Mecánica Cuántica

1.13. NOTACIO´N DE DIRAC Y LA NOTACIO´N CONVENCIONAL DE MATRICES. 45

y su dual ψ | = i αi∗ i | en la forma
ψ | = (α1∗ α2∗
· · · αN∗ ) .

Y el producto interno entre un vector | ψ = i αi| i y un vector dual φ | = i βi∗ i |:

 α1 

φ | ψ = (β1∗ β2∗ ··· βN∗ )  α2  = βi∗αi ,
 ... 
  i
 

αN

lo cual es consistente tanto con nuestros resultados anteriores como con la notacio´n usual de
matrices.

Ya hemos visto vectores (| ψ ), vectores duales ( φ |), y el producto interno ( φ | ψ ). So´lo
nos faltan los objetos de la forma | ψ φ |. Como ya hemos visto, estos objetos corresponden
a operadores. Ahora podemos reencontrar ese resultado con la notacio´n convencional. Consi-
deremos, por ejemplo, | 1 2 |. Escribiendo | 1 como vector fila, y 2 | como vector columna,
y usando las reglas usuales de multiplicacio´n de matrices,

1 0 1 · · · 0

|1 2 | = 0 (0 1 ··· 0) = 0 0 · · · 0 ,

 ...   ... ... ... ... 
   
   

0 0 0 ··· 0

lo cual es evidentemente una matriz, es decir, un operador. Es claro que, en general | i j |

sera´ una matriz donde todos los elementos son nulos, excepto aij = 1.
Consideremos ahora un operador general Aˇ . Como ya hemos visto, Aˇ se puede expresar

de la forma

Aˇ = aij| i j | .

ij

Usando el resultado anterior,

Aˇ = a11| 1 1 | + a12| 1 2 | + · · · + aNN | N N |

1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 0 0 · · · 0

= a11 0 0 · · · 0 + a12 0 0 · · · 0 + · · · + aN N 0 0 · · · 0

 ... ... ... ...   ... ... ... ...   ... ... ... ... 
     
     

0 0 ··· 0 0 0 ··· 0 0 0 ··· 1

 a12 ··· 
a11 a1N

=  a21 a22 ··· a2N  .
 ... ... ... ... 
 
 

aN1 aN2 · · · aNN

As´ı, los coeficientes aij forman una matriz cuadrada, que es la matriz de Aˇ en la base
{| i }i.

46 CAP´ITULO 1. INTRODUCCIO´N MATEMA´TICA.

Ejemplo: En un espacio de dimensi´on 2 considere el operador Aˇ = α| 1 2 |. La matriz de

coeficientes en este caso es

Aˇ = 0α .
00

Consideremos ahora el producto de operadores. En la notaci´on matricial, ´este deber´ıa

escribirse simplemente como el producto de las matrices asociadas a cada operador. Reob-
tengamos ese resultado con la notaci´on de Dirac. Sean Aˇ , Bˇ dos operadores que en la base

{| i } se expresan por

Aˇ = aij| i j| ,
j| .
ij

Bˇ = bij| i

ij

Para el operador Aˇ Bˇ tenemos entonces:

Aˇ Bˇ = aij| i j | bkl| k |

ij k

= aijbk | i j | k |

ijk

= aijbj | i |.

i j

Por otra parte,

Aˇ Bˇ ≡ Cˇ = ci | i |.

i

De las expresiones anteriores se deduce que

ci = aijbj ,

j

o sea, la matriz de Cˇ es simplemente el producto de la matriz de Aˇ y la matriz de Bˇ , como
esper´abamos.

1.14. Autovalores de un operador.

Dado un operador Aˇ , decimos que | x es un autovector de Aˇ , con autovalor λ ∈ C, si

Aˇ | x = λ| x . (1.12)

Si | x es un autovector, entonces α| x , con α ∈ C, tambi´en es un autovector. Usualmente
se considera a | x y α| x , como “un mismo autovector”.

