Vectores

CAPITULO 2
MATEMÁTICAS PARA LA FÍSICA

2.1 Vectores. 2.1.2 Vector.

2.1.1 Introducción. Lo definiremos como elementos que
poseen tres atributos: magnitud, dirección
Cuando queremos referirnos al tiempo que y sentido
demanda un suceso determinado, nos
basta con una magnitud (se demoró 3 Los vectores son elementos abstractos,
segundos, saltó durante 1 minuto, volverá pero pueden representarse en el espacio a
el próximo año, etc.). Existen muchas través de segmentos dirigidos (flechas)
magnitudes físicas que pueden describirse cuya longitud es proporcional a la del
perfectamente de esta manera simple, y vector representado.
que reciben el nombre de escalares.
G
Son escalares el tiempo, la masa, la A
densidad, el volumen, la temperatura y
otras magnitudes que luego definiremos origen extremo
apropiadamente.
Fig 2. 1 Representación gráfica de un vector
También existen magnitudes como el
desplazamiento, la fuerza, la aceleración y 2.1.3 Vectores equipolentes.
otras, que para quedar perfectamente
descritas necesitan dirección, además de la Dos vectores son equipolentes si son
magnitud (¡camine 5 metros!, es una iguales sus respectivas magnitudes
solicitud muy ambigua que puede conducir direcciones y sentidos. Esta definición, que
a una posición final distinta para cada implica que un vector puede estar en
persona que la reciba; en cambio, ¡camine cualquier punto del espacio sin alterar sus
5 metros por Alameda hacia el Este! características, define a los vectores libres.
producirá exactamente el efecto requerido).
G
Estas magnitudes se denominan C
vectoriales, y operan según el Álgebra G
Vectorial que recordaremos brevemente a G B
continuación. A G

D

Fig 2. 2 GGGG
Vectores equipolentes: A=B=C=D

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2.1.4 Vectores opuestos. En el caso de dos vectores este
procedimiento produce un triángulo
Dos vectores son opuestos cuando sus formado por los vectores y la resultante.
magnitudes y sus direcciones son iguales y
sus sentidos son opuestos. Otra forma gráfica de sumar dos vectores
consiste en unir los orígenes y trazar líneas
Fig 2. 3 G GG auxiliares paralelas a los vectores, que
A A=- B pasen por el extremo del otro.
G
B La resultante es el vector que une los
orígenes comunes con la intersección de
Vectores opuestos: las paralelas auxiliares (método del
paralelogramo).
2.1.5 Ponderación de Vectores.

El producto entre un escalar m y un vector G G
G A R
A se conoce como ponderación del vector.

GG Fig 2. 6 G
AA B

GG Resultante: Método del Paralelogramo
B = 2A
Fig 2. 4
GG
Ponderación de vectores: B=2A

2.1.6 Suma gráfica de vectores. Note que el orden de la suma no afecta el
resultado, mostrando que es conmutativa:
Gráficamente la suma o RESULTANTE de
vectores se obtiene uniendo sucesivamente G GGG
los extremos y orígenes de ellos, como se A+ B=B+A
muestra en la figura. El vector suma o
resultante se obtiene uniendo el primer GG G
origen con el último extremo. Si sumamos los vectores A, B y C de la
figura anterior a través del método del
G paralelogramo, veremos claramente que:
B
G ( ) ( )G G G G G G
G C
A G A+B +C= A+ B+C

R Mostrando que la suma es asociativa (se
recomienda comprobarlo gráficamente).
Fig 2. 5 Resultante: GGGG
A+B+C=R Por otra parte, es innecesaria la definición
GG

de resta, pues claramente A-B es la suma
GG

de A y el opuesto de B .

( )G G G G

A- B = A + -B

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G Aˆ
−B
G G G = AAˆ
R A A

G
Fig 2. 9 Vector Unitario en la dirección de A

Fig 2. 7 Resta de vectores = suma del opuesto

Si consideramos el paralelogramo que 2.1.8 Vector nulo.
GG
Vector cuya magnitud es cero.
resulta de los vectores A y B y las Gráficamente es representado por un
paralelas auxiliares, observamos que la punto.
suma y la resta de ambos vectores
constituyen gráficamente las diagonales 2.1.9 Componente de un vector.
mayor y menor respectivamente.
La proyección ortogonal de un vector sobre
G GG una recta es una cantidad que se denomina
A A −B componente (es un escalar).

