การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อหาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยมด้านเท่าแนบใน

โครงงานคณติ ศาสตร์
เรอ่ื ง การประยกุ ตใ์ ชฟ้ ังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ
เพื่อหาพ้ืนทีว่ งกลมทม่ี ีรปู n เหลย่ี มดา้ นเทา่ แนบใน

1. นางสาวพัทธมน โดย
2. นายธีรมนตรี
3. นายสฮุ ัยล์ ณ เชียงใหม่
ท้าวชัยมลู
ใจแสง

ครูท่ีปรึกษา

1. นางวรทิ ธิ์ธร อมั มวรรธน์
2. นายธนวฒั น์ ชยั วงค์

โรงเรียนเทศบาล 6 นครเชยี งราย สำนักงานเขตพน้ื ที่การศกึ ษาเชยี งราย กลมุ่ 1

รายงานฉบับนเ้ี ปน็ สว่ นประกอบของโครงงานคณิตศาสตร์
ประเภทสร้างทฤษฎีและคำอธบิ ายทางคณติ ศาสตร์ ระดับชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 - 6

เนื่องในงานศิลปหัตถกรรมนกั เรยี นคร้งั ที่ 70 ประจำปีการศึกษา 2565

ก

ช่อื เร่อื ง การประยกุ ตใ์ ช้ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิเพ่ือหาพ้ืนท่วี งกลมทมี่ รี ูป n เหล่ยี มด้านเท่าแนบใน

ผจู้ ัดทำ 1. นางสาวพัทธมน ณ เชยี งใหม่
2. นายธรี มนตรี ทา้ วชัยมูล
ครทู ปี่ รกึ ษา 3. นายสฮุ ัยล์ ใจแสง
ปีทศ่ี ึกษา 1. นางวริทธธ์ิ ร อมั มวรรธน์
2. นายธนวฒั น์ ชัยวงค์
2565

บทคดั ย่อ

โครงงานคณิตศาสตร์เรื่องการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อหาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยม
ด้านเท่าแนบในนี้จัดทำขึ้นเพื่อพัฒนาความรู้โดยการบูรณาการเชื่อมโยงความรู้ทางคณิตศาสตร์เรื่องวงกลม
รูปเรขาคณิต และฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ เพื่อประยกุ ต์ฟังกช์ ันตรีโกณมิติในการหาพื้นที่วงกลมทีม่ ีรูป n เหลี่ยม
ดา้ นเทา่ แนบใน และเพอื่ สร้างเว็บไซตห์ าพน้ื ทว่ี งกลมทม่ี ีรูป n เหลีย่ มดา้ นเทา่ แนบในรูปแบบ Google Sites
โดยมีตัวแปรที่ใช้ในการศึกษา ดังนี้ ตัวแปรต้น คือสูตรการหาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า
แนบในและเว็บไซต์คำนวณพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยมแนบในจาก Google Sites ตัวแปรตามคือ
พื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยมด้านเท่าแนบในวงกลมจากการใช้สูตรและจากการใช้เว็บไซต์คำนวณ
ความคลาดเคลื่อนของพื้นที่ที่คำนวณด้วยสูตรที่ประยุกต์ขึ้นมากับสูตรพื้นที่วงกลม = r2 โดยมีตัวแปร
ควบคุมคือ รูป n เหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งได้มีการวางแผน ศึกษา ดำเนินการสร้างสูตร และนำไปประยุกต์สร้าง
เว็บไซต์เพื่อหาพื้นที่วงกลมที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่าแนบใน จากการดำเนินงานได้ผลการดำเนินงาน
คือ ได้ประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อศึกษาหาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยมด้านเท่าแนบใน
พบว่าผู้ศึกษาได้ศึกษา วิเคราะห์ โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และหาความสัมพันธ์ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่า
แล้วนำมาประยุกต์เพื่อให้ได้สูตรการหาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยมด้านเท่าแนบใน โดยที่ ≥ 3
จากนน้ั มกี ารสร้างเวบ็ ไซต์เพื่อช่วยในการหาพืน้ ทีว่ งกลมที่มีรปู n เหล่ยี มด้านเท่าแนบในได้

ข

กติ ติกรรมประกาศ

โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อหาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยม
ด้านเท่าแนบในนี้สำเร็จลุล่วงได้ด้วยความกรุณาจากครูวริทธิ์ธร อัมมวรรธน์ และครูธนวัฒน์ ชัยวงค์
คุณครูที่ปรึกษาโครงงาน ผู้เชี่ยวชาญ ซึ่งได้ให้คำปรึกษาตลอดจนในการแก้ไขข้อบกพร่องต่างๆ
ด้วยความเอาใจใส่เป็นอย่างดี จนโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อหาพื้นท่ี
วงกลมทมี่ ีรปู n เหลยี่ มดา้ นเท่าแนบใน สำเร็จสมบรู ณไ์ ด้ คณะผู้จัดทำขอขอบคณุ เปน็ อยา่ งสงู ไว้ ณ ท่ีนี้

ขอขอบพระคุณผู้บริหาร บุคลากรทางการศึกษาและนักเรียนโรงเรียนเทศบาล 6 นครเชียงราย
ทใ่ี ห้กำลงั ใจให้ความรว่ มมือและอำนวยความสะดวกส่งผลใหโ้ ครงงานครั้งน้สี ำเร็จลุล่วงได้ดว้ ยดี

ขอขอบคุณนายอนุชิต จิน นางสาวพรไพลิน เรื่องศรี และนายพรประทาน พร้อมศิริไพบูลย์
นักเรียนโรงเรียนเทศบาล 6 นครเชียงรายที่ให้คำปรึกษาในการทำโครงงาน ตลอดจนคณะครู
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนเทศบาล 6 นครเชียงราย ที่ได้ให้ความอนุเคราะห์และความร่วมมอื
ในการจดั ทำโครงงานน้ี

คุณค่า และประโยชนอ์ นั พึงมีจากการทำโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การประยกุ ต์ใช้ฟังก์ชันตรโี กณมิติ
เพื่อหาพื้นท่ีวงกลมทีม่ รี ูป n เหล่ยี มดา้ นเท่าแนบใน คณะผจู้ ดั ทำขออทุ ศิ แดผ่ ูม้ พี ระคณุ ทกุ ท่าน

คณะผู้จัดทำ

นางสาวพทั ธมน ณ เชียงใหม่

นายธีรมนตรี ท้าวชัยมูล

นายสุฮัยล์ ใจแสง

ค

สารบญั หนา้
ก
บทคดั ยอ่ ................................................................................................................................ ข
กติ ตกิ รรมประกาศ................................................................................................................. ค
สารบัญ.................................................................................................................................. จ
สารบญั ตาราง........................................................................................................................ ฉ
สารบัญภาพ...........................................................................................................................
1
บทท่ี 1
1 บทนำ................................................................................................................ 1
ทมี่ าและความสำคัญ………………............................................................. 1
วัตถุประสงค์ของโครงงาน....................................................................... 2
ขอบเขตของการศึกษา............................................................................ 2
ขอบเขตด้านเน้อื หา………………………………………………………………………. 2
ประโยชนท์ ่ีจะไดร้ ับ................................................................................. 3
นิยามศัพทเ์ ฉพาะ.................................................................................... 4
2 เอกสารและงานวิจยั ทเี่ ก่ยี วขอ้ ง....................................................................... 5
วงกลม..................................................................................................... 5
รูปหลายเหลยี่ มดา้ นเทา่ ........................................................................... 6
Apothem……………………………………………………………………………………. 7
ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ…………………………….…………....................................... 7
การพสิ ูจน์ทางตรง(Direct Proofs) ……………………………………............... 8
ทักษะและกระบวนการ............................................................................ 8
Google Form ....................................................................................... 8
Google Sites ....................................................................................... 10
โครงงานคณติ ศาสตร์อื่น ๆ ทีเ่ ก่ยี วข้อง ................................................... 10
3 วิธกี ารดำเนนิ งาน............................................................................................. 10
การวางแผนการดำเนนิ งาน.................................................................... 11
ศึกษาเนือ้ หาและทฤษฎีทเ่ี กย่ี วข้อง…………………………….........................
ดำเนินการสร้างสตู รหาพ้ืนทว่ี งกลมที่มีรปู n เหลย่ี มด้านเทา่ มุมเทา่ 12
แนบใน ................................................................................................... 16
สรา้ งเวบ็ ไซตห์ าพ้ืนที่วงกลมที่มรี ูป n เหลยี่ มด้านเท่าแนบใน................ 17
4 ผลการดำเนินงาน.............................................................................................
ผลการประยุกตฟ์ งั ก์ชนั ตรโี กณมิติในการหาพนื้ ทว่ี งกลมทีม่ ีรูป n
เหลยี่ มดา้ นเท่ามมุ เทา่ แนบในเมอื่ กำหนดความยาวดา้ นของรูป n
เหลย่ี มดา้ นเทา่ .........................................................................................

