INTEGRAL

YAYASAN PENDIDIKAN WARGA SURAKARTA

SMA WARGA

Alamat : Jl. Monginsidi No. 17  (0271) 638873 SURAKARTA – 57128
Website : www.smarga.sch.id Email : [email protected]

INTEGRAL

Kompetensi Dasar
▪ Mendeskripsikan integral tak tentu (anti turunan) fungsi aljabar dan menganalisis sifat-

sifatnya berdasarkan sifat-sifat turunan fungsi.
▪ Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu (anti turunan) fungsi

aljabar.

Indikator Pencapaian Kompetensi
▪ Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar.
▪ Menentukan integral substitusi fungsi aljabar.
▪ Menentukan integral partial fungsi aljabar.
▪ Menghitung integral tertentu fungsi aljabar.
▪ Menentukan integral tak tentu trigonometri.
▪ Menghitung integral tertentu trigonometri.
▪ Menghitung luas daerah di bawah kurva.
▪ Meghitung volume daerah berputar di bawah kurva.

Uraian Materi dan Contoh Soal.

A. Integral Tak Tentu

a. Rumus integral fungsi aljabar

▪ ax ndx = a xn+1 + C

n +1

Contoh :

1. x 2dx = 1 x 2+1 + C = 1 x3 + C .

2+1 3

2. 5x3dx = 5 x3+1 + C = 5 x4 + C .

3+1 4

 3. 3 1 3 +1 1 x5/2 + C = 2 x5/2 + C = 2 x2
x xdx = x +C
x 2 dx = x2 +C =
3 +1 5/2 5 5

b. Sifat – sifat 2

1.  kf (x)dx = k  f (x)dx

2.  ( f (x) + g(x))dx =  f (x)dx +  g(x)dx

3.  ( f (x) − g(x))dx =  f (x)dx −  g(x)dx

 4. u n.u'dx = u ndu = 1 [u(x)]n+1 + C

n +1

5.  udv = uv −  vdu

Contoh :

1.  x−2 dx =  1 − 2 dx =  x−2 − 2x−3dx =  x−2dx −  2x−3dx =
x3 x2 x3

1 x−2+1 − 2 x−3+1 + C
= −2+1 −3+1

= 1 x −1 − 2 x −2 + C = −x −1 + x −2 + C
−1 − 2

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2019-2020 Page 47

2.  (2x + 1)2 dx = ...

Misal u = 2x + 1

du = 2 → dx = 1 du
dx 2

 (2x + 1)2 dx =  u2 1 du =  1 u2 du
2 2

1

= 2 u2+1 + C
2 +1

= 1 u3 + C = 1 (2x + 1)3 + C

66
Atau

 (2x + 1)2 dx =  4x2 + 4x + 1 dx

= 4 x2+1 + 4 x1+1 + x + C = 4 x3 + 2x2 + x + C
2+1 1+1 3

3.  4(4x − 2)5 dx = ...

Misal u = 4x – 2

du = 4 → 4dx = du
dx

 4(4x − 2)5 dx =  (4x − 2)5 4dx =  u5 du

= 1 u6 + C = 1 (4x − 2)6 + C

66

4.  9x dx
3x2 − 2

Misal : u = 3x2 – 2

du = 6x → xdx = 1 du
dx 6

 9x dx = −1 1 du
6
3x2 − 2 9u 2

= 1 . 9 − 1 +1 + C
6 1+ 2
u

− 2 1

1

= 9 . 2u 2 + C
6

= 3 3x2 − 2 + C

5.  3x (2x + 1)4 dx

Misal : u = 3x ; dv = (2x + 1)4 dx

du = 3dx ; v =  (2x + 1)4 dx = 1 (2x + 1)5
10

 3x (2x + 1)4 dx = 3x . 1 (2x + 1)5 −  1 (2x + 1)5 3 dx
10 10

= 3 x(2x + 1)5 − 3 . 1 (2x + 1)6 + C

10 10 12

= 3 x(2x + 1)5 − 1 (2x + 1)6 + C

10 40

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 48

UJI KOMPETENSI

1. 1 x5 dx = ... c. 2x3 – x2 + 4x – 10
2
10. Diketahui f (x) = 9x2 – 12x + 5, dengan
a. 1 x6 + c d. 3 x6 + c f(1) = 12. Maka f(0) = …
10 a. 3 c. 6 e. 10
b. 4 d. 8
b. 1 x6 + c e. 11 x6 + c
12 10 11. Jika f (x) = 6 x + 4 , dan f(4) = 36

c. 1 x6 + c x
56
maka f(x) = …
( )2. Hasil dari 3x2 − 4x + 5 dx adalah ... a. 9x x − 2 x + 32 d. 4x x + 8 x + 12

a. 3x3 – 4x2 + 5x + c d. – x3 + 2x2 + 5x + c b. 9x x + 2 x − 40 e. 4x x + 8 x − 12
b. x3 – 2x2 + 5x + c e. x3 – 4x2 + 5 + c
c. x3 – 3x2 + 5x + c c. 4x x − 8 x + 12

