เศษส่วนย่อย

ความหมายของเศษสว นพชี คณิต

บทนยิ าม เศษสว นพชี คณติ (Algebraic Fraction) หมายถึง ผลหารของพหนุ าม

โดยทัว่ ไป จะเขียนอยูในรปู ของ Px เมื่อ Qx  0 และ Px,Qx
Qx
เป็นฟังกช์ นั พหนุ าม

เชน 3 เม่ือ x  2
x2

x2 เม่อื x  1,6
x2  7x  6

x2  3x  5 เมอ่ื x  2 เปน ตน
x2

ชนดิ ของเศษสว นในทางพชี คณิต

เศษสว นในทางพชี คณิตแบงออกเปน สองชนดิ คอื

2.2.1 เศษสวนแท (Proper Fraction) หมายถึง เศษสว นท่ปี ระกอบขึน้ ดวยตวั เศษ
ซง่ึ เปนพหนุ ามของตวั แปรใดๆทมี่ กี าํ ลงั นอยกวา ตวั สว น

เชน x32, x2xx11, x2x1 เปนตน
x4 2x3 x2

2.2.2 เศษเกิน (Improper Fraction) หมายถงึ เศษสว นท่ปี ระกอบข้ึนดว ยตัวเศษ
ซง่ึ เปนพหุนามของตวั แปรใดๆทม่ี ีกําลงั มากกวา หรอื เทา กบั ตัวสว น

เชน x24x32x11, x2  2x 1 , x4 2x3 7x2 5x 24 เปน ตน
x2  4x  4 x4 2x8

เศษเกนิ เราสามารถทําเปน จํานวนคละ ซ่งึ ประกอบดว ยพหุนามกบั เศษสว นแทได โดยนําตวั สว นไปหารตัวเศษ

เชน 4x3 1 แปลงเปน จาํ นวนคละไดดังน้ี
x2  2x 1

4x 8
x2  2x 1 4x3  0  0 1

4x3  8x2  4x
8x2  4x 1

8x2 16x  8

12x  9

ดังนั้นจะได 4x3 1  4x  8  12x  9
x2  2x 1 x2  2x 1

ความหมายของเศษสว นยอย (Partial Fractions)

บทนิยาม เศษสวนยอย หมายถึง การเขียนเศษสว นแทช นิดที่ตัวสว น
สามารถแยกตวั ประกอบได ใหเปนผลบวกของเศษสว นต้งั แตสองจาํ นวนข้ึนไป
ใหอยูในรปู อยา งงาย สวนเศษสว นแทชนิดทตี่ วั สวนไมสามารถแยกตวั ประกอบได
เศษสวนแทจาํ นวนนนั้ จะไมส ามารถทําเปนเศษสว นยอ ยได

เชน 1 1  1
ซ่งึ เราจะเรียก 3
x  1x 2  3 
 x 1 x2

1  1 วา เศษสว นยอย
3
3 1,
x  x2

การทําเศษสว นพชี คณติ ท่เี ปน เศษสวนแทใหเ ปน เศษสว นยอ ย

ถาเศษสวนพชี คณติ ทีเ่ ปนเศษสว นแทอยูในรูปของ Px เมอ่ื Qx  0 และ Qx
Qx
Px
แยกตวั ประกอบได เราสามารถ Qx ออกเปน เศษสว นยอยได โดยใหแ ยกตวั ประกอบ

ของ Qx กอ น เสร็จแลว ใหพ ิจารณาดูทตี่ วั ประกอบ Qx ตามกรณตี อไปน้ี

กรณที ี่ 1 ถา ตวั ประกอบ Qx เปน ตวั ประกอบกาํ ลงั หน่ึงท่ีไมซ้ํากนั

น่ันคือ. Q x   x  a1 x  a2 ... x  an 
Px
ในกรณเี ชน น้ีใหแ ยก Qx ออกเปน Px  x A   x B   x C   ... x K 
Qx  a1  a2  a3  an

เมอ่ื A,B,C,…K เปน คา คงตัว

เชน 11

x2  x  2  x 1x  2

 ( x A  ( x B 2)
1) 

