Lagrangian

BAHAN AJAR
LAGRANGIAN

TIM PENYUSUN

Ida Romauli Saragih (210210102024)

Jalis Syarifah (210210102065)

Ria Arista (210210102069)

Wanda Febrianty (210210102078)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2022

KATA PENGANTAR
Kami ucapkan Alhamdulilah, Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat serta hidayah dan inayahNya. Sehingga kami dapat menyelesaikan
bahan ajar Mata Kuliah Mekanika yang berjudul “Lagrangian”.
Terimakasih kami ucapkan kepada Bapak Drs. Bambang Supriadi, M.Sc dan Ibu
Lailatul Nuraini, S.Pd., M.Pd selaku dosen pengampu mata kuliah Mekanika, yang telah
memberikan kami tugas ini sehingga dapat menambah pengetahuan dan wawasan tentang
mata kuliah Mekanika. Kami juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu kami dan membagi sebagian pengetahuannya sehingga kami dapat menyelasaikan
tugas bahan ajar ini.
Kami menyadari bahwa bahan ajar yang kami tulis ini masih banyak kekurangan dan
jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kami menantikan kritik dan saran yang membangun
demi kesempurnaan dari bahan ajar ini.

Jember, 30 November 2022

Penulis

i

DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR............................................................................................... i
DAFTAR ISI............................................................................................................. ii
PENDAHULUAN

Apa Itu Lagrangian?...................................................................................... .... 1
PEMBAHASAN

Koordinat Umum.............................................................................................. 2
Gaya Umum...................................................................................................... 3
Persamaan Lagrangian...................................................................................... 4
PENUTUP
Kesimpulan...................................................................................................... 14
Saran................................................................................................................ 14
DAFTAR PUSTAKA............................................................................................... 15

ii

APA SIH LAGRANGIAN ITU?

Salah satu pendekatan untuk mengatasi masalah optimisasi terkendal adalah metode
pengali Lagrangian. Metode pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange
(1736-1813). Metode ini direalisasikan dengan mentransformasikan masalah optimisasi
terkendala menjadi masalah optimisasi tak terkendala Selain itu, metode ini juga dapat
menyelesaikan masalah yang mengandung persamaan atau pertidaksamaan pada fungsi
tujuan atau fungsi kendala. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menganalisis karakteristik
metode pengali Lagrangian dalam menyelesaikan masalah optimisasi terkendala.

Metode Lagrangian adalah Metode Pengukuran Arus dengan mengamati pergerakan
arus permukaan dari satu titik ke titik berikutnya dalam rentang waktu yang ditentukan.
Metode Langrang digunakan untuk mengoptimalkan fungsi dengan batasan kesamaan:
Minimum ( , , ) atau maksimum ( , , ) terbatas , , = , di mana , , adalah
variabel, dan adalah konstanta. Berikut adalah langkah-langkah untuk mengoptimalkan
fungsi menggunakan metode tersebut. Metode Langrang digunakan untuk mengoptimalkan
fungsi dengan batasan kesamaan: Minimum ( , , ) atau maksimum ( , , ) terbatas , ,
= , di mana , , adalah variabel, dan adalah konstanta.

Pada bab Lagrangian ini kita akan mempelajari beberapa sub-bab yakni koordinat
umum dan konstrain Lagrange, gaya umum Lagrange, dan persamaan Lagrange gerak
partikel tunggal.

1

1. Koordinat Umum

Posisi partikel di dalam ruang dapat ditentukan melalui 3 koordinat. Dimana

koordinat tersebut dapat berupa kartesan, bola atau silinder. Jika benda bergerak dalam

bidang, maka derajat kebebasannya ada 2, jika benda bergerak dalam ruang 3 dimensi, maka

derajat kebebasannya ada 3. Untuk kasus N partikel, maka kita membutuhkan 3N koordinat

untuk menentukan posisi dari seluruh partikel tersebut. Jika terdapat kendala dalam sistem,

maka jumlah koordinatnya < 3N. Misalnya untuk benda tegar, maka yang dibutuhkan adalah

posisi pusat massa dan orientasi bendanya. Jadi hanya 6 koordinat saja.

Misalnya koordinat diberi simbol sebagai koordinat umum. Koordinat

bisa berupa jarak atau sudut. Jika untuk menentukan sebuah sistem, sebuah koordinat dapat

bebas maka sistem tersebut disebut sistem holonomik dan sebaliknya disebut nonholonomik.

