เฉลยแบบฝึกทักษะ เรื่อง การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

เฉลยแบบฝึกทกั ษะ เร่ือง การแกส้ มการกำลังสองตวั แปรเดยี ว

ชอ่ื ........................................................................ ชั้น ...................... เลขที่ ...........................
ครผู ู้สอน ...................................................................................................................................

เฉลยแบบฝึกทกั ษะ เรอ่ื ง การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดยี ว

ชื่อ ........................................................................ ชน้ั ...................... เลขท่ี ...........................
ครูผู้สอน ...................................................................................................................................

ก

คำนำ

แบบฝึกทักษะรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ เรื่อง การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว จัดทำขึ้นเพื่อใช้
ประกอบการจดั กจิ กรรมการเรยี นร้เู พอื่ ใหน้ กั เรยี นฝึกทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ซ่ึงสอดคล้องกับหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560)
ระดับชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 3 รหสั วชิ า ค23101 ในการสร้างแบบฝึกทกั ษะเล่มนี้ มที ้ังหมด 2 ตอน ดงั นี้

ตอนที่ 1 เรอ่ื ง การแก้สมการกำลงั สองตัวแปรเดยี วโดยวธิ กี ารแยกตวั ประกอบ
ตอนท่ี 2 เรื่อง การแก้สมการกำลงั สองตัวแปรเดียวโดยการใช้สูตร
ในการจัดทำแบบฝึกทักษะรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง การแกส้ มการกำลงั สองตัวแปรเดยี ว สำหรับ
นกั เรยี นชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 ผูจ้ ดั ทำขอขอบคณุ ผู้เชีย่ วชาญทุกท่านที่ให้การอนุเคราะห์ตรวจสอบคุณภาพ พร้อม
ทงั้ ใหค้ ำแนะนำ ผู้จัดทำหวงั ว่าแบบฝกึ ทักษะฉบบั น้ีจะเปน็ ประโยชนต์ ่อการพัฒนานกั เรียนในการท่ีจะทำให้ผู้เรียน
บรรลตุ ามจุดมุ่งหมายของหลักสตู รต่อไป

ณิชาภทั ร สขุ ขวญั

สารบัญ ข

เรือ่ ง หน้า
ก
คำนำ ข
สารบญั 1
แบบทดสอบก่อนเรียน 3
การแกส้ มการกำลงั สองตวั แปรเดียว 3
7
การแก้สมการกำลงั สองตัวแปรเดียวโดยวธิ กี ารแยกตัวประกอบ 11
การแกส้ มการกำลังสองตวั แปรเดียวโดยการใชส้ ูตร 13
แบบทดสอบหลังเรยี น
บรรณานุกรม

1

แบบทดสอบก่อนเรียน

เรอ่ื ง การแก้สมการกำลงั สอง วิชาคณติ ศาสตร์พื้นฐาน ค23101 จำนวน 15 ขอ้

ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 3 คะแนนเตม็ 10 คะแนน เวลา 50 นาที

ตวั ช้วี ัด ค 1.3 ม.3/2 ประยกุ ตใ์ ชส้ มการกำลังสองตัวแปรเดียวในการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์

คำชแี้ จง : ให้นกั เรียนเลอื กคำตอบท่ีถูกท่สี ดุ และทำเครือ่ งหมาย X ลงบนกระดาษคำตอบ

จุดประสงค์ : แกส้ มการกำลงั สองตวั แปรเดียวด้วยวิธกี าร 8. ขอ้ ใดคือคำตอบของสมการ 3x2 − 5x − 2 = 0

แยกตวั ประกอบ (ขอ้ 1-10) ก. − 1 และ -2 ข. 1 และ -2
1. ขอ้ ใดคอื คำตอบของสมการ x2 −144 = 0
ก. -12 และ-12 3 3

