เอกสารประกอบการเรียนวิชาแคลคูลัส 1 รหัส 30000–1404 ได้เรียบเรียงขึ้นตาม จุดประสงค์รายวิชา มาตรฐานรายวิชา และคำอธิบายรายวิชาหลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาชีพชั้นสูง พุทธศักราช 2563 กระทรวงศึกษาธิการ โดยเน้นผู้เรียนเป็นสำคัญให้สามารถพัฒนาความรู้ความเข้าใจ การคิดวิเคราะห์ เพื่อให้ง่ายแก่การทำความเข้าใจด้วยตนเอง ใช้เป็นพื้นฐานในการเรียนกลุ่มวิชา คณิตศาสตร์เรื่องต่อไป รวมทั้งสามารถนำความรู้ไปประยุกต์ใช้ในงานอาชีพและในชีวิตประจำวันได้ เอกสารประกอบการเรียนนี้ เล่มนี้เป็นเอกสารประกอบการเรียนรายวิชาแคลคูลัส 1 รหัส 30000-1404 หน่วยที่ 4 เรื่องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร ประกอบด้วยเนื้อหา แบบทดทสอบก่อนเรียน แบบทดสอบหลังเรียน แบบฝึกปฏิบัติ เพื่อให้ผู้เรียนได้ฝึกปฏิบัติและมีความ เข้าใจในเนื้อหาในการศึกษาบทเรียน เอกสารประกอบการเรียนเล่มนี้สำเร็จลุล่วงไปด้วยดี โดยได้รับการส่งเสริมจาก ผู้บริหาร ครู วิทยาลัยสารเทคนิคชุมพร และครูบุญจีรา เอมรื่น ครูวิทยฐานะชำนาญการพิเศษโรงเรียนศรียาภัยและ ผู้เชี่ยวชายทุกท่าน ที่ให้การสนับสนุนในการจัดทำ และมีส่วนช่วยให้เอกสารประกอบการการสอนเรียน เล่มนี้มีความสมบูรณ์ยิ่งขึ้น ขอขอบคุณมา ณ โอกาสนี้ พัศณีญา สีหาพัด คำนำ ก ก
สารบัญ เรื่อง คำนำ ………………………………………………………………………………………………………………………………… ก สารบัญ………………………………………………………………………………………………………………………………… ข แบบทดสอบก่อนเรียน ………………………………………………………………………………………………………….. 2 แนวคิด สาระการเรียนรู้ สมรรถนะรายวิชา …………………………………………………………………………….. 5 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร …………………………………………………………………………… 6 สรุปเนื้อหา ……………………………………………………………………………………………………………………………. 7 แบบฝึกปฏิบัติ……………………………………………………………………………………………………………………….. 12 ทดสอบหลังเรียน ……………………………………………………………………………………………………………………. 21 ข
1. เข้าใจความคิดรวบยอดเกี่ยวกับทฤษฎีบททวินาม เศษส่วนย่อย ลิมิตและความต่อเนื่องของ ฟังก์ชัน อนุพันธ์ฟังก์ชันพีชคณิต อนุพันธ์ฟังก์ชันอดิศัย การประยุกต์ของอนุพันธ์อินทิกรัล ฟังก์ชันพีชคณิต อินทิกรัลฟังก์ชันอดิศัยและอินทิกรัลจำกัดเขต 2. สามารถนำความรู้เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม เศษส่วนย่อย ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน อินทิกรัลของฟังก์ชันและอินทิกรัลจำกัดเขตประยุกต์ใช้ในงานอาชีพ 3. มีเจตคติที่ดีต่อการเรียนรู้ทางคณิตศาสตร์ 