G GG Esta se determina como la magnitud del
B A +B segmento de la recta comprendido entre
dos rectas perpendiculares a ella, y que
Fig 2. 8 Suma y resta gráfica de vectores. pasan por el origen y el extremo del vector
respectivamente.
2.1.7 Vector unitario.
G
Se define como un vector cuya magnitud es A
la unidad y cuya dirección y sentido son las
del vector sobre el que está definido. L

G AL
Si consideramos un vector A cuya
G
G Fig 2. 10 Componente de A sobre la recta L
magnitud es A, existe un vector unitario A

G
en la dirección de A , tal que:

G = AAˆ
A

Observe que entonces:

Aˆ = G 1 = G
A A A
A

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2.1.10 Vectores en el plano coordenado 2.1.11 Vectores unitarios en el plano
cartesiano.
Resulta útil definir vectores unitarios cuyas
Un vector puede definirse en el plano direcciones y sentidos sean las de los
cartesiano, conformado por dos líneas semiejes positivos del plano cartesiano
perpendiculares denominadas ejes. (versores), direcciones que ocuparemos
como referencia en el futuro.
Al eje horizontal se le denomina ABSCISA
y se identificará con una letra mayúscula Al vector unitario en dirección de +X se le
(usualmente X, aunque en física será una define como ˆi , mientras que al vector
letra que represente una magnitud física), unitario en dirección de +Y se le define
mientras que al eje vertical se le como ˆj .
denominará ORDENADA (identificado por
la letra Y, o una magnitud física). 2.1.12 Vectores en el espacio
coordenado cartesiano.
y

y1 G En el espacio un vector tiene tres
A componentes, pues a las anteriores debe
agregarse aquella que proyectará en el
y0 tercer eje, denominado eje Z.
x

x0 x1

Fig 2. 11 Vector en el plano coordenado
cartesiano
El espacio coordenado cartesiano está
El dibujo anterior muestra el primer conformado por tres rectas
cuadrante de este plano (que contiene los perpendiculares entre sí (trirectangulares),
semiejes positivos de X e Y), dividido en como se muestra en la figura siguiente. Allí
cuatro partes. se muestra el primer octante (las tres
rectas dividen el espacio en 8 partes
Note que (X1–X0) es la componente del iguales), octante denominado positivo,
vector sobre el eje X; y que (Y1–y0) es la pues contiene los tres semiejes positivos.
componente del vector sobre el eje Y.
z
El origen del vector puede indicarse con
propiedad a través de su ubicación en el Az G y
plano, pues se encuentra en el punto Ax A
(X0,Y0), mientras el extremo se encuentra
en el punto (X1, Y1). Ay

x

Fig 2. 12 Proyecciones de un vector en el espacio

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Como se ve en esta figura, un vector que 2.1.13 Componentes cartesianas de un
no se encuentra ubicado en alguno de los vector.
planos cartesianos (XY, XZ o YZ), proyecta
tres componentes, cuyas magnitudes son: Ahora estamos en condiciones de
encontrar relaciones analíticas para
AX=(X1 – X0), trabajar con los vectores, prescindiendo de
las representaciones gráficas, que si bien
AY = (Y1 – Y0) es cierto prestan mucha ayuda didáctica,
nos confundirán cuando trabajemos con
AZ = (Z1 – Z0) magnitudes físicas, pues se tiende a
relacionar la longitud del dibujo de un
Note que aquí el plano XY se encuentra en vector con su magnitud.
el piso.
Consideremos un vector libre en el plano
Finalmente, se puede definir un vector XY, representado con su origen en el
unitario en dirección y sentido del semieje origen del sistema cartesiano de
positivo de Z, que se define usualmente coordenadas para simplificar el análisis;
como kˆ . representemos gráficamente además, sus
componentes cartesianas y sus versores:
Este versor, junto a los versores ˆi, ˆj del
plano XY forma un trío de versores y G
trirectangulares. G A
Ay ˆj
z x

kˆ ˆi G
ˆi ˆj y Ax

Fig 2. 14 Vector en el plano; componentes y
versores
x
Fig 2. 13
Versores trirectangulares

En virtud de lo previamente definido, se
puede suponer la existencia de dos
vectores ficticios (que llamaremos vectores
componentes), tales que sumados tengan

G
al vector A como resultante.

El vector componente situado en la abscisa
tiene magnitud equivalente a AX y dirección
ˆi , mientras el vector componente situado

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en la ordenada tiene magnitud equivalente 2.1.14 Suma de Vectores en función
a Ay y dirección ˆj . de sus componentes.

y GG
Supongamos la los vectores A y B en el
G plano XY como en la figura siguiente.
A

G x Como son vectores libres, los hemos
Ay dibujado de manera tal que el extremo de
GG
G A coincida con el origen de B , con lo que
Ax la suma de ambos se puede obtener

Fig 2. 15 Vectores componentes G
gráficamente uniendo el origen de A con
GG G
Aquí resulta claro que: A = AX + AY G
el extremo de B , como ya sabemos. A esta

G
resultante le denominaremos R .

