KAIDAH PENCACAHAN

YAYASAN PENDIDIKAN WARGA SURAKARTA

SMA WARGA

Alamat : Jl. Monginsidi No. 17  (0271) 638873 SURAKARTA – 57128
Website : www.smarga.sch.id Email : [email protected]

BAB III
KAIDAH PENCACAHAN

Kompetensi Dasar
▪ Menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan

kombinasi) melalui masalah kontekstual.
▪ Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan (aturan

penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi).

Indikator
▪ Menjelaskan pengertian aturan perkalian.
▪ Menjelaskan pengertian faktorial.
▪ Menjelaskan pengertian permutasi.
▪ Menjelaskan pengertian kombinasi
▪ Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan perkalian.
▪ Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan faktorial.
▪ Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan permutasi.
▪ Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kombinasi.

I. Kaidah Pencacahan
a. Aturan Perkalian
Jika suatu peristiwa dapat terjadi dalam m cara dan suatu peristiwa yang lain dapat terjadi
dalam n cara yang berbeda pula, maka kedua peristiwa tersebut dapat terjadi dalam (m x n)
cara yang berbeda.
Contoh :
1. Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 akan dibuat sebuah bilangan yang terdiri dari dua angka dengan
tidak boleh ada angka yang berulang. Tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibuat.
Penyelesaian :
Angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 banyaknya angka adalah 6
I II
Kolom I dapat diisi 5 angka yaitu 1, 2, 3, 4 dan 5
Kolom II dapat diisi 5 angka karena satu angka sudah diisikan pada kolom I dan angka 0
Banyak bilangan = 5 x 5 = 25

2. Disediakan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Akan dibuat bilangan yang terdiri dari tiga
angka, berapakah banyaknya bilangan yang dapat dibuat jika bilangan itu lebih dari 300
dan tidak boleh ada angka yang berulang ?
Penyelesaian :
Angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 banyak angka adalah 7
Banyak bilangan yang dapat dibuat jika bilangan itu > 300 adalah
I II III
Kolom I dapat diisi 5 angka yaitu 3, 4, 5, 6 dan 7
Kolom II dapat diisi 6 angka karena satu angka sudah diisikan pada kolom I
Kolom II dapat diisi 5 angka.
Banyak bilangan = 5 x 6 x 5 = 150

b. Faktorial
n ! dibaca “n faktorial” yaitu hasil kali semua bilangan asli dari satu sampai dengan n. Atau
dapat ditulis :

n!= n(n −1)(n − 2)(n − 3)...3.2.1

Matematika Wajib Kls XII.MIPA - IPS SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Hal. 32

Dimana 0 ! = 1 dan 1 ! = 1

Contoh :
1. Hitunglah :

a) 3! = 3 x 2 x 1 = 6

b) 7! + (7 − 4)! = 7 x 6 x 5 x 4! + 3! = 7 x 6 x 5 + 3 x 2 x 1 = 210 + 6 = 216
4! 4!

c) 6! = 6 x 5 x 4! = 6 x 5 = 15
4! 2! 4! 2! 2 x1

2. Nyatakan perkalian berikut dalam notasi faktorial :

a) 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5!

b) 5 x 4 x 3 = 5 x 4 x 3x 2 x1 = 5!
2 x1 2!

3. Tentukan nilai n dari faktorial berikut :
a) n! = 2
(n − 2)!

n x (n −1) x (n − 2)! = 2
(n − 2)!

n x (n – 1) = 2
n2 – n – 2 = 0
(n – 2)(n + 1) = 0

n = 2  n = –1 (TM)

Latihan :

1. Tersedia angka 1 , 2 , 3 , ... , 9 , akan dibuat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang

berbeda. Berapa banyaknya nomor kendaraan yang mungkin terjadi ?
2. Berapa cara membentuk bilangan yang berbeda yang terdiri dari tiga angka dari angka-angka :

