วิธีเรียงสับเปลี่ยน

วธิ ีเรยี งสับเปลย่ี น
(Permutation)

จดั ทำโดย
นำงสำวณฐั ภทั ร ทพิ มอ่ ม
โรงเรยี นนวมินทรำชินทู ิศ สวนกหุ ลำบวิทยำลัย ปทุมธำนี

วิธีเรียงสบั เปล่ียน การเรยี งสับเปลี่ยนเชิงเส้นของ
(Permutation) ส่งิ ของทแี่ ตกต่างกนั ทง้ั หมด

การเรยี งสับเปลยี่ น คอื การเรยี งลาดบั 1.การหาจานวนวิธีเรียงสลับเปล่ียนเชิง
ส่ิงของจานวนหนง่ึ โดยจะเรียงครั้งละก่ีสงิ่ เ ส้ น ข อ ง ส่ิ ง ข อ ง n ส่ิ ง ที่ แ ต ก ต่ า ง กั น
กไ็ ด้แบบใดก็ได้ ทง้ั หมด

หลักสาคัญ การเรียงสับเปลี่ยนลาดับมี ถ้ามีของ n สิ่งท่ีแตกต่างกันทั้งหมด
ความสาคัญ การหยิบก่อนหยิบหลัง ตาแหน่ง นามาจัดเรียงเป็นเส้นตรงทั้งหมด n ส่ิง
สลับกัน จะถอื ว่าเป็นคนละวิธี เชน่ AB โดยคานึงถึงลาดับหรือตาแหน่งของ
ไมเ่ หมอื น BA สิ่งของน้นั ๆ จานวนวธิ ที จ่ี ะทาไดเ้ ทา่ กับ
n! วิธี

1

ตัวอย่างที่1 ต้องการสร้างจานวนเต็มท่ีมี 6 หลัก จาก ดั ง น้ั น จ า ก ก ร ณี ที่ 1 แ ล ะ ก ร ณี ท่ี 2
เลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 จะสร้างได้กีจ่ านวนทีแ่ ตกตา่ ง จะสรา้ งจานวน 6 หลักที่เลขคู่และเลขคี่เรียงสลับกันที
กนั เม่ือ ละหลกั ไดท้ ัง้ หมดเท่ากบั 36 + 36=72 จานวน

1.ไมม่ ีเงอ่ื นไขเพิ่มเติม 3. ต้องการสร้างจานวน 6 หลักจากเลขโดด
2.จานวนดังกลา่ วมเี ลขคู่เลขคส่ี ลับกนั ทลี ะหลกั
3.เป็นจานวนที่ 5 หารไมล่ งตัว 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 โดยเปน็ เลขท่ี 5 หารไม่ลงตวั แสดง
ว่าหลักหน่วยต้องลงท้ายด้วย 1,2,3,4 และ 6 ดังนั้น
วธิ ีทา 1.ต้องการสร้างเลข 6 หลัก จากเลขโดด 1, 2, 3, 4, หลกั หนว่ ยจึงมวี ธิ กี ารสร้างได้ทัง้ หมด 5 วธิ ี
5 แ ล ะ 6 จ ะ ส ร้ า ง ไ ด้ กี่ จ า น ว น ท่ี แ ต ก ต่ า ง กั น จะแบง่ การทางานเปน็ 2 ข้นั ตอน คือ
6!=6×5×4×3×2×1=720 วิธี
ขั้นตจอนที่ 1 หลกั หน่วยเลอื กตัวเลขได้ 5 วธิ ี
2.ต้องการสร้างจานวน 6 หลักจากเลขโดด 1, 2, ขั้ น ต อ น ที่ 2 ตั ว เ ลข อี ก 5 ห ลั ก จั ด เ รี ย งไ ด้
3, 4, 5 และ 6 เม่ือจานวนดังกล่าวมีเลขคู่และเลขคี่ 5!=120วธิ ี
สลับกันทีละหลัก แบ่งงานออกเป็น 2 กรณี กรณีละ เนื่องจากการทางาน 2 ขัน้ ตอนตอ้ งทาตอ่ เนอ่ื งกนั
2 ขั้นตอน ดังนัน้ จานวนวิธีการเรียงสับเปล่ียนทง้ั หมด เท่ากับ

กรณีท่ี 1 เลขคี่อยหู่ วั แถว 5 × 120 = 600 จานวน

ข้ันตอนท่ี 1 เลขคีเ่ รียงสลบั ท่ีกนั ได้ 3! = 6 วธิ ี 2
ขน้ั ตอนที่ 2 เลขคเู่ รยี งสลบั ทีก่ นั ได้ 3! = 6 วธิ ี
โดยหลกั การคูณจงึ จดั เรยี งได้ 6 ×6 =36 วธิ ี