ข. -12 และ 12 ค. − 1 และ 2 ง. 1 และ 2
ค. 12 และ 12 33
ง. ไมม่ จี ำนวนจรงิ ใดเปน็ คำตอบของสมการ
9. ขอ้ ใดคอื คำตอบของสมการ 2x2 + 6x + 4 = 0
2. ข้อใดคอื คำตอบของสมการ x2 − 25 = 0
ก. -5 และ -5 ก. -1 และ -2 ข. 1 และ -2
ข. -5 และ 5
ค. -1 และ 2 ง. 1 และ 2
ค. 5 และ 5
ง. ไมม่ จี ำนวนจรงิ ใดเปน็ คำตอบของสมการ 10. ข้อใดคอื คำตอบของสมการ 3x2 + 2x −8 = 0

ก. − 4 และ -2

3

ข. − 4 และ 2

3

3. ขอ้ ใดคือคำตอบของสมการ x2 − 6x + 5 = 0 ค. 4 และ -2

ก. -3 และ 2 ข. -2 และ 3 3

ค. -5 และ -1 ง. 1 และ 5 ง. 4 และ 2

4. ขอ้ ใดคือคำตอบของสมการ x2 + 7x +10 = 0 3

ก. -5 และ -2 ข. 5 และ 2 จุดประสงค์ : แก้สมการกำลงั สองตวั แปรเดยี วโดยการ
ใช้สตู ร(ข้อ 11-15)
ค. -10 และ -1 ง. 1 และ 10 11. ข้อใดคือคำตอบของสมการ 5x2 + 2x − 3 = 0

5. ขอ้ ใดคอื คำตอบของสมการ u2 + 7u +12 = 0 ก. − 3 และ -1

ก. -6 และ -2 ข. 2 และ 6 5

ค. -4 และ -3 ง. 4 และ 3 ข. 3 และ 1

6. ขอ้ ใดคอื คำตอบของสมการ 14 − 5m = m2 5

ก. -7 และ 2 ข. -2 และ 7 ค. 3 และ -1

ค. -14 และ -1 ง. -14 และ 1 5

7. ขอ้ ใดคือคำตอบของสมการ 2x2 − x −10 = 0 ง. ไม่มจี ำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ

ก. − 5 และ -2 ข. 5 และ -2

2 2

ค. − 5 และ 2 ง. 5 และ 2

2 2

2

12. ขอ้ ใดคอื คำตอบของสมการ 16y2 + 24y + 9 = 0 14. ขอ้ ใดคือคำตอบของสมการ x(2x + 7) −15 = 0

ก. 3 ก. − 3 และ -5 ข. − 3 และ 5

4 2 2

ข. − 3 ค. 3 และ -5 ง. 3 และ 5
22
4
15. ข้อใดคอื คำตอบของสมการ x2 + 3x + 7 = 0
ค. 3 และ 1
ก. -1 และ -7
4
ข. -1 และ 7
ง. ไม่มจี ำนวนจรงิ ใดเป็นคำตอบของสมการ
13. ขอ้ ใดคอื คำตอบของสมการ x2 = 4x −13 ค. 1 และ -7
ก. 13
ข. -13 ง. ไม่มจี ำนวนจริงใดเปน็ คำตอบของสมการ
ค. 13 และ 1
ง. ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ

3

การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

การแกส้ มการกำลงั สองตัวแปรเดยี วโดยวธิ ีการแยกตัวประกอบ
การแกส้ มการกำลงั สองตัวแปรเดียวโดยการใชส้ ูตร

จุดประสงค์การเรียนรู้
1. นักเรยี นสามารถแกส้ มการกำลงั สองโดยวธิ ีการแยกตัวประกอบ
2. นกั เรียนสามารถแกส้ มการกำลงั สองโดยการใช้สูตร

สมการกำลังสองตวั แปรเดียว (one-variable quadratic equation) มีรปู ท่ัวไปเป็น
ax2 + bx + c = 0 เมอื่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นค่างคงตวั โดยท่ี a  0