Y si recordamos nuestra definición de y G
versor tenemos que:
By G B
G por lo que G =A x ˆi Ry Ay A G x
ˆi= A X AX R

AX Ax Bx
Rx
G por lo que G =A Y ˆj
ˆj= AY AY Fig 2. 16 Suma de vectores y sus
componentes
AY

Entonces el vector G G
como: A puede escribirse Entonces las componentes de R son la

G = A Xˆi + A Y ˆj suma aritmética de las componentes de los
A GG

vectores A y B .

( G = A Xˆi + A Y ˆj + A Zkˆ ; En el espacio) RX = AX + BX
A

Esta nos será muy útil para encontrar una RY = AY + BY
forma más analítica de sumar vectores,
como se verá a continuación. Por lo que:

G )ˆi + (AY + BY )ˆj
R = (AX + BX

Si el vector estuviese en el espacio, por
extensión, se encuentra que:

G = (AX + BX )ˆi + (AY + BY )ˆj + (AZ + BZ )kˆ
R

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Esta expresión es válida para la suma de Notación polar.
varios vectores, pues en ese caso a cada
dimensión se le agregarán los términos En muchas ocasiones nos veremos
correspondientes a las componentes de los enfrentados a la necesidad de calcular o
nuevos vectores. referirnos a los vectores en función de su
magnitud y dirección directamente. Para
Del mismo modo, la expresión permite ello recurriremos a la notación polar, que
restar vectores, pues como hemos visto, la da cuenta de su magnitud a través de su
resta corresponde a la suma del opuesto. módulo y a su dirección a través de un
ángulo respecto de una recta de referencia.
Ejemplo 2.1
Consideremos un vector en el plano
Sean los siguientes vectores: coordenado cartesiano, como se ve en la
figura siguiente:
G = 3ˆi + 4ˆj + 2kˆ ; G = ˆi + 3ˆj - 5kˆ
A B y

Encontrar: G G
GK Ay A

a) A + B θG x
GK Ax

b) A − B Fig 2. 17 Componentes cartesianas y polares
G

c) 2A

Solución: La dirección y sentido del vector pueden
indicarse a través de un ángulo, que
a) G + G = (3 + 1) ˆi + (4 + 3) ˆj + ( 2 - 5 ) kˆ usualmente es el ángulo entre el vector y el
A B semieje positivo de la abscisa y su
magnitud, a través del módulo del vector;
G + G = 4ˆi + 7ˆj - 3kˆ analíticamente:
A B
G
Pues la resultante se obtiene sumando las A =(A,θ)
componentes respectivas.
Las componentes cartesianas se pueden
b) G + (- G = (3 − 1) ˆi + ( 4 − 3) ˆj + (2 + 5)kˆ encontrar fácilmente a través de las polares
A B) mediante las expresiones:

G + G = 2ˆi + ˆj + 7kˆ AX = A cos θ
A (-B)
AY = A sen θ
Pues la resta no es más que la suma del
opuesto.

c) G = 6ˆi + 8ˆj + 4kˆ
2A

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Del mismo modo, conocidas las Note que si el origen del vector estuviera
componentes cartesianas, se pueden
calcular las polares a través de las por ejemplo, en el punto (2,1), entonces el
expresiones:
extremo estaría en el punto (6,4) pues sus

componentes cartesianas son AX=4 y
AY=3.
A2 = AX2 + AY2

θ= arctg AY y G
AX A =5
4
3 G
A
1 37º

Ejemplo 2.2 x

G 26
Sea A un vector de módulo 5 y dirección 4
37º respecto de +X situado en el plano XY.
Encontrar sus componentes cartesianas. Fig 2. 19 Componentes del vector del ej. 2

Solución: Se tiene que A=5 y θx=37º. Ejemplo 2.3

Por tanto: G
Sea B un vector cuyas componentes
AX=5cos37º=5(0,8)=4 cartesianas son BX=10 y BY=5 situado en el
plano XY. Encontrar su magnitud y
AY=5sen37º=5(0,6)=3 dirección.