กรณที ่ี 2 ถา ตัวประกอบของ Q x  เปน ตวั ประกอบกาํ ลงั หนงึ่ ทีซ่ าํ้ กัน

น่นั คือ Q x   ax  bn ในกรณเี ชน นใี้ หแ ยก Px ออกเปนดงั น้ี
Qx

Px  A  ax B  C  ...  N เม่ือ A,B,C,…N เปน คา คงตวั
Qx ax  b
 b2 ax  b3 ax  bn

เชน x2 x 1 9  x 1
 6x 
x  32

AB

 x  3  x  32

กรณที ี่ 3 ถาตวั ประกอบของ Q x  เปนตวั ประกอบกาํ ลงั สอง ซง่ึ อาจมีเพยี งหน่งึ ตัว

ประกอบหรอื มากกวา หนึ่งตัวประกอบกไ็ ดแ ละไมซ ํ้ากนั

น่ันคือ Qx  ax 2  bx  c ในกรณีเชน น้ีใหแยก Px ออกเปน ดงั น้ี
Qx
P x Ax B
Q x  ax2  bx  c เม่อื A,B เปนคา คงตัว

2x2  5x 10 Ax  B Cx D
x2  x  5 x2  2 x2  x 5 x2 2
  เชน  

  2x2  3  Ax  B  Cx  D 4
x2  x 1 x2  2x 
x2  x 1 x2  2x  4

กรณีที่ 4 ถา ตวั ประกอบของ Qx เปนตัวประกอบกาํ ลงั สองทซี่ า้ํ กนั

นนั่ คือ Qx =  ax2  bx  c n

ในกรณเี ชนนีใ้ หแ ยก Px ออกเปนดังน้ี
Qx

Px B
bx 
     Qx
 Ax c  Cx  D  Ex  F  ... Kx  R
ax2  ax2  bx  c 2 ax2  bx  c 3 ax2  bx  c n

เชน 25x 19 Ax B
2 
   x2  x 1 2
 x  1  Cx  D
x x2  x 1 2

วิธกี ารหาคาคงตัว A,B,C, … ของเศษสว นยอ ย

เม่ือแยกเศษสว นแทออกเปน เศษสว นยอยไดแ ลว ขน้ั ตอ ไปเราจะตองหาคา คงตวั
A,B,C,… โดยทวั่ ไปมีวิธีการอยู 2 วธิ คี ือ

1 หาโดยการเทยี บสมั ประสิทธ์ิ แลวแกส มการหาคา คงตัว A,B,C,…
2 หาโดยการกาํ หนดคาของ x ทเี่ หมาะสม เพือ่ ทีจ่ ะใหไ ดม าซง่ึ คา คงตัว A,B,C,…

ตวั อยา งท่ี 2.1 จงแยก x2 ออกเปน เศษสว นยอ ย
3x 2  14x  8

วธิ ีทาํ จาก x2
3x 2  14x  8

แยกตวั ประกอบของ 3x2 - 14x + 8 ไดด งั น้ี

3x2 − 14x + 8 = ( x−4 )( 3x−2 ) ซึ่งสอดคลองกับกรณที ี่ 1

ดังน้ันจะได x  x2  2  x A  B 2 ………………………………… (1)
4 3x 
43x

x2  A3x  2  Bx  4
x  43x  2
x  43x  2

จะได x  2  A3x  2  Bx  4

 3Ax  2A  Bx  4B

โดยการเทียบสมั ประสทิ ธจ ะได x  2  3A  B x  2A  4B

3A + B = 1 ……………..(2)

-2A - 4B = 2 ……………(3)

โดยการแกส มการ (2) และ (3) จะได

A = 3 และ B = −4
5 5

แทนคา A = 3 และ B = −4 ใน (1) จะได
5 5

x2 3  4
5 5
x 43x 2   
  x 4 3x  2

= 3 4  4 2

5x  53x 

ตวั อยา ง 2.2 จงแยก x3 3x  5  1 ออกเปนเศษสว นยอ ย
 x2  x

วิธที าํ จาก 3x  5 แยกตัวประกอบของ x3  x2  x 1 ไดด งั น้ี

x3  x2  x 1

 x3  x2  x 1   x 1 x2 1

 x 1x 1x 1
เพราะฉะนน้ั x3  x2  x 1   x 12  x 1 ซ่งึ สอดคลองกบั กรณที ี่ 2 และ 1

ดังนนั้ จะได  x 3x  5  1   A   x B   C ……………………… (1)
……………………… (2)
12  x x 1 12 x 1

3x  5  A x 1 x 1  B  x 1  C  x 12

แทนคา x = 1 (เพื่อขจัด A,C) ใน (2) จะได

31  5  A1111  B 11  C 112

8  2B

จะได B  4

แทนคา x = -1 (เพ่ือขจัด A,B) ใน (2) จะได

3x5  A x1 x1  B x1 C x12 ……………………… (2)

