

เมื่อ P, Q, R และ S เป็นพหุนาม โดยท่ี Q  0 และ S  0 จะได้ว่า

P  R = PR
Q S QS

จงหาผลคูณ

1) 5  6x 2) 5 6 (x − 2)
xy y 3x −

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

3) −3 x  x −7 4) a2 − a  a+1
x+4 3x −1 3a2 a −1
……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

5) 6 −10b  2b + 1 6) 15x + 5  2x − 4
b + 8 12 − 20b x −2 6x +2

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง พหนุ ามและเศษส่วนพหุนาม 21

แบบฝกึ หดั 6.1

1. จงทำทำเศษสว่ นพหุนามต่อไปนใ้ี ห้อยใู่ นรูปผลสำเรจ็

1.) 9x2y3 2) 20 x4 y2
3 xy 2 4x2y2

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

3.) −36x4 y2 z2 4) 12 x3 y4
9xy2 z 3 xy2

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

5.) x2 + x 6.) x3 − 3 x2
5x +5 xy − 3y

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

7.) 12x2 y − 72xy −30 x 4 y2 + 75x3 y 3
3xy −18y 10 x 2 y2 − 25 xy 3
8.)

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง พหุนามและเศษส่วนพหุนาม 22

2. จงหาผลคูณของเศษส่วนพหุนามต่อไปน้ี โดยทำให้อยู่ในรูปผลสำเร็จ

1.) 4xy  3x 2.) −24 x2 y  7 xy
6 10y 7y3 4 y2

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

3.) 15 xyz  24 x3 y2 4.) 6abc  24a3b3c
4 yz2 27x2 y 32ab2 c 2 9a4b2c

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

5.) 56x − 72  6x −11 6.) 20x2 + x  4 x + 1
6x −11 7x −9 20x + 5 2x + 1
………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

7.) 18x2 −15x  2x − 7 8.) 36x3 − 45x2  7x +8
8x − 28 6x − 5 21x2 + 24 x 4x −5
…………………………………………………………………………..
………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

9.) −( x + 4)  18 x +3 10.) x+8  ( 3 x −9
6x +1 2x −5 (x − 3)2 x + 8)2
……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เร่ือง พหุนามและเศษสว่ นพหุนาม 23

6.2 การหารเศษส่วนของพหุนาม
การหารเศษสว่ นพหุนามทำได้เชน่ เดียวกับการหารเศษสว่ น กล่าวคือ

เม่ือ P, Q, R และ S เป็นพหุนาม โดยท่ี Q  0 และ S  0 จะไดว้ า่

P  R = P  S
Q S Q R

จงหาผลหารของเศษส่วนพหุนามตอ่ ไปน้ี

1) 4 x  16x2 4 xy 16 x2 y 2
7 21 5z2 25 z 4
2.) 
………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

3) 6x2y2  24 xyz 4) x4  x2
7 yz 3 14 zy 3 5x + 10 8x + 16

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

5.) 7mn3  −28m3n 6) 5x2 − x  (10x − 2)
4m − 5 8m −10 x+2

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง พหนุ ามและเศษส่วนพหุนาม 24

แบบฝกึ หดั 6.2

จงหาผลลัพธ์ต่อไปนีโ้ ดยทำให้อยู่ในรปู ผลสำเร็จ

1.) 8x  16 x 2 2.) 2ab2 c 3  10a5b4
5 35 10a3bc 15c 4
……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

3.) 6c6d5  36c 3 d 2 4.) 10u7 v 8  40u3 v 3
11e2 f 3 22e4 f 2 35w 6 15w2 x3

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

5.) 2x3  6x5 6.) 4a5b5  2a3b3
2x +3 6x +9 2x + 3 60a − 45

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

7.) 2x + 5  (4 x + 10) 8.) x − 4  (3x + 15)
x −7 3x +1

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม 3 (ค22201) เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง พหนุ ามและเศษสว่ นพหนุ าม 25

9.) 12 x − 16  36 x − 48 10.) 10 x − 10  30 x − 30
5x +2 5x −1 3x +4 5x − 6
……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

11.) (x − 3)  3 − x 12.) (5 − 6x)  6x − 5
2 9
……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

13.) (5 − 8x)  (8 − 5x)2 14.) (x − 7)2  x −7
6x +7 x+8 (x + 8)2
…………………………………………………………………………..
………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

15.) (3x − 4)2  3x −4 16.) (6x −11)2  11 − 6x
2x +1 (2x + 1)2 7x +4 (7x + 4)2
……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..