Si suponemos que el origen está en el Solución: Se tiene que Bx=10 y BY=5.
punto (0,0) del sistema de coordenadas,
entonces el extremo del vector estará en el Por tanto: B2=102+52; B=11,2
punto (4,3)

θ = rctg ⎛ 5 ⎞ = 26, 6º
⎜⎝ 10 ⎠⎟

y G
3G A =5

A

37º x

4

Fig 2. 18 Representación gráfica del vector del ej.
2.2

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2.1.15 En el espacio AX = A cos θX

En el espacio la dirección queda AY = A cos θY
determinada cuando se conocen los
ángulos respecto de los tres ejes. La figura AZ = A cos θZ
siguiente muestra los ángulos directores:
Dadas las componentes cartesianas se
pueden conocer la magnitud y los ángulos
directores a través de las siguientes
relaciones, provenientes también de los
cosenos directores:

θX = arccos AX
A

θY = arccos AY
A
Fig 2. 20 Un vector en el espacio.

θZ = arccos AZ
A
Aquí se ve que los ángulos directores θX,
θY, θZ determinan la dirección. La magnitud El módulo se puede calcular a través de la
corresponde el módulo del vector (A). expresión:

El vector se puede representar A2=AX2+AY2+AZ2
analíticamente a través de su módulo A y
de sus ángulos directores θX; θY; θZ Ejemplo 2.4

Muy importantes son las siguientes Consideremos el vector G = 3ˆi - 6ˆj + 2kˆ
relaciones extraídas de la figura anterior: C

AX ubicado en el espacio coordenado
A
cos θX = cartesiano. Encontrar su magnitud y
dirección.

cos θY = AY Solución: Se tiene que CX=3, CY=-6 y
A CZ=2 . Podemos calcular su magnitud:
C2=32+(-6)2+ 22= 49
cos θZ = AZ
A

Denominados cosenos directores, permiten Por lo tanto su magnitud es: C=7
calcular las componentes cartesianas a
partir de la magnitud y los ángulos Y sus direcciones:
directores, pues de ellos se tiene:

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θx=arcos 3 =64,6º ( )G G G G G G G
7
2.- A • B + C = A • B + A • C
θy=arcos −6 =149 º (Distributividad respecto de la suma).
7
( ) ( ) ( )G G G G G G
2
7 3.- m A • B = mA • B = A • mB siendo m
un escalar.

θz=arcos =73,4º

2.1.16 Productos entre Vectores. Aplicaciones:
GG
Existen dos formas de multiplicar vectores,
siendo una denominada producto escalar 1.- A • A = A2
(interno o de punto) y la otro producto
vectorial (exterior o de cruz), puesto que El producto escalar entre un vector y si
ofrecen como resultado un escalar y un mismo, constituye el cuadrado del vector, y
vector respectivamente. corresponde al cuadrado de su módulo.
Esto se debe a que si aplicamos la
definición, tenemos:

G • G =AAcos0º=AA(1)=A2
A A

Producto Escalar. 2.- ˆi • ˆi =1 ˆj • ˆj =1 kˆ • kˆ =1

GG Por las razones expuestas en el punto 1.
Dados dos vectores A y B , su producto
escalar se define como el producto de sus 3.- Si dos vectores son perpendiculares,
módulos por el coseno del ángulo que entonces según la definición se tiene:
forman. GG
A • B =ABcos90º=AB(0)= 0
GG (π≥θ≥0)
A • B =ABcosθ Esta es condición de perpendicularidad.

La definición de producto escalar tiene 4.- De acuerdo a lo anterior, entonces:
aplicaciones muy relevantes, pues permite
expresar magnitudes muy importantes para ˆi • ˆj =0 ˆj • kˆ =0 ˆi • kˆ =0
la física en forma muy sencilla.

Las propiedades del producto escalar son: pues los vectores unitarios ˆi , ˆj , kˆ forman
GG GG un sistema trirectangular.

1.- A • B = B • A (Conmutatividad)

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5.- Ahora estamos en condiciones de Ejemplo 2.6
encontrar una expresión que permita
multiplicar escalarmente dos vectores Dados los vectores del ejercicio anterior,
expresados en coordenadas cartesianas. calcular el ángulo entre ellos.

Sean los vectores: Solución: De acuerdo a la definición de
producto escalar, se tiene que:
G = Axˆi + Ayˆj + A zkˆ ; G = Bxˆi + Byˆj + Bzkˆ
A B GG
A • B =ABcos θ

Si queremos multiplicarlos escalarmente, Donde θ  es el ángulo entre los vectores
tenemos, recordando la propiedad de que nos solicitan. Por lo tanto:
distributividad del producto escalar
respecto de la suma de vectores: GG
A •B
GG θ=arcos AB

( ) ( )A • B =
Axˆi + Ayˆj + Azkˆ • Bxˆi + Byˆj + Bzkˆ

GG ˆi • ˆi ˆi • ˆj ˆi • kˆ note que aquí AB es el producto entre las
GG
( ) ( ) ( )A • B = AxBx
+ AxBy + AxBz + magnitudes de los vectores A y B

( ) ( ) ( )+AyBx ˆj • ˆi + AyBy ˆj • ˆj + AyBz ˆj • kˆ + respectivamente. Entonces:

( ) ( ) ( )+AzBx kˆ • ˆi + AzBy kˆ • ˆj + AzBz kˆ • kˆ A2=32+42+22 A=5,4

Por tanto: B2=12+32+(-5)2 B=5,9
GG
A • B = AxBx + AyBy + AzBz GG
A • B =5 según el ejercicio 2.5.