การแกส้ มการกำลงั สองตัวแปรเดยี ว

คำตอบของสมการ คือ จำนวนจริงท่ีแทนตวั แปรในสมการแล้วทำให้ได้สมการทเี่ ปน็ จริง
ซึ่งสมการกำลงั สองตวั แปรเดียวอาจมี 2 คำตอบ หรอื 1 คำตอบ หรืออาจไมม่ ีจำนวนจริงใดเป็น
คำตอบก็ได้

การแก้สมการกำลงั สองตัวแปรเดียวโดยวิธกี ารแยกตวั ประกอบ

“ถา้ m และ n เป็นจำนวนจรงิ และ mn = 0 แล้ว m = 0 หรือ n = 0”

ตัวอย่างท่ี 1 จงแกส้ มการ x2 −81= 0 ตรวจสอบคำตอบ
วธิ ีทำ x2 − 81 = 0 เมอ่ื แทน x ดว้ ย −9 ในสมการ x2 −81= 0
จะได้ (−9)2 − 81 = 0
(x + 9)(x − 9) = 0
81− 81 = 0
ดังนน้ั x + 9 = 0 หรอื x − 9 = 0
0 = 0 (เป็นจรงิ )
จะได้ x = −9 หรือ x=9

ตวั อยา่ งที่ 2 จงแกส้ มการ x2 + 5x − 36 = 0 4
วธิ ีทำ x2 + 5x − 36 = 0
ตรวจสอบคำตอบ
(x + 9)(x − 4) = 0 เมอ่ื แทน x ดว้ ย −9 ในสมการ x2 + 5x − 36 = 0
จะได้ (−9)2 + 5(−9) − 36 = 0
ดังน้นั x + 9 = 0 หรือ x − 4 = 0
จะได้ x = −9 หรอื x = 4 0 = 0 (เปน็ จริง)
ดงั นั้น คำตอบของสมการคือ −9 และ 4 เมอื่ แทน x ด้วย 4 ในสมการ x2 + 5x − 36 = 0
จะได้ (4)2 + 5(4) − 36 = 0

0 = 0 (เปน็ จรงิ )

จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้ โดยใช้วธิ กี ารแยกตวั ประกอบ

x2 −121 = 0

วธิ ีทำ (x +11)(x −11) = 0

ดงั นัน้ x +11= 0 หรือ x −11= 0

x = −11 หรือ x = 11

น่ันคอื คำตอบของสมการ x2 −121 = 0 คอื −11 หรือ 11

( y − 21)2 = 0

วิธีทำ (y − 21)2 = 0
ดงั นนั้ y − 21= 0

y = 21

นน่ั คือ คำตอบของสมการ (y − 21)2 = 0 คอื 21

5

จงแกส้ มการต่อไปน้ี โดยใชว้ ิธกี ารแยกตัวประกอบ

x2 + 9x + 20 = 0

วิธที ำ (x + 4)(x + 5) = 0

ดังน้นั x + 4 = 0 หรอื x + 5 = 0

x = −4 หรือ x = −5

นนั่ คอื คำตอบของสมการ x2 + 9x + 20 = 0 คอื −4 กบั −5

x2 + 2x − 24 = 0

วธิ ที ำ (x − 4)(x + 6) = 0
ดังนน้ั x − 4 = 0 หรือ x + 6 = 0
x = 4 หรือ x = −6
นั่นคอื คำตอบของสมการ x2 + 2x − 24 = 0 คือ −6 กับ 4

x2 −12x + 35 = 0

วธิ ีทำ (x − 7)(x − 5) = 0
ดังน้นั x − 7 = 0 หรือ x −5 = 0
x = 7 หรอื x = 5
นน่ั คือ คำตอบของสมการ x2 −12x + 35 = 0 คือ 7 กบั 5

