Логарифмдік теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйесін шешу әдістемесі

«Семей қаласының Шәкәрім атындағы университеті» КеАҚ

Электронды әдістемелік нұсқаулық

Тақырыбы: «Логарифмдік теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйесін
шешу әдістемесі»

Авторы: Маукенова А.Т.
Ғылыми жетекшісі: Муратбек Д.
Джапарханова А.Н.

Тайболдина Қ.Р.

Семей-2022ж.

Мазмұны
1 Логарифм ұғымы........................................................................................................................... 3
1.1 Логарифмдік теңдеулер, оларды шешу әдістері........................................................................ 7
1.2 Логарифмдік теңсіздіктер, оларды шешу әдістері ................................................................. 13
1.3 Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйесін шешу әдістері ...................................... 20
1.4 Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер жүйесін шешу әдістері ................................... 27
1.1.1 Логарифмдік теңдеулер тақырыбы бойынша практикалық тапсырмалар........................... 34
1.2.1 Логарифмдік теңсіздіктер тақырыбы бойынша практикалық тапсырмалар ....................... 36
1.3.1 Логарифмдік теңдеулер жүйесі тақырыбы бойынша практикалық тапсырмалар.............. 38
1.4.1 Логарифмдік теңсіздіктер жүйесі тақырыбы бойынша практикалық тапсырмалар .......... 39
Пайдаланған әдебиеттер тізімі ....................................................................................................... 41

1 Логарифм ұғымы

Санның логарифмі және оның қасиеттері. Логарифм анықтамасы
а х  b (a  0, a  1) теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеудің түбірі y  a x

көрсеткіштік функциясының графигі мен y=b түзуінің қиылысу нүктелерінің
абсциссасына тең. Осы суреттерден егер b>0 болса, y  ax функциясының

графигі мен y=b түзуі бір нүктеде қиылысатынын, егер b  0 болса, y  ax

функциясының графигі мен y b1 түзуі қиылыспайтынын көреміз. Олай
болса, b>0 жағдайында a x  b теңдеуінің жалғыз түбірі бар (x=c), ал b  0
болса, теңдеудің түбірі жоқ. Сонымен, b>0 болғанда a x  b теңдеуінің түбірін
негізі а-ға тең b санының логарифмі деп атайды.

Анықтама. Берілген оң санның берілген негіздегі логарифмі деп осы
негіздің берілген санға тең дәреже көрсеткішін, яғни b>0 санының а
(a  0, a  1) негізіндегі логарифмі деп

ах  b (1)

теңдігін қанағаттандыратын с санын айтады. Оны былай белгілейді: log a b

және ол «негізі а бойынша логарифм b» немесе «негізі а-ға тең логарифм b»
деп оқылады [1].

Сонымен анықтама бойынша (1) теңдіктен

b  a loga b (2)

теңдігін аламыз. (2) теңдікті логарифмнің негізгі тепе-теңдігі деп атайды.
1-мысал.1 ) log 3 81; 2 ) log 2 0,125

1 )81= 34 , анықтама бойынша log 3 81=4

2 )0,125= 1  23 , олай болса, log 2 0,125 = -3

8

Логарифмдердің негізгі қасиеттері

Кез келген а>0 ( a  1) және b,с оң сандары үшін

10 . log а 1  0

20 . log а a  1

30.log а b  c  log а b  log а c

40 . log а b  log а b  log а c
c

50 . log а bm  m log а b, m  R

60 . log аn b  1 log а b, n  R, n  0
n

70. log а b  log c b , c 1
log c a

3

80 . logа b  1 a , a,b  0; a  1, b  1;
logb

90 . log m a  log n b  log n a  log m b, a,b>0; a  1, b 1теңдіктері орындалады.
Қасиеттердің дәлелдеулері

10 және 20 - қасиеттердің дәлелдеуі анықтамадан шығады.
30 -қасиет. Айталық, log а b =u, log а c =v болсын. (2) теңдік бойынша

b  au,c  av (3)

теңдіктерін аламыз. (3) теңдіктен b  c  auv. Осыдан логарифмнің анықтамасы
бойынша

log а b  c  u  v  log а b  log а c

40 -қасиет. (3) теңдіктен b  auv теңдігі шығады. Онда анықтамадан

c

log а b  u  v  log а b  log а c
c

50 қасиет.Егер log а b =u болса, b  au . Осыдан bm  amu теңдігі мен

логарифмнің анықтамасын қолдансақ,

log а bm  m  u  m log а b, m  R

60 қасиет. (2) теңдік бойынша

)log b b  1 loga b 1
a (a n ) n 
 (a n ) n loga b
(a n n  b, .a logn 
a



Олай болса, log аn b  1 b.
n log а

Логарифмдеу – айнымалысы бар өрнектің логарифмін
айырымына
айнымалылардың логарифмдерінің қосындысына немесе

түрлендіру.

7 0 қасиет. aloga b  b, теңдігін с негізі бойынша логарифмдейміз:

log а b  log а c  log c b. Осыдан log а b  log c b.
log c a

80 қасиет. log а b  1 a теңдігінің орындалатынын көрсетейік:
log b

log a b  c  ac  b, log b a  d  bd  a;

 bd c  b  bdc  b  dc  1  c  1  log a b  1
d log b a

Анықтама. Негізі 10 болатын санның логарифмді ондық логарифм

деп аталады.[1]

Ондық логарифмді жазу үшін lg белгісі қолданылады.

Мысалы, log10 217 орнына lg 217деп жазылады. Ондық логарифмнің

4

өзіне тән үш қасиеті бар:

1) 1 саны жөне одан кейінгі нөлдерден түратын оң санның ондық

логарифмі нөлдердің санына тең бүтін оң сан болады, яғни а  10n болса,

онда lg a  lg 10n  n;

2) 1саны және оның алдындағы нөлдерден түратын оң ондық

бөлшектің ондық логарифмі п болады (мүндағы п нөл бүтінді қоса алғандағы

нөлдердің санына тең), яғни а  10n болса, онда lg a  lg10n  n;

3) бүтін немесе нөлінші дөрежеге тең емес рационал санның ондық

логарифмі иррационал сан болады.

Есептеулерді жеңілдету үшін ондық логарифмдерді қолданған

ыңғайлы. Сонымен қатар, негізі е = 2,7182818289... (е иррационал саны

шексіз периодсыз ондық бөлшек түрінде жазылады) болатын логарифм де

қолданылады.

Анықтама. Негізі е болатын санның логарифмі натурал логарифм деп

аталады [1].

Натурал логарифмді жазу үшін ln белгісі қолданылады.

Мысалы, log e 13 орнына ln13деп жазылады.
Логарифмдік функция және оның қасиеттері

Анықтама. y = log a x (a > 0,a  1) түрінде берілген функцияны негізі a

болатын логарифмдік функция деп атайды, мұндағы x 0;[1].

Мысалы, y = log 2x негізі 2 – ге тең логарифмдік функция, y = log 1 x

2

негізі 1 - ге тең логарифмдік функция, т.с.с.
2
Логарифмдік функцияның негізгі қасиеттеріне тоқталайық.

10. Логарифмдік функцияның анықталу облысы – барлық оң сандар

жиыны R: D( log a x) = (0;+). Шынында да, логарифм тек оң сандар үшін ғана
анықталған.

20. Логарифмдік функцияның мәндерінің облысы - барлық нақты

сандар жиыны R : (-;+).

Шынында да, кез келген y0  R нақты саны үшін a>0 болғанда a y0

өрнегі анықталады. Логарифмнің анықтамасына сәйкес log aa y0 = y0 тендігі
орындалады. Олай болса, логарифмдік функция осы y0 – ге тең мәнін x0 a y0
нүктесінде қабылдайды. Демек, логарифмдік функция кез-келген нақты

мәнді қабылдайды.

30. Егер a>1 болса, онда, y = log a x логарифмдік функциясы өспелі.

