BAB 1 PERSAMAAN KUADRAT Sebuah kolam berbentuk persegi panjang mempunyai ukuran panjang dan lebar ( − 2). Jika luas kolam diketahui, ukuran kolam dapat ditentukan dengan menerapkan konsep persamaan kuadrat. Tujuan pembelajaran 1. Peserta didik dapat menjelaskan persamaan kuadrat 2. Peserta didik dapat menyusun persamaan kuadrat 3. Peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat Profil pelajar pancasila: Kreatif, bernalar kritis, dan mandiri 1. Apa yang dimaksud dengan persamaan kuadrat? 2. Bagaimana bentuk umum persamaan kuadrat? 3. Apa yang dimaksud akar-akar persamaan kuadrat? 4. Bagaimana cara menentukan akarakar persamaan kuadrat? Persamaan kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat Faktor Kuadrat sempurna Rumus abc Diskriminan Pemantik Belajar Kata Kunci
A. Persamaan Kuadrat 1. Bentuk umum persamaan kuadrat beserta penyelesaiannya Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 2 + + = 0 , , bilangan nyata dan ≠ 0. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan (ditentukan akarakarnya) atau tidak tergantung pada nilai , , dari persamaan itu. Ada tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yaitu dengan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan artinya menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara mengubah persamaan kuadrat itu menjadi bentuk perkalian. Bentuk 2 + + = 0, diubah ke bentuk ( − 1 )( − 2 ) = 0, ≠ 0. Perkalian bernilai nol apabila salah satu faktornya bernilai nol. Sehingga: ( − 1 )( − 2 ) = 0 ⇔ − 1 = 0 − 2 = 0 ⇔ = 1 = 2 Jadi, akar-akar dari ( − 1 )( − 2 ) = 0 adalah 1 2. Contoh: Tentukan akar-akar persamaan 2 + 2 − 8 = 0! Alternatif penyelesaian: 2 + 2 − 8 = 0 ( + 4)( − 2) = 0 1 = −4 atau 2 = 2 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara memfaktorkan! 1. 2 − 10 + 24 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 2. 4 2 + 16 + 15 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 3. 12 − 4 − 2 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 4. 4 + 7 − 2 2 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. Latihan 1
b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapi kuadrat sempurna Bentuk-bentuk ( + 2) 2 , ( − 3) 2 , ( + 5) 2 disebut bentuk kuadrat sempurna. Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna. 1) Mengubah bentuk 2 + + = 0 ke bentuk 2 + = − 2) Apabila ≠ 0, kedua ruas dibagi dengan a sehingga diperoleh 2 + = − 3) Menambahkan kedua ruas dengan ( 2 ) 2 untuk melengkapkan bentuk kuadrat. 4) Menuliskan ruas kiri persamaan sebagai bentuk kuadrat ( + 2 ) 2 = − + ( 2 ) 2 5) Menyelesaikan bentuk 4) + 2 = ±√− + ( 2 ) 2 ⇔ = − 2 ± √− + ( 2 ) 2 Contoh: Tentukan akar-akar persamaan 2 2 − − 6 = 0! Alternatif penyelesaian: 2 2 − − 6 = 0 2 2 − = 6 2 − 1 2 + 1 16 = 3 + 1 16 ( − 1 4 ) 2 = 49 16 − 1 4 = ± 7 4 − 1 4 = − 7 4 atau − 1 4 = 7 4 = − 3 4 atau = 2 Jadi, akar-akarnya adalah − 3 4 dan 2 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna! 1. 2 − 4 − 1 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 2. 2 2 + 7 − 15 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 3. 21 − 4 − 2 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 4. 8 + 10 − 3 2 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. Latihan 2