ง

ผลการวิเคราะห์โดยการนำสูตรท่ีสรา้ งขน้ึ ตรวจสอบกบั คำตอบจาก หนา้
วธิ ีการคดิ แบบปกติ ................................................................................. 17
ผลการดำเนินการแกโ้ จทย์ปญั หาโดยหาคำตอบจากสตู ร พ้นื ท่วี งกลม …
ผลการประยุกต์ฟังก์ชันตรีโกณมิติในการหาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n 18
เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าแนบใน เมื่อกำหนดพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมท่ี 19
แนบใน.....................................................................................................
ผลการวเิ คราะห์โดยการนำสูตรที่สรา้ งขึ้นตรวจสอบกับคำตอบจาก 20
วิธีการคดิ แบบปกตโิ ดยกำหนดพนื้ ทีข่ องรปู n เหลย่ี มที่แนบใน ...........
ผลการตรวจสอบความถูกต้องของสูตร .................................................. 20
ผลการออกแบบ สรา้ ง และใช้งานเว็บไซต์ ............................................. 21
5 สรุป อภิปรายผล และขอ้ เสนอแนะ................................................................. 22
สรปุ ผลการดำเนินการ............................................................................. 22
อภปิ รายผล ............................................................................................ 23
ข้อเสนอแนะ............................................................................................ 24
บรรณานุกรม........................................................................................................................ 25
ภาคผนวก.............................................................................................................................. 26

จ

สารบญั ตาราง

ตารางที่ ตารางแสดงผลการหาพื้นทีว่ งกลมที่มีรปู n เหลีย่ มด้านเท่ามุมเท่าแนบใน หนา้
4.1 โดยการกำหนดความยาวด้านของรปู n เหล่ียมดา้ นเท่ามุมเท่า …………….…… 15
4.2 ตารางแสดงการเปรียบเทยี บการแกป้ ญั หาจากโจทยต์ ัวอยา่ งระหว่างสตู ร 15
4.3 พื้นทว่ี งกลม …………………………………………………………………………………………. 17
4.4 ตารางแสดงผลการหาพ้ืนทวี่ งกลมทมี่ รี ูป n เหล่ียมดา้ นเท่ามมุ เท่าแนบใน จาก 18
4.5 การกำหนดพืน้ ทขี่ องรูป n เหล่ยี มดา้ นเท่ามุมเท่า ……………………………………. 20
ตารางแสดงการเปรยี บเทียบการแก้ปญั หาจากโจทยต์ วั อยา่ งโจทย์ท่กี ำหนด
5.1 พนื้ ทรี่ ปู n เหลย่ี มด้านเทา่ มมุ เท่า .................................................................. 22
แสดงระดับความพึงพอใจ ความสนใจของกลมุ่ ตวั อยา่ งทม่ี ตี ่อเวบ็ ไซต์หาพ้ืนที่

วงกลมท่มี รี ปู หลายเหล่ียมดา้ นเท่าแนบในอยา่ งง่าย ........................................

ตารางแสดงการเปรียบเทยี บคำตอบพน้ื ทวี่ งกลมเม่อื กำหนดความยาวดา้ น
ของรปู n เหลี่ยม ……………………………………………………………………………….

5.2 ตารางแสดงการเปรียบเทยี บคำตอบพ้ืนที่วงกลมเม่อื กำหนดพน้ื ที่ของรูป n 22
เหล่ยี ม …………………………………………………………………………………………………

ฉ

สารบญั ภาพ

ภาพที่ หน้า

2.1 สว่ นประกอบของวงกลม ..................…………………………………………………. 4

2.2 สว่ นของเส้นตรงตัง้ ฉากกับคอรด์ ………………………………………………………. 4

2.3 เส้นตรงทตี่ ง้ั ฉากและแบ่งครึ่งคอรด์ ของวงกลม …………………………………… 4

2.4 เสน้ ตรงท่ีตงั้ ฉากและแบง่ คร่ึงคอร์ดของวงกลม ......................................... 5

2.5 รูปหลายเหลย่ี มดา้ นเท่า ............................................................................ 5

3.1 แสดงรปู วงกลมท่ีมรี ปู n เหลย่ี มด้านเท่ามมุ เท่าแนบใน………….…..………. 9

3.2 แสดงรปู ประกอบโจทย์การหาพื้นท่ีวงกลมทีม่ รี ูป 3 เหล่ยี มด้านเท่ามมุ เท่า 9

แนบใน …………………………………………………………………………….…………….

3.3 แสดงรปู วงกลมท่มี รี ปู n เหลี่ยมด้านเทา่ มมุ เทา่ แนบใน ……………………. 9

3.4 แสดงรูปประกอบโจทย์การหาพืน้ ที่วงกลมทมี่ ีรปู 3 เหลี่ยมด้านเทา่ มมุ เทา่ 10

แนบใน .......................................................................................................

3.5 แสดงการประชมุ วางแผนการทำเวบ็ ไซต์ ................................................... 10

3.6 แสดงการออกแบบหน้าเว็บไซต์ ท้งั ในส่วนทาง Google site และ 10

Google sheet ..........................................................................................

3.7 แสดงการทำ Google sheet ทดสอบการคำนวณค่าของสูตร .................. 11

3.8 แสดงทำหนา้ เวบ็ ไซต์ในโปรแกรม Google sites และนำ Google sheets 11
3.9 แสดงการทำแบบประเมนิ ความพงึ พอใจต่อการใช้เว็บไซต์หาพื้นที่วงกลม 12

ท่มี รี ูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าแนบในอยา่ งง่ายโดยไมใ่ ชร้ ศั มี …………………….
3.10 แสดงการให้นกั เรียนประเมินความพงึ พอใจหลงั จากทไี่ ด้ใช้งานเวบ็ ไซต์ …. 12
4.1 แสดงรูปภาพเว็บไซต์หาพืน้ ทีว่ งกลมทีม่ ีรปู n เหลี่ยมด้านเทา่ แนบใน....... 19

1

บทท่ี1
บทนำ

ท่ีมาและความสำคัญ

โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ เป็นสถานการณ์หรือคำถามที่ต้องการคำตอบเป็นปริมาณหรือจำนวน
โดยในการแก้ปัญหาได้ต้องใช้วิธีการที่เหมาะสมกับสภาพปัญหา ใช้ความรู้และประสบการณ์ประกอบการ
ตัดสินใจของผู้แก้ปัญหา (Henderson and Pingry, 1973 : 228) โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวกับการหาพื้นที่ของรูป
วงกลมที่มีรูปสามเหล่ียมด้านเทา่ แนบใน ซึ่งเป็นปัญหาหนึ่งที่เราสามารถพบเจอได้ เนื่องจากต้องใชค้ วามรูใ้ น
เรอ่ื งของเรขาคณิตวิเคราะห์หรอื สถานการณ์จำเปน็ ต้องอาศัยความรูเ้ รอ่ื งอนื่ ๆ มาช่วยในการแก้ปญั หา

ทางคณะผู้จัดจึงตั้งข้อสังเกตการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการหาพื้นที่รูปวงกลมที่มีรปู สามเหล่ียมด้านเท่า
แนบในวงกลมนน้ั ต้องหาความยาวของรัศมกี ่อนจงึ จะสามารถคำนวณหาพืน้ ทร่ี ูปวงกลมได้ ซ่ึงขั้นตอนในการ
คำนวณหาความยาวรัศมีมีหลายขั้นตอนและใช้ระยะเวลามาก หากสามารถสร้างสูตรที่เป็นเครื่องมือช่วยใน

การคำนวณหาพื้นที่รูปวงกลมที่มีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าแนบในวงกลมหรือ n เหลี่ยมได้นั้นอาจจะเป็น
อีกทางเลอื กหนึ่งที่จะชว่ ยให้คำนวณไดง้ ่ายข้ึน

จากเหตุผลข้างตน้ ทางคณะผูจ้ ัดทำจึงมีความสนใจศกึ ษาการหาพ้นื ท่ีรูปวงกลมที่มีรูปสามเหลี่ยมด้าน
เท่าแนบในวงกลมโดยไม่ต้องใช้รัศมี จากการประยุกต์ใช้ฟังกช์ ันตรโี กณมิติ โดยนำแนวคิดที่ได้หาสูตรการหา
พื้นที่รูปวงกลมที่มีรูป n ด้านเท่ามุมเท่าแนบในวงกลมและนำสูตรที่ได้ไปพัฒนาเป็นโปรแกรมช่วยในการ
คำนวณผ่านระบบปฏิบัติการของ Google Sheets และ Google Sites ซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์หนึ่งจาก Google
ท่รี องรบั การทำงานบนระบบคลาวด์ เพอ่ื งา่ ยต่อการใชง้ านเพียงแคเ่ ชือ่ มต่อกบั อินเทอรเ์ น็ตสามารถทำงานได้
ทนั ที รวมไปถงึ การแชรไ์ ฟล์ข้อมูลหรอื เอกสารรว่ มกนั แบบเรียลไทม์ สามารถเข้าถึงการทำงานไดท้ ุกท่ี ทุกเวลา
บนอุปกรณ์ เช่น โทรศัพท์มือถือหรือคอมพิวเตอร์ ทั้งนี้สำหรับการพัฒนาเป็นโปรแกรมในครัง้ นี้กเ็ พื่อให้เกดิ
ประโยชน์ตอ่ ผู้อ่นื อย่างแพร่หลาย

วัตถุประสงค์ของโครงงาน
1. เพอ่ื ประยุกต์ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติในการหาพน้ื ท่ีวงกลมทมี่ รี ูป n เหลี่ยมด้านเท่าแนบใน

2. เพื่อสร้างเว็บไซต์หาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลยี่ มด้านเท่าแนบในอย่างง่ายในรูปแบบ
Google sites
ขอบเขตของการศกึ ษา

ตวั แปรทีใ่ ช้ในการศึกษา

1. ตวั แปรตน้ สูตรหาพื้นท่วี งกลมท่ีมีรูป n เหลี่ยมด้านเท่าแนบในวงกลม

โปรแกรมคำนวณพนื้ ทว่ี งกลมท่ีมีรปู n เหลย่ี มแนบใน ในรูปแบบ
Google Sites

2. ตวั แปรตาม พน้ื ทว่ี งกลมที่มรี ูป n เหล่ยี มด้านเทา่ มุมเท่าแนบในวงกลม
3. ตัวแปรควบคุม
พน้ื ท่วี งกลมท่มี รี ูป n เหลยี่ มแนบดา้ นในจากการใช้โปรแกรมคำนวณ
ความคลาดเคลอ่ื นของพืน้ ที่ทค่ี ำนวณด้วยสูตรที่แตกตา่ งกนั
รูป n เหลยี่ มด้านเท่า ที่ n  3

2

ขอบเขตดา้ นเนอ้ื หา
1. สมบัติของรปู n เหลี่ยมด้านเทา่
2. วงกลม
3. ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ
4. การพสิ จู น์ทางด้านคณติ ศาสตร์