Jika sistem berupa partikel, maka koordinat kasrtesan dapat dinyatakan dalam koordinat

umum

x= x( q) → 1 derajat kebebasan

x=x ( ) → 2 derajat kebebasan

y= y ( ) → 2 derajat kebebasan

x=x ( ) → 3 derajat kebebasan

y= y ( ) → 3 derajat kebebasan

z=z ( ) → 3 derajat kebebasan

Jika q berubah dari nilai awal ( ) ke nilai tetangga ( ) maka

perubahan tersebut kaitannya dengan koordinat kartesan







Untuk gerak partikel di dalam bidang, misal dipilih koordinat polar maka dan
sehingga,

( )
( )





2

Jika sistem terdiri atas banyak partikel dengan n derajat kebebasan, koordinat umumnya

dinyatakan oleh sehingga perubahan konfigurasi dari ke

) menyebabkan perubahan dalam koordinat kartesan


∑


∑


∑

2. Gaya Umum

a. Partikel Tunggal

Tinjau gaya F yang bekerja pada partikel tunggal bermassa m sehingga menyebabkan

perpindahan . Kerja yang dilakukan oleh gaya F terhadap partikel adalah:

7.6)

dengan , , dan adalah komponen dari F. Perpindahan , , dan dapat

diekspresikan dalam suku-suku koordinat umum . Dengan menggunakan persamaan (7.4)

dan (7.6) dapat diperoleh bahwa:

∑( )∑ 7.7)

dengan;

7.8)

disebut dengan gaya umum yang terkait dengan koordinat umum . Dimensi dari

tergantung dari dimensi . Dimensi dari adalah sama dengan dimensi dari kerja. Jika

memiliki dimensi jarak, maka akan memiliki dimensi gaya; jika memiliki

dimensi sudut, maka akan memiliki dimensi torka

b. Sistem Partikel

Tinjau sistem yang terdiri dari N partikel dan dikenai gaya ( ).

3

Untuk perpindahan , kerja total yang dilakukan adalah: 7.9)
∑∑ 7.10a)

Dengan menggunakan persamaan (7.5), diperoleh:

∑ *∑ ( )+

atau )+ 7.10b)
∑ *∑ (

dan dapat disederhanakan menjadi: 7.11)
∑ ) 7.12)

dengan:
∑(

disebut dengan gaya umum yang terkait dengan koordinat umum . ( ).
c. Sistem Konservatif

Tinjau gaya konservatif yang terkait dengan fungsi potensial
Komponen gaya yang dikerjakan pada benda dinyatakan dengan:

7.13)

Dengan menggunakan persamaan (7.13), pada persamaan (7.8) menjadi:


( )

Sehingga dapat dinyatakan dengan:

7.14)

Persamaan (7.14) menyatakan kaitan antara gaya umum dengan potensial dalam sistem
konservatif.

3. Persamaan Gerak Lagrange Gerak Pada Partikel Tunggal

Pada gerak sebuah partikel tunggal dapat digambarkan dengan menulis persamaan
dalam bentuk koordinat umum , , …… .

4

Memulai dengan ekspresi energi kinetik untuk memudahkan dalam menentukan persamaan
lagrange. Energi kinetik dari partikel dalam koordinat kartesian adalah:

( ̇ ̇ ̇ ) (7.15)

karena (7.16)
( , , …… ) ( ) (7.17)
dengan cara yang sama, dapat diperoleh:
( , , …… ) ( )
( , , …… ) ( )
̇ dalam suku-suku dapat diperoleh dengan prosedur berikut:

̇

̇ ̇ ̇ ̇

̇ ∑ ∑̇ (7.18)

Sehingga dapat dideskripsikan dari komponen kecepatan dalam suku-suku koordinat umum

dan kecepatan umum ̇ yaitu:

̇ ̇( ̇ ) ̇ ( ̇ ) ̇ ̇( ̇ ) (7.19)

Energi kinetik pada persamaan (7.15) dapat dinyatakan dengan:

̇ ( ̇ ) ̇ ( ̇ ) ̇ ( ̇ ) (7.20)

Deferensiasikan terhadap kecepatan umum; (7.21)
( ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ) (7.22)