1. ดำเนินการเกี่ยวกับลิมิตและตรวจสอบความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2. ดำเนินการเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตและฟังก์ชันอดิศัย 3. ดำเนินการเกี่ยวกับอนุพันธ์อันดับสูง 4. ประยุกต์อนุพันธ์ในงานอาชีพ 5. ดำเนินการเกี่ยวกับอินทิกรัลฟังก์ชันพีชคณิตและฟังก์ชันอดิศัย 6. ดำเนินการเกี่ยวกับอินทิกรัลจำกัดเขตและประยุกต์ใช้ในงานอาชีพ ศึกษาเกี่ยวกับการฝึกทักษะการคิดคำนวณและการแก้ปัญหาเกี่ยวกับทฤษฎีบททวินาม เศษส่วนย่อยลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ฟังก์ชันพีชคณิตและฟังก์ชันอดิศัย การประยุกต์ ของอนุพันธ์อินทิกรัลฟังก์ชันพีชคณิตและฟังก์ชันอดิศัย อินทิกรัลจำกัดเขตและการประยุกต จุดประสงค์รายวิชา มาตรฐานรายวิชา และคำอธิบายรายวิชา แคลคูลัส 1 รหัส 30000-1404 หลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาชีพชั้นสูง พุทธศักราช 2563 สมรรถนะรายวิชา คำอธิบายรายวิชา จุดประสงค์รายวิชา 11
แบบทดสอบก่อนเรียน/หลังเรียน อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร คำชี้แจง แบบทดสอบฉบับนี้มีทั้งหมด 20 ข้อ คำสั่ง จงเลือกคำตอบที่ถูกที่สุดเพียงคำตอบเดียว 1. กำหนด y = 5x ในการหาค่า dy dx ใช้สูตรในข้อใดหาคำตอบ ก. dc 0 dx = ข. d ( ) dx du cu c dx = ค. dx 1 dx = ง. . d ( ) dx du dv dv c v W dx dx dx + − = + − จ. d ( ) dx dv du uv u v dx dx = + . โจทย์กำหนด 2 y = x 7 6 + +x 2. ในการหาค่า dy dx ใช้สูตรในข้อใดใน การคำนวณหาคำตอบในขั้นตอนที่ 1 ก . d ( ) dx du dv dv c v W dx dx dx + − = + − ข. d ( ) dx dv du u v u v dx dx = + ค. d ( ) dx du cu c dx = ง. dc 0 dx = จ. dx 1 dx = 3. โจทย์กำหนด x + 2 y = 2 4 x − ในการหาค่า dy dx ใช้สูตรในข้อใดในการ คำนวณหาคำตอบในขั้นตอนที่ 1 ก. d ( ) dx du dv dv c v W dx dx dx + − = + − ข. d ( ) dx dv du uv u v dx dx = + ค. 2 d dx du dv 1 v u dx dx u v v = − ง. d ( ) dx du cu c dx = จ. dx 1 dx = 2
4. กำหนด y = 5x + 5 dy dx ตรงกับข้อใด ก. 5 ข. -5 ค. 10 ง. 5x + 5 จ. 5x - 5 5. กำหนด 2 y = x - 3x dy dx ตรงกับข้อใด ก. 2x+3 ข. 2x-3 ค. 2 ง. -2 จ. 0 6. กำหนด 2 y = 3x + 5x- 8 dy dx ตรงกับข้อใด ก. 6x + 5 ข.6x- 5 ค. 2 3x + 5 ง. 2 3x - 5 จ. 3x - 5 7. ให้ 4 3 y = 5x - 5x + 3x ดังนั้น dy dx ตรงกับข้อ ใด ข. 3 2 20x +15x + 3 ข. 3 2 20x -15x + 3 ค. 3 2 -20x -15x + 3 ง. 2 3x - 5x จ. 5 4 5x - 5x + 3x 8. ให้ 4 x 5 y = + 3x - 5 ดังนั้น dy dx ตรงกับข้อใด ค. 5 -20x + 5 ข. 5 -20 + 3 x ค. 5 3 − -20x + ง. ข้อ ข. และ ค. ถูกต้อง จ. ข้อ ก. และ ค. ถูกต้อง 9. ให้ y = x − 3x ดังนั้น dy dx ตรงกับข้อใด ก. 1 +3 2 x ข. − 3 1 2 x ค. x +3 2 ง. 2 3 x − จ. 2 x + 3 10. ให้ -3 -2 y = 2x + 6x + 3x-1, dy dx ตรง กับข้อใด ก. 4 3 -6 12 + - 3 x x ข. 4 3 -6 12 - - 3 x x ค. 4 3 -6 12 - + 3 x x ง. 2 6x +12x + 3 จ. -2 6x +12x- 3 11. กำหนด 2 y = x(x + 3) , dy dx ตรงกับข้อใด ก. 2 3x - 3 ข. 2 3x + 3 ค. 2 x(x + 3) ง. 2 3x - 5 จ. 2 3x + 5 12 กำหนด y = (2x - 3)(5x + 3), dy dx ตรงกับข้อใด ก. 20x- 9 ข. 2 20x + 6 ค. 20x + 9 ง. 2 20x - 6 จ. ไม่มีคำตอบ 13. กำหนด 2 y = (x - 5x)(3x + 2) , dy dx ตรง กับข้อใด ก. 2 9x - 26x-10 ข. 2 9x - 26x +10 ค. 2 x - 26x-10 ง. 2 x - 26x +10 จ. 3 x - 26x-10 3
14. กำหนด 2 3 1 y = x + - 2x x , dy dx ตรงกับข้อใด ก. -4 2x + 3x - 2 ข. 2 2x + 3x + 2 ค. 4 3 2x + - 2 x ง. ข้อ ก และ ข ถูกต้อง จ. ข้อ ก และ ค ถูกต้อง 15. กำหนด y = x + 7x , dy dx ตรงกับข้อใด x ก. -7x 2 x ข. x + 7x 2 x ค. x + 7x ง. x − 7 จ. หาค่าไม่ได้เพราะติดเครื่องหมาย 16. กำหนด 2 (x - 5x) y = (x + 4) , dy dx ตรงกับข้อใด ก. 2 x + 8x - 20 (x + 4) ข. 10x- 20 2 (x + 4) ค. 2 x - 8x - 20 2 (x + 4) ง. 2 x + 8x - 20 2 (x + 4) จ. ไม่มีคำตอบ 17. กำหนด (x - 3) y = (2x + 5) , dy dx ตรงกับข้อใด ก. -11 2 (2x + 5) ข. 11x 2 (2x + 5) ค. 11 2 (2x + 5) ง. -11 2 (2x + 5) จ. ไม่มีคำตอบ 18. กำหนด (x + 9) y = (3x- 4) , dy dx ตรงกับข้อใด ก. -23 2 (3x- 4) ข. 23 2 (3x- 4) ค. 31 2 (3x- 4) ง. -31 2 (3x- 4) จ. ไม่มีคำตอบ 19.กำหนด 2 y = (x - 5x)(3x + 2) , dy dx ตรงกับข้อใด ก. 2 9x - 26x-10 ข. 2 9x - 26x +10 ค. 2 x - 26x-10 ง. 2 x - 26x +10 จ. 3 x - 26x-10 20.กำหนด 2 3 1 y = x + - 2x x , dy dx ตรงกับข้อ ใด ก. -4 2x + 3x - 2 ข. 2 2x + 3x + 2 ค. 4 3 2x + - 2 x ง. ข้อ ก และ ข ถูกต้อง จ. ข้อ ก และ ค ถูกต้อง 4
1. ฟังก์ชันพีชคณิต (Algebraic Function) คือ ฟังก์ชันซึ่งมีค่าฟังกันเขียนในรูปของพจน์ตัวแปร อิสระ อันประกอบด้วยตัวแปรนั้นกับเครื่องหมายทางพีชคณิต (บวก, ลบ, คูณ, หาร, ยกกำลังและค่า สัมบูรณ์) เช่น 2 2 y = x - 3x +1,y = 2x +1และ x =1 2. สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y = f(x) ที่จุด x ใด ๆ ซึ่งเรียกอีกอย่างได้ว่า อนุพันธ์ (derivative) ซึ่งสัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของ f(x) ได้แก่ / y = f (x) หรือ dy dx หรือ / y อนุพันธ์ ของ f(x) ก็คือ x 0 dy f(x + h) - f(x) ( ) = lim dx h f x y → = = คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบ x 1. ความหมายของฟังก์ชันพีชคณิต 2. สูตรการหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต 3. การหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร สมรรถนะหลัก (สมรรถนะประจำหน่วย) ดำเนินการเกี่ยวกับการหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต สมรรถนะย่อย (สมรรถนะการเรียนรู้) สมรรถนะทั่วไป (ทฤษฎี) 1. เลือกสูตรในการคำนวณโจทย์ได้ถูกต้อง 2. คำนวณหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตรได้ถูกต้อง หน่วยที่ 4 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต (Differentiation of Algebraic) สาระการเรียนรู้ แนวคิด 5
วิชาแคลคูลัสเป็นวิชาที่กล่าวถึงการเปลี่ยนแปลงทางคณิตศาสตร์และเครื่องมือหลักสําหรับ การศึกษาการเปลี่ยนแปลงจะเป็นกระบวนการที่เราเรียกว่า การหาอนุพันธ์(differentiation) ใน การศึกษาเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น มีความสําคัญต่อการศึกษาด้านวิทยาศาสตร์ มีการนําอนุพันธ์ไป ใช้อย่างแพร่หลายในทางวิทยาศาสตร์วิศวกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ การแพทย์และวิทยาการ คอมพิวเตอร์ ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงความหมายของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน และกระบวนการหาอนุพันธ์ ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร ฟังก์ชันพีชคณิต (Algebraic Function) คือ ฟังก์ชันซึ่งมีค่าฟังกันเขียนในรูปของพจน์ตัวแปร อิสระ อันประกอบด้วยตัวแปรนั้นกับเครื่องหมายทางพีชคณิต (บวก, ลบ, คูณ, หาร, ยกกำลังและค่า สัมบูรณ์) เช่น 2 2 y = x - 3x +1,y = 2x +1และ x =1 4.1 สัญลักษณ์ของอนุพันธ์ หน่วยที่ 4 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร (Differentiation of Algebraic) 6
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต โดยทั่วไปนิยมหาอนุพันธ์โดยการใช้สูตร ซึ่งมีสูตรดังนี้ สูตรการหาอนุพันธ์ กำหนดให้ U =f(x) และ V = g(x) c เป็นค่าคงที่ใด ๆ และ n เป็นจำนวนจริง ถ้า U และ V มี อนุพันธ์ที่ x แล้วจะได้สูตรของอนุพันธ์ดังต่อไปนี้ 1. 0 dx dc = 2. 1 dx dx = 3. dx du (cu) c dx d = 4. dx dv dx du (u v) dx d = 5. dx du v dx dv (u v) u dx d = + 6. ,v 0 v dx dv u dx du v v u dx d 2 − = 7. dx du n 1 nu dx n du − = 8. n-1 nx dx n dx = 4.2 สูตรการหาอนุพันธ์ฟังก์ชันพีชคณิต 7