ระยะเวลา
1 สงิ หาคม พ.ศ. 2565 – 25 พฤศจกิ ายน พ.ศ. 2565

ประโยชน์ทจี่ ะไดร้ ับ
1. ได้สูตรคำนวณหาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยมด้านเท่าแนบในจากการประยุกต์ใช้ฟังก์ชัน

ตรีโกณมิติ
2. ได้เวบ็ ไซต์คำนวณหาพนื้ ทีว่ งกลมที่มีรปู n เหลี่ยมดา้ นเท่าแนบในรูปแบบ Google Sites

นิยามศัพทเ์ ฉพาะ
s หมายถึง ความยาวด้านของรปู n เหลี่ยมด้านเท่าท่แี นบในวงกลม
n หมายถึง จำนวนเหลย่ี มของรปู n เหล่ียมท่ีแนบในวงกลม
a หมายถงึ ความยาวของเส้น Apothem

3

บทที่ 2

เอกสารและงานวจิ ยั ทเี่ กีย่ วข้อง

โครงงานคณติ ศาสตร์ประเภททฤษฎี เร่อื ง สูตรหาพื้นที่วงกลมที่มรี ูป n เหลย่ี มดา้ นเทา่ มุมเท่าแนบใน
คณะผู้จดั ทำไดท้ ำการศกึ ษาเอกสารและงานวจิ ัยที่เกย่ี วข้องทางคณิตศาสตร์ ดังหัวข้อตอ่ ไปน้ี

1. วงกลม
1.1. ส่วนประกอบของรปู วงกลม
1.2. พ้ืนทีว่ งกลม
1.3. สมบัติของรปู วงกลม

2. รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า
2.1. สมบตั ขิ องรูป n เหลย่ี มดา้ นเทา่
2.2. Apothem

3. ฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ
3.1. ไซน์
3.2. โคไซน์
3.3. แทนเจนต์
3.4. โคซแี คนต์
3.5. ซีแคนต์
3.6. โคแทนเจนต์

4. การพสิ จู น์แบบ Direct Proofs
4.1. การแก้ปญั หา
4.2. การสือ่ สารและการส่ือความหมาย ทางคณิตศาสตร์
4.3. การเชื่อมโยง
4.4. การใหเ้ หตุผล
4.5. การคิดสร้างสรรค์

5. G Suit
5.1 Google Sheets
5.2 Google Form
5.3 Google Script
5.4 Google Sites

6. โครงงานคณติ ศาสตร์อืน่ ๆ ท่เี กี่ยวขอ้ ง

4

วงกลม
รูปวงกลม เป็นหนึ่งในรูปทรงพื้นฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปวงกลมเป็นโลกัส (locus) ของจุด

ทุกจุดบนระนาบที่มีระยะห่างคงตัวกับจุดที่กำหนดอีกจุดหนึ่ง ระยะห่างนั้นเรียกว่ารัศมี และจุดที่กำหน ด
เรยี กวา่ จดุ ศนู ย์กลาง สามจดุ ใดๆ ทีไ่ มอ่ ยู่บนเส้นตรงเดียวกนั จะสามารถวาดรปู วงกลมผ่านทั้งสามจุดได้เพียง
หนึ่งวง

ภาพที่ 2.1 สว่ นประกอบของวงกลม
ส่วนประกอบของรูปวงกลม

1. จุดศนู ย์กลาง (O) คอื จดุ คงทอี่ ยู่ตรงกลางของรูปวงกลมซึ่งอยูห่ า่ งจากเสน้ รอบวงเป็นระยะเทา่ กนั
2. เสน้ ผ่านศูนยก์ ลาง (D) คือ ส่วนของเส้นตรงทล่ี ากจากจุดหนงึ่ บนเส้นรอบวงดา้ นหนึง่ ผา่ นจุดศนู ย์กลางไป
ยังอกี จุดหน่ึงบนเสน้ รอบวงอีกดา้ นหนึ่ง
3. เสน้ รอบวง (C) คือ เส้นขอบของรปู วงกลมทอี่ ยหู่ ่างจากจดุ ศูนยก์ ลางเท่ากัน
4. รัศมี (R) คอื ระยะหา่ งระหวา่ งจุดศนู ยแ์ ละเสน้ รอบวงของรูปวงกลม

พนื้ ท่วี งกลม
พนื้ ที่รปู วงกลม หาไดจ้ ากคา่  คูณกับกำลังสองของความยาวของรศั มี นนั่ คือ ถา้ รัศมขี องรปู วงกลม

ยาว r หน่วย จะไดว้ า่ รูปวงกลมมพี ้นื ที่  r2 ตารางหน่วย

สมบัตขิ องรูปวงกลม
1. ถา้ ส่วนของเส้นตรงตัง้ ฉากกับคอร์ดแลว้ เสน้ ตรงนน้ั จะแบ่งครึง่ คอรด์

ถ้า OC ⊥ AB แล้ว AC ⊥ BC และ AC = BC

ภาพที่ 2.2 ส่วนของเสน้ ตรงต้ังฉากกบั คอรด์

2. เส้นตรงทต่ี ้ังฉากและแบ่งครงึ่ คอรด์ ของวงกลม จะผา่ นจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมน้ัน

ถ้า และAE = BE OEˆA = OEˆB = 90

และ และCF = DF OFˆC = OFˆD = 90

แล้ว O เป็นจุดศูนย์กลาง

ภาพท่ี 2.3 เส้นตรงทีต่ ง้ั ฉากและแบง่ ครึ่งคอร์ดของวงกลม

3. ในวงกลมวงหนงึ่ ถา้ คอร์ดสองคอร์ดยาวเท่ากันคอรด์ ท้ังสองนน้ั จะอยู่หา่ งจากจุดศูนยก์ ลางของ
วงกลมเป็นระยะเท่ากนั

5

ถ้า AB = CD แล้ว OE = OF

ภาพที่ 2.4 เส้นตรงท่ตี ัง้ ฉากและแบง่ ครง่ึ คอร์ดของวงกลม
รูปหลายเหล่ยี มดา้ นเทา่ มุมเท่า

รปู หลายเหลี่ยมด้านเท่ามมุ เท่า คอื รปู ท่ีมีด้านทุกดา้ นยาวเทา่ กนั และมุมทกุ มุมยาวเท่ากนั

ภาพท่ี 2.5 รูปหลายเหลยี่ มดา้ นเท่า

สมบตั ขิ องรปู n เหลีย่ มดา้ นเท่า ไดแ้ ก่
1. มมุ ที่จุดศนู ยก์ ลางกางมมุ ละ 360

n

2. มมุ ภายในกางมมุ 180 (n − 2)
n

3. ผลบวกของมุมภายในทุกมมุ 180 (n − 2)
Apothem

เสน้ ต้งั ฉากจากจุดศูนย์กลางไปยงั ด้านใดดา้ นหน่ึงของรปู เหล่ียมด้านเท่า
ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ (Trigonometric function)

ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
เป็นมมุ A เรยี กชื่อด้านแต่ละดา้ นของรปู สามเหลยี่ ม ดงั น้ี

ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูป
สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ในที่นี้คือ h

ด้านตรงข้าม (opposite side) คอื ดา้ นท่ีอยตู่ รงข้ามมุมทเ่ี ราสนใจ ในทีน่ ี้คอื a
ด้านประชดิ (adjacent side) คอื ด้านท่ีอยตู่ ิดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในทน่ี คี้ ือ b จึงไดเ้ ปน็
1. ไซน์ของมุม คือ อตั ราสว่ นของความยาวด้านตรงขา้ ม ต่อความยาวด้านตรงขา้ มมมุ ฉากในทน่ี ้คี อื

sin( A) = a
h

2. โคไซน์ ของมมุ คอื อตั ราส่วนของความยาวดา้ นประชดิ ต่อความยาวด้านตรงขา้ มมมุ ฉากในทนี่ ีค้ ือ

cos( A) = b
h

3. แทนเจนต์ ของมุม คอื อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ตอ่ ความยาวดา้ นประชิดในทน่ี คี้ อื

tan( A) = a
b

6

4.โคซแี คนต์ csc(A) คือฟงั ก์ชันผกผนั การคณู ของ sin(A) นน่ั คอื อตั ราสว่ นของความยาวด้านตรงข้าม

มุมฉากตอ่ ความยาวดา้ นตรงขา้ ม csc( A) = h
a

5.ซแี คนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ ( ) นนั่ คือ อตั ราสว่ นของความยาวด้านตรงข้าม

มุมฉากต่อความยาวด้านประชิด ( ) = ℎ


6. โคแทนเจนต์ ( ) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ ( ) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้าน

ประชิด ตอ่ ความยาวด้านตรงข้าม ( ) =


การพสิ จู นท์ างตรง (Direct Proofs)
เป็นวิธีพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เขียนใน รูป “p → q” โดยมีหลักการว่าข้อความ

“p → q” เป็นเท็จเม่อื ข้อความเหตุ p เป็นจรงิ และขอ้ ความผล q เป็นเทจ็ ดงั นน้ั ในการพสิ จู น์ว่า “p → q”
เปน็ จรงิ จึงแสดงเพียงวา่ q เปน็ จรงิ เมือ่ p เปน็ จรงิ ซึง่ มีกระบวนการดังน้ี

ข้นั ตอนการพิสูจนข์ ้อความ “p → q”
1. สมมตุ วิ า่ p เป็นจรงิ
2. จากเหตุ q เป็นจรงิ นำทฤษฎีเบื้องตน้ ท่ี เกีย่ วข้อง นยิ าม สัจพจน์ ดำเนนิ การพสิ ูจน์จนได้ข้อสรุป ว่า q

เป็นจรงิ ถา้ ข้อความ q เปน็ จรงิ
3. สรุปวา่ ขอ้ ความ p ทเ่ี ปน็ จรงิ

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์เป็นความสามารถที่จะนำความรู้ไปประยุกต์ใช้ ในการเรียนรู้