1 , 2 ... , 7 jika :

a) lebih dari 500
b) bilangan itu ganjil
3. Pada saat liburan tiba Andre ingin berlibur ke rumah saudaranya yang tinggal Sangata

Kalimantan Timur. Untuk menuju rumah saudaranya Andre harus menggunakan pesawat

terbang yang harus transit terlebih dahulu di kota Balik papan baru kemudian dengan

pesawat yang berbeda dilanjutkan ke Sangata. Banyaknya pesawat yang dapat digunakan

dari kota Andre ke Balikpapan ada 5 pesawat, sedangkan dari Balik Papan ke Sangata terdapat

tiga pesawat. Berapa banyaknya cara Andre pergi kerumah saudaranya kemudian pulang

kembali kerumah, jika pesawat yang digunakan sewaktu berangkat tidak boleh dinaikki lagi

ketika pulang ?

4. Hitunglah faktorial berikut :

a) (7 – 3)! b) 5! – 4! c) 12!
9! 5!

5. Tuliskan dalam notasi faktorial :

a) 6 x 5 x 4 b) 13 x 12 x 11 x 10

6. Tentukan nilai n dari faktorial berikut :

a) n! = 30 b) (n +1)! = 56 c) (n −1)! = 12
(n − 2)! (n −1)! (n −3)!

Matematika Wajib Kls XII.MIPA - IPS SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Hal. 33

II. Permutasi

Permutasi adalah cara penyusunan dari sekumpulan unsur-unsur dengan memperhatukan
urutannya.
a. Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur dirumuskan sebagai berikut:

Prn = (n n! dengan r ≤ n
− r)!

b. Banyaknya permutasi n unsur dengan k1, k2, k3 yang sama dirumuskan sebagai berikut :

P = n! , dengan k1 + k2 + k3 ≤ n
k1!k2!k3!

c. Banyak permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah sebagai berikut :

P = (n – 1) !

Contoh :

1. Berapa cara dapat memilih 1 orang ketua dan 1 orang wakil ketua dari 8 orang calon, jika

setiap orang mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih dan satu orang hanya boleh

menempati 1 jabatan.

Jawab :

n=8

r=2

8 P2 = 8! = 8 ! = 8 x 7 x 6! = 8 x 7 = 56 cara
(8 − 2)! 6! 6!

III. Kombinasi

Kombinasi dari sekumpulan unsur yang berbeda adalah cara menyusun unsur-unsur tanpa
memperhatikan urutannya.
Banyaknya Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah :

C n = n! , dengan r ≤ n
r r!(n − r)!

Contoh soal :

1. Dalam suatu sekolah terdapat 6 siswa dan 4 siswi calon peserta yang akan dikirim untuk

mengikuti Olimpiade sains. Jika tiap sekolah hanya diperbolehkan mengirimkan 3 siswa dan

2 siswi, berapa banyak susunan yang mungkin dilakukan untuk mengirim peserta ke

olimpiade tersebut?

Jawab :
Banyak siswa 6 , banyak siswi 4,akan dipilih 3 siswa dan 2 siswi :

Dipilih 3 siswa : C36

Dipilih 2 siswi : C24

Jadi : C36  C24 = 6!  4! = 20 x 6 = = 120
3!3! 2!2!

Matematika Wajib Kls XII.MIPA - IPS SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Hal. 34

Latihan :

1. Dalam pembentukan pengurus osis yang terdiri atas ketua, sekretaris, bendahara, terdapat 5

calon yang diajukan. Berapa cara pembentukan pengurus tersebut ?

2. Berapa cara menyusun huruf yang berbeda dari huruf-huruf yang terdapat pada kata :

a) ALJABAR b) BATAVIA

3. Berapa cara memilih regu cepat tepat yang terdiri dari 3 orang siswa jika ada 9 orang siswa

calon peserta ?

4. Berapa cara 6 kue yang berbeda dapat disusun melingkar ?

5. Berapa cara 8 orang bisa saling bersalaman jika setiap 2 orang dianggap terjadi satu kali

salaman ?