c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus Persamaan kuadrat 2 + + = 0 dapat diselesaikan menggunakan rumus abc berikut. 1,2 = − ± √ 2 − 4 2 Contoh: Tentukan penyelesaian dari 2 + 2 − 24 = 0! Alternatif penyelesaian: 2 + 2 − 24 = 0; = 1, = 2, = −24 1,2 = − ± √ 2 − 4 2 1,2 = −2 ± √2 2 − 4(1)(−24) 2(1) 1,2 = −2 ± √4 + 96 2 1,2 = −2 ± √100 2 1,2 = −2 ± 10 2 1 = −2−10 2 = −6 atau 2 = −2+10 2 = 4 Jadi, penyelesaiannya adalah 1 = −6 dan 2 = 4 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut meenggunakan rumus abc! 1. 2 − 10 − 23 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 2. 4 2 + 8 + 1 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 3. 10 − 3 − 2 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 4. 14 + 3 − 2 2 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. Latihan 3
2. Diskriminan persamaan kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat 2 + + = 0 dengan , , bilangan riil dengan ≠ 0 adalah 1,2 = −±√2−4 2 , nilai 2 − 4 disebut nilai diskriminan dan disingkat D. dengan demikian, akar-akar persamaan kuadrat itu adalah 1,2 = −±√ 2 , dengan = 2 − 4. Dengan melihat nilai D, akar-akar persamaan kuadrat itu dapat dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu sebagai berikut. a. Jika > 0, √ > 0, akar-akar persamaan itu 1 = −+√ 2 dan 2 = −−√ 2 , terlihat bahwa 1 ≠ 2. Jadi persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berlainan. b. Jika = 0, √ = 0, akar-akar persamaan itu 1 = −+0 2 dan 2 = −−0 2 , terlihat bahwa 1 = 2 = − 2 . Jadi persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama. c. Jika < 0, √ bukan merupakan bilangan nyata, melainkan bilangan khayal. Jadi persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar riil. Dapat disimpulkan bahwa persamaan 2 + + = 0 dengan , , bilangan riil dengan ≠ 0 mempunyai atau tidak mempunyai akar-akar sebagai berikut. = 2 − 4 > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berlainan. = 2 − 4 = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama. = 2 − 4 < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil. Contoh: Tunjukkan bahwa 5 2 + − ( + 6) = 0 selalu mempunyai dua akar riil yang berbeda untuk setiap m! Alternatif penyelesaian: Karena selalu mempunyai dua akar riil yang berbeda untuk setiap m, maka harus memenuhi syarat > 0. = 2 − 4 = 2 − 4(5)(−( + 6)) = 2 + 20 + 120 = ( + 10) 2 + 20 ( + 10) 2 + 20 merupakan bentuk bilangan positif. Jadi, > 0. Kerjakan soal-soal berikut dengan benar! 1. Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut! a. 2 + 8 − 5 = 0 b. 3 2 − 2 + 4 = 0 2. Tunjukkan bahwa persamaan 2 − (3 + 2) + (3 − 5) = 0 selalu mempunyai dua akar riil yang berbeda untuk setiap p! Latihan 4
c. 4 2 − 12 + 9 = 0 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 3. Tunjukkan bahwa persamaan 2 − 4 + 4 = 0 dengan ≠ 0 selalu mempunyai akar riil yang sama untuk setiap r! Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 4. Tunjukkan bahwa persamaan 2 2 + ( + 7) + (2 + 8) = 0 tidak mempunyai akar-akar riil untuk setiap m! Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 3. Jumlah dan hasil kaliakar-akar persamaan kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat 2 + + = 0 adalah 1 = −+√ 2 dan 2 = −−√ 2 , dengan = 2 − 4. Dari 1 dan 2 diatas akan dicari jumlah dan hasil kali 1 dan 2. a. 1 + 2 = −+√ 2 + −−√ 2 = −+√−−√ 2 = −2 2 = − b. 1. 2 = −+√ 2 . −−√ 2 = (−+√)(−−√) 42 = 2− 42 = 2−( 2−4) 42 = 2− 2+4 42 = 4 42 = Tanpa menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, jumlah dan hasil kali kar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus berikut. Contoh: Salah satu persamaan kuadrat 2 + ( − 5) − 10 = 0 adalah tujuh lebihnya dari kar lain. Tentukan nilai p! Alternatif penyelesaian: 2 + ( − 5) − 10 = 0; = 1, = − 5, = −10 Akar-akar persamaan kuadrat itu 1 dan 2 dengan 1 = 2 + 7 1. 2 = (2 + 7). 2 = −10 1 ⇔ 2 2 + 72 = −10 2 2 + 72 + 10 = 0 1 + 2 = − dan 1. 2 =