Айталық, x1 және x2 сандары 0  x1  x2 теңсіздігін қанағаттандыратын кез

келген оң сандар болсын. ,x1  a loga x1 x2  aloga x2 болғандықтан, a  aloga x1 loga x2

теңсіздігін аламыз. Ал a>1 болғандықтан, көрсеткіштік у  ах функциясы

өспелі. Олай болса, соңғы теңсіздіктен log a x1  log a x2 теңсіздігі шығады.
Дәлелдеу керегі осы.

40. Егер 0<a<1 болса y = log a x логарифмдік функциясы кемімелі.

5

Дәлелдеуі 30 – қасиетке ұқсас.
50. Негіздері бірдей логарифмдік y = log a x және у  ах көрсеткіштік

функциялараның графиктері I және III координаталық ширектердің
биссектрисасы y = x түзуіне қарағанда симметриялы.

Логарифмдік функцияның графигі
y = log a x логарифмдік функциясының графигін 50 -қасиет бойынша
у  ах функциясының графигін тұрғызып, оны у=х түзуіне қатысты
симметриялы көшіру арқылы салуға болады. Біз мұнда логарифмдік
функцияның графигін оның қасиеттеріне қарап тұрғызамыз. Кез келген
логарифмдік функцияның графигі Ох өсін (1;0) нүктесінде қиып өтеді, себебі
log a1  0 . Ал, Оу өсімен қиылыспайды.

а>0 болғанда y = log a x функциясы өспелі және х 1; жиынында оң
мәндер, х 0;1 аралығында теріс мәндер қабылдайды.

у  log 2 x функциясының графигін салайық. 2.а,б- суреттерде у  log 2 x
функциясының графигі келтірілген.

х1 1 11 2 4 8

842

log 2 x -3 -2 -1 0 2 4 3

а) б)
Сурет 2 – у  log 2 x функциясының графигі

Осыдан а>1 болғанда негізі а неғұрлым үлкен болған сайын сәйкес
логарифмдік функцияның графигі соғұрлым «баяу өседі». (2.a-сурет)

Керісінше 0<а<1 болғанда негізі а неғұрлым кіші болған сайын сәйкес
логарифмдік функцияның графигі соғұрлым «баяу кемиді». (2.б-сурет)

6

1.1 Логарифмдік теңдеулер, оларды шешу әдістері

Мектеп математика курсында теңдеу белгісіз айнымалыдан тұратын
теңдік болып табылады, оның мәні теңдеудің түбірі болып табылады.

Анықтама: Айнымалысы логарифм белгісінің ішінде немесе логарифм
негізінде болатын теңдеу логарифмдік теңдеу деп аталады.

log a x = b a  0, a  1

мұндағы а және b – берілген сандар, ал х – тәуелсіз шама. Егер a  0 және
a  1 болса, онда мұндай теңдеудің

x  ab

түріндегі бір ғана түбірі болады [2].
Төмендегі функция логарифм белгісімен орналасқан логарифмдік

теңдеу

log af x = b a  0, a  1

x-тің қабылдайтын мәндерінің жиынтығы бар, f(x)>0 теңсіздігімен

анықталған және f x  ab , a  0, a  1теңдеуіне тең.

Логарифмдік теңдеуді шешу оның барлық түбірлерін табу немесе
олардың жоқ екенін дәлелдеу. Логарифмдік теңдеулерді шығару кезінде
алдымен айнымалының мүмкін болатын мәндер жиынын анықтайды. Одан
кейін берілген теңдеу шығарылып, табылған айнымалы мәндерінің мүмкін
мәндер жиынына тиісті болатыны тексеріледі.

Қарапайым логарифмдік теңдеудің түрі:

log ха = b , a  0

1

а) a  1 және b  0 болғанда x  a b жалғыз түбірін қабылдайды;
б) а=1 және b  0 болғанда барлық оң мәндерді қабылдайды;
в) а=1 және b  0 болғанда шешімі жоқ;
г) a  1 және b  0 болғанда шешімі жоқ.
Логарифмдік теңдеулердің түрлері және оларды шешу тәсілдері
Қарапайым логарифмдік теңдеулер мен оларды шешу тәсілдерін
қарастырайық.
1) Логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы шығарылатын
теңдеулер

log a x = b; log ха = b; log af x = b

Қарапайым логарифмдік log ха = b,a  0,а  1, теңдеуін алайық, оның
шешімі логарифнің қасиетіне негізделеді: а дәл сол екі оң санның
логарифмдері бірдей оң және бірліктен басқа негіз тең болған кезде бұл
сандар тең.

log a x = b; a  0, a  1теңдеудің

x  ab

түріндегі бір ғана түбірі болады.

log af x = b a  0, a  1теңдеудің шешімі f x  ab теңдеуіне тең.

1-мысал. а) log x (x3 - 5x +10) = 3 теңдеуін шешіңіз.
Шешуі: Логарифмдік теңдеу анықтамасы бойынша

7

x3 - 5x +10 = x3 онда х  2
Табылған айнымалының мәнін теңдеуге қойып тексереміз:

log 2 (22 - 5  2 +10) = log 2 8 = 3

Демек, х  2 мәні теңдеуді қанағаттандырады.
Жауабы:2

б) log 3 2x 1  2 теңдеуін шешіңіз.

Шешуі: x айнымалысының мүмкін болатын мәндер жиынын табамыз.

2х 1  0

x1
2

log 3 2x 1  2  логарифмдік теңдеу анықтамасы бойынша

2x 1  32

2x 1  9

2x  8

x4

мүмкін болатын мәндер жиынына кіреді.

Жауабы:4

2) Логарифмдік теңдеулерді потенциалдау тәсілі арқылы шешу

Логарифмдік теңдеулерді log af x = log agx, log f xa  log gxa, a  0, a  1

түріне келтіріп шешеді. Бұл әдісті логарифмді потенциалдау деп атайды.

Потенциалдау - логарифмдеуге кері түрлендіру.

log af x = log agx, a  0, a  1 бұл теңдеу мынадай жүйемен мәндес:

 f x  0

log a f x  = log a gx    g x  0

 f x  gx

жүйедегі екі теңсіздік ММЖ-ын анықтайды.

Негізі айнымалы логарифмдік теңдеулер де кездеседі:

log f xa  log gx

Бұл теңдеудің ММЖ-ы мына жүйемен анықталады:

 f x  0
 f x  1
log f xa  log gx  gx  0

gx  0

Анықталған ММЖ-да берілген теңдеу f x  gx теңдеуіне пара-

пар.

2-мысал. а) lg x2  2  lg x теңдеуін шешіңіз.

Шешуі: Алдымен теңдеудің ММЖ-ын анықтап, негізгі теңдеуді

шешейік:

8

х2  2  0 x  0 x  0
x  0
  х 2  2  x   x1  1, x2  2
 
 х 2  2  x


x1  1 түбірі теңдеудің ММЖ-ын қанағаттандырмайды.

Жауабы:2

б) log 2 (3  x)  3log 2 (1 x)  3 теңдеуін шешіңіз.
Шешуі: теңдеудің ММЖ-ын табу үшін келесі жүйені құрамыз:

3  x  0,  x  1.
1 x  0,

Логарифмнің қасиетін қолдана отырып теңдікті былай жазуға болады.

log 2 ((3 x)(1 x))  3,

Логарифмнің анықтамасы бойынша біз келесі теңдеуді аламыз.

(3  x)(1 x)  23, немесе x2  4x  5  0.

Онда x1  5, x2  1. Табылған түбірлердің бірінші мәні ММЖ-на
жатпайтындықтан, біз теңдеудің жауабы ретінде тек x2  1 түбірін аламыз.

Жауабы: x  1

3) log gx f x  a түрінде берілген логарифмдік теңдеуді шешу тәсілі

log gx f x  a түрінде берілген логарифмдік теңдеу мынадай жүйемен

мәндес:

 f x  0
gx  0
gx  1 .

 f x  gxa .

3-мысал. а) log x 4x  2 теңдеуін шешіңіз.

Шешуі: Алдымен теңдеудің ММЖ-ын анықтап, негізгі теңдеуді

шешейік:

4x  0; x  0 x  0
x  0; x  1 x  1
x  1  x2  4x  x1  0, x2
x2  4x
 4

x2  4 түбірі теңдеудің ММЖ-ын қанағаттандырады.