3. 43 x5 dx = ...

a. 13 x + c d. 16 x2 3 x + c
2 2

b. 3 x3 x + c e. x16 2 x2 + c 12. Gradien garis singgung di setiap titik pada
2
2

c. 3 x2 3 x + c kurva adalah dy = 2x − 2 . Bila kurva itu
2 dx

4. 2x3 +2x5 − 3 dx = ... mempunyai titik balik minimum – 4. Maka
x2 persamaan kurvanya adalah …

a. x2 + 1 x4 + 3 + c d. x2 + x4 + 1 + c a. y = x2 – 2x – 5 c. y = x2 – 2x – 1
2 x x b. y = x2 – 2x – 4 d. y = x2 – 2x
c. y = x2 – 2x – 3
b. x2 + 1 x4 + 3x + c e. x2 + 1 x4 − 3 + c
2 2 x

c. x2 + 2x4 + 3 + c 13. (4x + 3)(4x2 + 6x – 9)9 dx
x a. 1 (4x2 + 6x – 9)10 + c
10
5. Hasil x3 −1 dx adalah ... b. 1 (2x – 3 )10 + c
15
x c. 1 (2x – 3)10 + c
20
a. 2 x3 x−2 x+c d. 2 x2 x−2 x+c d. 1 (4 x2 + 6x – 9)10 + c
7 7 20
e. 1 (4 x2 + 6x – 9)10 + c
b. x3 x − 2 x+c e. 7 x3 x− 2 x+c 30
7 2

c. 2 x3 x+ 2 x+c
7

6.  (2x + 3)2 dx = ...

a. 4x3 + 6x2 + 9x + c d. 4 x3 – 6x2 + 9x + c
3

b. 1 x3 + 6x2 + 9x + c e. 4 x3 + 6x2 – 9x + c
3 3

c. 4 x3 + 6x2 + 9x + c
3
14. Hasil dari (x – 3)(x2 – 6x + 1)–3 dx = …
7.  (x + 2)(x −1)dx = ...
2 − 6x +1)−4 + c
1 x3 1 x2 x3 1 x2 a. − 1 ( x
a. 3 − 2 + x + c d. − 2 + x + c 8

1 x3 1 x2 1 x3 1 x2 b. − 1 (x2 − 6x +1)−4 + c
3 2 2 2 4
b. + + x + c e. + + x + c
c. − 1 ( x 2 − 6x +1)−4 +c
2
1 x3 1 x2
c. 3 + 2 − 2x + c d. − 1 (x2 − 6x +1)−2 + c
4
8.  (x2 +1)(2x − 5)dx = ...
e. − 1 ( x 2 − 6x +1)−2 +c
2

a. 2 x3 − 5 x2 + 2x + c
3 3
5
b. 1 x3 − 5 x2 + x + c 15. Hasil dari (x2 + 1)(x3 dx = ...
2 3 + 3x + 5) 3

c. 2 x3 − 5 x3 + x2 − 5x + c a. 1 (x3 + 3x + 5) 3 (x3 + 3x + 5) 2 + C
3 3 3

d. 1 x3 − 5 x3 + 2x2 − 5x + c b. 1 (x3 + 3x + 5) 3 x3 + 3x + 5 + C
4 3 3

e. 1 x4 − 5 x3 + x2 − 5x + c c. 1 (x3 + 3x + 5)2 3 (x3 + 3x + 5) 2 +C
2 3 8

9. Diketahui f (x) = 6x2 – 2x + 4 dan f(– 1) 1 (x3 5)2 3 x3 + 3x + 5 + C
8
= – 10, maka f(x) = … d. + 3x +

a. 12x3 – x2 + 4x – 2 d. 2x3 – x2 + 4x – 3 e. 1 (x3 + 3x + 5)2 + C
8
b. 12x3 – x2 + 4x + 8 e. 2x3 – x2 + 4x – 4

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 49

16. Hasil dari 3x 3x2 + 1 dx = … 21. Hasil dari (3 − 2x) dx = ....
2x2 − 6x + 5
A. − 2 (3x2 + 1) 3x2 + 1 + C
3 a. − 2 2x2 − 6x + 5 + c