6. Ada 6 orang akan duduk dengan posisi melingkar. Jika 2 orang sahabat selalu duduk

berdampingan maka berapa cara posisi duduk yang bisa terjadi ?

7. Tentukan nilan n jika :

a) n P2 = 90 c) 10. n P4 = n P5
b) n C2 = 105 d) n C4 = n C3
8. Tentukan nilai n jika :

a) (n + 4) P2 = 42 c) n P3 = 6n

b) ( −2) = 10 d) n P4 = 30. n C5

Uji Kompetensi :

1. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka berbeda.
Banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah …
A. 18
B. 36
C. 60
D. 120
E. 216

2. Suatu keluarga yang tinggal di Surabaya ingin liburan ke Eropa via Arab Saudi. Jika rute dari
Surabaya ke Arab Saudi sebanyak 5 rute penerbangan, sedangkan Arab Saudi ke Eropa ada 6 rute,
maka banyaknya semua pilihan rute penerbangan dari Surabaya ke Eropa pergi pulang dengan
tidak boleh melalui rute yang sama adalah …
A. 900
B. 800
C. 700
D. 600
E. 460

3. Amanda memiliki 4 buah celana berbeda, 6 buah baju berbeda, dan 3 pasang sepatu berbeda,
banyaknya cara berbeda untuk memakai celana, baju, dan sepatu yang dapat dilakukan Amanda
adalah …cara
A. 36
B. 42
C. 60
D. 68
E. 72

4. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda.
Banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai masing-masing kurang dari 400
adalah …
A. 12

Matematika Wajib Kls XII.MIPA - IPS SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Hal. 35

B. 24
C. 36
D. 48
E. 84

5. Dari angka-angka 2, 3, 5, 7, dan 8 disusun bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda.
Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …
A. 10
B. 15
C. 20
D. 48
E. 60

6. Dari angka-angka 1,2,3,4,5, dan 6 akan disusun suatu bilangan terdiri dari empat angka. Banyak
bilangan genap yang dapat tersusun dan tidak ada angka yang berulang adalah …
A. 120
B. 180
C. 360
D. 480
E. 648

7. Di depan sebuah gedung terpasang secara berjajar sepuluh tiang bendera. Jika terdapat 6 buah

bendera yang berbeda, maka banyak cara berbeda menempatkan bendera-bendera itu pada

tiang-tiang tersebut adalah …

A. 10!

6!

B. 10!
4!

C. 6!
4!

D. 10!

2!

E. 6!

2!

8. Seorang ingin melakukan pembicaraan melalui sebuah wartel. Ada 4 buah kamar bicara dan ada
6 buah nomor yang akan dihubungi. Banyak susunan pasangan kamar bicara dan nomor telepon
yang dapat dihubungi adalah …
A. 10
B. 24
C. 360
D. 1.296
E. 4.096

9. Bagus memiliki koleksi 5 macam celana panjang dengan warna berbeda dan 15 kemeja dengan
corak berbeda. Banyak cara Bagus berpakaian dengan penampilan berbeda adalah … cara
A. 5
B. 15
C. 20
D. 30
E. 75

10. Pada pelaksanaan Ujian praktek Olah raga di sekolah A, setiap peserta diberi nomor yang terdiri
dari tiga angka dengan angka pertama tidak nol. Banyaknya peserta ujian yang bernomor ganjil
adalah …

Matematika Wajib Kls XII.MIPA - IPS SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Hal. 36

A. 360
B. 405
C. 450
D. 500
E. 729

11. Jika seorang penata bunga ingin mendapatkan informasi penataan bunga dari 5 macam bunga
yang berbeda, yaitu B1, B2, …, B5 pada lima tempat yang tersedia, maka banyaknya formasi yang
mungkin terjadi adalah …
A. 720
B. 360
C. 180
D. 120
E. 24