ตัวอย่างที่ 4.3.1 จงหาอนุพันธ์ของ y = 3x 7 2 5x + + วิธีทำ dx dy = 3x 7) 2 (5x dx d + + ใช้สูตร 4 = dx d7 dx dx 3 dx 2 dx 5 + + ใช้สูตร 1 และ 3 = 2 1 1 1 5(2x ) 3(x ) 0 − − + + = 5(2x) +3(1) + 0 dx dy = 10x+3 ตัวอย่างที่ 4.3.2 จงหาอนุพันธ์ของ y 2x 3x 4x 5 3 2 = + − + วิธีทำ dx dy = (2x 3x 4x 5) dx d 3 2 + − + ใช้สูตร 4 = dx d5 dx dx 4 dx 2 dx 3 dx 3 dx 2 + − + ใช้สูตร 1 และ 3 = ) 0 1-1 2(3x ) 3(2x ) 4(x 3-1 2-1 + − + dx dy = 6x 4 2 6x + − ตัวอย่างที่ 4.3.3 จงหาอนุพันธ์ของ y= x วิธีทำ dx dy = 2 1 x dx d ใช้สูตร 8 = 1 2 1 x 2 1 − = 2 1 x 2 1 − = 2 1 2x 1 dx dy = 1 2 x 4.3 การคำนวณหาค่าอนุพันธ์ฟังก์ชันพีชคณิต 8
ตัวอย่างที่ 4.3.4 จงหาอนุพันธ์ของ y = 4 3 2 3 y x2 7 x x = + + − วิธีทำ 4 3 dy d 2 3 2 7 dx dx x x x = + + − dy d d d d - 4 -3 = (2x ) + (3x ) + (2x) - (7) dx dx dx dx dx dy 2d 3d 2d d - 4 -3 = (x ) + (x ) + x - 7 dx dx dx dx dx dy - 5 -4 = 8x + 9x + 2(1) - 0 dx 5 -4 dy 8 9 = - - + 2 dx x x ตัวอย่างที่ 4.3.5 จงหาอนุพันธ์ของ y = 2 (3 2) x + วิธีทำ dx dy = d 2 (3 2) dx x + = 2 1 d 2(3 2) (3 2) dx x x − + + = 2(3 2)(3) x + = 6(3 2) x + = 18x+12 ดังนั้น dx dy = 18x+12 ตัวอย่างที่ 4.3.6 จงหาอนุพันธ์ของ y= (2 3)(3 5) x x + + วิธีทำ dx dy = d (2 3)(3 5) dx x x + + = (2 3) (3 5) (3x 5) (2 3) d d x x x dx dc + + + + + = (2 3)(3) (3x 5)(2) x + + + ใช้สูตร 5 ใช้สูตร 7 ใช้สูตร 3 9
(6 9) (6x 10) 6 9 6 10 12 19 12 19 x x x x x = + + + = + + + = + = + ตัวอย่างที่ 4.3.7 จงหาอนุพันธ์ของ y= 2 ( 2) 2 3 x x + − วิธีทำ dx dy = 2 d (x 2) dx (2 3) x + − = 2 2 2 1 (2 3) ( 2) (x 2) (2 3) (2 3) d d x x x dx dc x − + − + − − 2 2 (2 3)(2 ) (x 2)(2) (2 3) x x x = − − + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 6 2 4 2 3 x x x x = − − + − ( ) ( ) 2 2 2 4 6 2 4 2 3 x x x x = − − − − ดังนั้น dx dy ( ) ( ) 2 2 2 6 4 2 3 x x x = − − − ใช้สูตร 6 ดังนั้น dx dy 10
1. 1. 2. การหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร ที่1-2 และ สูตรที่5-6 มีข้อสังเกตดังนี้ 1. 0 dx dc = 2. 1 dx dx = และ 7. dx du n 1 nu dx n du − = 8. n-1 nx dx n dx = ข้อสังเกต 1. เนื่องจาก y = c เป็นกราฟที่มีความชัน 0 ดังนั้น 0 dx dc = 2. เนื่องจาก y = x เป็นกราฟเส้นตรง ที่มีความชัน 1 ดังนั้น 1 dx dx = 3 สูตรที่ 5 ซึ่งเป็นสูตรผลคูณ dx du v dx dv (u v) u dx d = + ให้ท่องว่า หน้าดิฟหลัง + หลังดิฟหน้า 4 สูตรที่ 6 ซึ่งเป็นสูตรผลคูณ ,v 0 v dx dv u dx du v v u dx d 2 − = ให้ท่องว่า ล่างดิฟบน – บนดิฟล่าง หารด้วยล่างยกกำลังสอง สรุป 11
