Bahan Ajar SPLDV (Metode Substitusi)

1

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang senantiasa
memberikan curahan rahmat dan nikmat-Nya. Shalawat serta salam kita panjatkan
pada junjungan kita Nabi Besar Muhammad SAW. Sehingga penulis dapat
menyelesaikan penyusunan bahan ajar berbasis Problem Based Learning mata pelajaran
Matematika materi Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variable (SPLDV)
menggunakan metode eliminasi dan metode gabungan (eliminasi-subtitusi) untuk
peserta didik di Sekolah Menengah Pertama kelas VIII.

Bahan ajar ini disusun untuk dapat melengkapi kebutuhan belajar peserta didik,
Terutama dalam SPLDV, Dalam bahan ajar ini, Penyajian materi menggunakan model
problem based learning guna meningkatkan rasa percaya diri serta hasil belajar peserta
didik kelas VIII SMP. Bahan ajar ini dilengkapi dengan gambar-gambar, serta
penjelasan langkah demi langkah secara detail sehingga diharapkan peserta didik lebih
mengerti dan mamahami materi yang dibahas. Sesuai dengan tujuan penyusunan
bahan ajar ini, Peserta didik diharapkan mampu meyelesaikan masalah kotekstual
yang berkaitan dengan system persamaan linier dua variable.

Penyusun mengharapkan sran-saran yang membangun dari pembaca agar
penyusun dapat mengembangkan lebih baik, Karena penyusun menyadari penuh
bahwa bahan ajar yang dibuat ini belum sempurna. Penyusun berharap bahan ajar
yang telah dibuat menjadi pengetahuan baru bagi peserta didik dan referensi bagi
pendidik lain supaya lebi baik lagi dalam mengembangkan suatu bahan ajar.

Bandung, 11 Nopember 2022
PENYUSUN

2

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR................................................................................................................................ 2
DAFTAR ISI ................................................................................................................................................. 3
GLOSARIUM ............................................................................................................................................... 4
PETA KONSEP........................................................................................................................................... 5
PENDAHULUAN....................................................................................................................................... 6
MATERI AJAR............................................................................................................................................. 7

A. Deskripsi Singkat tentang Materi Bahan Ajar ......................................................................... 7
B. Persamaan Linear Dua Variabel ................................................................................................ 7
C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ................................................................................. 10
D. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (Metode Substitusi)...................... 11
PENUTUP................................................................................................................................................... 15

3

GLOSARIUM

Sistem Persamaan : Suatu persamaan matematika yang terdiri dari dua atau lebih
Linier Dua Variable persamaan linier (PLDV) yang masing-masing persamaanya
(SPLDV) bervariable dua dengan pangkat setiap variable nya adalah satu.
Variabel
: Peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya
Koefisien dilambangkan dengan huruf seperti x dan y.

Konstanta : Suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah
variable yang sejenis (factor jumlah dari variable)
Suku
: Bilangan yang tidak diikuti oleh variable, maka nilainya tetap atau
Metode Eliminasi konstan untuk berapapun nilai peubahnya.

: Bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variable,
koefisien, dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan tanda
operasi penjumlahan atau pengurangan

: Metode penyelesaian system persamaan linier dengan cara me-
nol kan salah satu variable pada dua buah persamaan.

Metode Subtitusi : Metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
dengan menggabungkan persamaan-persamaan yang telah
diketahui.

Pemodelan Matematika : Usaha untuk menggambarkan suatu fenomena kedalam bentuk
matematis sehingga mudah untuk dipelajari dan dilakukan
perhitungan.