Жауабы:4

4) Жаңа айнымалы енгізу тәсілі

Бұл тәсіл кез-келген түрдегі теңдеулерді шешуде қолданылады.

4-мысал. а) lg 3 x  lg x  0 теңдеуін шешіңіз.

Шешуі: t  lg x белгілеуін енгізейік. Онда теңдеу t 3  t  0 түрінде болады.

Теңдеу түбірлерін анықтаймыз.

9

t3 t  0

tt 2 1  0

t1  0, t2,3  1

t-ның мәндерін қойып, теңдеуді шешеміз.

lg x1  0   x1 1
lg x2  1  x2  10

lg x3  1 x3  0.1

Жауабы: 1; 10; 0,1

б) (lg x)2  lg x3  2  0 теңдеуін шешіңіз.

Шешуі: Жаңа айнымалы енгізейік, яғни lg x  t, x  0. Бастапқы

теңдеуіміз мына түрге ауысады. t 2  3t  2  0. Оның түбірлері t1 1,t2  2.
Кері ауыстыру жасаймыз:

lg x1  1, x1  10;

lg x2  2, x2  100.

Жауабы: 10 ; 100

5) Мүшелеп логарифмдеу тәсілі

Тәсілге байланысты мысал қарастырайық.

5-мысал. а) xlog2 x2  8 теңдеуін шешіңіз.

Шешуі: Берілген теңдеудің негізін 2-ге тең етіп логарифмдейік:

log 2 (xlog2 x2 )  log 2 8

log а bm  m log а b, m  R формуласын қолданып келесі теңдікті аламыз,

(log 2 x  2)  log 2 x  3  log 2 x  2 log 2 x  3  0
2

log 2 x  у жаңа айнымалысын енгізсек,

у2 2у 3  0

у1  3, y2  1.

Кері түрлендірулер жасаймыз,

осыдан log 2 x  3  x1  8

log 2 x  1  x2  1.
2

Жауабы: 8; 1

2

б) (x 1)lg(x1)  100(x 1) теңдеуін шешіңіз.

Шешуі. Теңдеудің ММЖ-ы: x 1 0  x  1.
10 негізді логарифммен теңдеудің екі жағын логарифмдейік. Сонда теңдеу
мына түрде болады,

lg( x 1)  lg( x 1)  lg100  lg( x 1).

lg( x 1)  t жаңа айнымалы енгізейік. Онда теңдеуіміз мына түрге ауысады

t 3  t  2  0.

Оның шешімі t1  1,t2  2.
Кері ауыстыру жасаймыз:

10

lg( x  1)  1,  x 1 1 ,  x1  0.9;
lg( x  1)  2, x 10 x2  99.

1 100,

Жауабы:  0,9;99

6) Негіздері әртүрлі логарифмдік теңдеулерді шешу тәсілі:

Тәсілге байланысты мысал қарастырайық.

6-мысал. а) log 3 x  log 9 x  log 27 x  5,5 теңдеуін шешіңіз.
Шешуі: ММЖ: x>0

Әр логарифмді формуланы қолдана отырып, 3-ші негізге ауыстырамыз:

log 3x  log 3 x  log 3 x  5,5
log 3 9 log 3 27

log 3 x  1  1  1   5,5
 2 3 

log 3 x  11  5,5
6

log 3 x  5,5  6
11

log 3 x  3 Жауабы:27
x  27

б)1  log 2 (x 1)  log (x1) 4 теңдеуін шешіңіз.
Шешуі: Теңдеудің ММЖ-ы: x 1, x  2.
Логарифмнің қасиеттерін қолданып, теңдеуді түрлендіреміз

log ( x1) 4  log 2 4  log( 2 1) .
log 2 (x 1) x

log 2 (x 1)  y жаңа айнымалы енгізейік. Онда бастапқы теңдеуіміз мынадай

түрге ауысады. 1 y  2 немесе y2  y  2  0, оның шешімі y1  2, y2  1.

y

Кері ауыстыру жасаймыз:

log 2 (x 1)  2,  x 1  1,  x1  5,
log 2 (x 1)  1, x 1  4 x2  4
2, 3.

Жауабы: 3

7) Көрсеткіштік логарифмдік теңдеуді шешу әдісі:

Көрсеткіштік логарифмдік теңдеуді шешу үшін теңдеудің екі жағын

логарифмдеу тәсілі арқылы логарифмдік теңдеуге келтіріледі.

7-мысал. а) 3log32 x  xlog3 x  162 теңдеуін шешіңіз.

Шешуі: Теңдеуді (3 )  x  162log3 x log3 x log3 x түрінде жазамыз,

aloga b  b формуласын қолданып түрлендіреміз

x log3 x  x log3 x  162

2xlog3 x  162

11

xlog3 x  81

log 3 (x log3 x )  log 3 81

log 2 x  4
3

log 3 x  2

x1  9, x2  1
9

Жауабы:9; 1

9

8)Параметрлік түрде берілген логарифмдік теңдеуді шешу әдісі:

Параметрмен берілген көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді

шешу үшін логарифмнің қасиеттерін білу керек.

8-мысал. log a x2  2log a (x  2)  1теңдеуін шеш.

Шешуі: Берілген логарифмдік теңдеудің мағынасы

a  0 (a  1), x  (2;0)  (0,) жиынында бар болады. Осы жиында берілген

теңдеуді, онымен мәндес болатын

2log a x  2log a (x  2)  1

log a x (x  2)  1
2

x (x  2)  a теңдеуі түрінде жазуға болады. Енді екі жағдайды

қарастырамыз:
a) x  (2;0) болсын. Бұл аралықта x (x  2)  a теңдеуі

 х(x  2)  a түрінде жазылады. Бұдан

x2  2x  a  0

Бұл теңдеудің шешімдері 1 a  0, яғни 0  a  1шарты орындалғанда

x1  1 1 a , x2  1 1 a түрінде анықталады. Табылған бұл екі
шешімнің екеуіде  2  x  0 шартын қанағаттандырады.

б) x>0 болсын. Бұл теңсіздік орындалған жағдайда x (x  2)  a теңдеуі

х(x  2)  a түрінде жазылады. Теңдеуді өрнектесек, x2  2x  a  0
квадраттық теңдеу шығады.

Бұл теңдеудің түбірлері x3  1 1 a , x4  1 1 a түрінде

анықталады. Мұнда x3 түбірі x>0 теңсіздігін қанағаттандырмайды. Ал а>0

шарты орындалғанда x4  0 болады.

Жауабы:

Егер 0  a 1 болса, онда онда берілген теңдеудің үш шешімі болады:

x1  1  1  a , x2  1  1  a , x3  1 1 a
Егер а>0 болса, онда бір шешімі болады: x4  1 1 a

12

1.2 Логарифмдік теңсіздіктер, оларды шешу әдістері

Анықтама: Айнымалысы логарифм таңбасының ішінде немесе
логарифмнің негізінде болатын теңсіздікті логарифмдік теңсіздік деп
атайды.

Берілген логарифмдік теңсіздікті дұрыс сандық теңсіздікке
айналдыратын айнымаланың кез келген мәні логарифмдік теңсіздіктің
шешімі деп аталады [3].

Логаримфдік теңсіздікті шешу дегеніміз – оның барлық шешімін табу
немесе болмайтынын дәлелдеу.

Шешімдері бірдей болатын немесе шешімдері болмайтын бір
айнымалысы бар екі логарифмдік теңсіздік мәндес теңсіздіктер деп аталады

[3].

Логарифмдік теңсіздіктерді log a f x  log a gx түріндегі қарапайым

теңсіздіктерге келтіріп шешеді. Логарифмдік функция қасиеттері бойынша

log a f x  log a gx теңсіздігі

 f (x)  0

1) егер a > 1 болса, онда g(x)  0

 f (x)  g(x)

 f (x)  0

2) егер 0  a 1 болса, онда g(x)  0

 f (x)  g(x)

теңсіздіктер жүйесімен мәндес болады. [8]

log a f x  b түріндегі теңсіздіктерді де log a f x  log a gx түріне келтіріп

шешеміз. [8]
Логарифмдік теңcіздіктердің түрлері және оларды шешу тәсілдері
1)Қарапайым логарифмдік теңсіздікті шешу тәсілдерін

қарастырайық.