B. − 1 (3x2 + 1) 3x2 + 1 + C b. − 2x2 − 6x + 5 + c
2 c. 1 2x2 − 6x + 5 + c

C. 1 (3x2 + 1) 3x2 + 1 + C 2
3
d. 2x2 − 6x + 5 + c
D. 1 (3x2 + 1) 3x2 + 1 + C
2 e. 3 2x2 − 6x + 5 + c

E. 2 (3x2 + 1) 3x2 + 1 + C 2
3
6x2 + 4 dx = ...
22. Hasil dari  ( )5 x3 + 2x −1 3

3x − 1 dx =….. ( )a.
17. Hasil dari (3x 2 − 2x + 7)7 25 x3 + 2x −1 2 +C
5

( )b.
A. 1 + C 55 x3 + 2x −1 2 +C
3(3x2 − 2x + 7)7 2

B. 1 + C ( )c. 5 5 x3 + 2x −1 2 + C
4(3x2 − 2x + 7)6
( )d. 5 5 x3 + 2x −1 3 + C

C. 1 +C ( )e. 5 5 x3 + 2x −1 4 + C
6(3x2 − 2x + 7)6

D. − 1 + C 9x2 + 6 dx = ...
12(3x 2 − 2x + 7)6 23. Hasil dari  ( )5 x3 + 2x −1 2

E. − 1 + C ( )a.
12(3x 2 − 2x + 7)7 25 x3 + 2x −1 2 +C
5

( )b.
18. Hasil 3x2 dx = … 55 x3 + 2x −1 2 +C
2
2x3 + 4
( )c. 5 5 x3 + 2x −1 2 + C
a. 4 2x3 + 4 + C 2x3 + 4 + C
d. 1 ( )d. 5 5 x3 + 2x −1 3 + C
2

b. 2 2x3 + 4 + C e. 1 2x3 + 4 + C ( )e. 5 5 x3 + 2x −1 4 + C
4

c. 2x3 + 4 + C

19. Hasil dari 6x2 dx = ... 24. Hasil 2x + 3 dx = …
3x2 + 9x −1
x3 + 8
a. 2 3x 2 + 9x − 1 + c

a. x3 + 8 + C d. 3 x3 + 8 + C b. 1 3x2 + 9x −1 + c
3
b. 3 x3 + 8 + C e. 4 x3 + 8 + C
2 2 3x2 + 9x −1 + c
c. 3
c. 2 x3 + 8 + C
3x2 + 9x −1 + c
d. 1
2
2x 2 dx = ...
20. Hasil dari 7 (2x3 − 5)5 e. 3 3x2 + 9x −1 + c
2

A. 3 7 (2x3 − 5)3 +C 25. Hasil 6x 3x2 + 5dx = …
7

B. 6 6 (2x3 − 5) 7 +C a. 2 (6x2 + 5) 6x2 + 5 + c
7
3

C. 6 7 (2x3 − 5) 6 +C 2 (3x 2 3x2 + 5 + c
7 3
b. + 5)

D. 7 7 (2x3 − 5) 2 +C (x2 x2 + 5 + c
6
c. 2 + 5)
3
7 2 (2x3 − 5) 7
E. 6 +C
d. 3 ( x 2 + 5) x2 + 5 + c
2

e. 3 (3x 2 + 5) 3x2 + 5 + c
2

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 50

26. Hasil x x + 1dx = … d. 2 (3x 2 − x − 2) x +1 +c
15

a. 2 (x + 1) x +1 − 2 (x + 1)2 x +1 +c e. 2 (x2 + x − 2) x +1 +c
5 3 5

b. 2 (3x 2 + x − 2) x +1 +c
15

c. 2 (3x 2 + x + 4) x +1 +c
15

B. Integral Tertentu

1) Teorema Dasar Kalkulus

Jika f (x) adalah suatu fungsi yang kontinu pada interval tertutup a,b atau a  x  b
dan f (x) merupakan turunan pertama dari F(x), maka integral tertentu f (x) pada

interval tersebut didefinisikan sebagai :

b

 f (x)dx = F(x)ba = F(b) − F(a)

a

dengan a disebut batas bawah integral dan b disebut batas atas integral.

2) Sifat-sifat Integral Tertentu

Jika f (x) dan g(x) adalah fungsi yang kontinu dan terdefinisi pada interval a,b maka
f (x) dan g(x) memenuhi sifat – sifat berikut.

b

➢  f (x)dx = 0

a

bb

➢  k. f (x)dx = k  f (x)dx , k adalah konstanta, k  R

aa

b cb

➢  f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx , untuk a  c  b

a ac

b bb

➢   f (x)  g(x)dx =  f (x)dx   g(x)dx

a aa

ba

➢  f (x)dx = − f (x)dx

ab

b

➢ a. Jika f (x)  0 dalam interval a  x  b maka  f (x)dx  0

a

b

b. Jika f (x)  0 dalam interval a  x  b maka  f (x)dx  0

a

Contoh Soal

2

1. Tentukan nilai dari  2x dx

0

2

2. Tentukan nilai dari (4x −1)dx

1

( )1

3. Tentukan nilai dari 3x2 − 4x +1 dx
−2

4. Tentukan f(x) jika diketahui f ’(x) = 2x + 5 dan f(4) = 15

Penyelesaian :

2

2xdx =
  ( )1. 2
x2 0 = 22 − 02 = 4.