1.14. AUTOVALORES DE UN OPERADOR. 47

Para el caso de un espacio de dimensi´on n finita, usando una base arbitraria del espacio
la u´ltima ecuacio´n se puede escribir de la forma

 A11 A12 A13 . . . A1n   x1   x1 

 A21 A22 A2n   x2   x2 
 ... ...  ... =λ ... .
 ...   
   

An1 ... Ann xn xn

De aca´ se deduce la ecuacio´n para λ:

det (Aˇ − λ 1ˇ) = det (Aij − λ δij) = 0 .

Esta ecuacio´n, conocida como ecuaci´on secular, da lugar a un polinomio de grado n, llamado
polinomio caracter´ıstico, que satisface

λn + cn−1λn−1 + · · · + c0 = 0 .

En los complejos C, esta ecuacio´n tiene n soluciones; cada soluci´on distinta da lugar a un
autovector, de modo que si todos los autovalores son distintos tambi´en hay n autovectores.
Si hay autovalores que coinciden (en cuyo caso se dice que el autovalor es degenerado), puede
ocurrir que el nu´mero de autovectores sea menor que la dimensi´on del espacio. En todo caso,
siempre existe al menos un autovector para cada autovalor.

Veamos ahora el problema desde otro a´ngulo. Partamos con un operador diagonalizable,
y por simplicidad elijamos la base en que ya es diagonal, es decir,

 λ1 0 0 . . . 

Aˇ  0 λ2 
 ...
=  λ3 .

 ... 

...

Tenemos

det(Aˇ − x1ˇ) = λ1 − x 0 0 0
0 λ2 − x 0
λ3 − x . . . ...
0 0 λn − x
...

= (λ1 − x)(λ2 − x) · · · (λn − x)

= P (x) ,

donde P (x) es un polinomio de grado n. Las ra´ıces de P (x) dan los n autovalores de Aˇ .
Si Aˇ no es diagonal, pero diagonalizable (luego veremos que todo operador autoherm´ıtico

es diagonalizable), entonces se tiene que existe un operador Sˇ tal que SˇAˇ Sˇ−1 es diagonal, es

decir,

 λ1 0

SˇAˇ Sˇ−1 =  λ2 
 ... .





0 λn

48 CAP´ITULO 1. INTRODUCCIO´N MATEMA´TICA.

Nuevamente calculemos det (Aˇ − x1ˇ). Usando dos de las propiedades de los determinantes:
det Sˇ−1 = (det Sˇ)−1 y det (Aˇ Bˇ ) = (det Aˇ )(det Bˇ ), se obtiene:

det (Aˇ − x1ˇ) = (det Sˇ) det (Aˇ − x1ˇ)(det Sˇ−1)
= det (SˇAˇ Sˇ−1 − x1ˇ)

λ1 − x 0
λ2 − x

= ...

0 λn − x

= (λ1 − x)(λ2 − x) · · · (λn − x) ,

o sea,

det (Aˇ − x1ˇ) = (λ1 − x)(λ2 − x) · · · (λN − x) = P (x) .

As´ı pues, sea o no sea diagonal, al extraer las ra´ıces del polinomio P (x) se obtienen los
autovalores de Aˇ .

Ejemplo Encontremos los autovalores y autovectores de

Aˇ = 0 1/2 .
1/2 0

Soluci´on:

det (Aˇ − x1ˇ) = −x 1/2 = x2 − 1 = 1 x−1 ,
1/2 −x 4 x+ 2

2

es decir, los dos autovalores son λ1 = 1/2 y λ2 = −1/2. Para encontrar los autovectores | λ1

y | λ2 procedemos de la siguiente manera: Expresemos el vector | λ1 = α| 1 + β| 2 en

notacio´n matricial:

| λ1 = α .
β

Entonces la ecuaci´on de autovalores Aˇ | λ1 = λ1| λ1 se escribe de la forma

0 1/2 α = λ1 α .
1/2 0 β β

Para el autovalor λ1 = 1/2, la u´ltima ecuaci´on da la relacio´n

β/2 1 α =⇒ α = β .
α/2 = β

2

Como |α|2 + |β|2 = 1 (si los | λi est´an normalizados), se concluye que
α = β = √1 ,
2