6

จงแกส้ มการต่อไปนี้ โดยใช้วิธกี ารแยกตวั ประกอบ

p2 + 49 =14 p

วิธีทำ p2 −14p + 49 = 0

(p − 7)(p − 7) = 0

ดังนน้ั p − 7 = 0 หรือ p − 7 = 0
p = 7 หรอื p = 7

น่ันคอื คำตอบของสมการ p2 + 49 =14p คือ 7

x2 − 3x −10 = 0

วธิ ที ำ (x + 2)(x − 5) = 0

ดังน้ัน x + 2 = 0 หรือ x −5 = 0

x = −2 หรอื x=5

นัน่ คือ คำตอบของสมการ x2 − 3x −10 = 0 คอื −2 กบั 5

y2 +5y + 6 = 0

วธิ ที ำ (y + 2)(y + 3) = 0

ดงั นั้น y + 2 = 0 หรือ y + 3 = 0

x = −2 หรือ x = −3

น่นั คือ คำตอบของสมการ y2 +5y + 6 = 0 คือ −2 กบั −3

7

การแกส้ มการกำลงั สองตัวแปรเดียวโดยวิธกี ารใชส้ ตู ร

x = −b  b2 − 4ac
2a

ถ้า b2 − 4ac  0 แล้วจะมจี ำนวนจริงเป็นคำตอบของสมการ 2 คำตอบ
ถ้า b2 − 4ac = 0 แลว้ จะมจี ำนวนจรงิ เป็นคำตอบของสมการ 1 คำตอบ
ถา้ b2 − 4ac  0 แล้วจะไม่มจี ำนวนจรงิ ใดเปน็ คำตอบของสมการ

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ y2 −10y +10 = 0
วิธที ำ จากสมการทีก่ ำหนดให้ จะเห็นว่า a =1, b = −10 และ c =10

จะได้ b2 − 4ac = (−10)2 − 4(1)(10)

= 60

จากสูตร y = −b  b2 − 4ac
จะได้ 2a

y = −(−10)  60
2(1)

y = 10  2 5
2

y = 5  15

จะได้ y = 5 + 5 หรอื y = 5 − 5
ดงั นั้น คำตอบของสมการ คอื y = 5 + 5 หรอื y = 5 − 5

8

ตัวอย่างท่ี 2 จงแก้สมการ 16y2 + 24 + 9 = 0
จะได้ b2 − 4ac = (24)2 − 4(16)(9)

= 576 − 576

=0

จากสูตร y = −b  b2 − 4ac
2a

จะได้ y = −24  0

2(16)

y = −24
32

y=−3
4

ดังน้นั คำตอบของสมการ คือ − 3

4

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ z2 = 4z −13

วิธที ำ จากสมการ z2 = 4z −13

จัดสมการใหมไ่ ดเ้ ป็น z2 − 4z +13 = 0

จะได้ a =1, b = −4 และ c =13

ดงั นัน้ b2 − 4ac = (−4)2 − 4(1)(13)

=16 − 52

= −46

น่ันคอื b2 − 4ac  0
ดังน้ัน ไม่มีจำนวนจรงิ ใดเป็นคำตอบของสมการ

9

จงแกส้ มการตอ่ ไปน้ี โดยใชว้ ิธีการใช้สูตร

x2 −12x +11 = 0

วิธที ำ x2 −12x +11 = 0 จะได้ (a =1,b = −12,c =11)

จะได้ b2 − 4ac = (−12)2 − 4(1)(−12) = 100  0

จากสูตร x = −b  b2 − 4ac

2a
= −(−12)  100 = 12 10

2(1) 2

จะได้ x =11 หรือ x = 1
ดงั นนั้ คำตอบของสมการ x2 −12x +11 = 0 คอื 11 และ 1

y2 − 3y −10 = 0 จะได้ (a =1,b = −3,c = −10)