1-мысал. а) lgx 1  1 lg2x  6 теңсіздігін шешіңіз.

Шешуі: lgx 1 lg2x  6  1 lgx 12x  6  lg10.

Логарифмнің негізі а=10>1 болғандықтан, теңсіздіктің таңбасы
өзгермейді және ММЖ қарастырып, мына жүйені аламыз:

х 1  0 x  1
2x  6  0 x  3
х 12x  6  10  2;4.

Жауабы:( 3;4]

б) log 5 x  2  3 теңсіздігін шешіңіз.

Шешуі: Логарифм 3  log 5 53 -ке тең екендігін ескере отырып, берілген

логарифмді келесі түрде жазып аламыз log 5 x  2  log 5 53 . y  log 5 t

логарифмдік функцияның негізі 5  1 болғандықтан, анықталу облысында

өспелі болады. (t  0)

13

Cонда келесі жүйені шешеміз:

log 5 x  2  log 5 53  x  2  0;  x  2;  2  x  123
x  2  125; x  123;

Жауабы: x  2;123

2) Интервалдар әдісі

2- мысал. а) 2 log 2 x  log 2  x  1   2 log 2  x2  x  теңсіздігін шешіңіз.
 x2  2

Шешуі: Мүмкін мәндер жиынын қарастырып, мына жүйені аламыз:


х  0
 х  0
x  1  0  х  0, х  0
x  x  (0,)

x2  x x  (,1)  (0,)
 2
 0

log a bk  k log a b формуласымен, логарифм қосындысы формуласын

қолдана отырып, теңсіздікті түрлендіреміз:

log  x 2  x  1    log 2  x2  x 2  x2  x  1    x2  x  2  x3 1 x4  2x3  x2
 x2 2  x2  2 4
2

 x4  2x3  x2  4  0

Осылайша x  1 болғанда x4  2x3  x2  4 нөлге тенеседі, онда x + 1

ретінде бөліп қарастыруға болады. Сонда біз
 x4  2x3  x2  4  x 1 x3  3x2  4x  4 тендігін аламыз. Тағы да осы тәсілді

қолдансақ, x  2 – де де x4  2x3  x2  4 нөлге тенеседі. х – 2 ге бөліп жазатын

болсақ, келесі тендікті аламыз:  x4  2x3  x2  4  x  2 x2  x  2 . Есептей келе
мынадай түрдегі теңдікті аламыз: x 1x2  x  2  0. Түбірлері: x  1; x  2

Сурет 3-те көрсетілгендей теңсіздік түбірлерін интервал кесіндісіне

саламыз.

Сурет 3 – 2- мысалда берілген есептің интервалы

Теңсіздіктің мүмкін мәндер жиыны x  (0,) болғандықтан берілген

теңсіздіктің шешімі x  2;дейінгі аралықта болады.

Жауабы: x  2;

3)Жаңа айнымалы енгізу тәсілі

3-мысал. log 2 x  5  2log 2 x теңсіздігін шешіңіз.

1 2log 2 x

Шешуі: t  log 2 x белгілеуін енгізейік. Сонда теңсіздік мына түрге

14

келеді.

t  5  2t
1  2t

4t 2  t  5  0  (t  1)(4t  5)  0  t  1
2t 1 2t 1 1 5.
 2  t  4

Кері ауыстыру жасаймыз.

log 2 x  1  1.25  0  x  1
0.5  log 2 x  2  x 2
  4 32

Жауабы: х  (0;0.5)  ( 2; 4 32)

4) Логарифмдік теңсіздіктердің рационал теңсіздіктер жүйесіндегі

шешімі.

log ax f x  log ax gx логарифмдік теңсіздігі

ax  0
afxx10
gaxx
0 f x  gx  0.

1

теңсіздіктер жүйесімен мәндес болады.
4-мысал. log x2 x2 1  log x2 2x2  x  3 теңсіздігін шешіңіз.

Шешуі:

x  2  0

 x 2 1
 x 2 1 0

2x2  x  3  0

x  2 1x2 1 2x2  x  3  0.

Бірінші алғашқы төрт теңсіздікті шешіп аламыз:

x  2
x  3
x  1, x  1

x   3 , x  1.
2

x 2,33;.

Енді бесінші теңсіздікті шешеміз. Түрлендіргеннен кейін теңсіздік

мына түрде болады:
x  3 x2  x  2  0

Екінші көбейткішке (-1) -ді көбейтіп таңбаны өзгертеміз:

x  3x2  x  2  0

x  3x 1x  2  0.

15

x  ,2 1;3.
Мүмкін мәндер жиынын ескерсек, берілген теңсіздіктің шешімі x 2;3

аралығы болады.

Жауабы: x 2;3

5)Түрлендіру әдісі бойынша

1

5-мысал. 2x  3 x теңсіздігін шешіңіз.
Шешуі: Теңсіздіктің мүмкін мәндер жиыны х  0. Берілген теңсіздіктің
екі бөлігі де оң екенін ескерсек, екі бөлікті де негізі 2-ге тең етіп,
логарифмдейміз.

1

log 2 2x  log 2 3 x

Алынған теңсіздікті түрлендіре отырып, мына теңсіздіктерді аламыз:

x  1 log 2 3  x2  log 2 3  0
x x

Соңғы теңсіздікті шешкеннен кейін, теңсіздіктің шешімдері

x   log 2 3, 0  x  log 2 3 болады.

Жауабы: x  (; log 2 3)  (0; log 2 3)

6)Логафирмдерді шешудін тағы бір оңай тәсілі ол тұрақты негізге
келтіру. Басқа негізге көшуді және жалпыланған интервал әдісін қалай
қолдану керектігін мысал арқылы көрсетеміз.

6-мысал.а) log x 2 x  3  0 теңсіздігін шешіңіз.
Шешуі: Теңсіздіктің мүмкін мәндер жиыны мына жүйеге тең.

x 20

x 21

 x 3  0

Сурет 4-те көрсетілгендей теңсіздік түбірлерін интервал кесіндісіне

саламыз,

Сурет 4 – 6-мысалда берілген есептің мүмкін мәндер жиыны

Логарифмнің log a b  log c b қасиетін қолданып, 10 негізіге көшеміз.
log c a

lg x  3

lg x  2  0

Теңсіздіктін сол жағындағы мәндікті функция ретінде жазып алуға

болады.

gx  lg x 3

lg x  2

16

бұл функция таңбасын нөлге тең болған кезде өзгерте алады.
lg x  3 нөлге тен болады, егер x  3  1, онда х=4, х=2

lg x  2 нөлге тен болады, егер x  3, онда x  3

Сурет 5-те көрсетілгендей теңсіздік түбірлерін интервал кесіндісіне
саламыз,

Сурет 5 – 6-мысалда берілген есептің толық кескінделген интервалы

Берілген теңсіздіктің мүмкін мәндер жиынын ескере отырып,

x  3;2 3;4 аралығы теңсіздіктің шешімі болады.

Осы нүктелер мәндер аймағын бөлетін аралықтардың әрқайсысында
g(x) функциясының белгісін табамыз. Сол сияқты біз әдеттегі рационалды
теңсіздіктерді интервал әдісімен шештік.

Жауабы: x  3;2 3;4

7-мысал. 4 log x 4  3log 4 4  4 log 16x 4  0 теңсіздігін шешіңіз.

x

Шешуі:Осындай типтегі логарифмдік теңсіздіктерді шығару кезінде
мына ережені есте сақтаймыз: егер теңдеуде немесе теңсіздікте түбір, бөлшек
немесе логарифм болатын болса, онда шешуді ММЖ бойынша бастаймыз.
Логарифмнің қасиеті бойынша негізі оң және бірге тен болмағандықтан
келесі жүйелерді аламыз.

x  0 x  0
 x
 4  1 x  4  0; 1   1 ;1
  1  16   16 
x  x 1  х    (1;4)  (4;)
 16
x  1 1

16x 

бұл теңсіздіктін мүмкін мәндер жиыны.