̇ ̇ ̇̇

Dengan menggunakan persamaan (7.18), dapat dituliskan:

̇
̇

Perhatikan pada persamaan (7.18), adalah koefisien dari ̇ dalam ekspansi ̇

5

Berdasarkan persamaan (7.22), persamaan (7.21) dapat dinyatakan dengan:

( ̇ ̇ ̇ ) (7.23)

̇

Kedua ruas dideferensialkan terhadap , menghasilkan:

( ) ̈ ̈ ̈ + ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) (7.24)

̇

Sederhanakan tidak suku terakhir di ruas kanan, dengan suatu proses yang membuktikan

bahwa dan dapat saling ditukar. Diawali dengan suatu fungsi ;

( , , …… ) (7.25)

̇̇ ̇ (7.26)

misalkan , maka:

( )= ̇ ̇ ̇ (7.27)

Berdasarkan persamaan (7.18)

̇ ̇ ̇ ̇

atau ̇ ̇ (7.28)
̇̇

Dengan membandingkan persamaan (7.28) dengan persamaan (7.27), diperoleh:

() ̇ () (7.29a)

Jadi, operator dan dapat saling ditukar, dengan cara yang sama:

() ̇ dan ( ) ̇ (7.29b)

Jadi empat suku pada ruas kanan persamaan (7.24) dapat dinnyatakan dengan:

̇ ( ) ̇ ̇ ( ̇ ) (7.30a)

Dengan cara yang sama, pada :

̇ ( ) ̇ ( ̇ ) dan (7.30b)

6

̇ ( ) ̇ ̇ ( ̇ ) (7.30c)

perlu diingat, bahwa: ̈ (7.31)
̈ ̈

Kombinasikan persamaan (7.30) dan (7.31) dengan persamaan (7.24) diperoleh:

() ( ( ̇ ̇ ̇ )) (7.32)

̇

Dengan menggunakan fungsi definisi gaya umum dan energi kinetik pada persamaan (7.18)

dan (7.20), yaitu:

( ̇ ( ̇ ) ̇ ( ̇ ) ̇ ( ̇ ))

Dalam persamaan (7.32) diperoleh:

() (7.33)

̇

Persamaan differensial pada koordinat umum ini, menggambarkan gerak partikel dan disebut

dengan persamaan gerak Lagrange.

Persamaan Lagrange akan memiliki bentuk yang lebih sederhana jika geraknya dalam medan

konservatif sedemikian rupa sehingga:

(7.34)

Substitusikan persamaan (7.34) pada persamaan (7.33), menghasilkan:

() (7.35)

̇

Untuk Fungsi Lagrange sendiri L, sebagai beda antara energi kinetik dan energi potensial,

atau ( ̇ ) ( ) (7.36)

merupakan fungsi pada koordinat umum, bukan sebagai kecepatan umum, maka:

( ) dan ̇ (7.37)

7

Jika tidak bergantung pada kecepatan umum ̇ , maka ( ̇ ) akan terkait dengan

tensor gaya dan tidak dibahas disini. Jadi dapat dinyatakan bahwa:

̇̇ () ̇

()

dan substitusikan pada persamaan (7.35)

()

̇

( ̇) (7.38)

Persamaan (7.38) inilah merupakan persamaan Lagrange yang menggambarkan gerak

partikel dalam medan konservatif. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, maka harus

diketahui fungsi Lagrange dalam koordinat umumnya. Karena energi adalah kuantitas

skalar, sehingga Lagrangian juga fungsi skalar.

8

CONTOH SOAL

1. Massa bergerak dalam bidang xy dan dipengaruhi oleh suatu potensial berbentuk

( ) ( ) dengan adalah tetapan. Tentukan koordinat umum dan persamaan

lagrange nya!

Jawab : dan
Koordinat umum 

Energi kinetik = T = ( ̇ ̇ )

Energi potensial = V = ( ) ̇ ) ( )
Fungsi Lagrange = L = T – V = ( ̇

Maka persamaan lagrange nya adalah

( ̇ )

( ̇ ( ( ̇ ̇ ) ( ))) ( ( ̇ ̇ ) ( )

( ̇ ) ( )

( ̇)
̈

Dan
( ̇ )

( ̇ ( ( ̇ ̇ ) ( ))) ( ( ̇ ̇ ) ( )
( ̇ ) ( )

( ̇ )
̈

9

2. Tinjau partikel bermassa m yang bergerak dalam ruang. Dengan menggunakan koordinat

umum ( ), hitunglah gaya umum untuk partikel yang dikenai gaya !