สิ่งต่าง ๆ เพื่อให้ได้มาซึ่งความรู้และประยุกต์ใช้ในชวี ิตประจำวันได้อยา่ งมีประสิทธิภาพ ได้แก่ การแก้ปญั หา
การสอ่ื สารและการส่ือความหมาย ทางคณิตศาสตร์ การเช่ือมโยง การใหเ้ หตผุ ลและการคิดสรา้ งสรรค์

โครงงานคณิตศาสตรอ์ ่ืน ๆ ทเี่ ก่ยี วข้อง

1. โครงงานเรอื่ งการหาสตู รพื้นที่ของรูป n เหลยี่ มดา้ นเทา่ มุมเทา่ ทม่ี วี งกลมแนบนอกหรือแนบใน

นางสาวพิรญาณ์ ดวงดี นางสาววชิรญาณ์ ศรีมาลา และนางสาววิมลสิริ ศิริเดช (2560) ได้จัดทำ

โครงงานคณิตศาสตร์เรื่องการหาสูตรพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่าที่มีวงกลมแนบนอกหรือแนบในโดย

นำความสัมพันธ์ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่าที่มีวงกลมแนบนอกหรือแนบใน มาวิเคราะห์ว่าหากจำนวน n

เหลี่ยมด้านเท่ามากขึ้น จะสามารถหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่าที่มีวงกลมแนบนอกหรือแนบในได้

อย่างไรและทำการแกส้ มการเพื่อหาสูตรการหาพืน้ ที่ของรปู n เหล่ยี มด้านเท่าทีม่ ีวงกลมแนบนอกหรือแนบใน

ได้ดังน้ี

สูตรที่ 1 [P1P2P3...Pn ] = nRr sin  ใช้เมื่อทราบรัศมีวงกลมวงในวงกลมวงนอกและจำนวน
n

เหล่ยี ม

สูตรที่ 2 [P1P2P3...Pn ] = n R2r sin 2 ใชเ้ มอื่ ทราบรศั มี วงกลมวงนอกและจำนวนเหล่ียม
2 n

สตู รที่ 3 [P1P2P3...Pn ] = nr 2 tan  ใช้เมอ่ื ทราบรศั มี วงกลมวงในและจำนวนเหล่ยี ม
n

7

2. โครงงานเร่อื งการหาพื้นทีร่ ปู n เหล่ียมด้านเทา่ มุมเท่าทแ่ี นบในวงกลม x2 + y2 + Ax + By + C = 0
เด็กหญิงฐิดาภา ปกครองบ้าน เด็กหญิงเมธาพร ประสพและนางสาววนัสนันท์ ผัดกันตุ้ย (2561)

ได้จัดทำโครงงานคณิตศาสตร์เรื่องการหาเรื่องการหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่แนบในวงกลม
ทม่ี ีสมการรูปแบบทว่ั ไปเป็น x2 + y2 + Ax + By + C = 0

โดยผลการศึกษาพบวา่ พ้ืนทมี่ ีค่าเท่ากับ 1 n(A2 + B2 − 4c) sin(360 )
8n

และขนาดของแตล่ ะมุมของรปู n เหล่ียมด้านเท่ามุมเทา่ มีขนาด 1 (n − 2) 180
n

3. โครงงานเร่ืองการศกึ ษาพ้นื ทสี่ ีเ่ หลีย่ มที่แนบในวงกลม
นางสาวกัญญ์ชญา แสงสุริยฉายและนางสาวนัฐศญาภรณ์ อรรถธรรมสุนทรได้จัดทำโครงงาน

การศึกษาพน้ื ท่ีส่ีเหลย่ี มที่แนบในวงกลม โดยนำความรู้เร่ืองแคลคูลัสเชงิ อนุพันธ์มาประยุกต์ใช้ในการหาพื้นท่ี
ของรูปสีเ่ หลี่ยมหลายหลายชนิดท่แี นบในวงกลมได้พอดแี ละมีพืน้ ที่มากท่สี ุด ซง่ึ จากการศึกษาพบว่ารูปสเ่ี หลย่ี ม
ที่แนบในวงกลได้พอดีและมีพ้ืนที่มากที่สุดคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยมีความยาวด้านเปน็ 2r และมีพื้นที่เทา่ กบั

2r 2

8

บทที่ 3
วธิ ีการดำเนินงาน

โครงงานคณติ ศาสตรป์ ระเภททฤษฎี เรอ่ื งประยกุ ตฟ์ งั ก์ชันตรีโกณมิติในการหาพนื้ ที่วงกลมท่ีมีรูป n

เหลี่ยมด้านเท่าแนบใน มีวิธีการดำเนินงานที่ใช้ในการจัดทำโครงงานโดยมีขั้นตอนและรายละเอียด
การดำเนินงานดังนี้

1. การวางแผนการทำงาน
ประชมุ ปรกึ ษาหารือเกีย่ วกับการดำเนินการจดั ทำโครงงานจากนนั้ ศกึ ษาและรวบรวมเน้ือหาเกี่ยวกับ

รูปวงกลมรปู สามเหลี่ยมด้านเท่ามมุ เทา่ และรปู n เหลย่ี มด้านเทา่ เพอ่ื นำมาประยกุ ตใ์ ชใ้ นสูตร
2. ศึกษาเนอ้ื หาและทฤษฎที เี่ กย่ี วขอ้ ง
ศึกษาเรอื่ งวงกลม รปู หลายเหลี่ยมด้านเท่า ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิและการพิสูจน์แบบ Direct Proofs ซึ่ง

มีความรู้พนื้ ฐานสำหรบั การหาพน้ื ท่วี งกลมท่ีมรี ปู n เหล่ียมดา้ นเทา่ แนบในโดยไม่ใช้รัศมี ดังนี้
1. สูตรการหาพนื้ ทว่ี งกลม =  r2

2. พื้นท่ีสามเหล่ยี ม = 1 × ความยาวฐาน × ความสูง
2

3. sin = ดา้ นตรงขา้ มมุม
ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

4. cos = ดา้ นประชดิ มมุ
ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

5. tan = ดา้ นตรงขา้ มมมุ
ดา้ นตรงชดิ มุม

6. csc = 1

sin 

7. Apothem คือ เส้นตง้ั ฉากจากจุดศูนย์กลางไปยงั ดา้ นใดดา้ นหนง่ึ ของรปู เหลีย่ มดา้ นเท่า
3. ดำเนนิ การสร้างสูตรหาพื้นทีว่ งกลมท่ีมีรปู n เหลย่ี มด้านเท่าแนบใน

3.1 สร้างสูตรหาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยมด้านเท่าแนบในโดยไม่ใช้รัศมี เมื่อกำหนด
ความยาวดา้ นของรูป n เหลย่ี มดา้ นเทา่ โดยประยกุ ตใ์ ช้ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิในการวิเคราะห์

ภาพที่ 3.1 แสดงรปู วงกลมทม่ี ีรปู n เหล่ียมด้านเท่าแนบใน

9

3.2 วิเคราะห์โดยการนำสูตรที่สร้างขึ้นตรวจสอบกับคำตอบจากวิธีการคิด จากสูตร

พน้ื ท่ีวงกลม =  r2 โดยกำหนดความยาวด้านรูป n เหลี่ยมด้านเทา่ เมื่อ n = 3,...,10

3.3 ดำเนนิ การแก้โจทยป์ ัญหาโดนหาคำตอบจากสูตร

พน้ื ทีว่ งกลม s2  และจากพน้ื ที่วงกลม =  r2 เพ่อื เปรยี บเทยี บคำตอบท่ีได้

4  sin 2 ( n )

ตวั อย่างโจทย์ จงหาพื้นทว่ี งกลมทมี่ รี ูปสามเหลีย่ ม ABC ด้านเท่าแนบในและมคี วามยาวด้าน
ดา้ นละ 2 หน่วย

ภาพท่ี 3.2 แสดงรปู ประกอบโจทย์การหาพน้ื ท่ีวงกลมที่มรี ปู 3 เหล่ยี มด้านเทา่ แนบใน

3.4 สร้างสตู รหาพืน้ ท่วี งกลมทีม่ รี ปู n เหล่ียมดา้ นเท่าแนบเมื่อกำหนดพ้นื ทข่ี องรูป n เหลี่ยมท่ีแนบดา้ นใน
โดยประยุกต์ใช้ฟงั ก์ชันตรโี กณมิตใิ นการวเิ คราะห์

ภาพท่ี 3.3 แสดงรปู วงกลมทีม่ รี ูป n เหลย่ี มด้านเท่าแนบใน

3.5 วิเคราะห์โดยการนำสตู รท่ีสรา้ งข้นึ ตรวจสอบกบั คำตอบจาเมือ่ กำหนดพน้ื ท่ีของรูป n เหลย่ี ม
ดา้ นเท่ามมุ เท่า

3.6 ดำเนนิ การแก้โจทย์ปญั หาโดยหาคำตอบจากสูตร

พ้นื ทีว่ งกลม= พ้นื ที่ เหลยี่ ม× และจากพ้ืนท่ีวงกลม =  r2 เพ่ือเปรยี บเทียบคำตอบทีไ่ ด้
× ( )× ( )

ตัวอยา่ งโจทย์ จงหาพ้ืนทีว่ งกลม ท่มี รี ูปสามเหลย่ี ม ABC ดา้ นเท่าแนบในและมพี น้ื ท่ี 12√3 ตารางหน่วย

10

ภาพท่ี 3.4 แสดงรูปประกอบโจทย์การหาพ้นื ท่วี งกลมท่ีมีรูป 3 เหล่ยี มด้านเทา่ แนบใน
3.7 ตรวจสอบความถูกตอ้ งของสตู ร โดยเขา้ รบั การตรวจสอบจากผเู้ ชี่ยวชาญ 3 ทา่ น
4. สรา้ งเวบ็ ไซตห์ าพ้นื ที่วงกลมที่มีรปู n เหลี่ยมด้านเทา่ แนบใน
4.1 ประชมุ วางแผนการทำเว็บไซต์