วธิ ีทำ จะได้ b2 − 4ac = (−3)2 − 4(1)(−10) = 49  0

จากสูตร y = −b  b2 − 4ac

2a
= −(−3)  49 = 3  7

2(1) 2

จะได้ y = −5 หรอื y = −2
ดงั นน้ั คำตอบของสมการ y2 −3y −10 = 0 คอื −5 และ −2

z2 + 4z +1= 0 จะได้ (a =1,b = 4,c =1)

วิธีทำ จะได้ b2 − 4ac = (4)2 − 4(1)(1) =12  0

จากสตู ร z = −b  b2 − 4ac

2a
= −4  12 = −4  12

2(1) 2

จะได้ z = −4 + 12 หรือ z = −4 − 12

22

ดงั นนั้ คำตอบของสมการ z2 + 4z +1 = 0 คอื −4 + 12 และ −4 − 12

22

10

จงแกส้ มการต่อไปน้ี โดยใช้วธิ ีการใช้สูตร

3x2 − 2x = −2

วิธีทำ 3x2 − 2x + 2 = 0 จะได้ (a = 3,b = −2,c = 2)

จะได้ b2 − 4ac = (−2)2 − 4(3)(2) = −20  0

ซ่งึ b2 − 4ac  0

ดังนนั้ สมการ 3x2 − 2x = −2 ไมม่ จี ำนวนจรงิ ใดเป็นคำตอบของสมการ

2x2 = 3x +14

วิธที ำ −2x2 + 3x +14 = 0 จะได้ (a = −2,b = 3,c =14)
จะได้ b2 − 4ac = (3)2 − 4(−2)(14) = 121  0

จากสูตร x = −b  b2 − 4ac

2a

= −(3)  121 = −3 11
2(−2) −4

จะได้ x = 7 หรอื x = −2

2

ดงั นน้ั คำตอบของสมการ 2x2 = 3x +14 คอื 7 และ −2

2

10z2 = 17z − 3

วิธที ำ 10z2 −17z + 3 = 0 จะได้ (a =10,b = −17,c = 3)

จะได้ b2 − 4ac = (−17)2 − 4(10)(3) = 169  0

จากสูตร z = −b  b2 − 4ac

2a

= −(−17)  169 = 17 13
2(10) 20

จะได้ x = 3 หรอื x = 1

25

ดงั นน้ั คำตอบของสมการ 10z2 =17z − 3 คือ 3 และ 1

25

11

แบบทดสอบหลงั เรียน

เรือ่ ง การแก้สมการกำลงั สอง วิชาคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน ค23101 จำนวน 15 ขอ้

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 คะแนนเตม็ 10 คะแนน เวลา 50 นาที

ตวั ช้ีวัด ค 1.3 ม.3/2 ประยกุ ต์ใช้สมการกำลังสองตวั แปรเดียวในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

คำช้ีแจง : ใหน้ กั เรยี นเลอื กคำตอบท่ีถกู ทส่ี ุด และทำเครื่องหมาย X ลงบนกระดาษคำตอบ

จดุ ประสงค์ : แก้สมการกำลงั สองตวั แปรเดยี วด้วยวธิ กี าร 8. ข้อใดคือคำตอบของสมการ 2x2 + 6x + 4 = 0

แยกตัวประกอบ (ขอ้ 1-10) ก. -1 และ -2 ข. 1 และ -2

1. ข้อใดคอื คำตอบของสมการ x2 − 25 = 0 ค. -1 และ 2 ง. 1 และ 2

ก. -5 และ -5 9. ขอ้ ใดคือคำตอบของสมการ 3x2 − 5x − 2 = 0

ข. -5 และ 5 ก. − 1 และ -2 ข. 1 และ -2

ค. 5 และ 5 3 3
ง. ไมม่ จี ำนวนจรงิ ใดเป็นคำตอบของสมการ
2. ข้อใดคอื คำตอบของสมการ x2 −144 = 0 ค. − 1 และ 2 ง. 1 และ 2
33
ก. -12 และ-12
ข. -12 และ 12 10. ขอ้ ใดคือคำตอบของสมการ 3x2 + 2x −8 = 0
ค. 12 และ 12
ก. − 4 และ -2
ง. ไมม่ ีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ
3