Айнымалы логарифмнің негізінде тұр. Логарифмнің қасиетін

қолданып, тұрақты негізге көшейік.

log a b  1 a
log b

бұл жағдайда 4 негізіге көшу ынғайлы болады:

4 x  3 4  4  0;
log 4 log 4 x
log 4 16x

4  3  4 0
log 4 x 1  log 4 x 2  log 4 x

Жаңа айнымалыны енгіземіз: log 4 x  t

4 3  4 0
t 1t 2t

17

Сурет 6 – да көрсетілгендей теңсіздіктің түбірлерін анықтап,
интервалдар әдісімен шешеміз:

t  2t  4 
 5 
t1  t  0
t 2 

Сурет 6 – 7-мысалда берілген есептің толық кескінделген интервалы

Осымен, t   ;2   4 ;0  1;2

5

Кері ауыстыру жасаймыз,

0  x
 x
log 4 x  2 4  1
 16
 4  log 4 x  0  4
 5 5  x 1
x  16
1  log 4 x  2 4 



Мүмкін мәндер жиынына кіретін аралық теңсіздіктің шешімі болады.

Жауабы: x   0; 1     4 ;1  4;16
 16  4 5


7)Параметрлік түрде берілген логарифмдік теңсіздіктерді шешу әдісі;

8-мысал . 1 log 2 (x2  x 1)  log 2 (ax2  a) теңсіздігін шешіңіз.

Шешуі:Теңсіздіктің мүмкін мәндер жиыны мына теңсіздіктер жүйесіне

тең.

ах2  а  0 0  a  0
x2  x  1  x  R

Логарифм қасиеттерін қолдана отырып, түрлендірулерді орындаймыз:

log 2 2  log 2 (x2  x 1)  log 2 (ax2  a)

log 2 (2x2  x 1)  log 2 (ax2  a)

2x2  x  1  ax2  a

(2  a)x2  2x  a  2  0

Соңғы теңсіздіктің мүмкін мәндер жиыны мына теңсіздіктер жүйесіне

тең

(2  a)x2  2x  a  2  0

a  0

Бірінші жағдай: а=2 болғанда мына теңсіздік пайда болады,

2x  0

x  0.

18

Екінші жағдай: а  2 болғанда

Жүйенің бірінші теңсіздігі квадраттық теңсіздік және келесі шарттар
орындалған кезде теңсіздіктің шешімдері болмайды:

2  a  0
D  0

a  2

4  4(4  a2  4a)  0

a  2
 4a2 16a 12  0

a  2
 (a 1)(a  3)  0

Соңғы өрнектен a  3екенін көруге болады. Осылайша, а  3болғанда
бастапқы теңсіздіктің шешімдері бар болады. Теңсіздіктің мүмкін

мәндер жиынын ескере отырып теңсіздіктің шешімі 0;3 аралығы екеніне көз

жеткіземіз.

Жауабы: 0;3

19

1.3 Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйесін шешу
әдістері

Құрамында логарифмдік теңдеулер бар теңдеулер жүйесін логарифмдік

теңдеулер жүйесі деп атайды [3].

Логарифмдік теңдеулер жүйесін шешу үшін логарифмдік теңдеулерді

шешу тәсілі қолданылады.

1)Қарапайым көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйесін

шешу тәсілі

1-мысал.Теңдеулер жүйесін шешіңіз.

а) 2 у х х  у  1
у х  2
х  у

Шешуі: Анықталу облысы: х  у  0.

x  y  1
 2 yx

х  у ху  2.

Бірінші теңдеуден х  у  2ху болатынын тауып, екінші теңдеуге

қоямыз. Сонда

 (2ху ) ху  2  х  у 2  1.

Бұл жүйенің шешімі берілген жүйенің жиынтығы болады.

х  у 1 және х  у  1
х  у 2 х  у  1.
2

Жауабы:  3 ; 1 ,  1 ; 3 

2 2  4 4

log 3 x  log 3 y  2  log 3 2
log 2.
б) 27 x  y  3

Шешуі: Анықталу облысы: x  0, y  0.

Логарифмдердің қасиеттерін қолдану барысында теңдеулер жүйесі

мына түрге келеді.

 log3 xy  log 3 18 xy  18
x  y 
 y  33 2  9
x 
3.

Жауабы:(6;3),(3;6)

2)Алгебралық қосу тәсілі

2-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз.

log 3 (2x + y ) + log 3 (2 x - y) =1
log 3 (2 x + y ) - log 3 (2 x - y ) =1

Шешуі: Берілген теңдеулерді мүшелеп қоссақ:

2 log 3 (2x + y) = 2

Теңдіктің екі жағын 2-ге бөліп,логарифм анықтамасы бойынша

20

түрлендіреміз,

log 3 (2x + y) = 1
2x  y  3

Алғашқы теңдеулер жүйесі мына түрге келеді.

2x  y 1
log 3 (2 x + y ) - log 3 (2 x - y ) =1

Бірінші теңдеудегі у айнымалысын х арқылы өрнектейміз: y=3–2x
Екінші теңдеудегі у-тің орнына алынған өрнекті қойып, оны шешеміз:

log 3 (2 x + 3 - 2x ) - log 3 (2 x - (3 - 2x) ) = 1
log 3 3  log 3 (4x - 3)  1
1  log 3 (4x - 3)  1
log 3 (4x - 3)  0
4x - 3  1

4x  4

x 1

x  1 x  1
 
 y  3  2 1  y  1

Жауабы :(1;1)

3)Түрлендіру әдісі
3-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз.

а) log 3 y  2log 3 x

 2 y  xy2 1
9x

Шешуі: Логарифмдердің қасиеттерін қолданып теңдеулер жүйесін

түрлендіріп, мына теңдеулер жүйесін аламыз.

 y  x 2
9x 2  x 2  x  x 4  1

 y  x 2  y  4
x 3  8  1
x  2

Жауабы:  1 ; 1 ; 1 ;4
 2 2  2

б) x  y  1  1 теңдеулер жүйесін шешіңіз.
log 
 1 x log 1 y
2 2

Шешуі: Логарифмдердің қасиеттерін қолданып теңдеулер жүйесін

түрлендіріп, мына теңдеулер жүйесін аламыз.

x  1 y x  1 y
 xy  2
log xy  log  1 1 
  2
1 1
2 2

21

(1 y)  y  2

y2  y2  0

D 18  9

y1.2  1 3
2

y1  2

y2  1

x1  1  2  1

x2  11  2

Жауабы :(2;1)

log 3 x  log 9 y 2 теңдеулер жүйесін шешіңіз.
 x  log 3 y 1
с) log 9

Шешуі: log b  1 log b  log b 1
n n

an a a логарифмнің қасиетін қолданып,

түрлендірулер жасаймыз.

log 3 x  1 log 3 y 2
 2 log 3 y 1
 1 log x

 2 3

log 3 x  a,log 3 y  b белгілеуін енгізсек, теңдеулер жүйесі мына түрде

болады.

a  1 b  2  2a  b  4  b  4 2a  a  2
 a 2 b  1 a  2b  1 a  4 2a b  0
 1  1

 2

log 3 x  2 log 3 y  0

x9 y 1

Жауабы: (9;1)

4)Жаңа айнымалы енгізу әдісі
4-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз.