12. Banyak cara memasang 5 bendera dari negara yang berbeda disusun dalam satu baris adalah …
A. 20
B. 24
C. 69
D. 120
E. 132

13. Dalam rangka memperingati HUT RI, Pak RT membentuk tim panitia HUT RI yang dibentuk dari 8
pemuda untuk dijadikan ketua panitia, sekretaris, dan bendahara masing-masing 1 orang.
Banyaknya cara pemilihan tim panitia yang dapat disusun adalah …
A. 24
B. 56
C. 168
D. 336
E. 6720

14. Dalam kompetisi bola basket yang terdiri dari 10 regu akan dipilih juara 1, 2, dan 3. Banyak cara
memilih adalah …
A. 120
B. 360
C. 540
D. 720
E. 900

15. Dari 7 orang pengurus suatu ekstrakurikuler akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris,
bendahara, dan humas. Banyak cara pemilihan pengurus adalah …
A. 2.100
B. 2.500
C. 2.520
D. 4.200
E. 8.400

16. Susunan berbeda yang dapat dibentuk dari kata “DITATA” adalah …
A. 90
B. 180
C. 360
D. 450
E. 720

Matematika Wajib Kls XII.MIPA - IPS SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Hal. 37

17. Banyak cara menyusun suatu regu cerdas cermat yang terdiri dari 3 siswa dipilih dari 10 siswa
yang tersedia adalah …
A. 80
B. 120
C. 160
D. 240
E. 720

18. Banyak kelompok yang terdiri atas 3 siswa berbeda dapat dipilih dari 12 siswa pandai untuk
mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika adalah …
A. 180
B. 220
C. 240
D. 420
E. 1.320

19. Dari 20 orang siswa yang berkumpul, mereka saling berjabat tangan, maka banyaknya jabatan
tangan yang terjadi adalah …
A. 40
B. 80
C. 190
D. 360
E. 400

20. Seorang ibu mempunyai 8 sahabat. Banyak komposisi jika ibu ingin mengundang 5 sahabatnya

untuk makan malam adalah …

A. 8! 5!

B. 8! 3!

C. 8!
3!

D. 8!
5!

E. 8!
5! 3!

21. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5}. Banyak himpunan bagian A yang banyak anggotanya 3
adalah …
A. 6
B. 10
C. 15
D. 24
E. 30

22. Seorang peserta ujian harus mengerjakan 6 soal dari 10 soal yang ada. Banyak cara peserta
memilih soal ujian yang harus dikerjakan adalah …
A. 210
B. 110
C. 230
D. 5.040
E. 5.400

23. Dalam suatu ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Jika soal nomor 3, 5, dan 8
harus dikerjakan dan peserta ujian hanya diminta mengerjakan 8 dari 10 soal yang tersedia, maka
banyak cara seorang peserta memilih soal yang dikerjakan adalah …

Matematika Wajib Kls XII.MIPA - IPS SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Hal. 38

A. 14
B. 21
C. 45
D. 66
E. 2.520

24. Dari 10 warna berbeda akan dibuat warna-warna baru yang berbeda dari campuran 4 warna
dengan banyak takaran yang sama. Banyaknya warna baru yang mungkin dibuat adalah … warna
A. 200
B. 210
C. 220
D. 230
E. 240

25. Kelompok tani Suka Maju terdiri dari 6 orang yang berasal dari dusun A dan 8 orang berasal dari
dusun B. Jika dipilih 2 orang dari dusun A dan 3 orang dari dusun B untuk mengikuti penelitian
tingkat kabupaten, maka banyaknya susunan kelompok yang mungkin terjadi adalah …
A. 840
B. 720
C. 560
D. 350
E. 120

26. Dari 20 kuntum bunga mawar akan diambil 15 kuntum secara acak. Banyak cara pengambilan ada
…
A. 15.504
B. 12.434
C. 93.024
D. 4.896
E. 816

Matematika Wajib Kls XII.MIPA - IPS SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Hal. 39