กรณีที่ 2 เลขคอู่ ยหู่ วั แถว

ขัน้ ตอนที่ 1 เลขค่เู รียงสลับท่ีกนั ได้ 3! = 6 วธิ ี
ขนั้ ตอนท่ี 1 เลขคเี่ รียงสลบั ที่กันได้ 3! = 6 วธิ ี
โดยหลักการคณู จงึ จดั เรยี งได้ 6 ×6 =36 วิธี

2.การหาจานวนวธิ ีเรียงสลับเปล่ียนเชิง การเรยี งสบั เปล่ียนเชิงเสน้ ของ
เส้นของส่งิ ของ n ส่ิงท่ีแตกต่างกันท้ังหมด สิ่งของทไ่ี มแ่ ตกตา่ งกันท้งั หมด
โดยนามาจัดคราวละ r ส่ิงโดยท่ี 1≤ r ≤ n
คอื ถา้ มสี ่งิ ของ n ช้ิน ในจานวน 1
ชิ้นที่เหมือนกันเป็นกลุ่มท่ีหน่ึงมี 2
n! ชิ้นท่ีเหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง และ
Pn,r= (n−r)! มี ช้ิ น ที่ เ ห มื อ น กั น เ ป็ น ก ลุ่ ม ที่ k
โดยที่ 1+ 2 +…. + =
3
จานวนวธิ เี รยี งสับเปลยี่ นสง่ิ ของ
n ช้นิ เปน็

!
1! ⋅ 2! ⋅ 3ȁ… ⋅

3

ตัวอย่างท่ี 2 ต้องการจดั คน 4 คน น่งั เก้าอ้ี 10 ตัวโดย ตัวอย่างท่ี 3 เรือลาหน่งี อบั ปางอยูก่ ลางทะเล จงึ ตอ้ ง
ไมม่ ี 2 คนใดน่งั ตดิ กนั สง่ สัญญาณขอความชว่ ยเหลือด้วยการชักธงสีตา่ ง ๆ
วิธีทา จากเก้าอ้ี 10 ตัว แบ่งเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนที่ใช้ ซ่งึ มธี ง 5 สี ในการให้สัญญาณแตล่ ะครัง้ จะตอ้ งใช้ธง
นั่ง 4 ตัว และส่วนท่ีเหลือ 6 ตัว ท่ีไม่ใช้น่ัง จึงจัดวาง อยา่ งนอ้ ย 1 สี และธงจะถกู ชักเรียงบนเชอื กเสน้ เดียวกนั
เก้าอี้ 6 ตั ว น้ีเป็ นแ ถวต รงแล้ว นา เก้ าอ้ี 4 ตัว ที่ เปน็ แนวตรง จงหาวา่ เรอื ลานีจ้ ะส่งสญั ญาณไดท้ ัง้ หมด
ตอ้ งการน่งั มาแทรกทวี่ า่ ง กส่ี ัญญาณ

วธิ ีทา การส่งสัญญาณด้วยธง 5 สที แ่ี ตกต่างกันทีละ
1,2,3,4 และ 5 สี จะมวี ธิ ีทัง้ หมดเท่ากบั
P5,1 + P5,2 + P5,3 + P5,4 + P5,5 วธิ ี

ทว่ี ่าง P5,1 + P5,2 + P5,3 + P5,4 + P5,5 = 5! +(55-2! )! + 5! +(55-4! )!+
(5-1)! (5-3)!

จ า ก รู ป จ ะ พ บ ว่ า มี ที่ ว่ า ง ใ ห้ เ ก้ า อ้ี ทั้ ง 4 ตั ว 5!
(5-5)!
แทรกได้ 7 ตาแหน่ง

ดังนนั้ จานวนวธิ ใี นการจัดที่นง่ั เทา่ กับ = 5! + 5! + 5! + 5! + 5!
4! 3! 2! 1! 0!
7!
P7,4 = (7-3)! = 5+20+60+120+120

= 7! = 325 วธิ ี
4!
ดงั นน้ั การส่งสัญญาณดวั ยธง 5 สที ่ตี ่างกนั ทลี ะ
= 840 วธิ ี 1,2,3,4 และ 5 สี ไดท้ งั้ หมด 325 สัญญาณ