0

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 51

2

(4x −1)dx =
  ( ) ( )2. 2
2x2 = 2.22 −2 − 2.12 −1 = 6 −1 = 5.
− x1

1

1

3x2 − 4x +1dx =
( )  3. x3 − 2x2 + x 1
−2

−2

= [(1)3 – 2(1)2 + 1] – [ (-2)3 – 2(-2)2 – 2]

= [1 – 2 + 1] – [– 8 – 8 – 2]

= – 2 – ( – 18)

= 16

4. f (x) =  f '(x)dx

=  (2x + 5)dx

F(x) = x2 + 5x + C, karena f(4) = 15 , maka :
F(4) = 42 + 5.4 + C

15 = 16 + 20 + C

 C = - 21

 f(x) = x2 + 5x – 21

UJI KOMPETENSI

2 7. Hasil dari 2  x 2 − 1 dx = …
x2
1. Nilai dari  (4x2 − x + 5)dx = .... 

1 1

a. 33 c. 55 e. 77 a. 9 c. 11 e. 19
6 6 6 5 6 6

b. 44 d. 65 b. 9 d. 17
6 6 6 6

3 2

2. Nilai dari (2x2 + 4x − 3)dx = ... 8. Hasil dari  3(x +1)(x − 6)dx = …

0

1 a. –58 c. –28 e. –14

a. 27 1 c. 37 1 e. 51 1 b. –56 d. –16
3 3 3
1
b. 27 1 d. 37 1
2 2 9. Hasil dari  x 2 (x − 6)dx = …

−1

4 a. –4 c. 0 e. 4 1
2
3. Nilai (x2 − 2x + 2) dx = ….
b. − 1 d. 1
1 2 2

a.12 c.16 e.20 10. Nilai a yang memenuhi persamaan

b.14 d.18 1

2 12x(x2 +1)2 dx = 14 adalah …

4. Nilai (3x2 − 3x + 7) dx =…. a e. 1

0 a. –2 c. 0

a. 6 c. 13 e. 22 b. –1 d. 1
2

b. 10 d. 16 0

4 11. Hasil dari  x2 (x3 + 2)5 dx = …

5. Hasil (−x2 + 6x − 8)dx = … −1

2 a. 85 c. 63 e. 31
3 18 18

a. 38 c. 20 e. 4 b. 75 d. 58
3 3 3 3 18

b. 26 d. 16 ( )3
3 3
12. Diberikan  2ax2 − 2x dx = 44 . Nilai a =
3
1
6. Hasil (x2 + 1 )dx = …
6 ...
a. 1 c. 3 e. 6
1 b. 2 d. 4

a. 9 1 c. 8 e. 3
3

b. 9 d. 10
3

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 52

( )a a. 4 c. 8 e. 12
b. 6 d. 9
13. Di berikan  3x 2 − 2x dx = 20 .
p
−1
15. Diketahui  3x(x + 2 )dx = 78.
Nilai a2 + a = ... . 3
a. 2 c. 6 e. 24
b. 3 d. 12 1

p Nilai (–2p) = …

14. Diketahui  (3x2 + 2x) dx = 78. a. 8 c. 0 e. –8
b. 4 d. –4
1

Nilai 3 p = ...

2

C. Integral Trigonometri.

➢  sin x dx = - cos x C

➢  cos x dx = sin x + C

➢  sin (ax + b) dx = - 1 cos (ax + b) + C
a

➢  cos (ax + b) dx = 1 sin (ax + b) + C
a

➢ sinp x cos x dx = 1 sin(p +1)x + C
p +1

➢ cosp x sin x dx = -1 cos(p +1) x + C
p +1

➢ sinp (ax + b) cos (ax + b) dx = 1 sin(p +1) (ax + b) + C
a(p + 1)

➢ cosp (ax + b) sin (ax + b) dx = -1 cos(p +1) (ax + b) + C
a(p + 1)

➢  tg x . sec x dx = sec x + C

➢  ctg x. cosec x dx = - cosec x + C

➢  sec2 x dx = tg x + C

➢  cosec2 x dx = - ctg x + C

➢  tg (ax + b) . sec (ax + b) dx = 1 sec (ax + b) + C

a

➢  ctg (ax + b). cosec (ax + b) dx = - 1 cosec (ax + b) + C
a

Rumus penting

1. sin 2 x + cos 2 x = 1
2. sin 2x = 2 sin x cos x
3. cos 2x = cos 2 x – sin 2 x
4. sin 2 x = 1 (1 – cos 2x) dari cos 2x = 1 – 2 sin 2 x

2
5. cos 2 x = 1 (cos 2x + 1 ) dari cos 2x = 2 cos 2 x – 1

2
6. 2 sin A. cos B = sin (A+B) + sin (A–B)
7. 2 cos A. sin B = sin (A+B) – sin (A–B)
8. 2 cos A .cos B = cos (A+B) + cos (A–B)
9. – 2 sin A. sin B = cos (A+B) – cos (A–B)

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 53

Contoh soal :