ข. − 4 และ 2

3

3. ข้อใดคอื คำตอบของสมการ x2 + 7x +10 = 0 ค. 4 และ -2

ก. -5 และ -2 ข. 5 และ 2 3

ค. -10 และ -1 ง. 1 และ 10 ง. 4 และ 2

4. ข้อใดคอื คำตอบของสมการ u2 + 7u +12 = 0 3

ก. -6 และ -2 ข. 2 และ 6 จุดประสงค์ : แกส้ มการกำลงั สองตวั แปรเดยี วโดยการ
ใช้สูตร(ข้อ 11-15)
ค. -4 และ -3 ง. 4 และ 3 11. ข้อใดคอื คำตอบของสมการ 5x2 + 2x − 3 = 0

5. ขอ้ ใดคือคำตอบของสมการ x2 − 6x + 5 = 0 ก. − 3 และ -1

ก. -3 และ 2 ข. -2 และ 3 5

ค. -5 และ -1 ง. 1 และ 5 ข. 3 และ 1

6. ขอ้ ใดคือคำตอบของสมการ 2x2 − x −10 = 0 5

ก. − 5 และ -2 ข. 5 และ -2 ค. 3 และ -1

2 2 5

ค. − 5 และ 2 ง. 5 และ 2 ง. ไมม่ ีจำนวนจริงใดเปน็ คำตอบของสมการ
22

7. ข้อใดคือคำตอบของสมการ 14 − 5m = m2

ก. -7 และ 2 ข. -2 และ 7

ค. -14 และ -1 ง. -14 และ 1

12

12. ข้อใดคือคำตอบของสมการ x2 = 4x −13 14. ขอ้ ใดคือคำตอบของสมการ x(2x + 7) −15 = 0
ก. 13
ข. -13 ก. − 3 และ -5 ข. − 3 และ 5
ค. 13 และ 1
ง. ไมม่ ีจำนวนจรงิ ใดเปน็ คำตอบของสมการ 2 2
13. ขอ้ ใดคอื คำตอบของสมการ 16y2 + 24y + 9 = 0
ค. 3 และ -5 ง. 3 และ 5
ก. 3 22

4 15. ข้อใดคือคำตอบของสมการ x2 + 3x + 7 = 0

ข. − 3 ก. -1 และ -7

4 ข. -1 และ 7

ค. 3 และ 1 ค. 1 และ -7

4 ง. ไมม่ จี ำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ

ง. ไม่มจี ำนวนจริงใดเปน็ คำตอบของสมการ

13

บรรณานุกรม

กิตตมิ า นาคาพนั ธ.์ (2560). แบบฝกึ ทักษะ เรอื่ ง สมการกำลงั สอง. สืบค้น 1 มิถนุ ายน 2565, จาก
https://www.kroobannok.com

สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2563). หนงั สอื เรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1
ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 3 กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขน้ั พ้ืนฐาน
พุทธศักราช 2551 (พมิ พค์ ร้ังที่ 2). กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว

สำนกั งานโครงการส่วนพระองค์สมเดจ็ พระกนษิ ฐาธริ าชเจ้า กรมสมเดจ็ พระเทพรัตนราชสดุ า ฯ สยามบรมราชกมุ ารี
สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2563).
ชดุ การจดั กิจกรรมการเรยี นรู (สําหรบั ครูผสู อน) กลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 3
ภาคเรียนที่ 1 รายวชิ าคณติ ศาสตร หนวยที่ 1 กาํ ลงั สองลองแปลงราง. สบื ค้น 1 มถิ นุ ายน 2565,
จาก http://academic.obec.go.th/