matrix Mathema tics By Thanaporn Pakahan , Pimchanok Kaoram Phaewa Suntarapon
ในบทนี้จ นี้ ะศึกษาเกี่ยวกับพื้นพื้ฐานของเมทริกริซ์ ในเรื่อรื่งการบวก การลบ การคูณคู เมทริกริซ์ด้ซ์วด้ย จานวนจริงริและการคูณคูเมทริกริซ์ด้ซ์วด้ยเมทริกริซ์ เมทริกริซ์สซ์ลับ เปลี่ยน เมทริกริซ์ผซ์กผันผัและเมทริกริซ์ใซ์น รูปรูแบบต่าง ๆ รวมถึงสมบัติบั ติและ ทฤษฎีบทที่สาคัญของเมทริกริซ์ โดยเราสามารถใช้เช้มทริกริซ์แซ์ทนระบบ สมการ เชิงชิเส้นส้แล้วใช้กช้ารดาเนินนิต่าง ๆ เพื่อพื่หาคาตอบของระบบสมการเชิงชิเส้นส้การ แปลงเชิงชิเส้นส้ก็ใช้ เมทริกริซ์แซ์ ปลงเป็นป็เมทริกริซ์ต่ซ์ ต่าง ๆ ได้ และยังยัสามารถใช้เช้ก็บ ข้อข้มูลที่ขึ้นขึ้กับตัวแปรต้นสองตัว โดย สามารถบวก คูณคูและแยกเมทริกริซ์อซ์อก เป็นป็ผลคูณคูของเมทริกริซ์ไซ์ด้หด้ลายรูปรูแบบ เมทริกริซ์จึซ์งจึเป็นป็แนวความคิดที่มีคมีวาม สาคัญยิ่งยิ่ของพีชพีคณิตณิเชิงชิเส้นส้ เมทริกริซ์ 01 WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4
เมทริกริซ์ โดยทั่วทั่ ไป เราสามารถพบเห็นห็ข้อข้มูลหลายชนิดนิที่เขียขีนอยู่ใยู่นรูปรู กลุ่มลุ่ของจานวนซึ่งซึ่นามา จัดจัเรียรีงกันในรูปรูสี่เ สี่ หลี่ยมมุมฉากได้ มากมายในชีวิชีตวิ ประจาวันวัตัวอย่าย่งเช่นช่ร้าร้นค้าแห่งห่หนึ่งนึ่ซื้อซื้ เครื่อรื่ง เขียขีนมาขาย 4 ชนิดนิคือ ปากกา ดินดิสอ ไม้บม้รรทัด และ ยางลบ โดยราคาต้นทุนทุคิดเป็นป็ต่อชิ้นชิ้แสดง เป็นป็ตารางได้ดัด้งดันี้ matrix WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4 02 ซึ่งซึ่สามารถเขียขีนสั้นสั้ๆ เป็น ป็ ชนิดเครื่อรื่ง เขียขีน ปากกา ดินสอ ไม้บม้รรทัด ยางลบ ราคา/ชิ้นชิ้ 15 10 8 7
MATRIX 03 WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4 ในทางคณิตณิศาสตร์ เราสามารถจัดจัเรียรีงสัมสั ประสิทสิธิ์ขธิ์องระบบ สมการเชิงชิเส้นส้ ให้อห้ยู่ใยู่นรูปรูสี่เ สี่ หลี่ยมมุมฉากได้ ดังดันี้ ซึ่งซึ่สามารถเขียขีนสั้นสั้ๆเป็น ป็ ดังดัที่ได้กด้ล่าวมาท้ังหมดนี้เ นี้ป็นป็ตัวอย่าย่งเบื้อบื้งต้นของเมทริกริซ์ ทั้งทั้สิ้นสิ้และเนื่อนื่งจากวิชวิาพีชพีคณิตณิเชิงชิเส้นส้ส่วส่นหนึ่งนึ่เป็นป็การ ศึกษาระบบสมการเชิงชิเส้นส้ ในบทนี้จ นี้ ะขอทบทวนสมบัติบั ติพื้นพื้ ฐานต่างๆของเมทริกริซ์แซ์ละการดาเนินนิการบนเมทริกริซ์กซ์าร บวกและการลบเมทริกริซ์ การคูณคูเมทริกริซ์ด้ซ์วด้ยจานวนจริงริ และการคูณคูเมทริกริซ์ด้ซ์วด้ยเมทริกริซ์เซ์พื่อพื่ ใช้เช้มทริกริซ์เซ์ป็นป็เครื่อรื่ง มือมื ในการหาผลเฉลยของระบบ สมการเชิงชิเส้นส้ต่อไปรวมถึง ดีเดีทอร์มิร์แมินนต์และตัวผกผันผัสาหรับรัการคูณคู
04 WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4 เมทริกริซ์ (Matrix) คือ กลุ่มลุ่ของจานวนซึ่งซึ่นามาจัดจัเรียรีงกันเป็นป็รูปรู สี่เ สี่ หลี่ยมมุมฉากเป็นป็แถวตามแนวนอนและแนวตั้งตั้ซึ่งซึ่มีแมีถวตามแนว นอนเรียรีกว่าว่แถว (Row) และตามแนวตั้งตั้เรียรีกว่าว่หลัก (Column) โดยปิดปิล้อมด้วด้ยเครื่อรื่งหมายวงเล็บ ( ) หรือรื [ ] เขียขีนในรูปรูทั่วทั่ ไปดังดันี้ MATRIX
เมทริกซ์ศูนย์ (Zero Matrix or Null Matrix) เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ เราเรียกว่า เมทริกซ์ศูนย์ เขียนแทนด้วย 0mxn เช่น เมทริกซ์แบบ 05 ต่างๆ WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4 เมตริกซ์จัตุรัส (Square Matrix ) เมทริกซ์ที่มีจำ นวนแถวเท่ากับจำ นวนหลัก จะเรียกว่า เมตริกซ์จัตุรัสที่มี n แถว n หลัก ว่าเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n x n หรือ เมทริกซ์จัตุรัสมิติ n เช่น MATRIX