1.  (sin 2x – 3x 2 ) dx= – 1 cos 2x – 6x + C
2

2.  (sin 2x – cos 2x) 2 dx =  ( sin 2 2x – 2 sin2x cos 2x + cos 2 2x) dx

=  (sin 2 2x + cos 2 2x – 2 sin2x cos 2x) dx

=  ( 1 – sin 4x ) dx

= x – (- 1 cos 4x) + C
4

= x+ 1 cos 4x + C
4

3.  (sin 3x . cos x ) dx =  1 (2sin 3x.cos x) dx
2

= 1 (sin 4 x + sin 2x) dx
2

= 1 ( – 1 cos 4 x – 1 cos 2x ) + C
2 4 2

= – 1 cos 4 x – 1 cos 2 x +C
8 4

UJI KOMPETENSI

1. Hasil 4sin 5x  cos 3x dx = … ( )5. − 1 2 dx = ...
a. –2 cos 8x – 2 cos 2x + C Hasil dari  cos 2x 2 sin x

b. − 1 cos8x − cos2x +C a. 5 sin 2x – 1 x+C
4 8 4

c. 1 cos8x + cos 2x +C b. 5 sin 2x – 1 x + C
4 8 8

d. − 1 cos8x − cos2x +C c. 5 cos 2x – 1 x+C
2 8 4

e. 1 cos8x + cos 2x +C d. − 5 cos 2x – 1 x+C
2 8 4

2. Hasil dari  sin 3x.cos x dx = ... . e. − 5 sin 2x – 1 x+C
8 4

a. − 1 sin 4x – 1 sin 2x + C 6. Hasil  (sin2 x – cos2 x) dx adalah …
8 4

b. − 1 cos 4x – 1 cos 2x + C a. 1 cos 2x +C
8 4 2

c. − 1 cos 4x – 1 cos 2x + C b. –2 cos 2x + C
4 2
c. – 2 sin 2x + C
1 1
d. 8 cos 4x – 8 cos 2x + C d. 1 sin 2x + C
2
1 1
e. 4 cos 4x – 2 cos 2x + C e. – 1 sin 2x + C
2

( )3. Hasil dari  cos 2x − 2sin2 x dx = ... 7. Hasil dari (3 – 6 sin2 x) dx = …

a. 2 sin 2x + x + C a. 3 sin2 2x + C
2

b. sin 2x + x + C b. 3 cos2 2x + C
c. sin 2x – x + C 2

d. −2 sin 2x + x + C c. 3 sin 2x + C
4

e. −cos 2x + x + C d. 3 sin x cos x + C

( )4. 1 2 e. 3 sin 2x cos 2x + C
Hasil dari  2 cos x + cos 2x dx = ... 2

a. 5 sin 2x + 1 x+C 8. Hasil dari cos4 2x sin 2x dx = …
8 4

b. 5 sin 2x + 1 x + C a. − 1 sin 5 2x + c e. 1 sin 5 2x + c
8 8 10 10

c. 5 cos 2x + 1 x + C b. − 1 cos 5 2x + c d. 1 cos 5 2 x + c
8 4 10 5

d. − 5 sin 2x + 1 x+C c. − 1 cos 5 2x + c
8 4 5

e. − 5 cos 2x + 1 x+C 9. Hasil sin3 3x cos 3x dx = …
8 4
a. 1 sin 4 3x + c d. 1 sin 4 3x + c
4 3

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 54

b. 3 sin 4 3x + c e. 1 sin 4 3x + c 
4 12 2

c. 4sin 4 3x + c 18. Hasil (2sin x − cos 2x)dx = …

10. Hasil dari sin2 x cos x dx = … 0

a. 1 cos3 x + C d. 1 sin3 x + C a. − 5 c. 1 e. 5
3 3 2 2

b. − 1 cos3 x + C e. 3 sin3 x + C b. 3 d. 2
3 2

c. − 1 sin3 x + C 
3
6 =…
11. Hasil dari (x2 – 3x + 1) sin x dx = … 19. Nilai dari
a. (–x2 + 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + c  (sin 3x + cos 3x)dx
b. (–x2 + 3x – 1) cos x + (2x – 3) sin x + c
c. (x2 – 3x + 1) sin x + (2x – 3) cos x + c 0
d. (x2 – 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + c
e. (x2 – 3x + 3) cos x + (2x – 3) sin x + c a. 2 c. 0 e. – 2
3 3

b. 1 d. – 1
3 3



12. Hasil dari  (x2 +1) cos x dx = … 20. 4 sin 5x sin x dx = …

a. x2 sin x + 2x cos x + c 
b. (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c
c. (x2 + 3) sin x – 2x cos x + c 0

d. 2x2 cos x + 2x2 sin x + c a. – 1 c. 1 e. 5
e. 2x sin x – (x2 – 1)cos x + c 2 12 12

b. – 1 d. 1
6 8



6   = …
3 3
13. Hasil dari  x2 sin 2x dx = … 21.  sin( x + ) cos(x + )dx

0

a. – 1 x2 cos 2x – 1 x sin 2x + 1 cos 2x + c a. – 1 c. 1 e. 3

2 24 4 8 8

b. – 1 x2 cos 2x + 1 x sin 2x – 1 cos 2x + c b. – 1 d. 1
2 2 4
8 4

c. – 1 x2 cos 2x + 1 x sin 2x + 1 cos 2x + c 

2 24 2

d. 1 x2 cos 2x – 1 x sin 2x – 1 cos 2x + c 22. Nilai dari  cos(3x −  ) sin(3x −  ) dx =