Así que:

Ejemplo 2.5 θ=arcos ( 5, 5 =arcos0,16=81º

4 ) ( 5,9 )

Sean los vectores: G = 3ˆi + 4ˆj + 2kˆ ;
A

G = ˆi + 3ˆj - 5kˆ . Encontrar su producto
B

escalar.

Solución: De acuerdo a la definición, se
tiene:

GG
A • B =(3)(1)+(4)(3)+(2)(-5)=5

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Producto Vectorial Las propiedades del producto vectorial son:
GG GG
GG
Sean los vectores A y B ; entonces su 1.- A × B = −B × A Anticonmutatividad
producto vectorial se define como: G GG GG GG

GG (π≥θ≥0) 2.- A × (B + C) = A × B + A × C
A X B = (ABsenθ) uˆ  Distributividad respecto de la suma).
GG G G G G
Donde A y B son las magnitudes de los
GG 3.- m( A × B )=(m A )x B = A x(m B ) siendo m
un escalar
vectores A y B respectivamente; θ es el
ángulo que forman ambos vectores y uˆ es Aplicaciones:
un vector unitario cuya dirección es GG

GG 1.- Si los vectores A y B son paralelos,
perpendicular al plano que forman A y B . entonces, por definición:

GG GG G
AxB A × B =(ABsenθ) uˆ = 0
G
A
G θ uˆ
B

Esta es condición de paralelismo.

Fig 2. 21 Producto vectorial 2.- ˆi X ˆi = G ˆj X ˆj = G kˆ X kˆ = G
0; 0; 0
GG
Entonces el vector A × B es un vector libre, Según la aplicación anterior.
perpendicular al plano AB, cuya magnitud
es (A B sen θ) . 3.- También se tiene aplicando la definición
que:
G G GG
Los vectores A , B y A × B forman un ˆi X ˆj ={(1)(1)(sen90º)} kˆ = kˆ
trío a derechas (un sistema dextrosum), lo
ˆj X kˆ ={(1)(1)(sen90º)} ˆi = ˆi
GG
que quiere decir que la dirección A × B es kˆ X ˆi ={(1)(1)(sen90º)} ˆj = ˆj
la que indica el dedo pulgar de la mano
derecha cuando esta se cierra desde el Y según la propiedad de
anticonmutatividad:
GG
vector A hacia el vector B , en el plano AB. ˆj X ˆi =- kˆ
kˆ X ˆj =- ˆi
GG ˆi X kˆ =- ˆj
AxB
G
A
Gθ
B

Fig 2. 22 Regla de la mano derecha.

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El gráfico siguiente resume lo encontrado, =AXBX( ˆi X ˆi )+AXBY( ˆi X ˆj )+AXBZ( ˆi X kˆ )+
proporcionando además una buena forma +AYBX( ˆj X ˆi )+AYBY( ˆj X ˆj )+AYBZ( ˆj X kˆ )+
de recordarlo en el futuro. +AZBX( kˆ X ˆi )+AZBY( kˆ X ˆj )+AZBZ( kˆ X kˆ )

kˆ reemplazando los productos vectoriales
entre paréntesis, se tiene:

ˆj G × G =AXBY kˆ +AXBZ(- ˆj )+AYBX(- kˆ )+
ˆi A B

Fig 2. 23 Producto vectorial entre versores. +AYBZ ˆi +AZBX ˆj +AZBY(- ˆi )

GG ˆi +(AZBX–AXBZ) ˆj +
A × B =(AYBZ–AZBY)

+(AXBY-AYBX) kˆ

Note que el producto vectorial entre 2 Que equivale al desarrollo del determinante
versores es el tercer versor, y es positivo siguiente:
cuando el producto sigue la dirección de las
flechas en el gráfico, es decir, cuando el G G ˆi ˆj kˆ
sentido es contrario al movimiento de las AxB = Ax Ay Az
manecillas de un reloj (sentido antihorario).
Bx By Bz

4.- Ahora estamos en condiciones de 5.- La magnitud del producto vectorial es
encontrar una expresión que permita numéricamente igual que el área del
encontrar el producto vectorial para paralelógramo formado por los vectores
vectores que están expresados en función multiplicados y las paralelas que pasan por
de sus componentes rectangulares sus extremos.
(cartesianas) y sus respectivos versores.
Para mostrar esto, consideraremos la figura
Sean los vectores: siguiente, que muestra dos vectores unidos
por el origen y las paralelas a ellos.
G =AX ˆi +AY ˆj +AZ kˆ y G =BX ˆi +BY ˆj +BZ kˆ .
A B

Si queremos multiplicarlos vectorialmente, A sen θ G
tenemos, recordando la propiedad de A
distributividad del producto vectorial
respecto de la suma de vectores: θ G
B

G G B
A B
× =(AX ˆi +AY ˆj +AZ kˆ )X(BX ˆi +BY ˆj +BZ kˆ ) Fig 2. 24 Área del paralelogramo formado por 2
vectores.

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El área de este paralelogramo se calcula Ejemplo 2.8
multiplicando la base (B) por la altura
(Asenθ): Encontrar un vector unitario perpendicular
al plano formado por los vectores del
Area=BAsenθ ejemplo 7.

Que es igual a la magnitud del producto Solución: Según la definición de producto
GG vectorial se tiene que:

vectorial entre los vectores A y B . GG GG
AXB = AXB uˆ
Note que el área del triángulo formado por
los vectores y alguna de sus diagonales es De donde:
justamente la mitad del área calculada.

GG -26ˆi + 17ˆj + 5kˆ
uˆ = AG × BG =
A × B 676 + 289 + 25

Ejemplo 2.7

Encontrar el producto vectorial entre los uˆ = -26ˆi + 17ˆj + 5 kˆ = −0,83ˆi + 0,54 ˆj + 0,16kˆ
vectores: 31,5

G = 3ˆi + 4ˆj + 2kˆ ; G = ˆi + 3ˆj - 5kˆ . Que es el vector solicitado, cuya magnitud
A B GG

Solución: de acuerdo a la definición se es 1 y dirección es la del vector A × B .
tiene:

G G ˆi ˆj kˆ
A×B = 3 4 2

1 3 −5

GG = (-20 - 6) ˆi − ( −15 − 2) ˆj + (9 − 4 ) kˆ
AXB

GG = -26ˆi + 17 j + 5kˆ
AXB

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2.1.17 Ejercicios resueltos. D=3,2

Ejercicio 2.1.- GG
Dos vectores A y B

de 3 y 5 unidades de magnitud Ejercicio 2.2.- Hallar el vector
GG
respectivamente, forman un ángulo de 37º.
resultante entre los vectores A y B de 3 y
Determine analíticamente la magnitud de la 4 unidades de magnitud respectivamente,
que forman un ángulo de 60º entre ellos.
resultante y de la diferencia entre ambos

vectores.

Solución: Solución:

G GG En la siguiente figura se observan los
La resultante ( R = A + B ) así como la vectores y sus ángulos:
diferencia o la suma del opuesto
G GG
G GG R = A+B
( D = A - B ) se puede ver en forma gráfica G
en la figura siguiente: A
θ G 120º
G G B
A B
La magnitud de la resultante se puede
37º calcular con el teorema del coseno:

G 37º G R2=A2+B2–2ABcos120º
A B
143º G G G R2=14+9–2(4)(3)cos 120º
R= A+B
R=6,1
G 37º G
B
G GG G El ángulo entre la resultante y el vector A
D= A−B A se puede calcular con el teorema del seno:

Entonces aplicando el teorema del coseno

R2=A2+B2–2ABcos(143º) sen θ = sen120º
R2=9+25–2(3)(5)(- 0,8) A R

R=7,6 senθ = 0,87
3 6,1

y la diferencia es: θ=arcsen0,43=25,5º

D2=A2+B2–2ABcos(37º)
D2=9+25–2(3)(5)(0,8)

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Ejercicio 2.3.- Un avión se mueve hacia el ( )G Km
h
V=
Km 40ˆi + 30ˆj
h
norte con una rapidez de 30 , cuando

es sometido a la acción del viento que Cuya magnitud es

sopla con rapidez de 40 Km en dirección V2=(40 Km )2+ (30 Km ) 2
h hh

este. Encontrar el movimiento resultante

del avión. V=50 Km .
h

Solución: Que es la rapidez resultante con que se
moverá realmente el avión.
En este problema se trabaja con la
magnitud vectorial denominada velocidad.

Para nosotros sin embargo, solo será un La dirección de la velocidad resultante
vector en este momento, y por tanto, la será:
velocidad resultante no será más que la
suma de los vectores velocidad θ=arctg VA =arctg 30 kph =36,9º
correspondiente al movimiento del avión VV 40 kph
propiamente tal, y la velocidad del viento.
Es decir, la velocidad resultante tiene una
En la siguiente figura se ilustra el ejemplo: dirección de 36,9º medidos desde el este
hacia el norte (E36,9ºN).

N vG Ejercicio 2.4.- Otra magnitud física
E vG A vectorial interesante es el denominado
θ desplazamiento.
VA = velocidad del avión vG v
VV = velocidad del viento Por desplazamiento se entiende el vector
de posición que une los puntos inicial y final
Entonces el vector velocidad del viento de un movimiento, sin importar la forma del
camino recorrido entre ambos.
será el vector: G = 40 Km ˆi mientras que
Vv h Supongamos que dos personas caminan
perdidas por un desierto plano y hostil de
la velocidad del avión será: G = 30 Km ˆj manera tal que finalizado cada día anotan
VA h en su diario de viaje lo siguiente:

si consideramos que el plano geográfico es

el plano cartesiano XY.

De esta manera, la resultante debe ser:

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• Día 1: caminamos 30 kilómetros en GG G G
línea recta hacia el norte; no R = D1 + D2 + D3
encontramos agua.
G = 12Km ˆi + 26Kmˆj ´
R

• Día 2: hoy solo hemos logrado caminar Cuya magnitud es:
20 kilómetros en línea recta, en R2=(12Km)2+(26Km)2
dirección norte 37º hacia el este
(N37ºE); nos encontramos extenuados. R=28,6Km
No encontramos agua.
y cuya dirección es:
• Día 3: Por fin hemos encontrado agua.
El feliz hecho ocurrió hoy a las 16:00 θ=arctg 26 Km =arctg2,17=65,3º
horas, luego de caminar en línea recta 12 Km
durante 20 kilómetros hacia el sur. Nos
encontramos a salvo. En otras palabras, si nuestros viajeros
hubiesen sabido la ubicación del pozo de
El relato anterior puede traducirse en agua, habrían caminado solo 28,6Km en
términos de los desplazamientos diarios y línea recta, en dirección E65,3ºN.
del desplazamiento final en forma analítica:

N (Y) Ejercicio 2.5.- Encontrar el valor de
GG
G a, de forma que A y B sean
d2 G
d3 perpendiculares.
53º
E (X) G = 2ˆi + aˆj + kˆ ; G = 4ˆi - 2ˆj - 2kˆ
GG A B
d1 R

Entonces los desplazamientos diarios son: Solución:

G =30Km ˆj La condición de perpendicularidad es que
D1 el producto escalar entre ambos debe ser
cero:
G =20Km cos53º ˆi +20Km sen53º ˆj GG
D2 A • B =8–2a–2=0

G =12Km ˆi +16Km ˆj De donde se obtiene a = 3
D2

G =20Km(- ˆj )
D3

Por tanto, el desplazamiento resultante es

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Ejercicio 2.6.- Hallar la proyección Ejercicio 2.7.- Dados los vectores
G
del vector G = ˆi - 2ˆj + kˆ sobre el vector G = 2ˆi - ˆj ; G = ˆi + kˆ y C = ˆj + kˆ ,
A A B

G = 4ˆi - 4ˆj + 7kˆ determinar:
B

Solución: a) Un vector unitario en la dirección del
GG G
En la figura se observa la proyección
pedida vector A + B - 3C .

G G b) Un vector perpendicular al plano
A B GG
θ
formado por los vectores B y C .
AB = A cosθ G

c) Área del paralelogramo formado por A
G

y B.

Solución:

De la definición de producto escalar se a)
tiene que:
GG G 3ˆi - 4ˆj - 2kˆ 3ˆi - 4ˆj - 2kˆ
GG uˆ = AG+ BG- 3 GC = =
A • B = ABcos θ 9 + 16 + 4 5,39
A + B - 3C

Que se puede escribir como: uˆ =0,56 ˆi –0,74 ˆj –0,37 kˆ
GG
A • B = ABB G G G ˆi ˆj kˆ
b) P = BxC = 1 0 1 = -ˆi - ˆj + kˆ

Ya que AB=Acosθcomo se observa en la 011
figura anterior.

En consecuencia: c) El Área es el módulo del producto
GG

vectorial entre A y B , por tanto:

GG
A•B 4 +8 + 7
AB = B = 9 =2,1 G G ˆi ˆj kˆ
A×B = 2 -1 0 = -ˆi - 2ˆj + kˆ

10 1

GG
AXB = 2,4

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Ejercicio 2.8.- Dados los siguientes G G ˆi ˆj kˆ
BxC= 1 −3 4 = −9ˆi + 9ˆj + 9kˆ
vectores: G = 3ˆi + 2ˆj + 2kˆ ; G = ˆi - 3ˆj + 4kˆ y
A B

G = 2ˆi + 3ˆj - kˆ . 2 3 −1
C

GG ( ) ( )G G G
a) Determine analíticamente si A y B son
A • BXC =
o no perpendiculares. 3ˆi + 2ˆj + 2kˆ • −9ˆi + 9ˆj + 9kˆ

GGG
A • BXC = -27 + 18 + 18 = 9

( )G G G

b) Calcular A • BXC

Solución: Ejercicio 2.9.- Hallar los productos
siguientes:

a) Para ser perpendiculares deben cumplir a) 2ˆjX3kˆ
GG
( )b) 3ˆiX -2kˆ
con la condición A • B =0
GG
A • B =3–6+8=5

Luego no son perpendiculares. ( )c) 2ˆjXˆi - 3kˆ

b) La única interpretación posible de este Solución:

producto, denominado producto triple (y a) 2ˆjX3kˆ = 6ˆi

que geométricamente representa el ( )b) 3ˆiX -2kˆ = (3)(-2) ˆiXkˆ = 6kˆ

volumen del paralelogramo cuyas aristas ( ) ( )c) 2ˆjXˆi - 3kˆ = 2 -kˆ − 3kˆ = −5kˆ
GG G

son los vectores A , B y C ) es la

( )G G G

operación A • BXC ) pues se tiene el

producto escalar entre los vectores G
Ay
(BGXCG ) .
Ejercicio 2.10.- Demostrar que los

( )G G G no vectores: G = 2ˆi + ˆj - 4kˆ ; G = ˆi - 3ˆj + 5kˆ y
A B
En cambio la operación A • BXC
G 3ˆi 2ˆj kˆ
está definida pues es la multiplicación C = - + forman un triángulo
GG
rectángulo.
vectorial entre un escalar ( A • B ) y un
G Solución:

vector ( C ). Recordemos que el producto En primer lugar hay que demostrar que
vectorial está definido entre vectores. forman un triángulo, para lo que se
necesita que la resultante de dos de ellos
Por tanto: sea el tercero o que la resultante de los tres

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sea el vector nulo, como se ve en la figura GG GG G (i)
siguiente. AXB + AXC = 0

G G
CG Si la multiplicamos vectorialmente por B :

G B GG GG GG GG
CG G BXA + BXB + BXC = BX0
A
B GGGG GG GG G ( ii )
G A +B+C = 0 BXA + BXC = 0
A
GG G G
A +B = C si la multiplicamos vectorialmente por C :

En segundo lugar, para que sea rectángulo, GG GG GG G
el producto escalar entre dos de ellos debe CXA + CXB + CXC = 0

ser nulo. GG GG G ( iii )
CXA + CXB = 0
GG G
En nuestro ejemplo, A + B = C por lo que GG GG
De (i): AXB = CXA
GG
son un triángulo y A • C =6–2–4= 0 por lo GGG G
De (ii): BXA=CXB
GG
que A ⊥ C .

GG G
De (iii): CXA = BXC

Ejercicio 2.11.- Deducir el teorema Pues el producto vectorial es
del seno. anticonmutativo.

Solución: De donde se tiene:
GG GG GG
Suponer un triángulo formado por los AXB = CXA = BXC
vectores de la figura.

Es decir:

θBC AB senθAB uˆ =CA senθCA uˆ =BC senθBC uˆ
por igualdad de vectores, se tiene:
G α G AB sen θAB = CA sen θCA = BC sen θBC
C B

β G γ θAB
A
θCA

GGG G y debido a que sen (180-θ)=senθ:
Entonces A + B + C = 0 AB senγ=CA senβ=BC senα
Dividiendo por ABC:
G
Multiplicando vectorialmente por A :
GG G G G G G G
AxA + AXB + AXC = AX0

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senγ = senβ = senα
C B A

Conocido con el nombre de teorema del
seno.

Ejercicio 2.12.- Deducir el teorema
del coseno.

Solución:

Suponer que se tiene un triángulo formado
por los vectores de la figura.

G G
B C

β

G
A
G GG
Entonces: C = A - B

Elevando al cuadrado la expresión:

( ) ( )G G G G G G

C•C = A-B • A-B

( ) ( ) ( ) ( )G G G G G G G G G G

C•C = A•A - A•B - B•A + B•B

( ) ( ) ( )G G G G
GG GG
C•C = A•A -2 A•B + B•B

C2=A2+B2–2ABcosβ
Conocido como teorema del coseno.

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