Simple การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย Harmonic Motion ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
ก คำ นำ หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic Motion) เล่มนี้ จัดทำ ขึ้นเพื่อให้ผู้อ่านทุกท่านได้ศึกษา เกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic Motion) ซึ่งเนื้อหาข้อมูลที่ศึกษาจะประกอบด้วย ลักษณะการเคลื่อนที่แบบ ฮาร์มอนิกอย่างง่ายและปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบ ฮาร์มอนิกอย่างง่าย หวังว่าหนังสือเล่มนี้จะมีประโยชน์ต่อผู้อ่านทุกท่าน หากมีข้อผิดพลาด ประการใดขออภัยไว้ ณ ที่นี้ คณะผู้จัดทำ นางสาวซีตีมารีแย เมาะแล และคณะ
สารบัญ ข การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย 1 ลักษณะการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย 3 ตัวอย่างที่ 1 6 ปริมริาณที่เที่กี่ยกี่วข้อข้งกับกัการเคลื่อลื่นที่แที่บบฮาร์มร์อนิกนิอย่าย่งง่าง่ย 7 การกระจัดของการเคลื่อนที่ แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย 8 ตัวอย่างที่ 2 9 ความเร็วและความเร่งของการเคลื่อนที่ แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย 11 ตัวอย่างที่ 3 12 อ้างอิง 14 เรื่อง หน้า น้
Simple Harmonic Motion การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย 1
การโคจรของดาวเทียมรอบโลก การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาโบราณ การสั่นของแผ่นไดอะแฟรม ลำ โพง การสั่นของสายกีตาร์ การสั่นของมวล ติดปลายสปริง สถานการณ์เณ์หล่านี้เป็นการเคลื่อนที่เป็นคาบ โดยวัตถุจะ เคลื่อนที่ตามเส้นทางเดิมกลับมาที่เริ่มต้น ซ้ำ แล้วซ้ำ อีก โดยเวลาที่ใช้ในการ เคลื่อนที่ครบรอบมีค่าคงตัว การโคจรของดาวเทียมรอบโลก การสั่นของมวลติดปลายสปริง การเคลื่อนที่ข้างต้น เป็นการเคลื่อนที่เป็นคาบเหมือนกัน โดยดาวเทียมจะ เคลื่อนที่วนกลับมาที่ตำ แหน่งเดิม ส่วนมวลติดสปริงเคลื่อนที่กลับไปกลับมา ผ่านตำ แหน่งกึ่งกลาง เรียกการเคลื่อนที่นี้ว่า การสั่น (vibration) หรือ การแกว่งกวัด (oscillation) ทั้งสองคำ นี้หมายถึงการเคลื่อนที่เดียวกัน เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (simple harmonic motion) การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย Simple Harmonic Motion 2
ก. รถทดลองติดปลายสปริงและอยู่ที่ตำ แหน่งสมดุล X ข. ตำ แหน่งรถทดลองที่เวลา t = t ลักษณะการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย รถทดลองติดปลายสปริงวางอยู่บนพื้น ล้อของรถทดลองหมุนคล่อง ซึ่งประมาณได้ว่า แรงเสียดทานไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ของรถทดลอง ให้ตำ แหน่ง x รถทดลองอยู่นิ่ง สปริงไม่ยืดตัวและไม่หดตัว เรียกตำ แหน่งนี้ว่า ตำ แหน่งสมดุล (equilibrium position) ดังรูป ก. ดึงรถทดลองให้เคลื่อนที่ออกจากตำ แหน่งสมดุลไปทางขวาที่ตำ แหน่ง x ดังรูป ข. และให้ตำ แหน่งนี้เป็นตำ แหน่งเริ่มต้นที่ เวลา t = t 0 0 1 0 0 3
ค. ตำ แหน่งรถทดลองที่เวลา t = t ง. ตำ แหน่งรถทดลองที่เวลา t = t ลักษณะการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ปล่อยมือให้รถทดลองเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งไปทางซ้าย ผ่านตำ แหน่ง สมดุล โดยขณะผ่านตำ แหน่งสมดุล รถทดลองมีอัตราเร็วสูงสุดจนกระทั่ง ที่เวลา t = t รถทดลองมีอัตราเร็วเป็นศูนย์ที่่ตำ แหน่ง x และกำ ลังจะ เคลื่อนที่กลับมาทางด้านขวา ดังรูป ค. รถทดลองเคลื่อนที่กลับมายังตำ แหน่งเริ่มต้นที่เวลา t = t ซึ่งเป็นการ เคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ ดังรูป ง. 1 2 1 2 2 4