1.15. EL CASO DE OPERADORES AUTOHERM´ITICOS. 49

o sea,

| λ1 = √1 (| 1 + | 2 ) −→ √1 1 .
2 2 1

Ana´logamente, para el otro autovalor, λ2 = −1/2, se obtiene

| λ2 = √1 (| 1 − | 2 ) −→ √1 1 .
2 2 −1

Note que no siempre una matriz no autoherm´ıtica es diagonalizable. Por ejemplo

Mˇ = λb .
0λ

no es diagonalizable. Demuestre como ejercicio (Problema 2-2) que Mˇ = Mˇ † y que so´lo el

vector proporcional a 1 es autovector de Mˇ .
0

Ejercicio: (Problema 2-3)
Demuestre que si Aˇ = Aˇ † y Bˇ = Bˇ †, entonces los siguientes operadores son autoherm´ıti-

cos:

i) Aˇ n , ∀ n ∈ N.

ii) Cˇ ≡ − 1 i [Aˇ , Bˇ ] = − 1 i (Aˇ Bˇ − Bˇ Aˇ ).
2 2

iii) Dˇ ≡ 1 {Aˇ , Bˇ }+ = 1 (Aˇ Bˇ + Bˇ Aˇ ).
2 2

Concluya de aca´ que Aˇ Bˇ = Cˇ + iDˇ , con Cˇ y Dˇ autoherm´ıticos, no es autoherm´ıtico aun
cuando Aˇ y Bˇ lo sean.

1.15. El caso de operadores autoherm´ıticos.

Si Aˇ = Aˇ †, podemos hacer afirmaciones m´as fuertes que en el caso general. En efecto:

Proposicio´n 1.1 Los autovalores de Aˇ son reales.

Demostraci´on Tomemos el dual de la relacio´n (1.12):

x |Aˇ † = (λ| x )† = λ∗ x | .

Realizando el producto punto con | x y usando el hecho que Aˇ = Aˇ † se deduce que

x | Aˇ | x = x |Aˇ † | x = λ∗ x | x = λ∗ =⇒ λ = λ∗ .
x | Aˇ | x = λ x|x =λ

q.e.d.

50 CAP´ITULO 1. INTRODUCCIO´N MATEMA´TICA.

Proposici´on 1.2 Si λi y λj son autovalores de Aˇ , y λi = λj, entonces los autovectores
asociados, digamos | ai y | aj , son ortogonales.

Demostracio´n

ai | Aˇ | aj = ai | λj | aj = λj ai | aj (1.13)

( aj | Aˇ | ai )† ≡ ( aj | Aˇ | ai )∗ = ( aj | λi | ai )∗ = (λi aj | ai )∗ = λi∗( aj | ai )∗ = λi ai | aj .

Pero

( aj | Aˇ | ai )† = ai | Aˇ † | aj = ai | Aˇ | aj .

De las dos ecuaciones anteriores se deduce que

ai | Aˇ | aj = λi ai | aj . (1.14)

Restando (1.14) de (1.13) se obtiene

0 = (λi − λj) ai | aj .

Como λi = λj, se tiene que

ai | aj = 0 . (1.15)

q.e.d.

Proposici´on 1.3 Los autovectores de Aˇ forman una base completa de H .

Demostraci´on Sea H1 el espacio generado por todos los autovectores de Aˇ y supongamos
que tal espacio no coincide con H . Sea H2 el complemento, es decir, H = H1 ⊕ H2.
Mostraremos que con esta hip´otesis se llega a una contradiccio´n.

Partimos construyendo una base ortonormal en H1, es decir, en el espacio generado por los
autovectores de Aˇ . Si los autovectores corresponden a autovalores distintos, los autovectores
ya son ortonormales. Si algunos autovalores coinciden, por ejemplo, λ1 = λ2 = · · · = λs,
entonces decimos que el subespacio con base {| a1 , | a2 , . . ., | as } es un subespacio de
degeneraci´on del autovalor λ1. Mediante el m´etodo de Gram-Schmidt, siempre es posible
encontrar una base ortonormal de vectores en el subespacio de degeneracio´n. As´ı pues, todos
los {| ai } los podemos considerar ortonormalizados.