Penyelesaian:
Diketahui:


Maka dapat digambarkan

z

z

θ y
r

x

)


(

( )

( )
Ditanya: Gaya umum=...?
Jawab:

()

10

3. Tinjau sebuah osilator harmonic 1 dimensi dan misalkan padanya bekerja sebuah gaya
peredam yang besarnya sebandiing dengan kecepatan. Sehinngga sistem dapat dianggap
sebagai sistem tidak konservatif. Tentukan persamaan gerak Lagrange!

Jawab :
Jika x menyatakan pergeseran koordinat,maka fungsi Lagrangiannya adalah

̇



̇

Dengan m adalah massa, dan k adalah tetapan kelenturan pegas.

( ̇)

̇ ̇ ( ̇ )

̇ ̇

( ̇ ) ̈

Kemudian, pada:

( ̇ )



Karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang harganya sebanding dengan

kecepatan, maka dalam hal ini ̇, sehingga persamaan gerak dapat ditulis :

̈ ̇ ( )

̈ ̇

Sehingga, persamaan gerak osilator harmonic satu dimensi dengan gaya oeredam adalah:
̈ ̇

11

4. Tinjaulah partikel bermassa m yang bergerak akibat pengaruh gaya sentral pada sebuah
bidang. Tentukan persamaan Lagrange pada gerak partikel tersebut!
Misalkan koordinat (r, ) sebagai koordinat umum. Koordinat Cartesian (r, ) Dihubungkan
melalui:


Energi kinetik partikel dapat ditulis:

(̇ ̇ )

Energi potensial oleh gaya sentral:



( )

Persamaan Lagrange untuk sistem ini, yakni:

(̇ ̇)
()

( ̇ ̇ )

Dari persamaan Lagrange, diperoleh:

( ̇)
Substitusi dan , diperoleh:

( ̇)

( ̇)
Dari kedua persamaan diatas, diperoleh:

( ̇) ̇)
( ̇ (̇ )

̇̇ ̇̈

Kemudian,

( (̇ ̇)
)

̇

Sehingga,

12

̈( ̇ )

̈ ̇

Untuk partikel yang bergerakdalam medan konservatif;
( )
()

Sehingga persamaannya menjadi;

̈ ̇

̈ ̇
̈ ̇

Kemudian pada;

( ̇) ̇)
̇ ̇( (̇ )

̇
̇

( ̇) ̇̇ ̈
̇̇ ̈

atau

( ̇)

Sehingga, dapat diidentifikasi sebagai momentum sudut yang besarnya konstan.
̇

Berdasarkan persamaan diatas, dapat dikatakan bahwa dalam medan konservatif
momentum sudut , merupakan tetapan gerak.

13

PENUTUP

Kesimpulan
Metode ini direalisasikan dengan mentransformasikan masalah optimisasi terkendala

menjadi masalah optimisasi tak terkendala Selain itu, metode ini juga dapat menyelesaikan
masalah yang mengandung persamaan atau pertidaksamaan pada fungsi tujuan atau fungsi
kendala. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menganalisis karakteristik metode pengali
Lagrangian dalam menyelesaikan masalah optimisasi terkendala.
Saran

Saran untuk kedepannya diperlukan pengembangan bahan ajar dengan materi yang
lebih lengkap dan desain yang lebih menarik.

14

DAFTAR PUSTAKA

Hadi, M. (2005, Juli 12). A Brief of Classical Mechanics. Retrieved November 28, 2022,
from fisikanet: http://www.fisikanet.lipi.go.id/

Nugroho. (2010, Februari 18). Keunggulan Pendekatan Penyelesaian Masalah Fisika melalui
Lagrangian dan atau Hamiltonian. Retrieved November 29, 2022, from Blog Fisika
UM: http://fisika.fmipa.um.ac.id/

Supeno. (2010). Mekanika. Jember: Jember University Press.
Sudarto., W.Patty., A.A, Tarumingkeng. (2013). Kondisi Arus Permukaan Diperairan Pantai :

Pengamatan Dengan Metode lagrangian. Jurnal Ilmu dan Teknologi Perikanan
Tangkap. 1(3)

15