а) 9loxg232yyxlyo2g3 x  log 3 y  2 log 2 x
1 3

Шешуі: log 3 x  t; жаңа айнымалысын енгізейік, сонда бірінші теңдеу

log 3 y  z

мына түрде болады:

22

z 2  zt  2t 2

z 2  zt  2t 2  0

z1.2   t  t 2  8t 2  t  3t
22

z1  t

 z 2  2t

log 3 y  log 3 x y  x
 
9 x 2 y  xy2 1 9 x 3  x3 1

y  x  y  x
  1
8x 3 1 x  2

Жауабы:  1 ; 1 
2 2

б)Теңдеулер жүйесін шешіңіз.

lg 2 x  lg 2 y  5

lg x  lg y  1

Шешуі: lg x  a,lg y  b белгілеуін енгізсек, теңдеулер жүйесі мына түрде

болады.

a2  b2  5

a  b  1

Қарапайым теңдеулер жүйесін шешеміз:

1  b2  b2  5


a  1  b

b2  b  2  0

b1  2,b2  1

a1  1, a2  2

Кері түрлендірулер жасаймыз, х-тің мәнін есептейміз.

lg x  1 lg x  2

x1  101  1 x2  102  100
10

у-тің мәнін есептейміз.

lg y  2 lg y  1

у1  102  1 у2  101  10
100

Жауабы :  1 ; 1 ; 100;10
 10 100 

5-мысал.Теңдеулер жүйесін шешіңіз.

23

5  log 2 x  14 x
 y log 2 y


log 2  x  2   log 2 y  2 log 4(y  1)
 y

x  2, y  0.

Шешуі: Теңсіздіктің мүмкін мәндер жиыны аралығы y

Екінші теңдеу:

log 2  x  2  log 2 y  log 2y  1
y

log 2  x  2   log 2y 1  log 2 y
y

log 2  x  2  log 2 y  1 y
y

x  2  ( y 1)  y
y

Бірінші теңдеу:

5  log 2 x  14 x
y log 2 y

log 2 x a белгілеуін енгіземіз,
y

5  a  14
a

a2  5a 14  0

D  b2  4ac  25  4  (14)  81

a1  2, a2  7

Кері түрлендірулер жасаймыз

log 2 x  2
y
1)

x 4
y

log 2 x  7
y
2)

x  27  1
y 128

Екінші теріс түбір мүмкін мәндер жиынына кірмейді, логарифмдік

өрнек теріс бола алмайды. Бірінші түбірді x  4 түрлендірген екінші теңдеуге
y

қоямыз:

24

x  2  ( y 1)  y
y

4  2  ( y  1)  y

y1  1, y2  2

у-тің оң мәнін алып, х-ті есептейміз,

х  2  (1  1) 1
1

х  22

x4 Жауабы:(4;1)

6-мысал.Теңдеулер жүйесін шешіңіз.

2  log 3 2x  log 3 y 2

  y 
2 log 3  9  x   log 3 x2  2 log 3 x  2


x  0
9 
Шешуі: Теңсіздіктің мүмкін мәндер жиыны аралығы  y  0
x

x  2  0.

Бірінші теңдеу:

2  2 log 3 2x  log 3 y 2

log 3 9  log 3 2x2  log 3 y2

9 4x2  y2

y  6x

Екінші теңдеу:

2 log 3  9  y   log 3 x2  2 log 3x  2
 x 

 9  y 
x x  x 22
log    log 
3 x 2 3



9 y

x  x  22

x2

y  6x орнына қоямыз;

9  62  x  22

x2

9  x2 x  22

3  xx  2

x2  2x  3  0

x1  1, x2  3

25

Екінші түбір мүмкін мәндер жиыны аралығына кірмейді.

Кері ауыстыру жасаймыз:

y  6x орнына қоямыз;

9  62  x  22

x2

x2  2x 15  0

x3  3, x4  5

Төртінші түбір ММЖ-на кірмейді. х-тің мәні арқылы, у-ті есептейміз.

у1  6 1 у2  6  3

у6 у  18

Жауабы:(1;6),(6;18)

26

1.4 Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер жүйесін шешу

әдістері

Логарифмдік теңсіздіктер жүйесін шешу үшін логарифмдік
теңсіздіктерді шешу тәсілі қолданылады.

Кез-келген теңсіздіктер жүйесін, оның ішінде көрсеткіштік және
логарифмдік жүйені шешу принципі:

- берілген теңсіздіктер жүйесінің мүмкін мәндер жиынын анықтап;
- берілген теңсіздіктердің әрқайсысының шешімін тауып;
- алынған шешімдер жиынтығының қиылысуын табу керек.
Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер жүйесіне мысалдар
қарастырайық.

1-мысал.  2  x   8  x  27 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
 3  9 64

2 x2 6x3,5  8 2

2x  2 3x  33
 32x 43
Шешуі:  3 x

2 x2 6x3,5  23 1

22

 2 3 x  33
 3x 43

2 x2 6x3,5  23,5

 3  x   3 3  x 3 x  7
 4  4  1
  6x 7
 x 2 0

Жауабы:(-1;3)

2-мысал. lg 2 (100x)  7 lg x  8 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
log 0,2 (x  1)  log 0,2 (x  3)  1

Шешуі: мүмкін мәндер жиынын жиынын қарастырып келесі жүйені

аламыз:

100х  0  x  0
x  0 x  1
x 1  0 x  3
x  3  0

мүмкін мәндер жиыны x>1

(lg 100  lg x)2  7 lg x  8
log 0,2 (x 1)(x  3)  1

lg 2 x  4 lg x  4  7 lg x  8

log 0,2 (x2  2x  3)  1

27

lg 2 x  3lg x  4  0
x2  2x  3  5

1) lg 2 x  3 lg x  4  0 бірінші теңдеуді шешеміз.
lg x  t жаңа айнымалыны енгіземіз. Сонда бұл теңсіздік мына түрде
болады.

t 2  3t  4  0
(t 1)(t  4)  0

Сурет 7-де көрсетілгендей теңсіздік түбірлерін интервал кесіндісінде
саламыз.

Сурет 7 – (t 1)(t  4)  0 теңсіздігінің интервалы

t  1  lg x  1   x  0,1
t  4 lg x  4  x  10000


2) x2  2x  3  5 екінші теңдеуді шешеміз.

x2  2x 8  0

(x  4)(x  2)  0

Сурет 8-де көрсетілгендей теңсіздік түбірлерін интервал кесіндісінде
саламыз.

Сурет 8 – (x  4)(x  2)  0 теңсіздігінің интервалы

Теңсіздіктердің қиылысу аралығы [-4;0,1]. Мүмкін мәндер жиыны
x>1болғандықтан берілген теңсіздіктер жүйесінің шешімі жоқ.

Жауабы: шешімі жоқ

4x  6  2x  8  0

3-мысал.  2x2  3x 5 1 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
log 3 x 1

Шешуі: Мүмкін мәндер жиынын қарастырып келесі жүйені аламыз:

2x2  3x  5  0
x 1

x  1,

2x2  3x  5  0

(2x  5)(x 1)  0

x  (2,5;1)  (1;) аралығын қамтиды.
1.Бірінші теңсіздікті шешеміз. t  2x ауыстыруын жасап, келесі

28

теңсіздікті аламыз:

t2  6t  8  0  t  2
t  4

кері ауыстыруға көшеміз:

2 x  21  x 1  x  (;1]  [2;) аралығын қамтиды.
  22  x 2
2 x

2. Логарифмнің негізі 3>1 тең болатын ескере отырып, келесі

тенсіздіктің анықталу облысын анықтаймыз:

2x2  3x  5  3  x2  4  0  x  (;2]  (1;2]
x 1 x 1

Сурет 9-да көрсетілгендей теңсіздік түбірлерін интервал кесіндісіне

саламыз.

-2 0 2 46

Сурет 9 – 3- мысалда берілген теңсіздіктің интервалы

Мүмкін мәндер жиынын жиынын ескере отырып, x (2,5;2] 2

аралығында алынған шешімдер жиынтығының қиылысуы теңсіздіктер
жүйесінің шешімі болып табылады.

Жауабы: x (2,5;2] 2

4-мысал. 2 x 16  2 x  17 log (3x 2  4x  1) теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
2 log 9 (4 x2  1) 
3

Шешуі: Мүмкін мәндер жиынын қарастырып келесі жүйені аламыз:

4x 2 1 0  0  x  (;1)  ( 1 ;)
3x 2  4x 1 3

1. Бірінші теңсіздікті шешеміз. Теңсіздіктің екі бөлігін де 2х  0

көбейтеміз және t  2x ауыстыруын жасап, нәтижесінде мына теңсіздікке

келеміз:

t2  17t  16  0  t  1
t  16

кері ауыстыруға көшеміз:

2 x  20  x  0  x  (;0]  [4;) аралығын қамтиды.
  24 x  4
2 x

2.Логарифмдердің қасиеттерін қолдана отырып, екінші теңсіздікті

шешеміз.

29

log 3 (4x2  1)  log 3 (3x2  4x  1)

4x2 1  3x2  4x 1

x2  4x  0

x 0;4.

Бұл аралық осы теңсіздіктер жүйесінің мүмкін мәндер жиынының
аймағын қамтиды.

Сурет 10 -да көрсетілгендей теңсіздік түбірлерін интервал кесіндісіне
саламыз.

-2 0 2 4 6

х  0 х  4, 0 х4

Сурет 10 – 4- мысалда берілген теңсіздіктер жүйесінің интервалы

Жауабы: x 0;4

5-мысал. 5  x  0 1 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
log 6 (x  3)

Шешуі: Сызықтық теңсіздіктің шешу жолын қолданып және

логарифмдік функцияның анықталу облысын ескеріп, екінші теңсіздіктегі 1

санын log 6 6 санымен алмастырып, берілген теңсіздіктер жүйесінен мына

теңсіздіктер жүйесін аламыз:

 x  5 x  5 x  5
log 6 (x  3)  log 6 6  x  3  6  x  3
x  3  0 x  3 x  3.

Сурет 11 -де көрсетілгендей теңсіздік түбірлерін интервал кесіндісіне

саламыз.

Сурет 11– 5 - мысалда берілген теңсіздіктер жүйесінің интервалы

Әрбір теңсіздіктің шешімдер жиынын жеке координаталық түзуге
кескіндеп, ортақ аралықты табамыз. Сонда берілген теңсіздіктер жүйесінің
шешімі [3;5] кесіндісі болады.

30

Жауабы: x 3;5

6-мысал. 25x  30  5x 125  0  0 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
 (x  1)  log x (x  1)
log x

Шешуі: ММЖ жиынын қарастырып келесі жүйені аламыз:

x  0
x
x 1 0  x  (1;).
1 

x  1  0

1. Бірінші теңсіздікті шешеміз. t  5x ауыстыруын жасап, нәтижесінде

квадраттық теңсіздік аламыз:

t2  30t  125  0  5 x  5  x 1
  25  x  2.
5 x

2. Енді екінші теңсіздікті шешеміз. Бұл теңсіздік келесі аралас жүйеге

тең:

log x (x  1)  0  x 1  0  x  2  x  0;2.
log x (x  1)  0 x 1  0 x  0
lloogg x (x  1)  0 xx 1  0 xx  2
x (x  1)  0 1  0  0

Сурет 12 -де көрсетілгендей екі теңсіздіктің шешімдерін интервал

кесіндісіне саламыз.

-1 0 1 2 3 4
Сурет 12 – 6 - мысалда берілген теңсіздіктер жүйесінің интервалы

Мүмкін мәндер жиынын жиынын ескере отырып, алынған шешімдер

жиынтығының x  1;2 қиылысу аралығы теңсіздіктер жүйесінің шешімі

болып табылады.

Жауабы: x  1;2

3 64 x  2x  70  3
 64 x 2
8-мысал.  теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.

log 2 ( x  3)  3 log 3 ( x  3)  2  0.
3

Шешуі: Мүмкін мәндер жиыны x>-3.

1. Алдымен бірінші теңсіздікті шешеміз. Теңсіздікті түрлендіріп, келесі

теңсіздікті аламыз.

2x  64  0  2x  26  0  x6 0  x   ; 1   6;
64x  2 26x  21 6x 1
 6

2. Енді екінші теңсіздікті шешеміз. t  log 3(x  3) ауыстыруын қолдана

31

отырып, келесі квадраттық теңсіздікке көшеміз:

t 2  3t  2  0  1  t  2

кері ауыстыруға көшеміз:

1  log 3 (x  3)  2  3  x  3  9  0  x  6.

Мүмкін мәндер жиынын ескере отырып, алынған шешімдер

жиынтығының x  0; 1   6 қиылысу аралығы берілген теңсіздіктер
6 

жүйесінің шешімі болып табылады.

Жауабы: x  0; 1   6
6 

5log52 x  x log5 x  10 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.

9-мысал. log 2 (5x  3)  4  log 5x3 2  3

Шешуі: 1) Бірінші теңсіздікті шешеміз.

5log52 x  x log5 x  10  5log52 x  (5 )log5 x log5 x  10  2  5log52 x  10  0  5log52 x  5  0 

(5  1)(log 2 x  1)  0  (log 5 x  1)(log 5 x  1)  0  (log 5 x  log 5 5)(log 5 5x  log 5 1)  0
5

(5 1)(x  5)(5  1)(5 x  1)  0  (x  5)(5x  1)  0  x  [0.2;5]
x  0 
 x  0

2) Екінші теңсіздікті шешеміз.

log 2 (5x  3)  4  log 5x3 2  3  log 2 (5x  3)  log 4  3)  3  0
(5x
2

t  log 2 (5x  3)

t  4  3  0  t 2  3t  4  0  (t  4)(t  1)  0
tt t

кері ауыстыруға көшеміз:

(log 2 (5x  3)  log 2 16)(log 2 (10x  6)  log 2 1)  0
log 2 (5x  3)  log 2 1

(2 1)(5x  3 16)(2 1)(10x  6  1)  0 (5x  19)(10 x  7)  0
 (2 1)(5x  3 1)  5x  4
 

5x  3  0 x  0.6

Сурет 13 - те көрсетілгендей екінші теңсіздіктің шешімдерін интервал

кесіндісіне саламыз.

Сурет 13 – екінші теңсіздіктің интервалы

Екінші теңсіздіктің шешімі x  (0,7;0,8)  (3,8;) болады.
Енді, екі теңсіздіктің шешімдерінің қиылысу аралығын интервалдар
әдісімен анықтаймыз.

32

Сурет 14 - те көрсетілгендей екі теңсіздіктің шешімдерінің қиылсу
аралығын интервал кесіндісіне саламыз.

Сурет 14 – 9 - мысалда берілген теңсіздіктер жүйесінің интервал аралығы
Теңсіздіктер жүйесінің шешімі x  (0,7;0,8)  (3,8;5] аралығы болады.
Жауабы: x  (0,7;0,8)  (3,8;5]

33

1.1.1 Логарифмдік теңдеулер тақырыбы бойынша практикалық
тапсырмалар

1) log x1 3  2

Жауабы: 3 1

2) log 3 (3x  8)  2  x

Жауабы: 2

3)log 2 (2x  8)  log 2 (2x  3)  log 2 (2  4x)

Жауабы: -1

4)x1lgx  10x

5) log x2 a  log 2 x  2 Жауабы: 1 ;10
a
10
a
Жауабы:

3

a  0, a  1болса,онда x1  a, x2  a 2 берілген теңдеудің шешімі болады.

6) log x 9x2  log 2 x  4
3

Жауабы: 1 ;3

9

7)1 log 2 (x 1)  log x1 4 Жауабы: 5 ;3
8) log 4 24x  2log2 4
4

Жауабы: 2

9) 2 lg x  1
lg( 5x  4)

Жауабы: 4

10)3  2log x1 3  2log 3(x 1)

11. log 2 x 4 2 5 Жауабы: 3 1; 8
log x
3

Жауабы: 2

12. log 3 x  log x x  log 1 x  6

3

Жауабы: 9

34

13. 2 log 3 x  log x 1  3
3

Жауабы: 4 27 3
;
3

14. log 2 x  4  3 log 3 x
3

15. 3lg 2 (x 1) 10lg( x 1)  3  0 Жауабы: 3; 1

81

Жауабы: 10001;3 10 1

16. 2log 5 (lg x)  log 5 (10  9lg x)

17. log (9 x 2 ) log 2 x  4 Жауабы: 10
3 Жауабы: 64
x

18. log 2 x  4 log x2 x  log 8 x  16

19. xlg x  10000 Жауабы: 3; 1

9

Жауабы: 100; 1

100

20. x log3 x3  1 .

9

Жауабы: 64

35

1.2.1 Логарифмдік теңсіздіктер тақырыбы бойынша практикалық
тапсырмалар

1) 1  1  2 Жауабы: x   1 ;1  1;10
1  lg x 1 lg x
10 
2) log 3 x  log 3 x  3  0

Жауабы: x   3 ; 
9

 3) x 1  1 Жауабы: x  log 3 9 ;2 
log 3 9  3x  3 10 
4) log 2x3 x2  1
Жауабы: x    3 ;1  (1;0)  (0;3)
 5) log x 2x  log x 2x3
2 

Жауабы:  3 4  2;
2 
x  0;  

6) log x2 3 (4x  7)  0

Жауабы: x 0.7;1

7)0,5log5 log0.3 x0.7  1

 Жауабы: x  3;2

8) log 3 3x  2  1
2x  3

Жауабы: x    ; 2    7 ; 
 3   3 

9) log 2 6 1 x  log 0,5 x2


Жауабы: x  3;00;2

10) log 1  log 2 1 x x   0
2   

Жауабы: x  ;2

11) log a (x 1)  log a x  2

Жауабы: a  0 болса,онда x   1  1 4a 2 ; ,
 2

36

0  a  1 болса,онда x  1;1 1 4a 2  ,
2 

a 1a  0 болса,онда теңсіздік шешімі жоқ.

12) lg 2 х  lg x  2

Жауабы: x   0; 1   100;
 10 

13) log 2 x  log 4 x  2
4

Жауабы: x  1 ;4
16

14) log 3x 1  log 3 27 x  9  0
27

Жауабы: x  0; 1   1;

 3

15) log 2 x  14  2 log 4 x  2  2 log 1  1 
2  8 

Жауабы: x  2;2

16) x  0,53  x  0

log 2 x 1

17) log 1 x  log x 3 5 Жауабы: x  0; 1   (2;3)
3 2
 2
18) log 6x (x  6)2  2
x2 Жауабы: x 0;1 (5;6)
Жауабы: x  2;3 ( 3;9)
19) log 2 2x 1  log 1 2
Жауабы: x   8 ;
2
5 
20) log 5 3x  4  log x 5  1
Жауабы: x 1;4

37

1.3.1 Логарифмдік теңдеулер жүйесі тақырыбы бойынша
практикалық тапсырмалар

xlg y  2
1)
xy  20

2)lxo2g2 х  log 2 y  3 Жауабы:(10;2), (2;10)
y 2  16
Жауабы: 2 2; 2 2 
3)lxo2g9 x  log 3 y  0
2 y2 8  0 Жауабы:(4;2)
Жауабы:(12;8), (8;12)
log 5 x  log 5 y 1  log 5 19.2
4)log 2 (x  y)  log 2 5 2 Жауабы:(3;5)
Жауабы:(-10;20), 10 ; 20 
1  1  2
5) x y 15 3 3

log 3 x  log 3 y  1 log 3 5 Жауабы: 2  4log 6 2; 6  4log 6 2

6)lg x  y2  1 Жауабы:(4;2)
Жауабы:(2.25;0.5)
lg y  lg x  lg 2
Жауабы:(3;2)
7)3loxg 2x  576  4

y  x

2

lg( 2x  y) 1  lg( y  2x)  lg 6
8)2 log 3 (x  y)  log 3 ( y  2)

101lg2x y  50
9)lg( 2x  y)  lg( 2x  y)  2  lg 5
10)31log3 (x2  y2 )  15

log 2 (x2  y 2 )  log 2 (x  y)  0

38

1.4.1 Логарифмдік теңсіздіктер жүйесі тақырыбы бойынша
практикалық тапсырмалар

 3 2x   27 2x  125
1) 5   25  729

34x2 12x3.5  27 3

 54x2 1 Жауабы: x  (1,5;3,5)
2) 25 x1
1  log 3 (x  4)  log 3 (x  21) Жауабы: x  (4;16,5]
Жауабы: x  (1  3;)
3)3 2x2 x6  2x
3
3
Жауабы: x 2;3 (3,4]
log 3x1 27  2
Жауабы: x  (0,7;0,8)  (3,8;5]
4) 1  4x1  243 Жауабы: x  (1;3)
3
Жауабы: x  (2;)
log 2 x 26x9  0
Жауабы: x   1 ; 1   1;2
5)9 x2 3  1
27 3 2

log 9 (1  x2 )2  4 Жауабы: x   1 ;2

6)log 5 (21  x)  log 0.2 (21  x)  log 3 2 

5 39

0,2 2x3  5x

log 2 (2x  3)  log 2 (x  2)
7)log 6 (3x 1)  log 6 (9x  4)

8) l6oxglog4x 2x (6x  2)  0
3x  2 x 4 
0

9)lloogg 0,5 x 2  log 0,5 28  log 0,5 7
3 (4x 1) 
0

10)log 1 x2  log 1 34,3  log 1 0,7
7 7 7

log 6 (5x 1)  0

Жауабы: x   2 ;7
 5

40

Пайдаланған әдебиеттер тізімі

1 Алгебра және анализ бастамалары: Жалпы білім беретін мектептің
жаратылыстану-математика бағытындағы 11-сыныбына арналған оқулық 2
бөлімді / Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә.,Жұмабаев
Р.Н..−Алматы:Атамұра,2020.-144 бет.

2 Алгебра және анализ бастамалары: Жалпы білім беретін мектептің
жаратылыстану-математика бағытындағы 11-сыныбына арналған оқулық/
Әбілқасымова А.Е., Корчевский В.Е., Жұмағұлова З.Ә. − Алматы,Мектеп,
2019.-254 бет.

3 Алгебра және анализ бастамалары: Жалпы білім беретін мектептің
теңсіздікті қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы 11-сыныбына арналған
оқулық/ Әбілқасымова А.Е., Жұмағұлова З.Ә. − Алматы,Мектеп, 2019.-168
бет.\

4 Кондратовой Т.В.,Методика решения логарифмических уравнений и
неравенств в школьном курсе математики, дис…канд.экон.наук: БЕЛГОРОД
2019год

5 Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобраз.
учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.В. Сидоров, Ю.М. Колягин, и др. – М.:
Просвещение, 2015.

6 Байдак, В.А. Теория и методика обучения математике: наука, учебная
дисциплина: монография/ В. А. Байдак. — 3-е изд.,, стереотип. — М.:
ФЛИНТА, 2016. – 264 с.

7 Бочкарева, В.Д. Сборник задач по математике для поступающих в
вузы / В.Д. Бочкарева. – М.: ОНИКС-ЛИТ, 2013. – 141 с.

8 Глухов, М.М. Задачник-практикум по алгебре / М.М. Глухов, А.С.
Солодовников. – М.: Просвещение, 2009. – 276 с.

9 Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающих в вузы /
Б.А. Зайцев, В.К. Егерев, и др. – 6-е изд. – М.: ОНИКС–ЛИТ, 2013. – 608 с.

10 ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов типовых
тестовых заданий / И.В, Ященко (и др.); под ред. И.В. Ященко. – М.:
Издательство «Экзамен», 2017. – 247с.

11 Толпенина Н.В. Методика организации учебных исследований при
обучении учащихся решению уравнений, неравенств и их систем с
параметрами: Афтореф. дис. ... канд. пед. наук. Омск, 2002.

12 Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Ивлев Б. М., Дудницын Ю. П.,
Шварцбурд С. И., Алгебра и начала анализа.: Учеб. для 10-11 кл.
общеобразоват. учреждений. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2002. – 384 с. :
ил.

13 Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной
математике: Алгебра. Тригонометрия. – М.: «АВF», 2013.

14 Логарифмы, Шайхмастер А.Х.,-5-е издание, исправленное и
дополненное – СПб, МЦМНО, 2016.-288 с.

41