(2 + 5)(2 + 2) = 0 2 = −5 atau 2 = −2 Untuk 2 = −5 ⇒ 1 = −5 + 7 = 2 1 + 2 = − 2 + (−5) = − ( − 5) 1 −3 = − + 5 = 8 Untuk 2 = −2 ⇒ 1 = −2 + 7 = 5 1 + 2 = − 5 + (−2) = − ( − 5) 1 3 = − + 5 = 2 Jadi, nilai p adalah 8 dan 2 Kerjakan soal-soal berikut dengan benar! 1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berikut! a. 2 + 5 − 9 = 0 b. 2 − 2 − 8 = 0 c. 5 2 + 2 − 10 = 0 d. 2 2 − 3 + 6 = 0 Jawab: ………………………......…………………………………..…………………... …………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………... 2. Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 2 2 + ( − 5) + 6 = 0 adalah 1. Tentukan nilai m! Jawab: ………………………......…………………………………..…………………... …………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………... 3. Salah satu akar dari 2 + 4 + (2 + 1) = 0 adalah delapan kurangnya dari tiga kali akar yang lain. Tentukan nilai k! Jawab: ………………………......…………………………………..…………………... …………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………... Latihan 5
4. Menyusun persamaan kuadrat a. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya 1) Menggunakan perkalian faktor Jika akar-akar persamaan kuadrat 2 + + = 0 adalah 1 dan 2, 2 + + = 0 ekuivalen dengan ( − 1)( − 2 ) = 0. Jadi, jika akarakar persamaan kuadrat adalah 1 dan 2, persamaan kuadratnya dapat ditentukan dengan ( − 1)( − 2 ) = 0. 2) Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar Diatas dijelaskan bahwa 2 + + = 0 ⇔ 2 + + = 0 ⇔ ( − 1)( − 2 ) = 0. Bentuk ( − 1)( − 2 ) = 0 dapat dijabarkan menjadi 2 − ( + 1) + 1. 2 = 0. Jadi, jika akar-akar persamaan kuadrat adalah 1 dan 2, persamaan kuadratnya dapat ditentukan dengan 2 − (1 + 2 ) + 1. 2 = 0 Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya −7 3! Alternatif penyelesaian: Cara 1: Menggunakan perkalian faktor ( − 1)( − 2 ) = 0 ( − (−7))( − 3) = 0 ( + 7)( − 3) = 0 2 − 3 + 7 − 21 = 0 2 + 4 − 21 = 0 Cara 2: Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar. 2 − (1 + 2 ) + 1. 2 = 0 2 − (−7 + 3) + (−7).3 = 0 2 + 4 − 21 = 0 Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut! 1. 3 5 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 2. −6 − 2 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 3. −√7 3√7 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. 4. −5 + 3√2 − 5 − 3√2 Jawab: ………………………...... ………………………………….. ………………………………….. Latihan 6
b. Menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui mempunyai gubungan dengan persamaan kuadrat lain Suatu persamaan kuadrat dapat disusun apabila akar-akarnya diketahui. Demikian pula persamaan kuadrat yang baru dapat disusun berdasarkan hubungan antara akar-akarnya dengan persamaan kuadrat yang lain. Cara menentukan persamaan kuadrat baru jika diketahui hubungan akar-akarnya dengan suatu persamaan kuadrat adalah dengan menentukan akar-akar persamaan kuadratnya menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Contoh: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kuranganya dari 2 kali akar-akar persamaan kuadrat 2 + 3 − 2 = 0! Alternatif penyelesaian: Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 2 + 3 − 2 = 0 adalah . + = − = − 3 1 = −3 dan . = = −2 1 = −2 Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah 1 2, maka: 1 = 2 − 3 dan 2 = 2 − 3 1 + 2 = 2 − 3 + 2 − 3 = 2( + ) − 6 = 2(−3) − 6 = −6 − 6 = −12 1. 