Usando nuevamente el proceso de Gram-Schmidt, completamos ahora la base de H con
vectores {| bj } que sean ortogonales a los {| ai }. Tales vectores pertenecen al espacio H2.
Mostraremos a continuaci´on que el operador Aˇ deja al espacio H2 invariante, es decir,

∀ | b ∈ H2 , Aˇ | b ∈ H2 .

En efecto, sea | aj un vector de la base del espacio H1, entonces

aj | Aˇ | b = aj |Aˇ | b
= λ∗j aj | b = 0 ,

o sea, Aˇ | b no tiene componente en el espacio H1. As´ı pues, tanto H1 como H2 son espacios
invariantes ante Aˇ . Esto permite operar con Aˇ por separado en ambos espacios. Pero en

1.16. CONMUTADORES. 51

ese caso, resolviendo la ecuaci´on secular del operador Aˇ en el espacio H2 podemos encon-
trar autovalores y, al menos, un autovector. ¡Contradicci´on! ya que supusimos que todos los
autovectores esta´n en H1. Luego la hipo´tesis inicial, que H2 = ∅, es falsa. Concluimos que
H1 = H , y por consiguiente la base {| aj } es completa, es decir,

n aj | = 1ˇ .

| aj

j=1

q.e.d.

Resumen:
La base formada por los autovectores de un operador autoherm´ıtico Aˇ es completa y siempre

se puede elegir de manera que sea ortonormal.

Los conceptos anteriores, aunque analizados para espacios de dimensio´n finita, pueden

extenderse a espacios de dimensio´n infinita numerable o no numerable.

1.16. Conmutadores.

Definici´on 1.2 El conmutador [Aˇ , Bˇ ] de dos operadores Aˇ , Bˇ viene definido por
Aˇ , Bˇ ≡ Aˇ Bˇ − Bˇ Aˇ .

Se dice que dos operadores Aˇ , Bˇ conmutan si Aˇ , Bˇ = 0ˇ.

Teorema 1.1 Sean Aˇ , Bˇ dos operadores autoherm´ıticos, entonces Aˇ , Bˇ = 0ˇ si y s´olo si

existe una base en H en que ambos operadores son diagonales (es decir, existe una base de
H cuyos vectores son simulta´neamente autovectores de Aˇ y Bˇ ).

Demostraci´on

i) Supongamos que {| mj } son simulta´neamente autovectores de Aˇ y Bˇ , es decir,

Aˇ | mi = ai| mi ,
Bˇ | mi = bi| mi .

Entonces

Aˇ Bˇ | ψ = Aˇ Bˇ ψi| mi = ψiAˇ Bˇ | mi

ii

= ψiAˇ bi| mi = ψiaibi| mi

ii

= ψiaiBˇ | mi = Bˇ ψiai| mi

ii

= Bˇ ψiAˇ | mi = Bˇ Aˇ ψi| mi

ii

= Bˇ Aˇ | ψ .

52 CAP´ITULO 1. INTRODUCCIO´N MATEMA´TICA.

Luego, se deduce que
Aˇ , Bˇ | ψ = 0 , ∀ |ψ ∈ H =⇒ [Aˇ , Bˇ ] = 0ˇ .

ii) Supongamos que Aˇ , Bˇ = 0ˇ . Sea {| mi } una base en que Aˇ es diagonal, es decir,
Aˇ | mi = ai| mi .

Entonces Bˇ Aˇ | mi = aiBˇ | mi
Bˇ Aˇ | mi = Aˇ Bˇ | mi
=⇒ Aˇ (Bˇ | mi ) = ai(Bˇ | mi ) ,

es decir, Bˇ | mi tambi´en es un autovector de Aˇ con el autovalor ai. Si el espectro de Aˇ
no es degenerado se debe tener que Bˇ | mi es mu´ltiplo de | mi , es decir,

Bˇ | mi = bi| mi .

Se concluye que | mi tambi´en es autovector de Bˇ . En el caso en que el espectro de
Aˇ sea degenerado hay que buscar la combinaci´on lineal adecuada en el subespacio de
degeneraci´on.

q.e.d.