จงแสดงวิธีทำหาค่าอนุพันธ์ต่อไปนี้โดยใช้สูตร (15 คะแนน) 1. y = 3x + 2 (3 คะแนน) วิธีทำ ( ) dy d = 3x + 2 dx dx dy d(3x) d(2) = + dx dx dx ใช้สูตรที่ ………………………… dy 3dx d(2) = + dx dx dx ใช้สูตรที่ ……………………… dy = 3(1) + 0 dx ใช้สูตรที่ ……………………… ดังนั้น dy = - - - - - - - - - dx 2. 2 y = 2x + 4x - 6 (3 คะแนน) วิธีทำ ( ) dy d 2 = 2x + 4x - 6 dx dx 2 dy 2dx 4dx d6 = + - dx dx dx dx ใช้สูตรที่ ………………………… dy =10x + 4(1) - 0 dx ใช้สูตรที่ ……………………… ดังนั้น dy = - - - - - - - - - - - - - - - dx แบบฝึกปฏิบัติ 4.1 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร 12
3. 4 3 y = -3x + 4x - 6x +1 (3 คะแนน) วิธีทำ ( ) dy d 4 3 = -3x + 4x - 6x +1 dx dx ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. 7 6 2 y = x + 4x - 3x + 5 (3 คะแนน) วิธีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 13
5. -3 -2 y = -2x + 3x - 4x + 5 (3 คะแนน) วิธีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 14
จงแสดงวิธีทำหาค่าอนุพันธ์ต่อไปนี้โดยใช้สูตร (15 คะแนน) 1. 4 3 1 1 y = x - + x - 2 x x (3 คะแนน) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. 1 5 2 y = 4x - 3x + x (3 คะแนน) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… แบบฝึกปฏิบัติ 4.2 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร 15
1 3 2 3. y = - + 2 3 x x x (3 คะแนน) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3 4 4. y = (x - 3) (3 คะแนน) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 16
3 5 y = (3x +1) (3 คะแนน) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 17
จงแสดงวิธีทำหาค่าอนุพันธ์ต่อไปนี้โดยใช้สูตร (20 คะแนน) 1. y = (7x)(x + 4) (4 คะแนน) วิธีทำ dy d d(7x) = (7x) (x + 4) + (x + 4) dx dx dx ใช้สูตรที่ ………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. 2 y = (6x +1)(3x + 5) (4 คะแนน) วิธีทำ dy d d 2 2 = (6x +1) (3x + 5) + (3x + 5) (6x +1) dx dx dx ใช้สูตรที่ ………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… แบบฝึกปฏิบัติ 4.3 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร 18
3. 2 3 y = (x + 2x - 5)(x - 1) (4 คะแนน) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. (3x + 8) y = 2x + 5 (4 คะแนน) วิธีทำ ( ) 2 dy d d 1 = (2x + 5) (3x + 8) - (3x + 8) (2x + 5) dx dx dx 2 5 x + ใช้สูตรที่ ……… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 19