ภาพท่ี 3.5 แสดงการประชมุ วางแผนการทำเว็บไซต์
4.2 ศกึ ษาข้อมลู การทำ Google Sites และ Google Sheets
4.3 ออกแบบหนา้ เว็บไซต์ ท้งั ในส่วนทาง Google Sites และ Google Sheets

ภาพที่ 3.6 แสดงการออกแบบหนา้ เวบ็ ไซต์ ท้ังในสว่ นทาง Google Sites และ Google Sheets

4.4 เสนอรูปแบบหน้าเว็บไซต์ รว่ มกันวพิ ากษ์กบั ครทู ี่ปรกึ ษาโครงงาน

4.5 ปรบั ปรงุ แก้ไขตามขอ้ เสนอแนะจากการวิพากษ์

4.6 จดั ทำ Google Sheets เพอ่ื ทดสอบการคำนวณค่าของสตู ร

พ้นื ท่ีวงกลม = 2× และสูตรพืน้ ท่วี งกลม = พ้นื ที่ เหลยี่ ม×
4× 2( ) × ( )× ( )

11

ภาพท่ี 3.7 แสดงการทำ Google Sheets ทดสอบการคำนวณค่าของสตู ร
4.7 ทำหน้าเว็บไซต์ในโปรแกรม Google Sites โดยนำ Google Sheets มาเช่อื มโยง

ภาพที่ 3.8 แสดงทำหนา้ เว็บไซต์ในโปรแกรม Google Sites และนำ Google Sheet
4.8 ทำหนา้ เว็บไซต์ ทดสอบการทำงานและตรวจสอบความถูกตอ้ ง
4.9 นำเสนอเว็บไซตต์ อ่ ครูที่ปรกึ ษาโครงงานเพอื่ รบั ขอ้ เสนอแนะ
4.10 ทำแบบประเมินความพึงพอใจต่อการใช้เว็บไซต์หาพื้นที่วงกลมที่มีรูปหลายเหลี่ยม
ดา้ นเทา่ แนบในโดยไม่ใชร้ ัศมี

ภาพที่ 3.9 แสดงการทำแบบประเมนิ ความพงึ พอใจตอ่ การใช้เวบ็ ไซต์หาพื้นทว่ี งกลมท่ีมีรปู
หลายเหลยี่ มด้านเทา่ แนบในอยา่ งงา่ ยโดยไม่ใช้รศั มี

4.12 นำเว็บไซต์หาพื้นที่วงกลมที่มีรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าแนบในอย่างง่ายที่ได้ไปเผยแพร่
ให้นักเรียนได้ใช้งานโดยเลือกกลุ่มตัวอย่างแบบชั้นภูมิจำนวน 250 คน จากประชากรนักเรียนระดับชั้น
มัธยมศึกษาชั้นปีที่ 5 จำนวน 592 คนตามตารางสำเร็จรูปของเครจซี่และมอร์แกน จากนั้นให้นักเรียน
กลุ่มตวั อยา่ งประเมินความพึงพอใจจากแบบประเมินความพงึ พอใจท่สี รา้ งข้ึน

12

ภาพที่ 3.10 แสดงการใหน้ กั เรียนประเมนิ ความพงึ พอใจหลังจากท่ีได้ใชง้ านเวบ็ ไซต์

4.13 นำผลการประเมินมาประมวลผลและสรุปในรูปแบบตาราง โดยมรี ะดบั ความพึงพอใจดงั นี้

5 หมายถงึ มากท่สี ดุ

4 หมายถึง มาก

3 หมายถงึ ปานกลาง

2 หมายถงึ นอ้ ย

1 หมายถงึ นอ้ ยทส่ี ุด

เกณฑก์ ารพิจารณาระดับความพงึ พอใจดังน้ี

เกณฑ์การพิจารณาระดับความพึงพอใจค่าเฉลี่ยน้ำหนักคำตอบ ผู้จัดทำได้กำหนดเกณฑ์ใน

การวิเคราะหโ์ ดยใช้แนวคิดของบญุ ชม ศรสี ะอาด (2545 : 104)

คา่ เฉลีย่ ระหวา่ ง 4.51 – 5.00 หมายถึง มากท่ีสดุ

ค่าเฉลย่ี ระหวา่ ง 3.51 – 4.50 หมายถึง มาก

คา่ เฉลี่ยระหว่าง 2.51 – 3.50 หมายถงึ ปานกลาง

ค่าเฉลย่ี ระหว่าง 1.51 – 2.50 หมายถึง น้อย

คา่ เฉล่ยี ระหวา่ ง 1.00 – 1.50 หมายถงึ นอ้ ยท่ีสุด

4.15 สถิติวิเคราะห์ของคะแนนความพึงพอใจการหาค่าเฉลี่ยและค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การหาคา่ เฉลีย่ เลขคณิตโดยใช้สูตรดังนี้ (กัลยา วานิชยบ์ ญั ชา, 2542: 35 - 36)

n
 xi
x i =1
=
n

เม่อื x แทน คะแนนเฉล่ีย

n แทน ผลรวมของคะแนนทง้ั หมด
จำนวนนกั เรียนในกลุ่มตัวอย่าง
 xi
i =1

n แทน

การหาคา่ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานโดยใช้สตู รดังนี้ (กัลยา วานิชยบ์ ัญชา, 2542: 49)

SD = (xi − x )2
n −1

13

โดยท่ี xi แทน คะแนนความพึงพอใจ
x แทน คะแนนเฉลี่ยของความพึงพอใจ
n แทน จำนวนนักเรยี นในกลุ่มตัวอยา่ ง

14

บทที่ 4
ผลการดำเนินงาน

โครงงานคณติ ศาสตรเ์ รื่อง การประยกุ ต์ฟงั ก์ชันตรโี กณมิติ เพ่อื หาพืน้ ทรี่ ปู วงกลมท่มี รี ปู n เหลย่ี มด้าน
เทา่ มุมเทา่ แนบในได้ผลการดำเนนิ งาน ดงั น้ี

1. ผลการประยกุ ต์ฟังก์ชันตรโี กณมิตใิ นการหาพน้ื ท่วี งกลมท่ีมรี ปู n เหล่ียมดา้ นเทา่ แนบใน
2. ผลการสร้างเว็บไซต์หาพ้นื ทีว่ งกลมท่มี ีรูป n เหล่ียมดา้ นเท่าแนบในอยา่ งงา่ ยในรปู แบบ Google Sites

ผลการดำเนนิ งาน

1. ผลการประยุกต์ฟงั กช์ ันตรโี กณมิติในการหาพ้นื ทวี่ งกลมที่มรี ูป n เหลย่ี มด้านเท่าแนบใน เมอ่ื กำหนด

ความยาวด้านของรปู n เหลยี่ มดา้ นเท่ามุมเท่า โดยศกึ ษาจากเรอื่ ง พืน้ ทว่ี งกลม พนื้ ทร่ี ูปหลายเหล่ียม และฟังกช์ นั

ตรีโกณมิติ ซึ่งไดม้ กี ารนำมาประยกุ ตเ์ ข้าด้วยกันทำให้ได้สูตรดงั นี้

พนื้ ท่ีวงกลม = × 2
4× 2( )

ภาพที่ 4.1 แสดงรปู วงกลมทมี่ ีรูป n เหล่ียมด้านเท่ามุมเท่าแนบใน

พสิ ูจน์ กำหนดให้ n และ n  3 ถ้า sin A= s แลว้ s2  =  r2
2r
4  sin 2 (  )
n

ให้ sin A = s ; จากนยิ ามของ Apothem
2r

จะได้ sin( ) = s ; จาก A = 
n 2r n

cos ec(n ) = 2r ; จาก csc = 1
s sin

cos ec2 ( ) = (2r )2 ; ยกกำลังสองทัง้ สองข้างของสมการ
n s

s2 cos ec2 ( ) ; นำ s2 คูณทัง้ สองข้าง
4 n = r2 4

 s2 cos ec2 (n ) =  r2 ; นำ  คูณทั้งสองขา้ ง
4

ดงั นั้น s2  =  r2
4 sin2 (n )

15

ดังนั้น พื้นที่วงกลมที่มรี ปู n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าแนบใน โดยเมื่อกำหนดความยาวด้านของรปู n เหลี่ยม

ด้านเทา่ คอื s2 
4 sin2 (n )

2. ผลการวเิ คราะห์โดยการนำสตู รท่ีสรา้ งขึ้นตรวจสอบกับคำตอบจากวธิ ีการคดิ จากสตู ร

พืน้ ท่ีวงกลม s2  และจากสูตร พน้ื ทีว่ งกลม =  r2

4  sin 2 ( n )

เพอ่ื เปรยี บเทยี บคำตอบทไี่ ด้ เมื่อกำหนดความยาวด้านของรูป n เหลย่ี มด้านเท่า

ตาราง 4.1 ตารางแสดงผลการหาพ้ืนทวี่ งกลมที่มีรปู n เหลี่ยมด้านเท่าแนบใน เมอ่ื กำหนดความยาวด้านของรูป n

เหลย่ี มด้านเทา่ ยาวด้านละ 10 หน่วย

สตู ร s2 
4 sin2 (n )
n รศั มี สตู ร  r2 ผลต่างระหว่างสูตร

3 33.33 5.77 33.33 0
7.07 50.00 0
4 50.00 8.51 72.36 0
10 100.00 0
5 72.36 11.52 132.80 0
13.07 170.71 0
6 100.00

7 132.80

8 170.71

⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮

16

3. ผลการดำเนนิ การแกโ้ จทย์ปญั หาโดยหาคำตอบจากสูตร

พืน้ ท่วี งกลม = s2  และจากพ้นื ทว่ี งกลม =  r2 เพอื่ เปรยี บเทียบคำตอบท่ไี ด้

4  sin 2 (  )
n

ตาราง 4.2 ตารางแสดงการเปรียบเทยี บการแก้ปญั หาจากโจทย์ตวั อยา่ งระหวา่ ง

สูตรพ้ืนท่ีวงกลม = s2  และสูตรพ้ืนท่ีวงกลม =  r 2
 sin2 (
4  )
n

แก้ปัญหาจากโจทย์ตัวอย่างโดยใช้สูตร แกป้ ัญหาจากโจทย์ตวั อย่างโดยใช้สตู ร
พน้ื ทว่ี งกลม =  r2
พน้ื ทว่ี งกลม = s2 