2 24
3

e. 1 x2 cos 2x – 1 x sin 2x + 1 cos 2x + c a. – 1 c. 0 e. 1
6 6
2 24

 b. – 1 d. 1
12 12
14. Hasil (sin 3x + cos x)dx = …

0 

a. 10 c. 4 e. 1 2
3 3 3
23. Nilai sin(2x −  ) dx =…
b. 8 d. 2
3 3 0

13 a. –2 c. 0 e. 4
b. –1 d. 2
15. Nilai dari (sin 2x + 3cos x)dx = ...
2
0
3
a. 3 + 2 3 d. 2 (1 + 2 3)
4 4 24. Hasil dari  cos(3x −  )dx = …
1
b. 3 + 3 3 e. 3 (1 + 2 3)
4 4 2

a. –1 c. 0 e. 1

c. 1 (1 + 2 3) b. – 1 d. 1
4 3 3

1 

2 25.  x cos x dx = …

16. Nilai dari (2sin 2x − 3cos x) dx = …. 0

a. – 5 0 e. 2 a. –2 c. 0 e. 2
b. – 1
c. 0 b. –1 d. 1
d. 1

1 

2 26.  x sin x dx = …

17. Nilai dari (3sin 2x − cos x) dx = ….
2

a. – 2 0 a.  + 1 c. – 1 e.  + 1

c. 0 e. 2

b. – 1 d. 1 b.  – 1 d. 

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 55

1 1
4
27.  sin2 x cos2 x dx = …
28. Hasil dari  (sin 4 x − cos4 x)dx = ....
0
e. 1  0
a. 0 c. 1
4 a. –1 c. 1 e. ½ 3
4
b. 0 d. ½ 2
b. 1 d. 1 

88

D. Luas Daerah Yang Dibatasi Kurva.

Integral tertentu dapat digunakan untuk merumuskan dan menghitung luas daerah arsiran
yang dibatasi oleh beberapa kurva. Berikut ini penerapan integral tertentu untuk menghitung
luas daerah.

1) Luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x),garis x = a ,garis x = b dan sumbu x

b

a. L =  ydx , untuk f (x)  0

a

y

y = f (x)

a bx

b

b. L = − ydx , untuk f (x)  0

a

y

ab x

y = f (x)

2) Luas daerah yang dibatasi kurva x = f (y),garis y = a ,garis y = b dan sumbu y

b

a. L =  xdy , untuk f (y)  0

a

y x = f (y)

b

b Page 56

b. L = − xdy , untuk f (y)  0

a

x = f (y) y

b

a
x

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022

3) Luas daerah yang dibatasi dua kurva y1 = f (x) dan y2 = g(x)

b

a. L =  (y1 − y2 )dx

a

y

y1 = f (x)

y2 = g(x) = √


a bx

bc

 b. L = L1 + L2 = (y1 − y2 )dx + (y2 − y1 )dx

ab

y y1 = f (x)
y2 = g(x)

ab cx

Contoh Soal
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = 3x2 + 12x dan -2 ≤ x ≤ 0.
Gambar :

Y

Y = 3x2 + 12x

x = -2
-4 0 x

0

Luas = − (3x2 +12x)dx
−2

 = x3 0
− + 6x2 −2

 ( ) ( )= − 03 + 6.02 − (−2)3 + 6(−2)2

= − 0 − (− 8 + 24)

= − −16

Luas = 16

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 57

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 4x + 4 dan y = x + 4
Gambar :

y = x2 + 4x + 4

y=x+4 x

Perpotongan antara kedua kurva diperoleh :
 x2 + 3x = 0

 x(x + 3) = 0

 x= 0 atau x = -3

( )0

Luas = -  x2 + 3x dx
−3

= - [ 1 x3 + 3 x2 ]0−3
3 2

= -  1 .0 + 3 .0 −  1 (−3)3 + 3 (−3) 2 
3 2   3 2

= -  −  − 9 + 27 
0  2

= 13.5 − 9

= 4,5

3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 3 , garis x = 1 , garis x = 5 , dan

sumbu x.

Penyelesaian.

= Lb = 5 + 3)dx = 1 x2 + 3x 5 =  1 .52 + 3.5 −  1 .12 + 3.1 = 55 − 7 =
a ydx  2 1  2  2  2 2 24
(x

1

4. Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 − 2x dan sumbu x.

Penyelesaian.
Mencari batas integrasi ( titik potong kurva dengan sumbu x)
y = 0 → x2 − 2x = 0

 x(x − 2) = 0

 x =0 x =2

2 2
0
ydx = −

0
  ( )2 x2 − 2x dx = −13 x3 − x 2  = − 1 .23 − 22  −  1 .03 − 02 
 3  3
L=−

0

= −  8 − 4 − 0 = − − 4  = 4 .
 3   3  3

5. Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan y = 2x + 3 .

Penyelesaian.
Mencari batas integrasi (titik potong kedua kurva)

y1 = y2
 x2 = 2x + 3

 x2 − 2x − 3 = 0

 (x − 3)(x + 1) = 0

 x = 3  x = −1

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 58

b ( y1 )dx 3 3) − x 2dx  2 1 x3 3
 L= a − y2 = + =  x + 3x − 3  −1
(2x

−1

= 32 + 3.3 − 1 .33  − (−1)2 + 3(−1) − 1 (−1)3  = 9 −  − 5  = 10 2
 3  3   3 3

UJI KOMPETENSI

1. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh a. 2 c. 7 e. 15
34 3
kurva
x = y2 dan garis y = x – 2 adalah … b. 4 8
d.
satuan luas 33

a. 0 c. 4 1 e. 16 8. Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 ,
2
y = x + 2, sumbu Y dikuadran I adalah …
b. 1 d. 6

a. 2 c. 6 e. 10
3 3 3
2. Luas daerah yang dibatasi parabola y = 8
– x2 dan garis y = 2x adalah … satuan b. 4 d. 8
3 3

luas 9. Luas daerah di kuadran I yang dibatasi

a. 36 c. 41 2 e. 46 2 kurva y = x3, y = x, x = 0, dan garis x = 2
3 3 adalah … satuan luas

b. 41 1 d. 46 a. 2 1 c. 3 1 e. 4 1
4 4 4
3

b. 2 1 d. 3 1
2 2
3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = 9 – x2 dan garis y = x + 3 adalah.... 10. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi

satuan luas oleh kurva y = x2, sumbu Y, dan garis
x + y = 12 adalah … satuan luas
a. 2 5 c. 19 5 e. 21 5
a. 57,5 c. 49,5 e. 22,5
6 6 6

b. 3 5 d. 20 5 b. 51,5 d. 25,5

6 6

4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 11. Luas daerah yang dibatasi parabola
y = x2 – 9x + 15 dan y = –x2 + 7x – 15 y = x2 – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada
adalah … satuan luas interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah … satuan luas

a. 2 2 c. 2 1 e. 4 1 a. 5 c. 9 e. 10 2
3 3 3 3

2 2 b. 7 d. 10 1
5 3 3
b. 2 d. 3

5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 12. Luas daerah yang dibatasi kurva
y = x2 – 4x + 3 dan y = 3 – x adalah… y = 4 – x2 , y = –x + 2 dan 0 ≤ x ≤ 2
adalah … satuan luas

satuan luas a. 8 c. 14 e. 26
3 3 3

a. 41 9 11 b. 10 d. 16
6 c. e. 3 3

2 6

19 d. 8 13. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
b. 3
y = x +1 , sumbu X dan 0 ≤ x ≤ 8 adalah
3

… satuan luas

6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva a. 6 c. 17 1 e. 18 2
y = x2 – 4x + 3 dan y = x – 1 adalah ... 3 3

satuan luas b. 6 2 d. 18
3

a. 41 c. 9 11 14. Luas yang dibatasi oleh kurva
6 2 e. y = 2x2 – 8, dan sumbu X, pada 0 ≤ x ≤ 3

6

19 8 adalah .... satuan luas
b. d.
a. 10 2 c. 15 1 e. 17 1
3 3
3 3 3

7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva b. 13 1 d. 16 2
y = x2 + 3x + 4, dan y = 1 – x adalah….
3 3
satuan luas

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 59

15. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh a. 30 c. 64 e. 14
kurva y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x pada b. 26 3 3
interval 0 ≤ x ≤ 5 sama dengan … satuan
d. 50
luas 3

E. Volume Benda Putar.

1. Volume benda putar antara kurva dan sumbu koordinat,

Y
y = f(x)

0 X
a b

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x = b dan sumbu X yang diputar
sejauh 360 mengelilingi sumbu X adalah :

b

V =   y2 dx

a

Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 dan dibatasi
oleh y = a, y = b, sumbu Y dan kurva itu sendiri maka volumenya :

V =  bx2 dy
a

2. Volume benda putar antara dua kurva

y y = f(x)

y = g(x)

0a bX

Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 yang dibatasi oleh kurva
y = f(x), y = g(x), x = a dan x = b adalah :

= b y12 y22 )
V − dx dimana y1 = f (x), y2 = g(x) dan y1  y2
(

a

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 60

UJI KOMPETENSI

1. Volume benda putar yang terjadi untuk 7. Volum benda putar yang terjadi jika
daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 +
daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2

dengan y = 2x diputar mengelilingi 1 dan

sumbu X sejauh 360 adalah ... satuan y = 3 diputar mengelilingi sumbu Y
sejauh 360º adalah … satuan volum
volume

a. 2  d. 12 4  a. 2 c. 3 e. 5
15
1  1 
b. 3 1  e. 14 2  b. 2 2 d. 4 3
15 15

c. 4 4  8. Volum benda putar yang terjadi karena
15
daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2
2. Volum benda putar yang terjadi bila
daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y2 = 8x diputar 360º mengelilingi
sumbu Y adalah …. satuan volum
dan y = x diputar mengelilingi sumbu
a. 2 4  c. 4 4  e. 9 4 
X sejauh 360 adalah … satuan volum
5 5 5

a. 3  c. 1  e. 2 b. 3 4  d. 5 4 
10 3
5 5

b. 5  d. 10  9. Volum benda yang terjadi, jika daerah
10 3

3. Volume benda putar yang terjadi bila yang dibatasi oleh kurva y = x − 2 dan
daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2
garis 2y − x + 2 = 0 diputar mengelilingi
dan y = 4x – 3 diputar 360 mengelilingi
sumbu X adalah … satuan volume sumbu Y sejauh 360o adalah … satuan

volum

a. 1311 d. 12 7  a. 1 1  c. 5  e. 9 3 
15 15 3 5

b. 2  d. 9 

b. 13 4  e. 12 4  10. Gambar berikut merupakan kurva dengan
15 15
persamaan y = x 30 − 30x2 . Jika daerah
c. 1211
15 yang diarsir diputar mengelilingi sumbu
X, maka volum benda putar yang terjadi
4. Volum benda putar yang terjadi jika sama dengan … satuan volum

daerah yang dibatasi oleh kurva
y = 2x – x2 dan y = 2 – x diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360
adalah … satuan volum

a. 1  c. 3  e. 
5 5

b. 2  d. 4  a. 6 c. 9 e. 12
5 5 b. 8 d. 10

5. Daerah yang dibatasi oleh kurva 11. Volum benda putar yang terjadi karena
y = 4 – x, x = 1, x = 3, dan sumbu X

diputar mengelilingi sumbu X sejauh daerah yang dibatasi oleh sumbu X,

360, maka volume benda putar yang sumbu Y, dan kurva y = 4 − x diputar
terjadi adalah … satuan volum
terhadap sumbu Y sejauh 360º, dapat
a. 4 2  c. 8 2  e. 12 1  dinyatakan dengan … satuan volum
3 3 3

b. 6 1  d. 10 2  2 2
3 3
a.  (4 − y 2 )2 dy c. 2 (4 − y 2 )2 dy

6. Volum benda yang terjadi, jika daerah 00

yang dibatasi oleh kurva y = 9 − x2 dan 2 2

garis y = x + 7 diputar mengelilingi b.  4 − y 2 dy d. 2 (4 − y 2 ) dy

00

sumbu X sejauh 360o adalah … satuan 2

volum c.  (4 − y 2 ) dy

a. 178 14  c. 53 4  e. 35 4  0
15 5 5
12. Perhatikan gambar di bawah ini:
3 4
b. 66 5  d. 51 5  Jika daerah yang diarsir pada gambar

diputar mengelilingi sumbu X sejauh

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 61

360 maka volume benda putar yang volume benda putar yang terjadi adalah ...
terjadi adalah … satuan volum
satuan volum

a. 88  c. 184  e. 280 
15 15 15

b. 96  d. 186 
15 15

15. Perhatikan gambar berikut!

a. 123  c. 77  e. 35 
15 15 15

b. 83  d. 43  Jika daerah yang diarsir diputar
15
15

13. Volume benda putar yang terjadi jika mengelilingi sumbu–X sejauh 360,

daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, maka volume benda putar yang terjadi

kurva y = x2 , garis y = 2, dan y =5 adalah ... satuan volum
diputar mengelilingi sumbu Y ádalah …
a. 16 c. 32  e. 32 
satuan volum 5 15

a. 3 ½ c. 9 ½ e. 11 ½ b. 32  d. 32 
3 10

b. 4 ½ d. 10 ½ 16. Perhatikan gambar berikut!

14. Perhatikan gambar berikut!

Jika daerah yang diarsir diputar

mengelilingi sumbu–Y sejauh 360,

maka volume benda putar yang terjadi

Jika daerah yang diarsir diputar adalah ...
mengelilingi sumbu–X sejauh 360, maka
a. 6  c. 9  e. 11 
48 48 48

b. 8  d. 10 
48 48

https://www.defantri.com/2017/09/matematika-dasar-integral-fungsi.html

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 62

DAFTAR PUSTAKA

1. Manullang, Sudianto dkk. 2017. Buku Guru Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI edisi
revisi 2017. Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2017.

2. Bornok Sinaga, Pardomuan NJM Sinambela, dkk. 2016. Matematika SMA/MA/SMK/MAK edisi
revisi 2016. Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.

3. Ahmad Zaelani, Cucun Cunayah dan Etsa Indra Irawan. 2006. Matematika 1700 Bank Soal
Bimbingan Pemantapan, Bandung : Yrama Widya.

4. Soft ware kumpulan soal – soal dari MGMP Matematika Surakarta.

Matematika Wajib Kls XI.MIPA smt genap SMA Warga Surakarta, Th. 2021-2022 Page 63