5. 2 (x + 2) y = (2x - 3) (4 คะแนน) วิธีทำ ( ) 2 2 2 dy d d 1 = (2x - 3) (x + 2) - (x + 2) (2x - 3) dx dx dx 2 3 x − ใช้สูตรที่ ……… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 20
แบบทดสอบหลังเรียน อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร คำชี้แจง แบบทดสอบฉบับนี้มีทั้งหมด 15 ข้อ คำสั่ง จงเลือกคำตอบที่ถูกที่สุดเพียงคำตอบเดียว 1. กำหนด y = 5x- 5 dy dx ตรงกับข้อใด ข. 5 ข. -5 ค. 10 ง. 5x + 5 จ. 5x - 5 2. กำหนด 2 y = x - 2x dy dx ตรงกับข้อใด ข. 2x-2 ข. 2x+2 ค. 2 ง. -2 จ. 0 3. กำหนด 2 y = 3x + 5x- 8 dy dx ตรงกับข้อใด ง. 6x- 5 ข. 6x + 5 ค. 2 3x + 5 ง. 2 3x - 5 จ. 3x - 5 4. ให้ 4 3 y = 5x - 5x + 3x ดังนั้น dy dx ตรงกับข้อ ใด ก. 3 2 20x -15x + 3 ข. 3 2 20x +15x + 3 ค. 3 2 -20x -15x + 3 ง. 2 3x - 5x จ. 5 4 5x - 5x + 3x 5. ให้ 4 x 5 y = - 3x - 5 ดังนั้น dy dx ตรงกับข้อใด ก. 5 -20x - 5 ข. 5 -20 + 3 x ค. −5 -20x - 3 ง. ข้อ ข. และ ค. ถูกต้อง จ. ข้อ ก. และ ค. ถูกต้อง 6. ให้ y = x − 3x ดังนั้น dy dx ตรงกับข้อ ใด ข. 1 +3 2 x ข. − 3 1 2 x ค. x +3 2 ง. 2 3 x + จ. 2 x - 3 7. ให้ -3 -2 y = 2x + 6x + 3x-1, dy dx ตรงกับข้อ ใด ข. 4 3 -6 12 + - 3 x x ข. 4 3 -6 12 - - 3 x x ค. 4 3 -6 12 - + 3 x x ง. 2 6x +12x + 3 จ. -2 6x +12x- 3 8. กำหนด 2 y = x(x + 3) , dy dx ตรงกับข้อใด ข. 2 3x - 3 ข. 2 3x + 3 ค. 2 x(x + 3) ง. 2 3x - 5 จ. 2 3x + 5 9. กำหนด y = (2x - 3)(5x + 3), dy dx ตรงกับข้อใด ข. 20x- 9 ข. 2 20x + 6 ค. 20x + 9 ง. 2 20x - 6 จ. ไม่มีคำตอบ 21
10. กำหนด 2 y = (x - 5x)(3x + 2) , dy dx ตรงกับข้อใด ข. 2 9x - 26x-10 ข. 2 9x - 26x +10 ค. 2 x - 26x-10 ง. 2 x - 26x +10 จ. 3 x - 26x-10 11. กำหนด 2 3 1 y = x + - 2x x , dy dx ตรงกับข้อใด ข. -4 2x + 3x - 2 ข. 2 2x + 3x + 2 ค. 4 3 2x + - 2 x ง. ข้อ ก และ ข ถูกต้อง จ. ข้อ ก และ ค ถูกต้อง 12. กำหนด y = x + 7x , dy dx ตรงกับข้อใด x ก. -7x 2 x ข. x + 7x 2 x ค. x + 7x ง. x − 7 จ. หาค่าไม่ได้เพราะติดเครื่องหมาย 13. กำหนด 2 (x - 5x) y = (x + 4) , dy dx ตรงกับข้อใด ข. 2 x + 8x - 20 (x + 4) ข. 10x- 20 2 (x + 4) ค. 2 x - 8x - 20 2 (x + 4) ง. 2 x + 8x - 20 2 (x + 4) จ. ไม่มีคำตอบ 14. กำหนด (x - 3) y = (2x + 5) , dy dx ตรงกับข้อใด ข. -11 2 (2x + 5) ข. 11x 2 (2x + 5) ค. 11 2 (2x + 5) ง. -11 2 (2x + 5) จ. ไม่มีคำตอบ 15. กำหนด (x + 9) y = (3x- 4) , dy dx ตรงกับข้อใด ข. -23 2 (3x- 4) ข. 23 2 (3x- 4) ค. 31 2 (3x- 4) ง. -31 2 (3x- 4) จ. ไม่มีคำตอบ 22