4  sin 2 (  )
n

พ้นื ที่วงกลม = × 2 หา d จาก ; = √ 2 − 12
4× 2( ) หาพ้ืนทโี่ ดยใช้สตู รสามเหลย่ี มด้านเทา่

= ×(2)2 √3 × ดา้ น2 = √3 × (2)2= √3
4× 2( 3 ) 4
4
= 4 หาพน้ื ทโ่ี ดยใช้สูตรสามเหล่ียม
4(√23)2

= 4 พื้นที่สามเหล่ียม = 1 × ความยาวฐาน × ความสงู2
3
√3 = 1 × 2 × ( + √ 2 − 12 )
ดังนัน้ วงกลม มีพนื้ ท่ี 4 ตารางหนว่ ย
3 2

√3 = + √ 2 − 1

จะได้ 3 = 2 + 2 √ 2 − 1 + 2 − 1

4 = 2 2 + 2 √ 2 − 1

2 = 2 + √ 2 − 1

2 − 2 = √ 2 − 1

จะได้4 − 4 2 + 4= 4 − 2

3 2 =4
2 = 4

3

พ้ืนที่วงกลม = 2 = 4
3
พ้ืนที่วงกลม มพี ื้นที่ 4 ตารางหน่วย
3

17

4. ผลการประยกุ ต์ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ใิ นการหาพื้นทว่ี งกลมทมี่ ีรปู n เหล่ยี มด้านเท่าแนบใน เมือ่ กำหนด

พ้ืนทขี่ องรูป n เหล่ยี มทแ่ี นบใน โดยใช้ฟังก์ชันตรโี กณมติ ิในการวิเคราะห์ ไดด้ งั นี้

พ้นื ท่วี งกลม = พืน้ ท่ี เหลี่ยม×
×sin ( )×cos ( )

ภาพท่ี 4.2 แสดงรปู วงกลมท่ีมรี ปู n เหลย่ี มด้านเท่าแนบใน

พสิ ูจน์ กำหนดให้ n และ n  3

ถา้ พ้นื ที่ เหลี่ยม = 1 × แลว้ พื้นที่ เหล่ียม× = 2
×sin ( )×cos ( )
2

ให้ พ้ืนที่ เหลี่ยม = 1 × --------- (1) ; จากสตู รพื้นทส่ี ามเหลยี่ มมมุ ฉาก

2

และ A =   
n

จะไดว้ า่ tan A = s
2a

tan( ) = s ; tan = ดำ้ นตรงขำ้ มมุม
n 2a ดำ้ นประชิดมุม

a = s --------- (2)

2 tan(n )

แทนคา่ (2) ใน (1) พ้นื ที่ เหลย่ี ม = 1 × × ( )
2 2tan


4 ( ) × พ้นื ที่ เหล่ยี ม = 2 --------- (3) ;นำ 4 tan ( ) คูณทง้ั สองข้าง



ให้ sin    = s ; sin = ดำ้ นตรงขำ้ มมุม
 n  2r ดำ้ นตรงขำ้ มมุมฉำก

=
2sin ( )

r2 = s2 --------- (4) ; ยกกำลงั สองท้ังสองขา้ งของสมการ
4sin2( ) --------- (5)

( )พน้ื ที่ เหล่ยี ม

=tan s2 ; นำ 1 คณู ในสมการ (3)
sin2( ) 4sin2 ( ) 4sin2( )

จะไดว้ ่า (4) = (5) พืน้ ท่ี เหลยี่ ม ( ) = r2 ; tan = sin
×sin ( )×cos
cos

ดงั นนั้ พ้ืนที่ เหลีย่ ม× = πr2 ; นำ π คูณทั้งสองขา้ ง
×sin ( )×cos ( )

18

ดังนั้น พื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าแนบใน เมื่อกำหนดพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่า
คือ พ้ืนท่ี เหล่ยี ม×

×sin ( )×cos ( )

5. ผลการวิเคราะห์โดยการนำสูตรที่สร้างขึน้ ตรวจสอบกับคำตอบจากวธิ กี ารคิดจากสตู ร

พน้ื ท่วี งกลม = พืน้ ท่ี ( เ)ห×ลี่ยcมo×s ( )และจากสูตรพืน้ ทวี่ งกลม =  r2
×sin

เมือ่ กำหนดพืน้ ทข่ี องรปู n เหลีย่ มด้านเท่าแนบในได้ดงั น้ี

ตาราง 4.3 ตารางแสดงผลการหาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าแนบใน เมื่อกำหนดพื้นที่ของรูป

n เหลี่ยมด้านเทา่ 10 ตารางหน่วย

สตู ร พนื้ ท่ี เหล่ียม ×

n × sin ( ) × cos ( ) รัศมี สูตร  r2 ผลต่างระหวา่ งสตู ร

3 7.70 2.77 7.70 0

4 5.00 2.24 5.00 0

5 4.21 2.05 4.21 0

6 3.85 1.96 3.85 0

7 3.65 1.91 3.65 0

8 3.54 1.88 3.54 0

⋮⋮ ⋮⋮ ⋮

6. ผลการดำเนนิ การแกโ้ จทย์ปญั หาโดยหาคำตอบจากสูตร

พน้ื ที่วงกลม = พืน้ ท่ี เหลย่ี ม× และพื้นที่วงกลม =  r2 เพ่อื เปรยี บเทียบคำตอบที่ได้
×sin ( )×cos ( )

19

ตวั อยา่ งโจทย์ จงหาพ้ืนทว่ี งกลม ท่ีมรี ปู สามเหลยี่ ม ABC ด้านเทา่ แนบอยูใ่ นทม่ี ีพื้นท่ี 12√3 ตารางหน่วย

ตาราง 4.4 ตารางแสดงการเปรียบเทียบการแก้ปญั หาจากโจทยต์ ัวอย่างโจทย์ที่กำหนดพ้ืนทีร่ ูป n เหลี่ยมด้านเท่า

ระหว่างสูตรพื้นทว่ี งกลม = พืน้ ท่ีรูป เหลย่ี ม× และสูตรพน้ื ที่วงกลม = 2
×sin ( )×cos ( )

แกป้ ัญหาจากโจทย์ตัวอย่างโดยใช้สูตร แกป้ ญั หาจากโจทย์ตัวอย่างโดยใช้สตู ร

พ้ืนทวี่ งกลม = พื้นที่รูป เหลีย่ ม× พื้นทว่ี งกลม = 2
×sin ( )×cos ( )

พื้นทว่ี งกลม = ×พน้ื ที่รูป เหลีย่ ม จากสตู รการหาพนื้ ท่ีสามเหลย่ี มดา้ นเทา่
×sin ( )×cos ( )
√3
4 × 2 = 12√3

= ×12√3 = 4√3
3×sin ( 3 )×cos ( 3 )

= ×12√3 = 2√3

3×√23×21 หา d ; 2 = 2 − (2√3)2= √ 2 − 12

= 16 หาพนื้ ทโี่ ดยใช้สูตรสามเหล่ยี ม

พื้นท่ีวงกลม เทา่ กบั 16 ตารางหน่วย พน้ื ทีส่ ามเหล่ียม = 1 × ×
2

12√3 = 1 × 4√3 × ( + √ 2 − 12)
2

12 = 2( + √ 2 − 12)

6 = + √ 2 − 12

6 − = √ 2 − 12

(6 − )2 = (√ 2 − 12)2

−12 = −48

= 4

พ้ืนทว่ี งกลม = 2= 16 ตารางหน่วย

20

7. ผลการออกแบบ สร้าง และใช้งานเว็บไซต์
7.1 ผลการออกแบบเวบ็ ไซตห์ าพืน้ ที่วงกลมทม่ี ีรูปหลายเหลีย่ มดา้ นเท่าแนบใน ได้สร้างเว็บไซต์ที่ช่วยใน

การหาพ้ืนทวี่ งกลมทมี่ ีรูป n เหลีย่ มดา้ นเท่าแนบใน โดยมกี ารใช้ Google Sites และ Google Sheets เป็นเครอ่ื งมือ
ช่วยในการสร้าง และไดม้ กี ารเผยแพร่ให้กับผูท้ ี่สนใจในเรื่องน้ีพบว่าสามารถใช้งานไดจ้ รงิ

ภาพท่ี 4.3 แสดงรปู ภาพเวบ็ ไซตห์ าพ้ืนท่วี งกลมท่ีมรี ปู n เหล่ยี มด้านเท่าแนบใน

7.2 ผลการสำรวจความพึงพอใจของกลุ่มตัวอย่าง ได้ประเมินผลความพึงพอใจ ความสนใจ

ของกลุ่มตวั อยา่ งที่มีเว็บไซต์หาพืน้ ท่ีวงกลมท่มี ีรูปหลายเหล่ียมด้านเท่าแนบใน โดยจะแสดงผลการประเมินดังตาราง

แสดงผลดังน้ี

ตาราง 4.5 แสดงระดับความพงึ พอใจ ความสนใจของกลุ่มตัวอย่างท่มี ีต่อเวบ็ ไซต์หาพืน้ ที่วงกลมท่ีมีรูปหลายเหลี่ยม

ดา้ นเทา่ แนบในอย่างง่าย

ท่ี ความพึงพอใจของผู้ร่วมกจิ กรรม x S.D. ระดับความพงึ

พอใจ

ดา้ นเนอื้ หา 4.77 มากที่สดุ
มากที่สดุ
1 มคี วามชัดเจน ถกู ต้อง นา่ เชื่อถือ 4.83 0.12 มากที่สุด
มากทีส่ ุด
2 การจัดลำดบั เนอ้ื หาเป็นขั้นตอน มีความต่อเน่อื ง อ่านแลว้ เข้าใจ 4.74 0.31 มากท่สี ุด
มากทสี่ ุด
3 มีการจดั หมวดหมู่ใหง้ ่ายต่อการ คน้ หาและทำความเข้าใจ 4.75 0.13 มากที่สุด
มากที่สุด
ดา้ นการออกแบบและการจดั รปู แบบเวบ็ ไซต์ 4.73 มากที่สดุ
มากที่สดุ
4 การจดั รปู แบบในเว็บไซตง์ ่ายต่อการอ่านและการใช้งาน 4.75 0.23 มากทส่ี ดุ
มากที่สุด
5 หน้าโฮมเพจมีความสวยงาม มคี วามทนั สมยั น่าสนใจ 4.73 0.27 มากท่ีสุด

6 สีสนั ในการออกแบบเว็บไซตม์ คี วามเหมาะสม 4.72 0.34 มากท่ีสุด

7 ความถูกต้องในการเชอ่ื มโยงภายในเว็บไซต์ 4.72 0.34

ดา้ นประโยชนแ์ ละการนำไปใช้ 4.72

8 สามารถนำไปประยกุ ตใ์ ช้ตอ่ ยอดได้ 4.74 0.22

9 สามารถเปน็ แหล่งความรู้ได้ 4.72 0.34

1 เป็นแหล่งขอ้ มูลท่ีตรงกับความต้องการของผ้ใู ชง้ าน 4.70 0.31

0

เฉลย่ี 4.74

21

จากตาราง 4.6 พบว่าความพึงพอใจของผู้ร่วมกิจกรรม ด้านเนื้อหา โดยในข้อที่ผู้ใช้พึงพอใจมากที่สุดคือ
ความรู้ความเข้าใจ/การนำไปใช้ ( x = 4.83) ด้านการออกแบบและการจัดรูปแบบเว็บไซต์ โดยในข้อที่ผู้ใช้พึงพอใจ
มากที่สุดคือ การจัดรูปแบบในเว็บไซต์ต่อการอ่านและการใช้งาน ( x = 4.75) และด้านประโยชน์และการนำไปใช้
โดยในข้อทผี่ ใู้ ช้พงึ พอใจมากที่สุดคอื สามารถนำไปประยกุ ต์ใช้ต่อยอดได้ ( x = 4.75)

โดยพิจารณาแต่ละด้าน มากที่สุดคือ ด้านเนื้อหาอยู่ในระดับมากที่สุด ( x = 4.77) รองลงมา
ด้านการออกแบบและการจัดรูปแบบเว็บไซต์อยู่ในระดับมากที่สุด ( x = 4.73) น้อยที่สุดคือ ด้านประโยชน์
และการนำไปใช้อยู่ในระดับมากที่สุด ( x = 4.72) ซึ่งกลุ่มตัวอย่างมีความพึงพอใจต่อการให้ความสนใจต่อเว็บไซต์
หาพื้นทวี่ งกลมทม่ี รี ปู หลายเหลี่ยมดา้ นเท่าแนบในอยา่ งง่ายอยใู่ นระดบั มากท่ีสุด ( x = 4.74)

22

บทท่ี 5
สรุป อภปิ รายผล และข้อเสนอแนะ

โครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง การประยกุ ต์ฟังก์ชันตรโี กณมิติเพื่อหาพื้นทีร่ ูปวงกลมท่ีมรี ูป n เหลี่ยม
ดา้ นเทา่ แนบใน สามารถสรปุ ผลการดำเนินงานและข้อเสนอแนะ ดงั นี้

1. สรปุ ผลการดำเนินการ

จากการดำเนินการศึกษา เรื่อง การประยุกต์ฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อหาพื้นที่รูปวงกลมที่มีรูป n

เหล่ียมด้านเทา่ แนบใน ผู้ศึกษาได้ข้อสรุปผลการศึกษา ดงั น้ี

1.1 ผลการประยุกตฟ์ งั ก์ชนั ตรีโกณมติ ใิ นการหาพื้นที่วงกลมทมี่ รี ปู n เหลยี่ มดา้ นเท่าแนบใน

1.1.1 ผลการสร้างสูตรหาพ้ืนที่วงกลมท่ีมีรปู n เหลี่ยมด้านเทา่ แนบใน เมอ่ื กำหนดความ

ยาวดา้ นของรปู n เหล่ียมที่แนบในได้ดงั น้ี

พื้นท่วี งกลม = × 2
4× 2( )

1.1.2 ผลการสรา้ งสูตรหาพน้ื ที่วงกลมทม่ี ีรูป n เหล่ียมดา้ นเทา่ แนบใน เม่อื กำหนดพืน้ ที่

ของรูป n เหล่ียมที่แนบในได้ดงั นี้

พน้ื ทว่ี งกลม = พ้ืนที่ เหล่ียม×
×sin ( )×cos ( )

ซึ่งเม่ือนำสูตรทีส่ รา้ งขึน้ ไปใช้ในตัวอย่างโจทย์ในการหาพื้นทีว่ งกลมที่มรี ูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า

แนบใน ทัง้ สองสตู รพบว่าสามารถหาคำตอบไดต้ รงกับสตู รพื้นทว่ี งกลม =  r2 และได้รับประเมินความถูกต้อง

ของสตู รจากผเู้ ชี่ยวชาญพบวา่ สูตรมีการพิสูจน์ท่ีถูกต้องตามหลักการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์และสามารถไปใช้

ในการคำนวณหาพนื้ ท่ีวงกลมทม่ี รี ปู n เหล่ียมดา้ นเท่าแนบใน

1.1.3 ผลการวิเคราะหโ์ ดยการนำสตู รทีส่ ร้างขนึ้ ตรวจสอบกับคำตอบจากวธิ กี ารคิดจากสูตร
พื้นที่วงกลม =  r2 โดยกำหนดความยาวด้านรูป n เหลี่ยมด้านเท่า เมื่อ n = 3,...,10 จากข้อมูล

การพิสูจน์คำตอบที่ได้จากการใช้สูตรที่ประยุกต์สร้างขึ้นและจากสูตรพื้นที่วงกลม =  r2 ได้ข้อสรุปว่า
พ้ืนท่ีวงกลมท่ีพ้นื ที่วงกลมท่ีมีรูป n เหล่ียมด้านเท่าแนบในจากทง้ั 2 วิธีการนั้นมีค่าเท่ากัน จึงสามารถพิสูจน์
ไดว้ า่ สูตรที่ประยุกต์ขน้ึ มาน้นั มีความถูกตอ้ ง และสามารถนำไปใช้ในการคำนวณได้

1.1.4 ผลการวเิ คราะหโ์ ดยการนำสตู รที่ประยุกตส์ ร้างข้นึ ตรวจสอบกับคำตอบจากสูตรพ้ืนท่ี
วงกลม = r2 เมื่อกำหนดพื้นที่ของรูป n เหลี่ยม จากข้อมูลการพิสูจน์คำตอบที่ได้จากการใช้สูตร
ทั้งสอง ได้ข้อสรุปว่า การหาพื้นที่วงกลมที่ n เหลี่ยมด้านเท่าแนบใน โดยที่โจทย์กำหนดพื้นท่ี
ของรปู n เหลย่ี มท่ีแนบดา้ นในจากทงั้ 2 วธิ กี ารนั้นมคี ่าเท่ากนั จงึ สามารถพิสูจนไ์ ดว้ า่ สูตรที่ได้มคี วามถูกต้อง
และสามารถนำไปใช้ในการคำนวณได้

23

1.1.5 ผลการเปรียบเทียบคำตอบเมื่อมีการนำสูตรที่สร้างขึ้นเปรียบเทียบกับวิธีการคิด
จากจากสตู รพื้นทีว่ งกลม =  r2 ไปใชใ้ นการแก้ตัวอยา่ งโจทยป์ ัญหา

1.1.6 เปรียบเทียบคำตอบพื้นที่วงกลมเมื่อกำหนดความยาวด้านของรูป n เหลี่ยม
จากโจทย์ตัวอยา่ ง จงหาพื้นทีว่ งกลมท่ีมีรูปสามเหล่ียม ABC ด้านเท่ามุมเท่าแนบเมื่อกำหนดความยาวด้าน
ดา้ นละ 2 หน่วย

ตาราง 5.1 ตารางแสดงการเปรียบเทยี บคำตอบพ้นื ทว่ี งกลมเมอ่ื กำหนดความยาวดา้ นของรูป n เหลยี่ ม

สตู รพน้ื ทว่ี งกลม = s2  พืน้ ทีว่ งกลม =  r2

สูตร 4  sin2 ( )

n

คำตอบทไ่ี ด้ 4 ตารางหน่วย 4 ตารางหน่วย
33
1.1.7 เปรียบเทียบคำตอบพ้ืนทวี่ งกลมเม่ือกำหนดพ้ืนท่ีของรูป n เหลย่ี ม จากโจทย์

ตวั อย่างจงหาพนื้ ทว่ี งกลม ท่มี ีรปู สามเหลี่ยม ABC ดา้ นเทา่ แนบใน เม่อื กำหนดพน้ื ท่ีรปู สามเหล่ียม 12√3

ตารางหนว่ ย

ตาราง 5.2 ตารางแสดงการเปรียบเทียบคำตอบพื้นที่วงกลมเมื่อกำหนดพื้นที่รูปสามเหลี่ยม 12√3

ตารางหน่วย

สูตร สตู รพ้ืนที่วงกลม = พ้ืนท่ี เหลี่ยม× พืน้ ทีว่ งกลม =  r2
คำตอบทไ่ี ด้ ×sin ( )×cos ( ) 16 ตารางหนว่ ย
16 ตารางหน่วย

1.2 ผลการสรา้ งเว็บไซต์หาพ้ืนที่วงกลมท่ีมรี ูป n เหล่ียมดา้ นเท่าแนบในรปู แบบ Google Sites
พบว่า

1.2.1 สามารถออกแบบเว็บไซต์ที่ใชใ้ นการพนื้ ที่วงกลมทีม่ ีรูป n เหลี่ยมด้านเท่าแนบใน
ได้ โดยพบว่าเวบ็ ไซตม์ ีความเหมาะสมและสามารถใช้ในการหาพ้ืนที่วงกลมที่มรี ูป n เหล่ยี มดา้ นเทา่ แนบในได้
จริง

1.2.2 ความพึงพอใจของผู้ร่วมกิจกรรม ด้านเนือ้ หา โดยในขอ้ ที่ผู้ใช้พึงพอใจมากท่ีสดุ คอื
ความรู้ความเข้าใจ/การนำไปใช้ ( x = 4.83) ด้านการออกแบบและการจัดรูปแบบเวบ็ ไซต์ โดยในข้อท่ีผู้ใชพ้ งึ
พอใจมากทส่ี ดุ คือ การจดั รปู แบบในเวบ็ ไซต์ตอ่ การอ่านและการใช้งาน ( x = 4.75) และด้านประโยชน์และการ
นำไปใช้โดยในข้อทผี่ ู้ใช้พึงพอใจมากทส่ี ดุ คอื สามารถนำไปประยกุ ตใ์ ชต้ ่อยอดได้ ( x = 4.75) โดยเมื่อพจิ ารณา
แตล่ ะด้าน พบวา่ มากท่สี ดุ คือ ดา้ นเนื้อหาอยใู่ นระดบั มากทสี่ ุด ( x = 4.77) รองลงมาคือ ด้านการออกแบบและ
ก าร จัดร ูปแบบเว ็บไ ซ ต์อ ยู่ใน ร ะ ดับมาก ที่สุด ( x = 4.73) น ้อ ยที่สุดคือ ด้าน ปร ะ โ ยชน์
และการนำไปใช้อยู่ในระดับมากที่สุด ( x = 4.72) ซึ่งกลุ่มตัวอย่างมีความพึงพอใจต่อการให้ความสนใจต่อ
เว็บไซตห์ าพน้ื ทีว่ งกลมทีม่ รี ูปหลายเหล่ียมดา้ นเทา่ แนบในอยา่ งงา่ ยอย่ใู นระดบั มากทสี่ ุด ( x = 4.74)

24

2. อภิปรายผล
จากการประยุกต์ฟังก์ชันตรีโกณมิติในการหาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยมด้านเท่าแนบใน

พบว่าผู้ศึกษาได้ศึกษา วิเคราะห์ โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และหาความสัมพันธ์ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่า
แล้วนำมาประยุกต์เพื่อให้ได้สูตรการหาพื้นที่วงกลมที่มีรูป n เหลี่ยมด้านเท่าแนบใน
เมื่อ ≥ 3 เมื่อกำหนดความยาวดา้ นของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าหรือกำหนดพื้นท่ีของรูป n เหลี่ยม
ที่แนบใน ซึ่งสอดคล้องกับนางสาวพิรญาณ์ ดวงดี นางสาววชิรญาณ์ ศรีมาลาและนางสาววิมลสิริ
ศิริเดช (2560) ที่ได้มีการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติจัดทำโครงงานการหาสูตรพื้นที่ของรูป n เหลี่ยม
ด้านเท่าแนบนอกหรือในเมื่อทราบรัศมีวงกลมในและวงกลมและจำนวนเหลี่ยม ซึ่งปรากฏว่าได้คำตอบ
ที่ถูกต้องและสูตรสามารถนำมาใช้ได้จริง และได้มีการประยุกต์สร้างเว็บไซต์เพื่อช่วยในการหาพื้นที่วงกลม
ท่มี ีรูป n เหลย่ี มด้านเทา่ แนบในได้

ดังนั้น ในการเรียนการสอนเรื่องฟังก์ชันตรโี กณมิติ หรือเรือ่ งเรขาคณิตวิเคราะห์ สามารถใช้กิจกรรม
นี้มาเป็นสว่ นหนง่ึ ในการอธิบายเสรมิ เพิ่มเติม อกี ท้ังยังทำให้ผู้สนใจเหน็ ความเป็นรูปธรรมของเนอ้ื หาท่ีสามารถ
เกดิ ขึ้นจริงและเกิดประโยชน์จากเร่ืองท่ศี กึ ษาได้ และยงั สามารถนำเว็บไซต์ชิน้ นไ้ี ปถา่ ยทอดให้กับกลมุ่ คนอ่ืน ๆ
เพ่อื ใหส้ ามารถสร้างสรรคช์ นิ้ งานใหม่ท่สี อดคล้องกับความสามารถของกลมุ่ คนนนั้ ๆ

3. ขอ้ เสนอแนะ

1. ควรศึกษาการหาสมการการหาพนื้ ท่ใี นรูปแบบอน่ื ๆ

2. ควรศึกษาหาสูตรความสมั พนั ธ์ระหว่างรูปเรขาคณติ รูปแบบอื่น ๆ เพม่ิ มากขน้ึ

3. ควรพฒั นาการทำงานของเว็บไซต์ให้สามารถใช้งานไดห้ ลากหลายมากข้ึน

25

บรรณานกุ รม

บญุ รักษ์ ยอดเพชร. (2562). หนังสอื เรียนรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่ม 1.
กรงุ เทพมหานคร: สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร.

บญุ รักษ์ ยอดเพชร. (2563). หนังสือเรียนรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 5 เลม่ 2.
กรงุ เทพมหานคร: สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร.

ยพุ ิน พพิ ิธกุล. (2532). ความหมายของคณิตศาสตร์. สบื คน้ จาก
https://noopingpingandnoonee.wordpress.com/คณิตศาสตร/์

พันทพิ า อทุ ัยสุข. (2539). ความหมายของคณิตศาสตร์. สืบคน้ จาก
https://noopingpingandnoonee.wordpress.com/คณิตศาสตร/์

ไพรวลั ดวงตา. (2555). คณิตศาสตร์ (mathematics) คืออะไร. สืบคน้ จาก
https://krupraiwan.wordpress.com/2012/04/14/mathematics/

สารานกุ รมไทยสำหรับเยาวชน. (2562). วงกลม. สืบคนจาก
https://www.saranukromthai.or.th/sub/book/book.php?book=6&chap=7&page=t6

-7-infodetail01.html
มหาวทิ ยาลัยฮาวาย.(2558). อโพเทม. สบื ค้นจาก

https://hmong.in.th/wiki/Apothem th.tax-definition.org. (2560).
กอบกลุ สงั ขะมลั ลิก. (2560). พ้นื ฐานการพสิ จู นท์ างคณิตศาสตร์(25). กรุงเทพมหานคร: วารสารวิชาการ
หลกั สตู รและการสอน มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏสกลนคร
Salinee. (2554). การพสิ จู นท์ างคณิตศาสตร.์ สืบคน้ จาก

http://methodsofproof-myblog.blogspot.com/2011/09/blog-post.html
How to create by pic.(2564). การปอ้ งกันแผน่ งานจาก google sheet ในการทำงานร่วมกัน ปอ้ งกัน
การบันทกึ ข้อมูลของเซล Excel ป้องกันแผ.่ สืบค้นจาก

https://m.youtube.com/watch?v=OCmE4eFOEvo&feature=youtu.be
พริ ญาณ์ ดวงดี, วชิรญาณ์ ศรมี าลา และ วมิ ลศริ ิ ศริ เิ ดช, การหาสูตรพื้นทข่ี องรูป n เหลี่ยมดา้ นเทา่ มุมเท่า
ทม่ี ีวงกลมแนบนอกหรือแนบใน (โครงงานคณติ ศาสตรร์ ะดับช้ันมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย โรงเรียนเรยี นสรุ วิทยา
คาร จงั หวัดสุรินทร์, 2560)
ฐดิ าภา ปกครองบ้าน, เมธาพร ประสพ และ วนัสนันท์ ผดั กนั ตยุ้ , การหาพ้ืนที่รปู n เหลีย่ มด้านเท่ามมุ เทา่ ที่
แนบในวงกลม x2 + y2 + Ax + By + c = 0 (โครงงานคณิตศาสตรร์ ะดับช้ันมธั ยมศึกษาตอนต้น โรงเรียนเทิง
วทิ ยาคม จังหวัดเชียงราย, 2561)
กัญญช์ ญา แสงสรุ ิฉาย และ นฐั ศญาภรณ์ อรรถธรรสนุ ทร, การศึกษาพื้นที่สีเ่ หลยี่ มทแ่ี นบในวงกลม
(โครงงานคณิตศาสตร์ระดับชั้นมธั ยมศกึ ษาตอนต้น โรงเรียน มอ.วทิ ยานสุ รณ์ จงั หวัดสงขลา, 2561)

ภาคผนวก

27

ภาคผนวก

มกี ารศึกษาทฤษฎีที่เก่ยี วขอ้ ง

28

มีการประชุมวางแผนการทำเวบ็ ไซต์ และ มกี ารออกแบบหนา้ เว็บไซต์
ทง้ั ในสว่ นทาง Google site และ Google sheet

29

มกี ารนำเสนอรูปแบบหน้าเว็บไซต์ รว่ มกันวพิ ากษ์กบั ครูท่ปี รกึ ษาโครงงาน และ
ปรับปรงุ แก้ไขตามข้อเสนอแนะจากการวิพากษ์

30

การนำเสนอเว็บไซตแ์ ละประเมนิ ความพึงพอใจต่อการใชเ้ ว็บไซต์หาพ้นื ที่วงกลมท่มี ีรปู หลายเหลย่ี มด้านเทา่
แนบในกับกลุ่มตัวอยา่ ง

31
แบบประเมินความพงึ พอใจ
เวบ็ ไซตห์ าพ้นื ท่วี งกลมท่ีมีรปู หลายเหลยี่ มดา้ นเท่าแนบใน

32

ผลแสดงแบบสอบถามประเมนิ ความพึงพอใจของผ้ใู ช้ทมี่ ีต่อเวบ็ ไซต์
หาพื้นทวี่ งกลมที่มรี ูปหลายเหลี่ยมดา้ นเท่าแนบใน