4

การเรยี งสบั เปลี่ยนเชิงวงกลมของ ตัวอยา่ งท่ี 4 มีชาย 3 คน หญิง 3 คน ถา้ จัดใหค้ นท้ัง 6
ส่ิงของท่ีแตกต่างกนั ทง้ั หมด คนน้ี น่ังรอบโต๊ะกลมจะทาได้กวี่ ิธั ถา้ ชายและหญงิ ต้อง
น่งั สลับท่ีกนั คนตอ่ คน
การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของส่ิงของท่ี
แตกต่างกัน n ชิ้น อาจจะเร่ิมโดยให้ส่ิงของสิ่งหน่ึงอยู่ วิธที า จากโจทย์สามารถเขยี นรูปเพอื่ ความสะดวกใน
คงที่ ณ ตาแหน่งใดตาแหนง่ หนง่ึ แล้วจัดเรียงสับเปลี่ยน การหาวธิ ี และกาหนดการนัง่ ได้ ดังนี้
สิ่งของท่ีเหลืออยู่ n-1ชนิ้ จะไดจ้ านวนวิธีเรยี งสับเปล่ียน
เชิงวงกลมทงั้ หมดเทา่ กบั (n-1)! ช กาหนดให้ ชายคนหนึ่ง เป็นท่ี
ญญ น่ังคงท่ี ส่วนท่ีเหลือก็นามาคิด
− 1 ! เ ห มื อ น กั บ ก า ร จั ด เ รี ย ง แ บ บ
ชช เ ส้ น ต ร ง จ ะ ไ ด้ ญ ช ญ ช
ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกันจานวน n วิธี ญ ( เ พ ร า ะ ช า ย แ ล ะ ห ญิ ง จ ะ ต้ อ ง
เรียงสับเปล่ียนเชิงวงกลมของสิ่งของท้ังหมด สลับกัน)
แบบ พลกิ ได้เทา่ กบั
ขั้นตอนที่ 1 สลับที่ ชาย 2 คน ได้ 2! วธิ ี
n−1 ! ขน้ั ตอนที่ 2 สลบั ที่ หญิง 3 คน ได้ 3! วิธี
2
ดังนั้น จานวนวธิ ที ี่จะจดั ให้น่งั ไดท้ ้งั หมด 2! × 3! = 12 วธิ ี

5

ตัวอย่างที่ 5 มีลูกปดั สแี ตกตา่ งกันจานวน 6ลกู ใน แบบฝกึ ทักษะ เรอ่ื ง วธิ ีเรยี งสับเปล่ียน

จานวนนี้มสี แี ดงและสีฟา้ รวมอยู่ ถา้ นาลกู ปัดเหลา่ นี้ 1.ต้องการติดสตก๊ิ เกอร์รปู ดอกไม้ทแ่ี ตกตา่ งกนั
จานวน 5 แบบ เปน็ แถวตรงจะมวี ิธใี นการติด
ทัง้ หมดมาร้อยเปน็ กาไลข้อมอื จะไดก้ าไลขอ้ มอื ท่ี สต๊กิ เกอรไ์ ด้แตกต่างกันทง้ั หมดกวี่ ิธี
วธิ ีทา
แตกต่างกนั ทัง้ หมดกี่วง
ตาแหนง่ ที่ 1 ตาแหนง่ ท่ี 2 ตาแหน่งที่ 3 ตาแหนง่ ท่ี 4 ตาแหน่งท่ี 5
วิธีทา ต้องการกาไลข้อมอื ดว้ ยลูกปัดจานวน 6 ลกู จัดได้ 5 วธิ ี จัดได้ 4 วธิ ี จัดได้ 3 วิธี จัดได้ 2 วธิ ี จัดได้ 1 วิธี
จะมีวธิ เี รยี งสบั เปลี่ยนเชงิ วงกลม แบบพลกิ ได้
ทัง้ หมด จานวนวธิ ีเรยี งสับเปล่ียนทงั้ หมด
5!= 5×4×3×2×1 =120 วิธี
(6-1)! = 5!
2! 2 6
120
= 2

= 60 วิธี

ดงั น้ัน จะได้กาไรขอ้ มอื ทีแ่ ตกต่างกนั 60 วง

2.มีธง 5 ผนื ผนื ละสีไมซ่ ้ากนั จะมีวธิ สี ่งสญั ญาโดย 3.จานวนคาที่เกิดจาการสลบั ท่ขี องตวั อกั ษร
เลอื กธง 3 ผืนมาวางเรยี งลาดบั กนั ไดท้ ง้ั หมดก่ี ของคาว่า HISTOYR มีท้ังหมดกี่คา เม่ือ
แบบ
1. ไม่มเี งอื่ นไขเพิ่มเติม
วธิ ที า
2. พยญั ชนะทุกตัวอยูต่ ิดกนั
จะจัดไดท้ ั้งหมดP5,3= 5!
(5−3)! วธิ ีทา จานวนคาทเี่ กดิ จากการสลบั ทข่ี องตวั อกั ษร
จากคาว่า HISTOYR ซึ่งมจี านวน 7 ตวั
= 5!
2! 1.นามาเรียงสลับท่ีทง้ั หมด 7 ตัว