1.16.1. Propiedades de los conmutadores. (1.16)

i) Aˇ , Bˇ = − Bˇ , Aˇ .
ii) Aˇ , Aˇ = 0ˇ.
iii) Aˇ , Bˇ + Cˇ = Aˇ , Bˇ + Aˇ , Cˇ .
iv) Aˇ + Bˇ , Cˇ = Aˇ , Cˇ + Bˇ , Cˇ .
v) Aˇ , Bˇ Cˇ = Aˇ , Bˇ Cˇ + Bˇ Aˇ , Cˇ .
vi) Aˇ Bˇ , Cˇ = Aˇ Bˇ , Cˇ + Aˇ , Cˇ Bˇ .
vii) Aˇ , Bˇ , Cˇ + Bˇ , Cˇ , Aˇ + Cˇ , Aˇ , Bˇ = 0ˇ (Identidad de Jacobi).
viii) Si Aˇ , Aˇ , Bˇ = 0ˇ, entonces se tiene que

Bˇ , Aˇ n = nAˇ n−1 Bˇ , Aˇ .

ix) Aˇ , f (Aˇ ) = 0ˇ para toda funcio´n anal´ıtica f de Aˇ .

1.16. CONMUTADORES. 53

¿Qu´e significa f (Aˇ )? Para comprender mejor el significado de esta composici´on de funcio´n
y operador, tomemos la expansio´n de Taylor de f ,

f (x) = ∞ xn f (n)(0) ,
n!

n=0

y reemplacemos x −→ xAˇ , obteni´endose

f (xAˇ ) = ∞ xn f (n)(0)Aˇ n .
n!

n=0

Este operador plantea dudas de existencia, pero supongamos que est´a bien definido, al me-
nos dentro de cierto radio de convergencia | x | < R. Sea Aˇ un operador autoherm´ıtico y
consideremos la base que lo hace diagonal. Entonces tenemos

Aˇ = aj| aj aj | =⇒ Aˇ n = (aj)n | aj aj |

jj

y

f (xAˇ ) = f (n) (0) (xaj )n | aj aj | = f (xaj)| aj aj | .
n!
jn j

Haciendo una prolongacio´n anal´ıtica, podemos poner x −→ 1 y escribir

f (Aˇ ) = f (aj)| aj aj | .

j

Ejemplo:

eiAˇ = eiaj | aj aj | .

j

Si bien la primera parte del an´alisis parec´ıa delicada, hemos llegado a una forma plenamente
satisfactoria que legitima la composici´on de funciones y operadores.

A continuacio´n, demostraremos algunos resultados importantes que involucran conmuta-
dores y funciones de operadores.

Proposici´on 1.4

eAˇ Bˇ e−Aˇ = Bˇ + Aˇ , Bˇ 1 Aˇ , Aˇ , Bˇ 1 Aˇ , Aˇ , Aˇ , Bˇ +··· . (1.17)
+ +
2! 3!

Demostracio´n Consideremos el operador (1.18)
ˇf (λ) = eλAˇ Bˇ e−λAˇ .

Expandimos tal operador en serie de Taylor

∞ λn ∂n f (ˇλ)
n!
ˇf (λ) = ˇfn , con ˇfn = ∂λn .

n=0 λ=0

54 CAP´ITULO 1. INTRODUCCIO´N MATEMA´TICA.

Tenemos ∂eλAˇ ∂e−λAˇ

∂ˇf Bˇ e−λAˇ + eλAˇ Bˇ ∂λ .
=
∂λ ∂λ

Pero ∂ eλAˇ = Aˇ eλAˇ = eλAˇ Aˇ ,
∂λ

luego

∂ˇf = eλAˇ (Aˇ Bˇ − Bˇ Aˇ )e−λAˇ = eλAˇ Aˇ , Bˇ e−λAˇ . (1.19)
∂λ en las relaciones

Iterando esta relaci´on, es decir, cambiando Bˇ −→ Aˇ , Bˇ −→ Aˇ , Aˇ , Bˇ

(1.18) y (1.19) sigue:

∂2ˇf ∂ ∂ˇf = eλAˇ Aˇ , Aˇ , Bˇ e−λAˇ ,
=
∂λ2 ∂λ ∂λ

etc. La proposici´on queda demostrada al reemplazar estas relaciones, con λ = 1, en la expan-
sio´n de Taylor.

q.e.d.

Supongamos que Aˇ y Bˇ conmutan con el conmutador de Aˇ y Bˇ , es decir, supongamos
que

Aˇ , Aˇ , Bˇ = Bˇ , Aˇ , Bˇ = 0ˇ ,

e introduzcamos la funcio´n de operadores

ˇf (x) = eAˇ x eBˇ x .

Evaluemos sus derivadas. Tenemos

∂ˇf ∂ eAˇ x eBˇ x + eAˇ x ∂ eBˇ x = eAˇ x(Aˇ + Bˇ )eBˇ x ,
= ∂x
∂x ∂x

es decir,

∂ˇf Aˇ + eAˇ x Bˇ e−Aˇ x ˇf (x) .
=
∂x

Usando la proposicio´n anterior se encuentra que

d ˇf (Aˇ + Bˇ ) + Aˇ , Bˇ x ˇf (x) . (1.20)
=
dx

Como (Aˇ + Bˇ ) y Aˇ , Bˇ conmutan, estos operadores se pueden tratar como nu´meros, es
decir, la u´ltima relaci´on es simplemente una ecuaci´on diferencial del tipo

du(x)
= (α + βx) u(x) ,

dx

cuya solucio´n es 1
2
u(x) = C eαx+ βx2 .

1.17. VALOR ESPERADO Y VARIANZA. 55

La solucio´n de (1.20) viene, por lo tanto, dada por

ˇf (x) = C e(Aˇ +Bˇ )x+ 1 x2 [Aˇ ,Bˇ ] .
2

La constante C es igual a 1 ya que ˇf (0) = 1ˇ. De esta u´ltima relacio´n y la definici´on de f se

obtiene: eAˇ xeBˇ x e(Aˇ +Bˇ )x+ 1 x2 [Aˇ ,Bˇ ]
2
= . (1.21)

A partir de este resultado ahora es fa´cil demostrar las siguientes proposiciones:

Proposicio´n 1.5 Si Aˇ y Bˇ conmutan con Aˇ , Bˇ entonces:

eAˇ Bˇ e−Aˇ = Bˇ + Aˇ , Bˇ .

Demostraci´on Problema 2-4.
Proposici´on 1.6 Si Aˇ y Bˇ conmutan con Aˇ , Bˇ entonces:

eAˇ eBˇ = eAˇ +Bˇ + 1 [Aˇ ,Bˇ ] = eAˇ +Bˇ e 1 [Aˇ ,Bˇ ] = eBˇ eAˇ e[Aˇ ,Bˇ ] . (1.22)
2 2

Demostracio´n Problema 2-5.

1.17. Valor esperado y varianza.

Definicio´n 1.3 El valor esperado de un operador Aˇ para un vector | ψ normalizado est´a da-

do por

Aˇ ψ = ψ | Aˇ | ψ . (1.23)

Cuando est´e claro cua´l es el vector | ψ que se usa, se puede omitir el r´otulo y poner Aˇ .

Mostremos que el valor esperado de un operador herm´ıtico es real. Sean Aˇ un operador
autoherm´ıtico, {| an } una base ortonormal completa de autovectores y | ψ ∈ H . Entonces

Aˇ ψ = ψ | Aˇ | ψ = ψ | Aˇ | aj aj | ψ ,

j

= ψ | aj aj aj | ψ ,

j

es decir,

Aˇ ψ = aj | aj | ψ |2 ∈ R . (1.24)

j

De (1.24) tambi´en se sigue que el valor esperado se puede interpretar como un promedio
ponderado de todos los valores posibles de aj, donde a cada aj se le asigna un peso | aj | ψ |2.

Definicio´n 1.4 La varianza (∆A)2 ψ de un operador Aˇ para un vector | ψ viene dada por

(∆A)2 ψ ≡ Aˇ 2 ψ − Aˇ 2 . (1.25)
ψ