4

PETA KONSEP

Sistem
Persamaan Linear

Dua Variable
(SPLDV)

Bentuk Penyelesaian Penerapan
Umum Sistem Sistem Sistem
Persamaan.
Persamaan Persamaan
Linier dua Linier Linier
variable
Dua Variable Dua Variable

Metode Metode Metode
Grafik Substitusi Eliminasi

5

PENDAHULUAN

A. Identitas Bahan Ajar

Mata Pelajaran : Matematika
Kelas : VIII
Alokasi Waktu : 8 JP (8 x 30 menit)
Judul Bahan Ajar : Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

B. Kompetensi Dasar C. Indikator Pencapaian Kompetensi

3.5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua 3.5.1 Menentukan penyelesaian masalah
variabel dan penyelesaiannya yang konstektual yang berkaitan dengan
dihubungkan dengan masalah konstektual. materi SPLDV menggunakan metode
substitusi.
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan sistem persamaan linear dua 3.5.2 Menentukan penyelesaian masalah
variabel konstektual yang berkaitan dengan
materi SPLDV menggunakan metode
D. Materi eliminasi.

1. Persamaan Linear Dua Variabel 3.5.3 Menentukan penyelesaian masalah
2. Definisi Sistem Persamaan Linear konstektual yang berkaitan dengan
materi SPLDV menggunakan metode
Dua Variabel gabungan (eliminasi subtitusi).
3. Metode Penyelesaian SPLDV
4.5.1 Mendesain model matematika dari
(Substitusi, Eliminasi, dan masalah konstektual berkaitan dengan
Gabungan) persamaan linear dua variabel.

4.5.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan persamaan linear dua variabel.

E. Petunjuk Bagi Peserta Didik untuk Mempelajari Bahan Ajar

Untuk mempelajari bahan ajar ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut.

1. Mempelajari bahan ajar ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului
merupakan prasyarat untuk mempelajari materi selanjutnya.

2. Bacalah dan pahamilah materi yang ada dengan cermat dan teliti.
3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada.

Jika dalam mengerjakan soal, anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi
terkait.

6

MATERI AJAR

A. DESKRIPSI SINGKAT TENTANG MATERI BAHAN AJAR

Kalian pasti pernah berbelanja peralatan sekolah di suatu
toko buku bersama dengan teman kalian. Saat itu, mungkin
jenis peralatan yang kaian beli sama, tetapi dengan jumlah
item yang berbeda. Jika kalian tidak mengetahui harga satuan dari salah satu jenis peralatan
sekolah yang kalian beli, kalian bisa mengetahui harganya dengan menerapkan konsep sistem
persamaan linear dua variabel.

Sebelum itu, ada beberapa materi prasyarat yang harus kalian kuasai terlebih dahulu yakni:
➢ Persamaan Linear satu variabel
➢ Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar

Ayo tunjukkan semangat dan kreatifmu dalam mempelajari
materi hari ini!

B. PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah kalimat terbuka yang memuat dua
variabel (peubah) yang berpangkat saru dan dihubungkan tanda = (sama dengan). Dikatakan
Persamaan Linear karena pada bentuk persamaan ini jika digambarkan dalam bentuk grafik,
maka akan terbentuk sebuah grafik garis lurus (linear).

Bentuk umum persamaan linear Dua Variabel:

+ = Konstanta

Ket : , , , dan :
, ≠ 0

Koefisien Variabel

7

Unsur-unsur Persamaan
1.LinSeuakru:

Suku yaitu bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan
konstanta. Setiap suku di pisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan.

Contoh:
6 − + 4, maka suku - suku dari persamaan tersebut adalah 6 , − dan 4

2. Variabel

Variabel, yaitu peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan
dengan huruf seperti dan .

Contoh:
Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan
adalah 2 + 5 , di mana:
Nanas =
Jeruk =

3. Koefisien

Koefisien yaitu suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang
sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena
penulisan sebuah persamaan koefifien berada di depan variabel.

Contoh:
Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk. Jika di tulis dalam bentuk persamaan
adalah 2 + 5 , Dimana 2 dan 5 adalah koefisien. Angka 2 adalah koefisien dan 5
adalah koefisien .

4. Konstanta

Konstanta yaitu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, maka nilainya tetap atau
konstan untuk berapapun nilai perubahnya.

Contoh:
2 + 5 + 7, dari persamaan tersebut konstanta adalah 7 , karena 7 nilainya tetap
dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.
Itulah beberapa hal yang berhubungan tentang bentuk umum spldv untuk kita pahami
sebelum kita memahami tentang rumus SPLDV.

