ลิมิตและอนุกรม

ลิมิตของลำดับอนันต์

&

อนุกรม

ลิมิตของลำดับอนันต์

บทนิยาม

เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด พจน์ที่ n ของลำดับมีค่ามากขึ้นไม่เข้าใกล้จำนวนจริงใดจำนวนหนึ่ง
ลำดับนี้จึงไม่มีลิมิตและไม่เป็นลำดับลู่เข้า เรียกลำดับอนันต์นี้ว่า ลำดับลู่ออก (divergent sequence)
ถ้า a1, a2, a 3 , …, a n, … เป็นลำดับอนันต์เรียกลำดับนี้ว่า ลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

ทฤษฎีบทที่ 1 ทฤษฎีบทที่ 2

ให้ r เป็นจำนวนจริงบวก จะได้ว่า ให้ r เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า
1 ถ้า | r | < แล้ว lim rn= 0
lim = 0 และ lim n r ไม่มีค่า n
nr
n n แล้วnlim
8 r n=
8 ถ้า | r | > ไม่มีค่า
88

ทฤษฎีบทที่ 3

ให้ an,bn ,t n เป็นลำดับของจำนวนจริง A,B เป็นจำนวนจริง และ C เป็นค่าคงตัว
ใดๆ โดยที่nlim an= A และnlim bn= B จะได้ว่า
8 8
8
1. ถ้า tn = c ทุกจำนวนเต็มบวก n แล้วnlim tn = lim 8 c = c

n

2. lim ca n = c lim an= cA

n 88 8 8 n 88 8 8

3. lim (an+bn ) = lim an+nlim bn = A+B
88 8
n n

4. lim (an-bn) =nlim an - lim bn= A-B

n n

5. lim (an bn ) = nlim an lim bn= AB

n n

6. ถ้า b n =/ 0 ทุกจำนวนเต็มบวก n และ B =/ 0 แล้ว
= nlim an =
(lim an ( 88 A
bn lim bn B

n

ลิมิตของลำดับอนันต์

ทฤษฎีบทที่ 4 ทฤษฎีบทที่ 5

ให้ a1, a2, a3, ... ,an, ... เป็นลำดับซึ่ง ให้ anเป็นลำดับของจำนวนจริง

a n =/ 0 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ L เป็น

ถ้า lim 1 = 0 แล้ว จำนวนจริง และ m เป็นจำนวนเต็ม

n a n
8
8
8
8
ลำดับ a1, a2, a3, ... ,a n, ... จะลู่ออก ที่มากกว่าหรือเท่ากับสอง จะได้ว่า
√ถ้า
lim an= L แล้ว limma n =

nn n
√ √m lim
n mL
an =

n

n

ตัวอย่าง

a = 6n6n- 4n เป็นลำดับลู่เข้าหารือลำดับลู่ออก ถ้าเป็นลู่เข้าจงหาลิมิต
6n - 4
วิธีทำ จากโจทย์ =n lim88 6n


4

= lim 6n - n จัดรูป an โดย
n6
ดีกรีสูงสุด
= 6-0

6

=6

6

=1

ดังนั้น ลำดับ a n = 6n - 4 เป็นลำดับลู่เข้าสู่ค่า 1
6n

อนุกรม

อนุกรมเลขคณิต

สูตรอนุกรมเลขคณิต

ให้ a1, a2, a3, ... ,a n เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่งมี d เป็นผลต่างร่วม

ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต คือ

Sn = n ( a1 + an) Sn= n ( 2a 1 +( n -1) d )

2 2

อนุกรมเรขาคณิต

สูตรอนุกรมเรขาคณิต

ให้ a1, a2, a3, ... ,a n เป็นลำดับเรขาคณิต ซึ่งมี r เป็นอัตราส่วนร่วม

ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ

Sn= a1( 1
- rn) เมื่อ r = 1
1-r