ลิมิตและอนุกรม

ลิมิตของลำดับอนันต์

และ

อนุกรม

ลิมิตของลำดับอนันต์

บทนิยาม

เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด พจน์ที่ n ของลำดับมีค่ามากขึ้นไม่เข้าใกล้จำนวนจริงใด
จำนวนหนึ่ง

ลำดับนี้จึงไม่มีลิมิตและไม่เป็นลำดับลู่เข้า เรียกลำดับอนันต์นี้ว่า ลำดับลู่ออก
(divergent sequence)

ถ้า a1 , a2, a3 , …, an , … เป็นลำดับอนันต์เรียกลำดับนี้ว่า ลำดับลู่เข้า
(convergent sequence)

ทฤษฎีบท 1 ทฤษฎีบท 2

ให้ r เป็นจำนวนจริงบวก จะได้ว่า ให้ r เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า

1 nrไม่มีค่า ถ้า | r | < แล้ว lim r n= 0

nr= n
8
8
8

8
lim 0 และnlim ถ้า | r | > แล้ว lim rn= ไม่มีค่า

n

ทฤษฎีบท 3

ให้ an,bn ,t n เป็นลำดับของจำนวนจริง A,B เป็นจำนวนจริง และ C เป็นค่าคงตัว
ใดๆ โดยที่nlim an= A และnlim bn= B จะได้ว่า
8 8
8
1. ถ้า tn = c ทุกจำนวนเต็มบวก n แล้วnlim tn = lim8 c = c

n

2. lim ca = c lim an= cA

n 88 8 8 n n 88 8 8

3. lim (an+bn ) = lim an+nlim bn = A+B
88 8
n n

4. lim (an-bn) = lim an- lim bn= A-B

n n n

5. lim (an bn ) = nlim an lim bn= AB

n n

6. ถ้า b n =/ 0 ทุกจำนวนเต็มบวก n และ B =/ 0 แล้ว
= nlim an =
(lim an ( lim 88bn A
bn B
n

ลิมิตของลำดับอนันต์

ทฤษฎีบท 4 ทฤษฎีบท 5

ให้ a1, a2, a3, ... ,an, ... เป็นลำดับซึ่ง ให้ anเป็นลำดับของจำนวนจริง

a =/ 0 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ L เป็น

1 จำนวนจริง และ m เป็นจำนวนเต็ม

ถ้า lim an= 0 แล้ว ที่มากกว่าหรือเท่ากับสอง จะได้ว่า

n
8
8
8
8
ลำดับ a1, a2, a3, ... ,an, ... จะลู่ออก √ถ้าnlim an= L แล้วnlimma n =

√ √m lim
n
อนุกรม an= m L

อนุกรมเลขคณิต

ให้ a1, a2, a3, ... ,a n เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่งมี d เป็นผลต่างร่วม
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต คือ
n
Sn = n ( a1+ an) S n= ( 2a 1 +( n -1) d )
2
2

อนุกรมเรขาคณิต

ให้ a1, a2 , a3, ... ,a n เป็นลำดับเรขาคณิต ซึ่งมี r เป็นอัตราส่วนร่วม
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ
a1( 1
- rn)
Sn= 1-r เมื่อ r = 1

ตัวอย่าง

1. an = n 1 เป็นลำดับลู่เข้าหรือลำดับลู่ออกถ้าเป็นลู่เข้าจงหาลิมิต
n+ n

วิธีทำ = lim n (1+ n1 )

n
88
= lim n
n (1+ n1 )

nlim 1
= 8
nlim 1 8 1
8 + nlim
n
= 1
1+0

= 1# n 1 เป็นลำดับลู่เข้าสู่ค่า 1
ตอบ ดังนั้น ลำดับ a n= n+

2. จงหาผลบวก 20 พจน์แรก ของอนุกรมเลขคณิต 7 ,14 ,21 ,28 ,...

วิธีทำ จากโจทย์ a1 =n27(, d = 7
จากสูตร n= 2a +(
S 1 n -1) d )

S20= 20 ( [2(7) +( 20 -1)) (7 ) ]

2

S20= 20 10 (147)

2
S = 1,470

20

ตอบ ดังนั้น ผลบวก 75 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

7 ,14 ,21 ,28 ,... มีค่าเท่ากับ 1,470

ตัวอย่าง

3. จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 6 + 9 + 12 + 15 + ... + 99

วิธีทำ จากโจทย์ a 1 = 6, d = 3 ,an = 99

จากสูตร an = a 1 + (n - 1) d
ดังนั้น จากสูตร 99 = 6 + (n - 1) 3

n = 32
n
Sn= 2 ( a 1+ an )

S32= 322( 6 + 99 )
S32= 16 (105)

S32= 1,680

ตอบ ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 6 + 9 + 12 + 15 + ... + 99
มีค่าเท่ากับ 1,680