8

Masalah 1.1
Tentukan sebanyak mungkin penyelesalan dari persamaan + = 4!

Ayo Kita
Menggali
Informasi

Menentukan penyelesaian persamaan + = 4, kita perlu terlebih dahulu
mengetahui himpunan semesta dari variabel dan . Misalkan himpunan semesta variabel
dan dalam persamaan adalah bilangan asli, maka penylesaian dari persamaan +
= 4 dapat ditentukan sebagai berikut.

+

13 4

22 4

31 4

40 -

Jadi penyelesaian dari persamaan linear dua variabel untuk dan adalah anggota

himpunan bilangan asli (1, 3), (2, 2), dan (3, 1). Terdapat tiga selesaian (4, 0) bukanlah

penyelesaian dari + = 4 untuk dan anggota himpunan bilangan asli karena =

0 bukan anggota bilangan asli.

Lain halnya jika himpunan semesta dari dan dalam persamaan adalah bilangan

bulat. Penyelesaian dari persamaan + = 4 dengan dan adalah anggota

himpunan bilangan bulat dapat ditentukan sebagai berikut.

+

−1 5 4

04 4

13 4

22 4

31 4

40 4

5 −1 4

6 −2 4

…. … …

Jadi, penyelesaian dari persamaan linear dua variabel untuk x dan y adalah anggota

himpunan bilangan bulat adalah :

(−1,5), (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0), (5, −1), (6, −2), . ..

9

C. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Masalah 1.2
"Dea membeli sebuah celana dan buah baju kaos, ia harus membayar
Rp . , . Adapun Butet membeli sebuah celana 3 buah baju
kaos, ia harus membayar Rp . , . Tentukan model
matematika dari permasalahan ini!

Alternatif
Penyelesaian

➢ Nyatakan objek-objek yang dibicarakan dalam bentuk pemisalan atau variabel.
Misalkan :



➢ Rancang permasalahan di atas ke dalam model matematika sesuai dengan keterangan yang
ada yaitu:

+ = 100.000

+ 2 = 100.000............Pers (1)

+ = 120.000

+ 3 = 120.000............Pers (2)
➢ Dengan demikian model matematika dari permasalahan tersebut adalah:

+ 2 = 100.000
+ 3 = 120.000
Kedua persamaan tersebut dikatakan membentuk Sistem persamaan Linear Dua Variabel

10

Apabila terdapat dua atau lebih persamaan linear dua variabel yang berbentuk

+ = dan + = atau biasa ditulis:

+ =

, , dan , ≠ + =

maka dikatakan dua persamaaan tersebut membentuk sistem persamaan linear dua variabel.
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah pasangan bilang (x,y) yang
memenuhi kedua persamaan tersebut.

D. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

1. Metode Subtitusi

Metode substitusi yaitu salah satu metode penyelesaian masalah SPLDV dengan cara
mengganti nilai suatu variabel di suatu persamaan dari persamaan lainnya. Terdapat
beberapa langkah yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode
substitusi. Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi, yaitu:

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel :
+ = (Persamaan 1)
+ = (Persamaan 2)

a. Ubah salah satu persamaan menjadi bentuk = − atau = −



b. Substitusi nilai atau pada langkah pertama ke persamaan yang lainnya.
c. Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai atau .
d. Substitusi nilai atau yang diperoleh pada langkah ketiga pada salah satu persamaan

untuk mendapatkan nilai dari variabel yang belum diketahui.
e. Lakukan hingga mendapatkan penyelesaiannya nilai atau .

TIPS:
Persamaan yang diubah bentuknya sebaiknya persaman dengan bentuk paling sederhana

Contoh 1.1

Rudi, Rizki, dan Randi mendatangi toko buah bersama-sama. Rudi membeli 2 kg anggur
dan 1 kg jeruk dan ia harus membayar Rp125.000,00, sedangkan Rizki membeli 1 kg

anggur dan 2 kg jeruk dengan harga Rp100.000,00. Tentukanlah:
a. Harga 1 kg anggur dan 1 kg jeruk.

b. Jika Randi mempunyai uang sebesar Rp 250.000,00, berapa kg anggur dan jeruk

yang dapat dibelinya?