31  5  A1111  B 11  C 112

2  4C

จะได C  2  1
4 2

แทนคา B  4, C  1 และ x0 (เพื่อขจัด A,B) ใน (2) จะได
2

3x5 A x1x1 Bx1 C x12 ……………………… (2)

30  5  A0  1  0  1  4 0  1  1 0  12
2

5   A  4  1
2

จะได A  4  1  5   1
2 2

แทนคา A   1 ,B=4 และ C = 1 ใน (1) จะได
2 2

x 3x  5  1  A  x B  C

12  x  x 1  12  x  1

3x  5  1 4 1
2
12  x  1    12  2
x  x 1 x
 x  1

  1   x 4  2 1

2 x 1 12 x 1

ตวั อยาง 2.3 จงแยก x3  x2  x  2 ออกเปน เศษสว นยอ ย
x4  3x2  2

วธิ ที าํ จาก x3  x2  x  2 แยกตัวประกอบของ x4  3x2  2
x4  3x2  2

จะได   x4  3x2  2  x2 1 x2  2 ซ่ึงสอดคลอ งกบั กรณีท่ี 3 ดังนัน้ จะได

x3  x2  x  2  Ax  B  Cx  D ………………………………… (1)
x4  3x2  2 x2 1 x2  2

   x3  x2 
  x4  3x2
x2   Ax  B x2  2  Cx  D x2 1
2
x2 1 x2  2

x3  x2  x  2   Ax  B x2  2  Cx  D x2 1

 Ax3  2Ax Bx2  2B  Cx3  Cx Dx2  D
 Ax3 Cx3  Bx2  Dx2  2AxCx 2B  D

เพราะฉะน้ัน x3  x2  x  2   A C x3   B  D x2 2A C x  2B  D

x3  x2  x  2   A C x3   B  D x2 2A C x  2B  D

โดยการเทียบสมั ประสิทธ์ิจะได ………………………………… (2)
………………………………… (3)
AC 1 ………………………………… (4)
………………………………… (5)
BD 1

2AC 1

นาํ (4) - (2) จะได 2B  D  2
2AC 1

AC 1
A0

แทน A  0 ใน (2) จะได AC 1
นํา (5) - (3) จะได
C 1

2B  D  2
BD 1

แทน B 1 ใน (3) จะได BD 1
1 D 1

D 11
D0

โดยการแกส มการ 2,3,4 และ 5 จะได A = 0, B = 1 , C = 1 และ D = 0 แทนคา
A = 0 , B = 1 , C = 1 และ D = 0 ใน (1) จะได

x3  x2  x  2  Ax  B  Cx  D ………………………………… (1)
x4  3x2  2 x2 1 x2  2

x3  x2  x2  (0)x 1  (1)x 0
x4 3x2 2 x2 1 x2  2

1x
 x2 1  x2  2

สรปุ เนื้อหา

2.1 ฟงกช นั เศษสวน

ฟง กชนั เศษสว น (Rational Function) หรือฟงกชันตรรกยะ เปน ฟง กชันทอ่ี ยใู นรูป

f(x) = p(x) เมอ่ื p(x) และ Q(x) เปน ฟง กช ันพหนุ าม เชน
Q(x) 4x 5
f(x) = x2 x2 หรอื f(x) =2x 4  5x3  2x  4 เปน ตน
3x3  5x 5

สรุปเนอื้ หา

ดังนน้ั หากพิจารณาระดับพหนุ ามของตัวเศษและตวั สวนแลว จะเหน็ วา เราสามารถแบงเศษสว น

p(x) ไดเปน 3 ลกั ษณะดวยกนั คือ
Q(x)
1. ระดบั ขั้นพหุนามของ p(x) มากกวา ระดบั ขน้ั พหุนามของ Q(x) เชน 2x4  5x3  2x  4
3x3  5x  5
x2 5
2. ระดบั ขน้ั พหุนามของ p(x) เทากบั ระดบั ข้นั พหุนามของ Q(x) เชน 3x2  5x  2

3. ระดบั ขั้นพหุนามของ p(x) นอยกวา ระดับขั้นพหุนามของ Q(x) เชน 4x  5
x2 x 2



แบบฝกหดั

จงแยกเศษสว นตอไปน้อี อกเปน เศษสว นยอ ย

1. 1
x2  9

2. 1

x2  4

3. x 1
x3  x2  6x

4. x2 8
x2 (x  2)