ลิมิตของลำดับอนันต์เเละอนุกรม

1, 2, 3, … , , …

lim 1 = 0

→∞

lim

→∞

lim = 0
→∞
= ไมม่ ีคา่
lim
→∞

, ,

lim = lim =

→∞ →∞

= lim = lim =

→∞ →∞

lim = lim =

→∞ →∞

l i→m∞( + ) = lim + lim = +

→∞ →∞

l i→m∞( − ) = lim − lim = −

→∞ →∞

l i→m∞( ∙ ) = lim ∙ lim =

→∞ →∞

≠ 0 ≠ 0

lim ( ) = lim =

→∞ →∞

lim

→∞

1, 2, 3, … , , ... ≠ 0
1
1, 2, 3, … , , … lim = 0

→∞



lim = lim √ =

→∞ →∞

√ l i→m∞ = √

จงแสดงว่าลำดับทม่ี ีพจนท์ ั่วไปในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้เป็นลำดบั ลเู่ ข้า

3 + 2 )2 = 3 3−
1) = 5 3+17

วิธที ำ เนื่องจาก lim 3 + 2 = lim 3 + lim 2

→∞ →∞ →∞

= 0+2

=2

ดงั นนั้ ลำดับน้เี ปน็ ลำดับล่เู ขา้ 1 2)
1 73 )
2) เนอื่ งจาก lim 3 3 − = lim 3 (3 −
5 3 + 17 3 (5 +
→∞ →∞

= lim 3 − 1
5 + 2
→∞ 17
3

= lim 3 − lim 1
2
→∞ →∞

lim 5 + lim 17
3
→∞ →∞

3
=5

ดังน้นั ลำดบั นีเ้ ป็นลำดับลเู่ ขา้

จงตรวจสอบวา่ ลำดบั เมื่อ = 2 เปน็ ลำดับลู่เขา้ หรอื
+1
ลำดับลู่ออก

วิธที ำ เนือ่ งจาก lim 1 = lim +1
2
→∞ →∞

11
= lim ( + 2)

→∞

lim 11
= + lim
→∞ 2
→∞

= 0+0

=0

จากทฤษฎบี ท 4 จะได้วา่ ลำดับ ลู่ออก

1, 2, 3, … ,


= 2 ( 1 + )


= 2 (2 1 + ( − 1) )

1, 2, 3, … ,

1(1 − )
1 −
=เม่ือ ≠ 1

จงหาผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนุกรมที่ไดจ้ ากลำดบั เรขาคณิต
1,2,4,8,...

วิธีทำ ลำดับทก่ี ำหนดใหม้ ี 1 = 1 และ = 2

แทน n ด้วย 8 ใน = 1(1− ) จะได้
1−

1(1 − 28)
8 = 1 − 2

28 − 1
= 2−1

= 255

ดังนน้ั ผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตนี้ คือ 255