เวลาที่รถทดลองใช้ในการเคลื่อนที่จากตำ แหน่งเริ่มต้นจนกลับมา ถึงตำ แหน่งเดิมเป็นเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ เรียกว่า คาบ (period) แทนด้วย T ซึ่งพิจารณา ความถี่ (frequency) ของการ เคลื่อนที่ได้จาก f = 1/T ขณะรถทดลองอยู่ที่ตำ แหน่งใด ๆ x = x สามารถบอกการกระจัดของ รถทดลองอ้างอิงกับตำ แหน่งสมดุล (x = x = 0) โดยเขียนเวกเตอร์ บอกตำ แหน่ง (position vector) ในหนึ่งมิติที่มีทิศทางจากตำ แหน่ง สมดุลไปยังตำ แหน่งของรถทดลองขณะนั้น ๆ เรียกเวกเตอร์นี้ว่า การกระจัด (displacement) ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย แทนด้วย x จากรูป ข. และ ค. ข้างต้น ที่ตำ แหน่ง x และ x เป็นตำ แหน่งที่รถ ทดลองอยู่ห่างจากตำ แหน่งสมดุลมากที่สุดหรือมีขนาดการกระจัดมาก ที่สุด เรียกขนาดการกระจัดสูงสุดนี้ว่า แอมพลิจูด (amplitude) แทน ด้วย A การเคลื่อนที่ของรถทดลองติดปลายสปริงที่กล่าวมาในข้างต้น เป็นการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาซ้ำ รอยเดิมผ่านตำ แหน่งสมดุล โดยมี แอมพลิจูดและคาบคงตัว เรียกการเคลื่อนที่นี้ว่า การเคลื่อนที่แบบ ฮาร์มอนิกอย่างง่าย ลักษณะการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย i 0 _ 1 2 5
ตัวอย่าง 1.1 วัตถุชิ้นหนึ่งติดที่ปลายสปริง มีตำ แหน่งสมดุลที่ x = 0 ดึงวัตถุไปที่ตำ แหน่ง x = 0.1 m จากตำ แหน่งสมดุล แล้วปล่อยวัตถุ พร้อมเริ่มจับเวลา พบว่าวัตถุเคลื่อนที่กลับ มาที่ตำ แหน่ง x = 0.1 m อีกครั้ง ใช้เวลา t = 2.2 s จงหา ก. แอมพลิจูด ข. คาบ ค. ความถี่ แนวคิด แอมพลิจูด (A) เป็นขนาดการกระจัดที่มากที่สุดและมีค่าเป็น บวก มีหน่วย เมตร คาบ (T) เป็นเวลาที่วัตถุใช้ในการ เคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ มีหน่วย วินาที และ ความถี่ (f) เป็น จำ นวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วย ต่อวินาที หรือเฮิรตซ์ วิธีทำ ก. วัตถุมีขนาดการกระจัดที่มากที่สุด 0.1 m จากตำ แหน่งสมดุล ดังนั้นแอมพลิจูดเท่ากับ 0.1 m ข. วัตถุใช้เวลา 2.2 s ในการเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ ดังนั้นคาบเท่ากับ 2.2 s ค. วัตถุเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบใช้เวลา 2.2 s ดังนั้น ความถี่ = 1/2.2 s = 0.45 s = 0.45 Hz ตอบ ก. แอมพลิจูดเท่ากับ 0.1 เมตร ข. คาบเท่ากับ 2.2 วินาที ค. ความถี่เท่ากับ 0.45 เฮิรตซ์ ตัวอย่างที่ 1 -1 6
ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบ ฮาร์มอนิกอย่างง่าย แผ่นกลมรัศมี A มีหมุดทรงกระบอกติดอยู่ที่ขอบกำ ลังหมุนด้วย อัตราเร็วเชิงมุม ω ทำ ให้หมุดทรงกระบอกเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี A ด้วยอัตราเร็วเชิงมุม ω เช่นเดียวกับแผ่นกลม แผงโคมไฟฉายแสง ในแนวดิ่งทำ ให้เกิดเงาบนฉากด้านล่าง พิจารณาหมุดทรงกระบอกเคลื่อนที่จาก a ซึ่งเป็นตำ แหน่งเริ่มต้น ไป b ไป c … และกลับมาที่ a ทำ ให้เกิดเงาของหมุดบนฉากด้านล่างใน แนวระดับ โดยเงาเคลื่อนที่กลับไปกลับมาในแนวตรงจาก a' ไป b' ไป c'... และกลับมาที่ a' ตามลำ ดับ ดังรูป จ. จะพบว่าเงามีการเคลื่อนที่กลับ ไปกลับมาซ้ำ รอยเดิม มีคาบและ แอมพลิจูดคงตัว ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่ แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย โดยมี ตำ แหน่ง a' หรือ e' เป็นตำ แหน่งสมดุล จะสามารถหาการกระจัด ความเร็ว และ ความเร่งของวัตถุเป็นฟังก์ชันกับเวลา ได้ดังนี้ รูป จ. เงาของหมุดที่ตำ แหน่งต่าง ๆ 7
ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย การกระจัดของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย พิจารณาการเคลื่อนที่ของหมุดทรงกระบอก เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว ω เมื่อเวลาใด ๆ (t) แผ่นกลมหมุนไปเป็นมุม θ เงาของหมุดมีการเคลื่อนที่จากตำ แหน่งเริ่มต้น x = 0 ไปยังตำ แหน่งใด ๆ (x ) ดังรูป ฉ. เงาจะ เคลื่อนที่ด้วยความถี่เชิงมุมเท่ากับอัตราเร็ว เชิงมุมของหมุด ω การกระจัดของเงา เท่ากับ x = A sin θ จาก θ = ωt จะได้ x = A sin ωt การกระจัดมีทิศทางไปทางขวา รูป ฉ. เปรียบเทียบตำ แหน่งของ หมุด กับการกระจัดของเงา กรณีทั่วไป ตำ แหน่งเริ่มต้น (t = 0) หมุด ทรงกระบอกเคลื่อนที่จากจุด a ไปแล้วเป็นมุม Φ เงาของหมุดไม่ได้อยู่ที่ตำ แหน่งสมดุล (x = 0) เรียกมุม Φ ว่า เฟสเริ่มต้นของเงา เมื่อเวลา ผ่านไป t หมุดเคลื่อนที่ต่อไปจนเป็นมุม Φ + ωt ซึ่งเรียกว่า มุมเฟส (phase angle) ของเงา ขณะนั้น ดังสมการ θ(t) = Φ + ωt เขียนสมการความสัมพันธ์การกระจัดของ เงาที่ขึ้นกับเวลา ในรูปทั่วไปได้เป็น x = A sin (Φ + ωt) รูป ช. ตำ แหน่งหมุดทรงกระบอก ที่เวลา t = 0 เฟสเริ่มต้นเท่ากับ θ และที่เวลา t ใด ๆ มุมเฟสเท่ากับ Φ + ωt i 8
ตัวอย่าง 2.1 จงเขียนสมการการกระจัดที่ขึ้นกับเวลาของรถทดลองติด ปลายสปริงที่เคลื่อนที่ แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายมีตำ แหน่ง เริ่มต้นที่เวลาต่างกันในตาราง กำ หนดให้ ความถี่เชิงมุม เท่ากับ ω แอมพลิจูดเท่ากับ A แนวคิด หาเฟสเริ่มต้น ด้วยการแทนค่า t = 0 และการกระจัดที่เวลา เริ่มต้นในสมการ x = A sin (Φ + ωt) จะได้ค่า Φ ที่เวลา เริ่มต้น วิธีทำ ก. จากตาราง เมื่อ t = 0 การกระจัดที่เวลาเริ่มต้น มีค่าเท่ากับ x = 0 จะได้ 0 = A sin (ω(0) + Φ) 0 = sin (Φ) จาก sin(0) = 0 จะได้ว่า Φ = 0 ข. จากตาราง เมื่อ t = 0 การกระจัดที่เวลาเริ่มต้นมีค่าเท่ากับ x = A จะได้ A = A sin (ω(0) + Φ 1 = sin (Φ) จาก sin(π/2) = 1 จะได้ว่า Φ = π/2 เขียนสมการการกระจัดได้เป็น x = A sin (ωt + π/2) ตอบ ก. เฟสเริ่มต้น Φ = 0 สมการการกระจัด x = A sin (ωt) ข. เฟสเริ่มริ่ต้นต้ Φ = π/2 สมการการกระจัดจัx = A sin (ωt+π/2) ตัวอย่างที่ 2 9
ตัวอย่าง 2.2 อนุภาคหนึ่งมีการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีการกระจัดเป็น x = (0.10 m) sin (πt) ก. จากสมการในโจทย์ จงระบุ มุมเฟส เฟสเริ่มต้น ความถี่ เชิงมุม และแอมพลิจูด ข. ที่เวลา t = 1.0 วินาที มุมเฟสและการกระจัดของ อนุภาคมีค่าเท่าใด แนวคิด สมการการกระจัดของอนุภาค x = A sin (ωt+Φ) มี A เป็น แอมพลิจูด ω เป็นความถี่เชิงมุม ωt + Φ เป็นมุมเฟส และ Φ เป็นเฟสเริ่มต้น เมื่อแทนค่าปริมาณต่าง ๆ ในสมการ การกระจัด จะหาค่าของ x ซึ่งเป็นการกระจัดของอนุภาคได้ วิธีทำ ก. เปรียบเทียบสมการ x = (0.10 m) sin (πt) กับ x = A sin (ωt + Φ) จะได้ มุมเฟส πt , เฟสเริ่มต้น 0 , ความถี่เชิงมุม π rad/s , แอมพลิจูด 0.10 m ข. ที่เวลา t = 1.0 s มุมเฟส = (π rad s )(1.0 s) = π rad การกระจัดของอนุภาค x = (0.10 m) sin (πt) = (0.10 m) sin (πt) = 0 ตอบ ก. πt เรเดียน , 0 , π เรเดียนต่อวินาที และ 0.1 เมตร ตามลำ ดับ ข. มุมเฟสและการกระจัดของอนุภาคมีค่า π เรเดียน และ 0 ตามลำ ดับ ตัวอย่างที่ 2 -1 10
ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ความเร็วและความเร่งของการเคลื่อนที่แบบ ฮาร์มอนิกอย่างง่าย ความเร่งของเงาหาได้จากความเร่งในแนว ระดับของหมุด โดยที่ขนาดความเร่งของเงา เท่ากับขนาดความเร่งในแนวระดับของหมุดแต่ มีทิศตรงข้ามกับการกระจัด ดังรูป ฌ. ความเร่ง ของเงาหาได้จาก a = -a sin θ จาก θ = ωt + Φ และ a = Aω จะได้ a = - Aω sin (ωt + Φ) รูป ซ. เปรียบเทียบความเร็วของ หมุดกับความเร็วของเงา ความเร็วของเงาหาได้จากองค์ประกอบ ความเร็วของวัตถุที่กำ ลังเคลื่อนที่แบบวงกลม ด้วยอัตราเร็ว v ได้ ดังรูป ซ. ขณะเวลาใด ๆ (t) ความเร็วของเงาเท่ากับความเร็วตามแนวระดับ ของหมุด หาได้จาก v = v cos θ จาก θ = ωt + Φ และ v = Aω จะได้ v = Aω cos (ωt + Φ) รูป ฌ. เปรียบเทียบความเร่งของ หมุดกับความเร่งของเงา 0 0 0 c c 2 2 11
ตัวอย่าง 3.1 จากตัวอย่าง 2.2 อนุภาคมีการกระจัดเป็น x = (0.10 m) sin (πt) สมการความเร็วของอนุภาคเป็นอย่างไร และที่ เวลา t = 1.0 วินาที ความเร็วของอนุภาคมีค่าเท่าใด แนวคิด วัตถุที่มีการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีความเร็ว ดังสมการ v = Aω cos (ωt+Φ) เมื่อแทนค่าปริมาณต่าง ๆ ในสมการความเร็ว จะหาค่าของ v ซึ่งเป็นความเร็วของอนุภาค ที่เวลาต่าง ๆ ได้ วิธีทำ อนุภาคมีแอมพลิจูด A = (0.10 m) ความถี่เชิงมุม ω = π s และเฟสเริ่มต้น Φ = 0 แทนปริมาณเหล่านี้ใน v = Aω cos (ωt+Φ) จะได้ v = (0.10 m)(πs ) cos (πt) (0.10 π) cos (πt) ms ที่เวลา t = 1.0 s จะได้ v = (0.10 π ms ) cos (πs )(1.0 s) = (0.10 π ms ) cos (π) = (0.10 π ms ) cos (-1) = -0.10 π ms ตอบ สมการความเร็ว v = (0.10 π) cos (πt) เมตรต่อวินาที และความเร็วที่เวลา t = 1.0 วินาที เท่ากับ -0.10 π เมตรต่อวินาที ตัวอย่างที่ 3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 12
ตัวอย่าง 3.2 วัตถุเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีความถี่ 2 รอบต่อ วินาที ณ ตำ แหน่งที่มีการกระจัด 7 เซนติเมตร วัตถุจะมี ความเร่งเท่าใด แนวคิด ความเร่งของวัตถุที่กำ ลังเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ณ ตำ แหน่งใด ๆ หาได้จากสมการ a = -ω x วิธีทำ หาความเร่งของวัตถุได้จาก a = -ω x = -(2πf) x = -(4)(3.1416) (4 s )(7*10 m) = -11 m/s ตอบ วัตถุมีขนาดความเร่งเท่ากับ 11 เมตรต่อวินาที ตัวอย่างที่ 3 2 2 2 2 -2 2 2 2 13
14 อ้างอิง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวง ศึกษาธิการ. (2560). การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย. เข้าถึงเมื่อ 26 กุมภาพันธ์ 2566 จาก https://bit.ly/3yPulYS สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวง ศึกษาธิการ. (2562). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมฟิสิกส์ เล่ม 3. (พิมพ์ครั้งที่ 3) กรุงเทพ : สำ นักพิมพ์จุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลัย
คณะผู้จัดทำ นางสาวนูรเกาซัร ดอเลาะ นางสาวซีตีมารีแย เมาะแล นางสาวมาเรียม สมาแอ นางสาวอัชฮานี ชุมสาแหละ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฎสงขลา