ตรีโกณ_watermark

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ รายวชิ าคณิตศาสตรส์ าหรบั วิศวกรรม 1 หนา้ 1

บทท่ี 1
เร่อื ง อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ

อัตราสว่ นตรโี กณมิติ (Trigonometric ratio) หมายถึง อัตราส่วนระหว่างความยาวของดา้ นสองด้านของรูป
สามเหลีย่ มมมุ ฉาก

พจิ ารณารปู สามเหลีย่ มมุมฉาก ABC ท่มี มี มุ C เป็นมมุ ฉาก
B ABเปน็ ด้านท่ีอยูต่ รงข้ามมมุ ฉาก ยาว c หนว่ ย

c BCเปน็ ด้านทอ่ี ยู่ตรงขา้ มมมุ A ยาว a หน่วย
a AC เป็นด้านประชดิ มุม A ยาว b หน่วย

AC จะได้ อัตราสว่ นตรีโกณมิตขิ อง A ดงั นี้
b

ความยาวของดาน้ ตรงขาม้ มมุ A =a
ไซนข์ องมมุ A (sin A) = ความยาวของดาน้ ตรงขาม้ มมุ ฉาก
c

ความยาวของดาน้ ประชดิ มมุ A =b
โคไซน์ของมมุ A (cos A) = ความยาวของดาน้ ตรงขาม้ มมุ ฉาก
c

ความยาวของดาน้ ตรงขาม้ มมุ A =a
แทนเจนตข์ องมมุ A (tan A) = ความยาวของดาน้ ประชดิ มมุ A
b

นอกจากนี้ ยังมีอตั ราสว่ นตรโี กณมติ อิ กี 3 อตั ราส่วน ดงั น้ี

1. ซีแคนตข์ องมุม A แทนดว้ ย sec A นั่นคอื sec A  1 เมือ่ cos A ≠ 0
เม่ือ sin A ≠ 0
cos A เมื่อ tan A ≠ 0

2. โคซีแคนตข์ องมุม A แทนดว้ ย cosec A นั่นคือ cosecA  1

sin A

3. โคแทนเจนต์ของมมุ A แทนดว้ ย cot A นนั่ คอื cot A  1

tan A

ข้อสงั เกต a
sin A  c  a  c  a  tan A
cos A b c b b

c

ดงั นนั้ tan A  sin A ดว้ ย

cos A

เอกสารประกอบการเรียนเรอ่ื ง อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ รายวชิ าคณติ ศาสตร์สาหรบั วิศวกรรม 1 หนา้ 2

ตวั อย่างที่ 1 กาหนดรปู สามเหลี่ยมมุมฉากดงั รปู จงบอกชอื่ ดา้ นตามชอื่ ที่กาหนดให้

B
A

เอกสารประกอบการเรยี นเรอ่ื ง อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ รายวิชาคณติ ศาสตร์สาหรับวิศวกรรม 1 หน้า 3

ตัวอยา่ งท่ี 2 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทีก่ าหนดใหแ้ ต่ละรปู จงหา sin, cos และ tan ของมมุ ท่ี
กาหนดให้

เอกสารประกอบการเรยี นเรื่อง อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ รายวิชาคณติ ศาสตร์สาหรับวิศวกรรม 1 หน้า 4

ตวั อยา่ งที่ 3 สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC ให้ C เปน็ มุมฉาก และ sin A  5 จงหาคา่ ของ

13

1) sin A  tan B 2)sin B  cosA 3) cosB  tan A

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอย่างท่ี 4 กาหนดให้สามเหลย่ี มมมุ ฉาก KMN โดย M เป็นมุมฉาก มีความยาวของ MN = 8 และความ

ยาวของดา้ น KN = 17 จงหาคา่ ของ

1) cosecK 2) cot2 K 3) sec K  cot N

cosecN sec N

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอยา่ งที่ 5 รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก XYZ โดย Z เป็นมุมฉาก มุม Y = 52 ด้าน YZ มคี วามยาวของ 8

เซนติเมตร จงหาความยาวของดา้ น XY (กาหนดให้ cos 52  0.616 )

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวั อยา่ งที่ 6 รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC ให้ C เป็นมมุ ฉาก มมุ A = 34 ความยาวของดา้ น AC เปน็ 19

เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน AB และ BC

(กาหนด sin 34  0.559 , cos 34  0.829 , tan 34  0.675 )

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ทำได้มย้ั เอย่

เอกสารประกอบการเรียนเรอ่ื ง อตั ราส่วนตรโี กณมิติ รายวชิ าคณิตศาสตรส์ าหรบั วศิ วกรรม 1 หน้า 5

แบบฝกึ หดั ที่ 1
เรอื่ ง อัตราส่วนตรีโกณมิติ

1. จงหาค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนตข์ องมมุ A และมุม B จากรูปตอ่ ไปน้ี

1) B 3) B 1 C
1
13 A
5

CA

sin A ………………. sin B ………………. sin A  ………………. sin B  ……………….
cos A  ………………. cosB  ………………. cos A  ………………. cosB  ……………….
tan A  ………………. tan B  ………………. tan A  ………………. tan B  ……………….

2) 4) C

C B
3
5
A 4
5
BA

sin A ………………. sin B ………………. sin A ………………. sin B ……………….
cos A  ………………. cosB  ………………. cos A  ………………. cosB  ……………….
tan A  ………………. tan B  ………………. tan A  ………………. tan B  ……………….

เอกสารประกอบการเรยี นเรอ่ื ง อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ รายวชิ าคณิตศาสตรส์ าหรับวิศวกรรม 1 หน้า 6

2. ถ้า sin A = 0.80 แลว้ จงหาคา่ cos A และ tan A

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ถ้า cos A  5 แลว้ จงหาคา่ ของ sin A และ tan A

13

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ถ้า tan B  1 จงหาค่า sin B และ sec B

3

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. ถ้า sin B  1 แล้ว จงหาค่าของ sin2 B – cos2 B มีค่าเท่าใด

3

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6.ถ้า cos A  4 แลว้ จงหาค่าของ sin A  1 tan A

5 1 sec A cosecA

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นเรอื่ ง อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ รายวชิ าคณิตศาสตรส์ าหรบั วศิ วกรรม 1 หน้า 7

6. ถ้า 3tan A = 4 แล้ว จงหาค่าของ 5sin A  3cos A

2cos A  sin A

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. ถ้า tan A  x แลว้ จงหาค่าของ xsin A  y cos A

y x cos A  y sin A

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. ถ้า tan A  1 แล้ว จงหาค่าของ 10sin A  7cos A

2 3cos A  4sin A

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. กาหนดให้ sin A  2 และ cosB  2 เม่ือ A และ B เปน็ มมุ แหลม จงหาคา่ ของ

33
9(sin 2 B  cos2 A)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………

เอกสารประกอบการเรียนเรอื่ ง อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ รายวชิ าคณิตศาสตรส์ าหรับวศิ วกรรม 1 หน้า 8

บทท่ี 2
เรื่อง อัตราส่วนตรโี กณมติ ิของมมุ บางมุม

2.1 การหาค่าตรโี กณมิตขิ องมุม 30,45 และ 60° โดยใช้รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก

60 2 45 2
1
1
30
45
3
รูปที่ 1 1
จากรูปท่ี 1 จะไดว้ ่า รปู ท่ี 2
sin 30 =…………………………..
cos30 =………………………….. จากรปู ที่ 2 จะไดว้ ่า
tan 30 =………………………….. sin 45 =…………………………..
sin 60 =………………………….. cos45 =…………………………..
cos60 =………………………….. tan 45 =…………………………..
tan 60 =…………………………..

2.2 ตารางแสดงคา่ อัตราสว่ นตรีโกณมิติ

อตั ราสว่ น 30 มมุ 60
ตรโี กณมติ ิ 45

sin
cos
tan
cosec
sec
cot

เอกสารประกอบการเรียนเรอ่ื ง อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ รายวชิ าคณิตศาสตรส์ าหรับวศิ วกรรม 1 หนา้ 9

2.3 อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ กับ กฎมือซ้าย

ให้นักเรยี นศึกษาเพมิ่ เตมิ พรอ้ มทงั้ สรปุ เป็นสาระสาคัญมาใหเ้ ขา้ ใจ

ตวั อยา่ งที่ 1 กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังรูป จงหาความยาวด้าน BC และ AC

B ………………………………………………………………….………………..

30 ………………………………………………………………….……………….

14 …………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

60 …………………………………………………………………..………………
A C ……………………………………………………………………….………….

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนดรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังรปู จงหาความยาวดา้ น BC และ AC

B

...............................................................................................................

...............................................................................................................
29 ...............................................................................................................

...............................................................................................................

30 ........................................................................................………………………
A
C

เอกสารประกอบการเรียนเรอ่ื ง อัตราส่วนตรีโกณมิติ รายวิชาคณิตศาสตรส์ าหรับวิศวกรรม 1 หนา้ 10

ตวั อย่างท่ี 3 กาหนดรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC โดยมีมุม C เปน็ มุมฉาก และ A มขี นาด
30 และ BC  3 หนว่ ย จงหา AB, AC

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอยา่ งที่ 4 จงหาค่าของ 4sin 30  3 cos30  3 tan 30

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอยา่ งที่ 5 จงหาคา่ ของ 2sin 45  4cos45  6 tan 45

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ถ้าไม่เข้าใจ
ถามครไู ด้นะ

เอกสารประกอบการเรียนเรือ่ ง อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ รายวิชาคณิตศาสตรส์ าหรับวิศวกรรม 1 หนา้ 11

แบบฝกึ หัดท่ี 2
เรื่อง อัตราสว่ นตรีโกณมติ ขิ องมุมบางมมุ

1. จงหาค่าของ x , y หรอื z จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากทก่ี าหนดให้ต่อไปน้ี

1) 3) 5 3
45
30

14 x y x

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

2) 4)

y8 xy

45 z 60 30 60
x 8

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

2. กาหนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก ทีม่ ีมมุ C เป็นมมุ ฉาก และ cos A = 1

2

จงหาค่าของ
1) sin A ……………………………………………..
2) tan A ……………………………………………..
3) sin B ……………………………………………..
4) cos B ……………………………………………..
5) tan B ……………………………………………..

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง อตั ราส่วนตรีโกณมิติ รายวชิ าคณติ ศาสตรส์ าหรับวศิ วกรรม 1 หนา้ 12

3. จากรปู กาหนดรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC และ EBD โดยที่มุม C เป็นมมุ ฉาก
ถ้า ̂ = 4 ̂ = 1 และ BE = 15 หน่วย และ AC = 8 หน่วย

52

แล้ว จงหาความยาวดา้ น BC
………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

4. จากรปู ทกี่ าหนดให้ จงหาคา่ x , y , z และ w
……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

…………………………………..………………………………………
……………………………………………………..……………………

…………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………

5. กาหนดใหร้ ูปสามเหล่ียม ABC เป็นรูปสามเหล…ีย่ …ม…ห…น…า้ …จ..่ัว โดยท่ี ̂ = ̂ = 30°
และ AD  2 จงหาความยาวรอบรูปสามเหลยี่ ม ABC

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………
…………………………………..………………………………………

……………………………………………………..……………………

…………………………………………………………………………..
6. …จ…า…ก…ร…ูป……ถ…้า………ด…า้ น……B…D……ย…า…ว…1…0……ห…น…่วย แล้ว จงหาว่าดา้ น AB ยาวเท่ากบั กี่หน่วย

………………………….. …………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

………..………………………………………………………………………………
……………..…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………
…….

……………………………………………………………………………
………………..

เอกสารประกอบการเรยี นเรือ่ ง อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ รายวิชาคณติ ศาสตร์สาหรับวศิ วกรรม 1 หนา้ 13

7. จากรูป ถา้ ดา้ น CD ยาว 4 หน่วย แล้ว จงหาว่าดา้ น AB เท่ากับกหี่ น่วย

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………..………………………………………………………………………………
……………..…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
8….จ…ง.หาคา่ ของ cos60 sec30 sin 45
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………………
9.จงหาค่าของ cec60  cot45  sin 30
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
10. จงหาค่าของ sin 60  tan 45  cos30
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11. จงหาคา่ ของ cos2 60  tan 2 45  3 tan 2 30  cos2 30  sin 30

4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

12. จงหาค่าของ tan 2 30  4sin 2 45  1 sin 2 60

3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
13. จงหาคา่ ของ cocec45 cos45  8sin 30 cos60  3 cot45 tan 30  6 cosec60 cosec45
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

14. จงหาค่าของ tan 60  tan 30

1  cot30 cot60

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นเรือ่ ง อัตราส่วนตรโี กณมิติ รายวิชาคณติ ศาสตร์สาหรบั วิศวกรรม 1 หนา้ 14

15. จงหาค่าของ sin 45 cos30 tan 60 sec45

cot30 sec 45

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
16. กาหนดใหม้ มุ A เป็นมุมในรูปสามเหลี่ยม ABC ซงึ่ มมี ุม C เป็นมมุ ฉาก

ถ้า sin2 A = 4 cos2 A และ sec4 A – sec2 A = k tan2 A แล้ว จงหาคา่ k
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
17. ให้ PQR เป็นรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั ซงึ่ มี PQ เป็นฐาน ถ้า PQ ยาว 6 เซนติเมตร และ

มุม PQR เทา่ กบั 45 แล้ว จงหาความสูงของรปู สามเหล่ียม PQR
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ รายวิชาคณติ ศาสตร์สาหรับวศิ วกรรม 1 หนา้ 15

2.4 การอ่านคา่ อัตราสว่ นตรีโกณมิติจากตาราง

ตารางแสดงคา่ โดยประมาณของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ของมุมขนาดตา่ ง ๆ หาไดจ้ ากตาราง

เอกสารประกอบการเรยี นเร่ือง อัตราส่วนตรีโกณมิติ รายวิชาคณติ ศาสตรส์ าหรับวศิ วกรรม 1 หนา้ 16

ตวั อย่างท่ี 1 จากตารางจงหาค่าของ
1) sin 21o =…………………….. 6) sin40o = ………………….
2) tan 68o = ……………………. 7) tan10o = ………………….
3) cos 75o = ……………………. 8) cos32o = ………………….
4) cos81o = ……………………. 9) cos21o = ………………….
5) sin73o = ……………………. 10) sin40o = ………………….

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาค่าโดยประมาณของ 2 40 − 3 35

วธิ ีทา จากตาราง 40 =............................และ 35 =..................................
ดงั นนั้ 2 40 − 3 35 =...................................................................................
=...................................................................................
=...................................................................................
ดังน้ัน 2 40 − 3 35 =...................................................................................

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาค่าโดยประมาณของ 2 10 − 1 20 + 68
2
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

ตัวอย่างท่ี 4 กาหนดรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC โดยมมี มุ C เป็นมุมฉาก มุม A เท่ากับ 40 องศา
และความยาวดา้ น AB เทา่ กบั 5 หนว่ ย จงหาขนาดมุมและความยาวด้านท่เี หลือของรปู
สามเหลย่ี ม ABC

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

ไม่ยากเลย

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ รายวชิ าคณติ ศาสตรส์ าหรบั วิศวกรรม 1 หน้า 17

บทท่ี 3
เรือ่ ง การประยกุ ตข์ องอัตราสว่ นตรโี กณมิติ

ในการวัดระยะทางและความสูง วชิ าตรีโกณมติ จิ ะใหป้ ระโยชนอ์ ย่างมากมาย เพราะใน
บางสถานการณ์ ไมส่ ามารถใช้เครื่องมอื วดั ได้โดยตรง จงึ จาเปน็ ตอ้ งอาศยั ความรู้เก่ยี วกบั
อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ รปู สามเหลี่ยมคลา้ ยและทฤษฎบี ทปิทาโกรัสช่วยในการคานวณได้ โดยไม่
จาเปน็ ต้องทาการวดั จริง เพยี งแต่ทราบมมุ ท่ีเกยี่ วขอ้ งกส็ ามารถหาระยะทางและความสูงของสิง่
ตา่ ง ๆ ได้ เช่น ภูเขา อาคาร เสาธง เปน็ ต้น เพียงแต่เรายืดเสน้ ระดับสายตา จะไดม้ มุ สาคัญสอง
ชนดิ คอื มมุ เงยหรือมมุ ยกขนึ้ (Angle of Elevation) และมุมก้มหรือมมุ กดลง(Angle of Depression)

1. มุมเงย (Angle of Elevation) ให้ A
เป็นจุดสงั เกตและ B เปน็ ยอดของต้นไม้ มมุ
เงยของยอดไม้ B เม่ือสังเกตท่จี ดุ A มุมซงึ่
เส้นตรง AB ทับเสน้ ระดบั สายตาทจ่ี ดุ A

2. มมุ กม้ (Angle of Depression) ให้ A เปน็
จุดสังเกตและ B เป็นจดุ ซง่ึ เรอื ทอดสมออยู่
มมุ ก้มลงของเรอื B เม่อื สังเกตท่ีจุด A คือมุม
ที่เสน้ ตรง AB ทากับเส้นระดบั สายตาท่ีจุด A

เกรด็ ความรู้

การบนั ทกึ เสน้ ทางการเดนิ เรอื และการบันทกึ เสน้ ทางการบินของเครื่องบินใชก้ ารวดั มุมที่เรยี กว่า
แบริง(Bearings)
คือ การวดั มมุ โดยเร่มิ วัดจากทศิ เหนอื ไปในทศิ ทางตามเขม็ นาฬกิ าจนถึงเส้นทางทต่ี อ้ งการ ซ่ึงคา่ มมุ นี้จะมี
ค่าระหวา่ ง 0-360 องศา และถา้ ค่าของมมุ ตา่ กว่า 100 องศา จะต้องเขยี น 0 นาหน้าดว้ ยเพือ่ ใหไ้ ดต้ วั เลขครบ
3 ตัวทกุ ครง้ั การวดั มุมประเภทนจ้ี ะใชเ้ ฉพาะนักเดินเรอื และนักบนิ เท่าน้ัน

เอกสารประกอบการเรยี นเร่อื ง อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ รายวชิ าคณิตศาสตรส์ าหรบั วิศวกรรม 1 หนา้ 18

ตวั อยา่ งท่ี 1

จากรปู A เปน็ จุดสงั เกตซึ่งอยูบ่ นยอดตกึ ที่มี ความ
สูง และ AD คอื เส้นระดับสายตา
มุมเงย ของเครอื่ งบนิ B อยู่ระดับสายตา AD คอื มุมที่
เส้นตรง AB ทากบั เสน้ ระดบั สายตา AD ทีจ่ ดุ A
มมุ กม้ ของรถยนต์ C อยู่ใต้เส้นระดบั สายตา AD คอื
มุมทีเ่ ส้นตรง AC ทากบั เส้นระดบั สายตา AD ท่จี ุด A

ตัวอยา่ งท่ี 2 ชายคนหนึ่งยนื อยู่บนดาดฟ้าของตกึ ซึ่งสงู จากพื้นดิน 95 เมตร มองเหน็ รถยนตค์ นั หนึ่งด้วยมุม
ก้ม 30 จงหาวา่ รถยนต์อยหู่ า่ งจากตึกกเ่ี มตร
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
ตัวอยา่ งท่ี 3 เบลล์ยืนอยูบ่ นยอดประภาคารแหง่ หนึ่ง ซง่ึ สงู 90 เมตร โดยใชก้ ลอ้ งส่องทางไกลมองจากเส้นแนว
ระดบั สายตา ไปเหน็ เรอื ประมง 2 ลา จอดอยใู่ นแนวเดยี วกันกลางทะเล โดยท่มี มุ ทมี่ องไปยงั เรือประมง ท้ังสอง
ลากับเส้นแนวระดับสายตา มีขนาด 45 และ 30 องศา ตามลาดับ จงหาระยะหา่ งของเรือท้ังสอง
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
ตวั อย่างท่ี 4 A ,B และ C เปน็ จดุ บนระนาบซงึ่ อย่ใู นแนวเส้นตรงเดยี วกับโคนต้นไมต้ น้ หนง่ึ มมุ เงยของยอด
ต้นไม้ เมอื่ สงั เกตจากจดุ A,B และ C เปน็ 30, 45 และ 60 ตามลาดับ ถา้ BC ยาว 10 เมตร จงหาความสงู
ของต้นไม้ และระยะระหวา่ งจดุ A กบั โคนตน้ ไม้
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรยี นเร่อื ง อตั ราส่วนตรีโกณมิติ รายวิชาคณิตศาสตรส์ าหรับวิศวกรรม 1 หน้า 19

แบบฝึกหดั ที่ 3

เร่อื ง การประยุกต์ของอัตราส่วนตรโี กณมิติ

1. ต้นไมต้ น้ หนึ่งทอดเงายาว 40 เมตร แนวของเส้นตรงทล่ี ากจากจดุ ปลายของเงาตน้ ไม้และ
ยอดต้นไม้ทามุม 20 องศา กบั เงาของตน้ ไม้ จงหาความสูงของต้นไม้น้ี
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………..………………………………………………………………………………
……………..…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…….

2. ลกู เสือคนหน่ึงต้องการหาความสงู ของเสาธง…ข…อ…งโ…ร…ง…เร…ีย…น……ถ…า้ …ข…ณ…ะ…ท…ีม่……อ…งเ…ส…า…ธ…ง…ม…มุ …เง…ย…จ…าก
ระดับสายตาไปยงั ยอดเสาธงมขี นาด 45 องศ…า…เ…ข…าย…ืน….อ. ยหู่ ่างจากเสาธงระยะทาง 12 เมตร
และความสูงจากพื้นดินถึงระดับสายตาของเขา
เป็น 1.5 เมตรอยากทราบว่า เสาธงสงู เทา่ ใด

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………..………………………………………………………………………………
……………..…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…….

3. ห…อ…ค…อ…ย…ต…ัง้ …อ…ย…ู่บ…น…ฝ…ั่ง…แ…ม…น่ …้า…ส…า…ย…ห…น…ึ่ง…A…B……เ…ป…น็ …ความกว้างของแม่นา้ โดยทจี่ ุด A อยรู่ ิมฝง่ั แม่นา
ฟ…า…ก…เด…ยี …ว…ก..ับหอคอย และทามมุ เงย 60 กบั ยอดหอคอย ถา้ จุด B ทามุมเงย 45 กับยอด
หอคอย และหอคอยสูง 360 ฟุต จงหาความกว้างของแม่น้าสายนี้

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนเรือ่ ง อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ รายวชิ าคณิตศาสตร์สาหรับวศิ วกรรม 1 หนา้ 20

4. เอลซ่าอยูท่ ีร่ ะเบยี งช้นั ท่ี 20 ของคอนโดมิเนยี ม ทต่ี ้ังอยู่บนยอดเขาน้าแขง็ ซึ่งอยเู่ หนือ
ระดับนา้ ทะเล 10 เมตร เขามองเหน็ เรอื ประมง 2 ลา จอดอยูใ่ นทะเล ทามมุ กม้ 30 และ
60 ตามลาดับ ถ้าแต่ละช้ันของคอนโดมเิ นียมสงู 4 เมตร เรือทง้ั สองลาอยูห่ ่างกนั ประมาณ
เทา่ ใด

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

5. ราพันเซลรถยนต์วง่ิ ขน้ึ เนนิ เขา ซึง่ ทามุม 30 กับพื้นราบ เมอื่ ว่งิ ไปได้ 2,400 เมตร ถนนชนั
ขน้ึ อกี โดยทามมุ 45 กับพน้ื ราบ ถ้ายงั วิ่งต่อไปอกี 4,000 เมตร จึงหยุดจอด จงหาว่าจาก
จุดทจ่ี อดรถยนตค์ นั นอี้ ยู่สูงจากพ้ืนราบกเี่ มตร

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

6. จสั มนิ ยืนห่างจากตกึ หลังหนึง่ 60 เมตร มองเหน็ ยอดตึกและเสาอากาศ ซง่ึ อยบู่ นยอดตกึ
เป็นมมุ เงย30 และ 60 ตามลาดบั จงหาความสงู ของเสาอากาศน้ี

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................

ไหวไหม
คนดี

เอกสารประกอบการเรียนเรอ่ื ง อัตราสว่ นตรโี กณมิติ รายวิชาคณติ ศาสตร์สาหรบั วศิ วกรรม 1 หนา้ 21

7. แอเรยี ลยนื อยูบ่ นหนา้ ผาสงู 150 เมตร เหน็ กองหนิ สองกองอยูบ่ นพน้ื ดนิ เบ้ืองล่างในแนว
เดยี วกนั ถา้ มมุ กม้ ของกองหนิ ทงั้ สองเปน็ 60 และ 45 ตามลาดับ จงหาว่าหินทงั้ สองกอง
อยู่หา่ งกนั เท่าใด

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................

8. มุมเงยของยอดหอคอย เมื่อสงั เกตจากจดุ จดุ หนง่ึ บนพื้นราบเป็น 60 แตถ่ า้ สังเกตจากจดุ
อีกจดุ หนึ่งซึง่ อย่สู ูงจากจดุ เดิมขนึ้ ไปอกี 30 ฟุต จะไดม้ มุ เงยเป็น 45 จงหาว่าหอคอยน้มี ี
ความสูงเทา่ ใด

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................

9. โมอานา่ มองมมุ เงยจากพื้นดนิ ไปยังบอลลนู ท่ีระดับความสงู 50 เมตร ทามมุ 30
เมือ่ บอลลูนลอยข้ึนไปจากเดิม 100 เมตร มมุ เงยจะเพ่ิมขนึ้ จากเดิมเทา่ ใด

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนเรือ่ ง อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ รายวิชาคณติ ศาสตรส์ าหรับวศิ วกรรม 1 หน้า 22

10. ยูจนี ยนื อยู่บนพ้นื ดนิ ณ จดุ ๆหน่งึ มองดูราพันเซลบนยอดหอคอยเปน็ มมุ เงย 30 เม่ือเขา
เดินเขา้ ไปใกลห้ อคอยอกี เปน็ ระยะ 100 เมตร เขามองเห็นราพันเซลดว้ ยมมุ เงย 60 หาก
ราพันเซลตอ้ งการปลอ่ ยผมลงมาให้ถงึ พนื้ ผมของราพันเซลต้องยาวอย่างน้อยกเ่ี มตร

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................

11. มู่หลานยืนอยู่บนดาดฟ้าของตกึ 10 ช้ัน มองเหน็ ป้อมยามท่ีอยู่ทางทศิ ตะวันออกของตึกเปน็
มมุ กม้ 60และมองเห็นรถยนต์คันหนึ่ง จอดอยทู่ างทศิ ตะวนั ตกของปอ้ มยามเปน็ มมุ กม้ 30
ถา้ ตกึ สูงชัน้ ละ 4 เมตร จงหาว่ารถยนตอ์ ยูห่ า่ งจากปอ้ มยามเท่าใด

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................
12.สโนว์ไวทน์ าบันไดยาว 10 ฟุต พาดเข้ากับกาแพงให้ปลายบนของบันไดอยชู่ ดิ กับขอบบนของ
กาแพงพอดี เขาสังเกตเหน็ วา่ บันไดทามุม 60 กับพ้นื ราบ จงหาความสูงของกาแพง

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

ลองทาข้อสอบ
กนั จ้า

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ รายวิชาคณติ ศาสตร์สาหรบั วศิ วกรรม 1 หนา้ 23

แนวขอ้ สอบ

1. กาหนดให้สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC ซง่ึ มมี ุม C  90 และมมุ   2  ถ้า AC  4 3

B A

แล้ว AB  BC เทา่ กับเท่าใด(ข้อสอบโอเนตปี 58)

1. 10 2 2. 12 3. 10 3 4. 13 5. 16

2.กาหนดรูปสามเหลยี่ ม ABC ซง่ึ มีมุม B  30 และ C  60 ให้ D เปน็ จุดบนด้าน BC

โดยท่ี AD ตง้ั ฉากกบั BC ถ้า CDยาว 3 หน่วย แลว้ BD ยาวกห่ี น่วย(ขอ้ สอบโอเนตปี 58)

1. 6 2. 6 2 3. 6 3 4. 9 5. 9 3

3.ก้องยืนอยบู่ นตกึ เหนอื จุด A ทอ่ี ยูบ่ นพืน้ ดิน และตาของกอ้ งอยู่สูงจากจุด A 90 ฟุต เขามองลงไปยงั รถยนต์ท่ี
จอดอยู่ ณ จุด B บนพื้นดนิ โดยมมุ ทีแ่ นวสายตาเทา่ กบั เสน้ ระดบั เปน็ มมุ กม้ มขี นาด30 ดงั รปู รถยนตค์ นั นี้
จอดอยหู่ ่างจากจุด A กฟ่ี ตุ (ขอ้ สอบโอเนตปี 61)

1. 90 2. 180 3. 30 3 4. 60 3 5. 90 3

แวะมาดคู นเก่งจา้

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ รายวิชาคณติ ศาสตร์สาหรบั วิศวกรรม 1 หนา้ 24



4. กาหนดให้ ABC เป็นสามเหล่ยี มแนบในวงกลมมีดา้ น AC เป็นเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง ถ้า B AC  60

และ ด้าน BC ยาว 10 3 หน่วย แล้วรัศมวี งกลมยาวเท่าใด (ขอ้ สอบโอเนตปี 59)

1. 5 3 2. 10 3. 15 4. 10 3 5. 20

5. รูปสามเหลย่ี ม ABC มีมุม B และมมุ C เปน็ มมุ แหลม เมอ่ื ลากเส้นจากจุด A มาต้งั ฉากกับดา้ น BC

ท่จี ุด D จะได้ AD ยาวเปน็ ครง่ึ หนง่ึ ของ AB และ AD เทา่ กับ DC มมุ A มีขนาดเท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี

(ข้อสอบวิชาสามัญ (คณิต 2 ) ปี 58 )

1. 75 2. 90 3. 105 4. 120 5. 135

6.กาหนด ABC และมมุ C เปน็ มมุ ฉาก มีดา้ น AB ยาว 20 หนว่ ย และ tan B  3 ถา้ D เป็นจดุ บน

4



ดา้ น BC โดย AD ยาว 13 หน่วย แลว้ cos A D C มีคา่ เทา่ กบั ข้อใด
(ข้อสอบวิชาสามญั (คณติ 2 ) ปี 58 )

1. 4 2. 4 3. 5 4. 5 5. 12

13 12 13 12 13

เอกสารประกอบการเรยี นเรือ่ ง อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ รายวชิ าคณติ ศาสตรส์ าหรบั วิศวกรรม 1 หนา้ 25
7. กาหนด ABC เปน็ สามเหลีย่ มมมุ ฉาก และมมุ B เป็นมมุ ฉาก และมี BD เปน็ เสน้ ความสูงของรูปสามเหลยี่ ม

ถา้ มุม  และ AD ยาว 2 หน่วย แล้ว CD ยาวกี่หน่วย (ข้อสอบโอเนตปี 57)

A  60

1. 4 2. 4 3 3. 6 4. 6 3 5. 8

8. ชายคนหนงึ่ ยืนอยรู่ ะหว่างตกึ สองหลัง ถา้ ชายคนนมี้ องยอดตกึ ทหี่ นง่ึ ดว้ ยมมุ เงย 30 แล้วหันหลงั กลับ

เขาจะมองเห็นยอดตึกท่สี องด้วยมุมเงย 60 สมมติว่าตึกที่สองสูงกว่าตกึ ท่ีหนงึ่ 20 3 เมตร และทง้ั สอง

ตกึ หา่ งกัน 100 เมตร ชายคนน้อี ยูห่ า่ งจากตึกทหี่ นึ่งกี่เมตร (ข้อสอบโอเนตปี 59)

1. 30 3 2. 40 2 3. 60 4. 62 5. 70

9.โตง้ ยนื อย่รู ะหวา่ งเสาธงและเสาไฟฟา้ โดยยนื อยู่บนพ้ืนดินในแนวเส้นตรงเดียวกนั กับโคนเสาธงและ

โคนเสาไฟ จุดท่โี ตง้ ยืนห่างจากโคนเสาธง 10 เมตร และหา่ งจากโคนเสาไฟฟ้า 16 เมตร โต้งมองเห็นยอด

เสาธงและยอดเสาไฟฟา้ เป็นมมุ เงย 60 เท่ากนั ดงั รปู เสาไฟฟ้าสูงกวา่ เสาธงก่เี มตร(ขอ้ สอบโอเนตปี 62)

1. 6 3 2. 6 3. 3 3 4. 3 5. 2 3

10.ที่ดนิ รูปสามเหลี่ยมมุกฉาก ABC มี AC ยาว 60 เมตรตอ้ งการแบ่งท่ดี ินแปลงน้อี อกเปน็ บางสว่ น

โดยทารัว้ จากจดุ A ไปยังจดุ P ซงึ่ อยูบ่ นเสน้ ตรง BC ดงั รปู รัว้ กั้นจากจุด A ไปยงั จุด P ยาวก่ีเมตร

(ข้อสอบโอเนตปี 62)

1. 30 2. 45 3. 30 2 4. 30 3 5. 30 6

เอกสารประกอบการเรียนเรือ่ ง อัตราสว่ นตรโี กณมิติ รายวชิ าคณิตศาสตร์สาหรบั วศิ วกรรม 1 หนา้ 26

บทท่ี 4
เรอื่ ง การวัดความยาวส่วนโค้งและจุดปลายสว่ นโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย

ขอ้ ตกลงเบอื้ งต้นเกยี่ วกับวงกลมหนึง่ หน่วย

ค่าของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติ

ในการกาหนดคา่ ของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ ทาไดโ้ ดยใช้วงกลมรัศมี 1 หน่วย ซ่ึงมีจดุ ศูนยก์ ลางอยูท่ ่ีจดุ
กาเนิดเป็นหลกั ในการกาหนดค่าของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ และจะเรียกวงกลมดังกลา่ วว่า “วงกลมหนง่ึ หนว่ ย” (The
unit circle) ซ่ึงมคี วาม

 สมั พันธ์ เป็น (x, y)  R  R x2  y 2  1

จากรปู จะได้ว่า ความยาวเสน้ รอบวงของวงกลมท่มี ีรัศมียาว หนว่ ย คอื 2

ดังน้ัน ความยาวเส้นรอบวงของวงกลมทีม่ รี ศั มยี าว 1 หน่วย เทา่ กบั 2 หนว่ ย

ความยาวส่วนโคง้ ครึง่ วงกลมเท่ากบั 2 = หนว่ ย และความยาวสว่ นโค้งเสย้ี ววงกลมเท่ากบั 2 =
หน่วย
2 42

เมอื่ กาหนดจานวนจรงิ  (ทีตา) ให้ จากจุด (1,0) วดั ระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลมหนึง่ หน่วย ใหย้ าว

 หน่วย

จะถึงจดุ (x , y) ซงึ่ อยบู่ นวงกลม 1 หนว่ ย โดยมขี ้อตกลงสาหรบั ทิศทาง ดงั น้ี

1) ถา้  > 0 จะวดั ส่วนโคง้ จากจดุ (1,0) ไปในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกาค่าทีแ่ ทนขนาดของความยาวส่วนโค้งจะ

แทนด้วย

จานวนจริงบวก

2) ถ้า  < 0 จะวดั สว่ นโคง้ จากจดุ (1,0) ไปในทศิ ทางตามเข็มนาฬิกา ความยาวส่วนโคง้ จะแทนด้วยจานวน

จริงลบ

3) ถา้  = 0 จดุ ปลายส่วนโคง้ คือ (1,0)

มมุ และการวดั มุม หนว่ ยของมมุ นยิ มใช้ 2 ชนดิ คอื องศา และ เรเดียน

การเปลย่ี นแปลงระหวา่ งขนาดของมุมในหน่วยองศากับหนว่ ยเรเดียน

จะได้ 360 องศา = 2  เรเดยี น

180 องศา =  เรเดยี น

1 องศา =  เรเดยี น
1 เรเดยี น 180
= 180 องศา


เอกสารประกอบการเรียนเรอื่ ง อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ รายวิชาคณิตศาสตร์สาหรบั วิศวกรรม 1 หนา้ 27

แบบฝึกหัดท่ี 4

เรอ่ื ง การวดั ความยาวส่วนโค้งและจุดปลายส่วนโคง้ ของวงกลมหนงึ่ หน่วย

1. กาหนด  เป็นจานวนจรงิ และ  เปน็ ความยาวส่วนโค้งของวงกลมหน่งึ หนว่ ยทีย่ าว 

หน่วย จงพจิ ารณาวา่  อยู่ในควอดรันต์ใดหรือบนแกน x, y

 ควอดรันตท์ ี่  ควอดรันต์ท่ี

 
43

  13
33

5  5
66

7  21
44

9 

4

11 2
6

25 2.5

6

28 -4

3

3 -8

5 -10

3.8 -12

6 -15

เอกสารประกอบการเรยี นเรอ่ื ง อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ รายวชิ าคณิตศาสตรส์ าหรับวศิ วกรรม 1 หน้า 28

2. จงเขยี นสว่ นโค้งของวงกลมหนง่ึ หน่วย เมือ่ กาหนด  ใหใ้ นแต่ละข้อต่อไปนี้เมอ่ื เริม่ จากจดุ (1, 0)

1)    y 2)    y
2

xx

3)   3 4)    2
2 3
y
y

x x

5)   5 y 6)   7 y
6 3

x x

7)   16 8)    13
3 3
y
y
x
9) θ  20π x
x 10) θ  - 25π
3
6
y
y

x

เอกสารประกอบการเรียนเร่อื ง อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ รายวิชาคณิตศาสตรส์ าหรับวศิ วกรรม 1 หน้า 29

บทที่ 5
เรอื่ งโคออร์ดเิ นทของจดุ ปลายสว่ นโค้ง

โคออรด์ เิ นทของจุดปลายสว่ นโค้งวงกลมหนงึ่ หนว่ ย
กาหนด θ เปน็ จานวนจรงิ และใหค้ วามยาวส่วนโคง้ ของวงกลมหน่งึ หน่วยยาว θ หนว่ ย

มีโคออรด์ ิเนทของจุดปลายสว่ นโค้งเป็น (x, y) น่ันคือ P(θ) = (x, y)

1. โคออร์ดเิ นทของจุดปลายส่วนโค้งยาว 0,  , 3 และ 2
,
y 22

(0, 1)

(-1, 0) 0 (1, 0) x

(0, -1)

จากรปู วงกลมหน่ึงหน่วยจะเห็นว่า P(   ) = ....................................
P(0) = .................................... 2 = ....................................
= ....................................
P(  ) = .................................... P(-  ) = ....................................
2 = ....................................
P(- 3 ) = ....................................
P(  ) = .................................... 2 = ....................................
= ....................................
P( 3 ) = .................................... P(- 2 ) = ....................................
2 = ....................................
P( 7 )
P( 5 ) = .................................... 2

2 P(  9 )

P( 7 ) = .................................... 2

P( 11 ) = .................................... P(-10 )

2 P(- 19 )

P(15 ) = .................................... 2

P(  7 ) = .................................... P(- 4 )
P(  7 )
2

P(  6 ) = ....................................

เอกสารประกอบการเรียนเรอื่ ง อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ รายวิชาคณติ ศาสตรส์ าหรบั วิศวกรรม 1 หนา้ 30

2. โคออร์ดิเนทของจดุ ปลายส่วนโค้งยาว 

3

จากรปู วงกลมหนง่ึ หนว่ ยจะเหน็ วา่

 = .................................... P( 11 ) = ....................................

P( ) 3
3
P( 19 ) = ....................................
P( 2 ) = ....................................
3
3
P( 22 ) = ....................................
P( 4 ) = ....................................
3
3
P( 14 ) = ....................................
P( 5 ) = ....................................
3
3
P( 19 ) = ....................................
P( 17 ) = ....................................
3
3
P(  17 ) = ....................................
P( 16 ) = ....................................
3
3
P(- 25 ) = ....................................
P( 23 ) = ....................................
3
3
P(- 7 ) = ....................................
P( 25 ) = ....................................
3
3
P(  22 ) = ....................................
P( 19 ) = ....................................
3
3
P( 13 ) = ....................................
P(  13 ) = ....................................
3
3
P(- 31 ) = ....................................
P(  19 ) = ....................................
3
3
P(- 34 ) = ....................................
P( 28 ) = ....................................
3
3
P(  10 ) = ....................................
P( 8 ) = ....................................
3
3
P(  40 ) = ....................................
P(  37 ) = ....................................
3
3

เอกสารประกอบการเรยี นเรอ่ื ง อตั ราส่วนตรโี กณมิติ รายวิชาคณติ ศาสตรส์ าหรบั วศิ วกรรม 1 หนา้ 31

3. โคออรด์ เิ นทของจุดปลายสว่ นโค้งยาว 

4

จากรูปวงกลมหนง่ึ หนว่ ยจะเหน็ ว่า P( 11 ) = ....................................

P(  ) = .................................... 4

4 P( 19 ) = ....................................

P( 3 ) = .................................... 4

4 P( 21 ) = ....................................

P( 5 ) = .................................... 4

4 P( 11 ) = ....................................

P( 7 ) = .................................... 4

4 P( 35 ) = ....................................

P( 17 ) = .................................... 4

4 P(  15 ) = ....................................

P( 13 ) = .................................... 4

4 P(- 17 ) = ....................................

P( 23 ) = .................................... 4

4 P(- 7 ) = ....................................

P( 25 ) = .................................... 4

4 P(  23 ) = ....................................

P( 21 ) = .................................... 4

4 P(  25 ) = ....................................

P(  17 ) = .................................... 4

4 P(  11 ) = ....................................

P(   ) = .................................... 4

4 P(  19 ) = ....................................

P(  3 ) = .................................... 4

4 P(  21 ) = ....................................

P(  5 ) = .................................... 4

4 P(  11 ) = ....................................

P(  7 ) = .................................... 4

4

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง อตั ราส่วนตรโี กณมิติ รายวิชาคณิตศาสตรส์ าหรับวศิ วกรรม 1 หนา้ 32

4. โคออรด์ ิเนทของจดุ ปลายสว่ นโค้งยาว 

6

(……….…….) (……….…….)

(……….…….) (……….…….)

จากรปู วงกลมหนง่ึ หนว่ ยจะเหน็ วา่ P( 11 ) = ....................................

P(  ) = .................................... 6

6 P( 19 ) = ....................................

P( 5 ) = .................................... 6

6 P(  5 ) = ....................................

P( 4 ) = .................................... 6

3 P(  11 ) = ....................................

P( 7 ) = .................................... 6

6 P(  19 ) = ....................................

P( 17 ) = .................................... 6

6 P(  25 ) = ....................................

P( 13 ) = .................................... 6

6 P(- 17 ) = ....................................

P( 23 ) = .................................... 6

6 P(- 7 ) = ....................................

P( 25 ) = .................................... 6

6 P(  23 ) = ....................................

P( 65 ) = .................................... 6

6 P( 37 ) = ..................................

P(   ) = .................................... 6

6 P(  31 ) = ....................................

P( 31 ) = .................................... 6

6 P(  37 ) = ....................................

P(-  13 ) = .................................... 3

6 P(  5 ) = ....................................

P(  4 ) = .................................... 6

3

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง อตั ราส่วนตรีโกณมิติ รายวชิ าคณติ ศาสตร์สาหรับวิศวกรรม 1 หนา้ 33

แบบฝึกหดั ท่ี 5

1. กาหนด θ เป็นจานวนจริง และ P(θ) เปน็ จุดปลายสว่ นโค้งของวงกลมหนงึ่ หน่วยที่ยาว θ

หน่วย จงบอกโคออร์ดิเนทของจุดปลาย

1. P(  ) = ………………… 2. P( 2 ) = …………………

3. P(-3  ) = ………………… 4. P(-4  ) = …………………

5. P(  ) = ………………… 6. P( 3 ) = …………………
2 2

7. P(  7 ) = ………………… 8. P(  5 ) = …………………
2 2

9. P(  ) = ………………… 10. P(  ) = …………………
4 3

11. P(  ) = ………………… 12. P( 5 ) = …………………
6 6

13. P( 2 ) = ………………… 14. P( 5 ) = …………………
3 4

15. P( 4 ) = ………………… 16. P( 7 ) = …………………
3 4

17.P( 11 ) = ………………… 18. P(  4 ) = …………………
6 3

19. P(  5 ) = ………………… 20. P(  7 ) = …………………
6 4

21. P(  2 ) = ………………… 22. P(  5 ) = …………………

3 4

23. P(  4 ) = ………………… 24. P(  7 ) = …………………

3 4

25.P( 19 ) = ………………… 26. P(  13 ) = …………………

6 3

27. P(  17 ) = ………………… 28. P(  19 ) = …………………

6 4

29. P(  23 ) = ………………… 30. P(  15 ) = …………………

6 4

เอกสารประกอบการเรียนเรอื่ ง อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ รายวิชาคณติ ศาสตรส์ าหรบั วศิ วกรรม 1 หนา้ 34

บทท่ี 6
เรื่องฟังกช์ ันไซน์และโคไซน์

ฟงั ก์ชันไซนแ์ ละโคไซน์
จากวงกลมหน่งึ หน่วย จะเหน็ ว่าเมือ่ กาหนดจานวนจริง θ ใหเ้ ราสามารถหาจุดปลายส่วน

โคง้ ทย่ี าว θ หนว่ ยได้เสมอ และสาหรับแต่ละค่าของ θ ทีก่ าหนดใหจ้ ะหาจดุ (x, y) ซงึ่ เป็นจดุ
ปลายส่วนโค้งทยี่ าว θ หน่วย เพียงจดุ เดียวเทา่ นัน้

นนั่ คอื สาหรับแต่ละค่าของ θ ที่กาหนดให้ จะได้ x เพียงหนงึ่ ค่า จงึ กล่าวไดว้ า่ f(θ) = x
เรยี กว่า ฟงั ก์ชันโคไซน์ (cosine)

สาหรบั แต่ละค่าของ θ ที่กาหนดให้ จะได้ y เพยี งหนง่ึ คา่ จงึ กลา่ วได้วา่ g(θ) = y
เรียกว่า ฟังกช์ ันไซน์ (sine)

นิยาม เมอื่ (x, y) เปน็ จุดปลายส่วนโคง้ ทยี่ าว θ หน่วย
ฟังก์ชันไซน์ คอื เซตของคู่อนั ดบั (θ, y)
ฟงั กช์ นั โคไซน์ คอื เซตของคอู่ นั ดับ (θ, x)

จากนยิ าม
 (θ, y)  sine จะได้ sin θ = y
(θ, x)  cosine จะได้ cos θ = x
เขยี นย่อๆ จะได้ว่า
y = sin θ
x = cos θ

ข้อสงั เกต โดยท่วี งกลมหนึ่งหนว่ ยมีจุดศูนยก์ ลาง (0, 0) มคี วามสมั พนั ธ์ คอื
x 2  y2  1โดยที่ 1 x 1 และ 1  y  1
นน่ั คอื cos2   sin 2  1

ดงั นั้น ค่าของฟงั กช์ นั ไซน์ และฟังกช์ ันโคไซน์ มคี า่ ตั้งแต่ -1 ถึง 1

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ รายวิชาคณติ ศาสตร์สาหรบั วิศวกรรม 1 หนา้ 35

คา่ ของฟังก์ชนั ไซนแ์ ละโคไซน์
จากนิยาม เม่ือกาหนดจดุ ปลายสว่ นโคง้ ของวงกลมหนึง่ หนว่ ยมาให้ คือ P(θ) = (x, y)

จะได้
y = sin θ และ x = cos θ

จดุ ปลายส่วนโคง้ ของจานวน 0,  ,  ,  ,  , , 3 , 2 ดงั รูป
6432 2

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาค่าของ cos θ และ sin θ เม่ือกาหนดความยาวส่วนโค้ง ดงั น้ี
θ cos θ sin θ θ cos θ sin θ

 
66
 
44
 
33
 
22

 

3  3
22
2 - 2

เอกสารประกอบการเรียนเรอ่ื ง อัตราส่วนตรโี กณมิติ รายวชิ าคณติ ศาสตร์สาหรบั วศิ วกรรม 1 หน้า 36

แบบฝึกหดั ท่ี 6

1. กาหนด θ เปน็ จานวนจริง และ P(θ) เป็นจุดปลายสว่ นโคง้ ของวงกลมหนึง่ หนว่ ยทย่ี าว θ
หน่วย จงบอกจุดโคออรด์ เิ นทของจุดปลายสว่ นโคง้ พรอ้ มท้งั หาค่า P(θ)

θ P(θ) cos θ sin θ θ P(θ) cos θ sin θ

3 - 3
4 - 4
5 - 5
22
7 - 7
22

5 - 5

66

2 - 2

33

5 - 5

44

4 - 4

33

7 - 7

44

11 - 11
66

 5 - 9
15  15

22
13 - 13

22

13 - 13

66

13 - 13

33

13 - 13

44

ใกล้จบแล้ว ส้ๆู

เอกสารประกอบการเรียนเรอื่ ง อัตราส่วนตรีโกณมิติ รายวชิ าคณติ ศาสตรส์ าหรับวิศวกรรม 1 หน้า 37

2. จงหาคา่ ของ

1) sin 2 = ………………… 2) cos 2 = …………………
3 3

3) tan 2 = ………………… 4) csc3 = …………………
3 4

5) sec3 = ………………… 6) cot 3 = …………………
4 4

7) sin 5 = ………………… 8) cos 5 = …………………
6 6

9) tan 5 = ………………… 10) csc( 4) = …………………
6 3

11) sec( 4) = ………………… 12) cot( 4) = …………………
3 3

13) sin( 7) = ………………… 14) cos( 7) = …………………
6 6

15) tan( 7) = ………………… 16) csc( 5) = …………………
6 4

17) sec( 5) = ………………… 18) cot( 5) = …………………
4 4

19) sec( 7 ) = ………………… 20) cot( 7 ) = …………………

4 4

3. จงหาคา่ ของ

1)   sin 5  tan 9  cos 5  tan 7 2) sin 5  tan 7  cos 3 sin 4
cos 6 6 43
23 4 6 6
…………………………………………………...
……………………………………………….

………………………………………………. …………………………………………………...

………………………………………………. …………………………………………………...

………………………………………………. …………………………………………………...

3) sin 3  tan  cos   cot 5  sin 7 4) cos2   sin 2   sin 2   cos2 11
2 26 6 446 6

………………………………………………. …………………………………………………...

………………………………………………. …………………………………………………...

………………………………………………. …………………………………………………...

………………………………………………. …………………………………………………...

5) sin    cos  sin   sin 5  tan 5
cos
36 36 3 3

……………………………………………….…………………………………………………...

……………………………………………….…………………………………………………...

……………………………………………….…………………………………………………...

เอกสารประกอบการเรยี นเรือ่ ง อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ รายวชิ าคณิตศาสตร์สาหรับวศิ วกรรม 1 หนา้ 38

บทท่ี 7
เรอื่ งความสัมพนั ธ์ระหวา่ งมมุ กับความยาวส่วนโค้ง

ความสัมพันธร์ ะหวา่ งมุมในหนว่ ยเรเดียนกับความยาวส่วนโคง้ ของวงกลมหนึ่งหนว่ ย

a
θ (1, 0)

r

ให้ θ เป็นมุมทจ่ี ุดศูนย์กลางวงกลมหนึง่ หนว่ ย ทีร่ องรับสว่ นโค้งทยี่ าว a หนว่ ย แล้วจะได้

 a
r

  a ( r  1)

นน่ั คือ

ในวงกลมหนง่ึ หน่วย ความยาวสว่ นโค้งท่ีรองรับมุมจะมคี า่ เทา่ กับ จานวนเรเดยี นของมมุ ท่ี

จดุ ศนู ย์กลางของวงกลมนน้ั

ดังน้ัน θ แทนความยาวสว่ นท่รี องรับมุมท่จี ดุ ศูนยก์ ลาง

θ แทนขนาดของมุมท่ีมหี นว่ ยเปน็ เรเดยี น

ตวั อยา่ งที่ 1 จากจุด(1, 0) วัดความยาวส่วนโค้ง 
3

ความยาวสว่ นโคง้ =  หนว่ ย
3

(1, 0) ดังนน้ั มมุ ทจ่ี ุดศนู ย์กลางของวงกลมทร่ี องรับ
สว่ นโคง้ มีขนาด =  = 60o

3

ดังนนั้ ฟังก์ชนั ตรโี กณมิตขิ องจานวนจริงซึ่งแทนความยาวสว่ นโคง้ ของวงกลมหนึ่งหน่วย
ก็จะเป็นฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมุมดว้ ย

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ รายวิชาคณติ ศาสตร์สาหรับวิศวกรรม 1 หนา้ 39

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ ต่อไปน้ี

1. sin  = ……………………… 2. cos  = ………………………
2 4

3. sin 60o = ……………………… 4. cos 60o = ………………………

ฟังก์ชนั ของมุม 180o  A , 360o  A และ (-A) เมอ่ื 0 < A < 90o

sin( 180o  A)  sin A csc(180o  A)  csc A
cos(180o  A)   cos A sec(180o  A)   sec A
tan(180o  A)   tan A cot(180o  A)   cot A

sin( 180o  A)   sin A csc(180o  A)   csc A
cos(180o  A)   cos A sec(180o  A)   sec A
tan(180o  A)  tan A cot(180o  A)  cot A

sin( 360o  A)   sin A csc(360o  A)   csc A
cos(360o  A)  cos A sec(360o  A)  sec A
tan( 360o  A)   tan A cot(360o  A)   cot A

sin( 360o  A)  sin A csc(360o  A)  csc A
cos(360o  A)  cos A sec(360o  A)  sec A
tan(360o  A)  tan A cot(360o  A)  cot A

sin(A)  sin A csc(A)   csc A
cos(A)  cos A sec(A)  sec A
tan(A)   tan A cot(A)   cot A

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง อัตราสว่ นตรโี กณมิติ รายวิชาคณติ ศาสตรส์ าหรับวศิ วกรรม 1 หน้า 40

ตวั อย่าง จงหาคา่ ของ

1. sin 120 = ………………………… 2. sec 300 = …………………………

= ………………………… = …………………………

= ………………………… = …………………………

= ………………………… = …………………………

3. cos 135 = ………………………… 4. tan 150 = …………………………
= ………………………… = …………………………
= ………………………… = …………………………
= ………………………… = …………………………

5. csc 240 = ………………………… 6. sec 210 = …………………………
= ………………………… = …………………………
= ………………………… = …………………………
= ………………………… = …………………………

7. tan (-225) = ………………………… 8. csc(-300) = …………………………
= ………………………… = ………………………
= ………………………… = …………………………
= ………………………… = …………………………

9. tan 780 = ………………………… 10. cot 390 = …………………………
= ………………………… = …………………………
= ………………………… = …………………………

อดทนอีกนิดเดียว

เอกสารประกอบการเรยี นเร่อื ง อัตราสว่ นตรีโกณมิติ รายวิชาคณติ ศาสตร์สาหรบั วศิ วกรรม 1 หนา้ 41

แบบฝึกหดั ที่ 7

1. จงหาว่าด้านสิน้ สุดของมุมตอ่ ไปน้ตี กอยใู่ นควอดรนั ตใ์ ด

1) 120 = …………... 2) 135 = …………… 3) 150 = ……………
6) 315 = ……………
4) 225 = …………... 5) 240 = …………… 9) -120 = ……………
12) -420 = ……………
7) 420 = …………... 8) 480 = ……………

10) -135 = …………... 11) -255 = ……………

2. จงหาคา่ ของ 2) cos 120 = ……………………
1) sin 135 = …………………… = ……………………
= …………………… = ……………………
= ……………………
3) tan 150 = …………………… 4) csc 225 = ……………………
= …………………… = ……………………
= …………………… = ……………………

5) sec 240 = …………………… 6) cot 210 = ……………………
= …………………… = ……………………
= …………………… = ……………………

7) csc 420 = …………………… 8) sec 390 = ……………………
= …………………… = ……………………
= …………………… = ……………………

9) tan(-135) = …………………… 10) sin(-150) = ……………………
= …………………… = ……………………

ไม่ไหวกเ็ ท

เอกสารประกอบการเรยี นเรอื่ ง อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ รายวชิ าคณิตศาสตรส์ าหรบั วิศวกรรม 1 หน้า 42

3. จงหาค่าของ

1) sin 150 + cos 120 + tan 225 2) tan 30 cot 60 + sec2 45

= ………………………………… =…………………………………………..

= ………………………………… =…………………………………………..

= ………………………………… =…………………………………………..

= ………………………………… =………………………………………….

3) cot 60 tan 30 – sec245 4) sin120 cos 150 tan 135

= ………………………………… =…………………………………………..

= ………………………………… =…………………………………………..

= ………………………………… =…………………………………………..

= ………………………………… =………………………………………….

5) 3 tan 2 135  sec2 300 6) sin(-150) + cos(-240) + tan(-315)
2sin 330 =…………………………………………..

= …………………………………

= ………………………………… =…………………………………………..

= ………………………………… =…………………………………………..

= ………………………………… =………………………………………….

7) sin 240 cos 300 + sin 150 tan 300 8) tan 480 sin  840
cos 390

= ………………………………… =…………………………………………..

= ………………………………… =…………………………………………..

= ………………………………… =…………………………………………..

= ………………………………… =………………………………………….