2 = (2 − 3)(2 − 3) = 4 − 6( + ) + 9 = 4(−2) − 6(−3) + 9 = −8 + 18 + 9 = 19 Persamaan kuadrat baru tersebut adalah 2 − (1 + 2 ) + 1. 2 = 0 2 − (−12) + 19 = 0 2 + 12 + 19 = 0 Kerjakan soal-soal berikut dengan benar! 1. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 2 2 − 4 − 5 = 0 adalah . Tentukan persamaan kuadratyang akar-akarnya: a. + 2 + 2 b. − 5 − 5 c. 1 3 1 3 d. 4 + 1 4 + 1 Latihan 7
Jawab:………………………......…………………………………..…… ……………...…………………………………………………………… ……………………...…………………………………………………… 2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 kuranganya dari akarakar persamaan kuadrat 2 2 − − 8 = 0! Jawab:………………………......…………………………………..…… ……………...…………………………………………………………… ……………………...…………………………………………………… 3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkebalikan dengan akarakar persamaan 3 2 − 7 + 2 = 0! Jawab:………………………......…………………………………..…… ……………...…………………………………………………………… ……………………...…………………………………………………… 5. Menyelesaikan masalah dengan persamaan kuadrat Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang menerapkan persamaan kuadrat. Secara umum, langkah-langkah memecahkan masalah yang berhubungan dengan persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. a. Menyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variable (dilambangkan dengan huruf-huruf) untuk mendapatkan hubungan atau ekspresi matematikanya. b. Merumuskan persamaan kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah. c. Menentukan penyelesaian dari model matematika yang diperoleh pada langkah b. d. Menafsirkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah c terhadap masalah semula. Contoh: Tinggi sebuah segitiga adalah 8 lebihnya dari alas. Jika luas segitiga itu 120 2 , hitunglah panjang alas dan tinggi segitiga tersebut! Alternatif penyelesaian: Misalkan alas segitiga = Tinggi segitiga = + 8 Luas = 120 2 1 2 . . ( + 8) = 120 2 + 8 = 240 2 + 8 − 240 = 0 ( + 20)( − 12) = 0 Karena menyatakan ukuran, maka = 12. = 12 ⇒ + 8 = 12 + 8 = 20
Jadi, panjang alas 12 cm dan tingginya 20 cm. Kerjakan soal-soal berikut dengan benar! 1. Dio akan memilih dua nomor dengan ketentuan selisihnya 3 dan hasil kalinya 238. Nomor berapakah yang dipilih? Jawab:………………………......…………………………………..…… ……………...…………………………………………………………… ……………………...…………………………………………………… 2. Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan 15 cm. jika selisih panjang kedua sisi tegaknya sama dengan 3 cm, tentukan luas segitiga tersebut! Jawab:………………………......…………………………………..…… ……………...…………………………………………………………… ……………………...…………………………………………………… 3. Disekeliling suatu kebun yang berbentuk persegi panjang dengan panjang 30 m dan lebar 24 m akan dibuat suatu jalan. Jika pemilik kebun hanya mampu membuat jalan seluas 200 2 , tentukan lebar jalan yang direncanakan! Jawab:………………………......…………………………………..…… ……………...…………………………………………………………… ……………………...…………………………………………………… Latihan 8