MATRIX MMAATTRRI IXX WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4 06 เมทริกซ์ทแยงมุม (Diagonal Matrix) เมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลัก เป็นจำ นวนจริง ใด ๆ และสมาชิกนอกแนวทแยงมุมหลักทุกตัวเป็นศูนย์ เช่น เมทริกซ์สเกลาร์ (Scalar Matrix) เมทริกซ์ทแยงมุมที่สมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน ทุกตัว เช่น
MATRIX 07 WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4 เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) เมทริกซ์สเกลาร์มิติ n x n ที่มีสมาชิกบนเส้นทแยง มุม หลักมีค่าเท่ากับ1เขียนแทนด้วย In เช่น เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของ แนวทแยง มุมหลักเป็นศูนย์ทั้งหมด เรียกว่า เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (Upper Triangular Matrix ) ถ้าสมาชิกใต้เส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ทุกตัว แต่ถ้าสมาชิก เหนือเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ทุกตัว เรียกว่า เมทริกซ์ สามเหลี่ยมล่าง (Lower Triangular Matrix ) เช่น
M A T R I X WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4 เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (Transpose of a Matrix) เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric Matrix) 08
(Skew - Symmetric Matrix) Matrix Non - Singular Matrix Skew - Symmetric Matrix 09 Non - Singular Matrix เมทริกซ์เสมือนสมมาตร เมทริกซ์ไม่เอกฐาน WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4
MATR IX การดำ เนินการบนเมทริกซ์ WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4 10 เมทริกซ์ไม่เอกฐาน (Singular Matrix) เมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่มีตัวผกผันสาหรับการคูณ หรือ กล่าวคือ เมทริกซ์เอกฐานเป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีค่าตัวกำ หนดหรือค่าดี เทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์ เช่น การเท่ากันของเมทริกซ์ เมทริกซ์สองเมทริกซ์จะเป็นเมทริกซ์ที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ ทั้งสองมีมิติเท่ากัน และ สมาชิกของเมทริกซ์ที่อยู่ในตำ แหน่ง เดียวกันเท่ากันทุกตัว ซึ่งนิยามได้ดังนี้ นั่นคือ A ไม่มีตัวผกผัน
11 การบวก และการลบเมทริกซ์ การนำ เอาสมาชิกของเมทริกซ์ซึ่งอยู่ในตำ แหน่งเดียวกัน ของเมทริกซ์ 2 เมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากัน มาบวกหรือลบกัน ทาให้ได้เมทริกซ์ใหม่ ดังนิยามต่อไปนี้ WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4 การบวกเมทริกริซ์ MATR IX
1 2 W A T K H E M A P I R A T A R A M S C H O O L M . 6 / 4 M A T R I X ก า ร ล บ เ ม ท ริ ก ริ ซ์
1 3 M A T R I X W A T K H E M A P I R A T A R A M S C H O O L M . 6 / 4 ก า ร คู ณ คู เ ม ท ริ ก ริ ซ์ ด้ ซ์ ด้ ว ย ส เ ก ล า ร์
Matrix 14 WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4 การคูณคูเมทริกริซ์ด้ซ์ ด้วยเมทริกริซ์ MATR IX
M a t rix M a t rix WATKHEMAPIRATARAM SCHOOL M.6/4 ข้อข้สังสัเกต 1. ผลคูณคูของเมทริกริซ์ A และเมทริกริซ์ B จะหาได้ ก็ต่อเมื่อมื่จำ นวน หลักของ A เท่ากับจำ นวนแถวของ B 2. เมทริกริซ์ที่ซ์ ที่ เป็นป็ผลลัพธ์จธ์ะมีจำมีจำนวนแถวเท่ากับจำ นวนของ A และ จำ นวนหลักเท่ากับ จำ นวนหลักของ B 3. โดยทั่วทั่ ไป ผลคูณคูของเมทริกริซ์ A และเมทริกริซ์ B จะได้ว่ด้าว่ AB ไม่ เท่ากับ BA 15
Thank you Thank you Thank you By Thanaporn Pakahan , Pimchanok Kaoram Phaewa Suntarapon M.6/4