11

Alternatif
Solusi

Diketahui:
Rudi membeli 2 kg anggur dan 1 kg jeruk seharga Rp125.000. Harga tiga buah kemeja
dan lima buah topi adalah Rp 100.000,00.
Ditanya:
a. Harga 1 kg anggur dan 1 kg jeruk.
b. Jika Randi mempunyai uang sebesar Rp175.000,00, berapa kg anggur dan jeruk yang

dapat dibelinya?
Penyelesaian:

Membuat pemisalan
Misalkan :
harga 1 kg anggur =
harga 1 kg jeruk =
Sehingga diperoleh persamaan :
2 + = 125.000 ............... Persamaan (1)
+ 2 = 100.000 ............... Persamaan (2)
a. Harga 1 kg anggur dan 1 kg jeruk.

Menentukan penyelesaian dengan metode subtitusi
➢ Langkah 1: Ubah salah satu persamaan di atas. Misalkan yang akan diubah adalah

persamaan 1, sehingga menjadi:
2 + = 125.000 ............... Persamaan (1)
= 125.000 − 2 .................. Persamaan (3)

➢ Langkah 2: Subtitusi persamaan (3) ke persamaan (2)
+ 2(125.000 − 2 ) = 100.000
+ 250.000 − 4 = 100.000
−3 = 100.000 − 250.000
−3 = −150.000
150.000
= − 3
= 50.000

12

➢ Langkah 3: Subtitusi nilai = 50.000 salah satu persamaan di atas. Misalkan
nilai = 50.000 disubtitusi pada persamaan (1), maka diperoleh:
2(50.000) + = 125.000
100.000 + = 125.000

= 125.000 − 100.000

= 25,000

Jadi, harga 1 kg anggur adalah Rp50.000,00 dan harga 1 kg jeruk adalah
Rp25.000,00.
b. Jika Randi mempunyai uang sebesar Rp175.000,00, berapa kg anggur dan jeruk yang
dapat dibelinya? (Soal Open Ended)
➢ Kita misalkan model matematika dari kombinasi banyak anggur dan jeruk yang

dibeli oleh Randi adalah:
50.000 + 25.000 = 175.000

Dimana: = banyaknya anggur yang dibeli Randi
= banyaknya jeruk yang dibeli Randi

➢ Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, maka ada banyak kemungkinan solusi
yang lepat. Salah satunya yaitu:
1) Jika Randi membeli 1 kg anggur yang harganya Rp50.000,00 maka banyaknya
jeruk yang dapat dibeli adalah:
50.000 (1) + 25.000 = 175.000
25.000 = 175.000 − 50.000
25.000 = 125.000
125.000
= 25.000
= 5
Jadi, banyaknya jeruk yang dapat dibeli Randi lika dia membeli 1 kg anggur
adalah 5 kg jeruk.
2) Jika Randi membeli 2 kg anggur yang harganya 50.000,00 maka banyaknya
jeruk yang dapat dibeli adalah:
50,000 (2) + 25.000 = 175.000
100.000 + 25.000 = 175000
25.000 = 175.000 − 100.000
25.000 = 75.000

13

75.000
= 25.000
= 3
Jadi, banyaknya jeruk yang dapat dibeli Randi jika dia membeli 2 kg anggur
adalah 3 kg jeruk.
Silahkan berlatih untuk menghitung kombinasi banyaknya
buah anggur dan jeruk yang dapat dibeli oleh Rendi !

14

PENUTUP

Bahan ajar merupakan salah satu sumber belajar yang sangat mempengaruhi proses
pembelajaran. Penyusunan bahan ajar yang longkap dan mudah dipshami diharapkan dapat
memudahkan peserta didik dalam belajar secara bermakna, serta efisiensi dan elektilitas
pernbelajaranpun dapat meningkat yang pada adkhirnya juga dapat meningkatkan hasil belajar
Peserta didik.

15