= 5×4×3×2! 7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040 คา
2!
2 . พ ยั ญ ช น ะ ทุ ก ตั ว ต้ อ ง อ ยู่ ติ ด กั น จ า ก ค า ว่ า
=60 แบบ HISTOYR มีพยญั ชนะจานวน 5 ตัว
สระจานวน 2 ตัว ดังนั้นจานวนวิธีท่ีจะสลับท่ี
ดงั น้นั จะมวี ิธีสง่ สญั ญาณโดยเลือกธงทง้ั หมด 60 วธิ ี ตัวอกั ษร จะพิจารณา 2 ข้นั ตอน
ข้ันตอนท่ี 1 นาพยัญชนะท้ัง 5 ตัวมาเรียงติดกัน
กับสระอีก 2 ตัว รวมเป็น 3 ตาแหน่ง ตาแหน่งท่ี
สลับท่กี ันได้ 3! วธิ ี
ขน้ั ตอนท่ี 2 พยัญชนะ 5 ตัวสลบั ท่กี นั ได้ 5! วธิ ี
ดังนนั้ จานวนคาทีจ่ ะเกดิ ขึ้นเทา่ กับ
3! × 5! = 6×120 = 720 วิธี

7

4.เขียนรายช่ือพนักงาน 15 คนลงในสลากรายชื่อ 5.สวนสาธารณะแห่งหน่ึงมีเก้าอ้ีเรียงเป็นแถวยาว 10 ตัว
ละ 1 ใบ ใส่ลงในภาชนะแล้วสุ่มหยิบสลากขึ้นมา พ่อ แมแ่ ละลกู อีก 2 คน มาออกกาลังกายที่สวนสาธารณะ
คราวละหนึ่งใบ สองครั้งเพ่ือแจกรางวัลท่ี 1และ แห่งน้ีแล้วต้องกา รน่ังพักบนเก้าอ้ีคนละ 1 ตัว จงหา
ท่ี2ตามลาดบั จงหาจานวนวิธที ีเ่ กิดข้ึนไดท้ ั้งหมด วธิ ีการน่ังของคนทงั้ 4 คนน้ี เมอ่ื

วิธีทา ในการหยิบสลากใบรายชื่อ 15 ใบ ที่แตกต่างกัน 1.ไมม่ ีเง่ือนไขใดเพ่มิ เติม

เพื่อให้ได้รางวัลที่ 1 และรางวัลท่ี 2 แสดงว่าสนใจตาแหน่ง 2.ทงั้ 4 คนต้องนง่ั ติดกัน
1.ต้องการจัดคน 4 คน นง่ั เก้าอี้ 10 ตวั โดยไมม่ ีเงื่อนไขเพม่ิ เติม
ในการเรียงสับเปล่ียน น้ันคือ มีส่ิงของที่แตกต่างกัน 15 สิ่ง วธิ ที า

เลือกมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น 2 ส่ิง จานวนวิธีท่ีเกิดขึ้นได้ จะจัดไดท้ งั้ หมด P10,4 = 10!
10−4 !

ทงั้ หมด คือ

P15,2 = 15! = 10!
15−2 ! 6!

= 15! 10×9×8×7×6!
13! 6!

= 15×14×13! =
13!
= 10×9×8×7
= 210 วิธี

ดังนัน้ จานวนวิธที ่จี ะเกดิ ขึ้นในการหยบิ สลากได้ = 5040 วิธี
แตกต่างกันทั้งหมด 210 วธิ ี

9 8

2.ต้องการจัดคน 4 คน นง่ั เกา้ อ้ี 10 ตัว โดยทั้ง 4 คนต้องน่งั ติดกนั 6 . ต้ อ ง ก า ร แ ข ว น เ สื้ อ ที่ เ ห มื อ น กั น 4 ตั ว ก ร ะโ ป ร ง ท่ี
เหมือนกัน 3 ตัว และกางเกงที่เหมือนกัน 2 ตัว ในตู้โชว์
จะแบง่ การทางานได้ 2 ข้ันตอน จะเรยี งไดแ้ ตกตา่ งกนั ทงั้ หมดกวี่ ธิ ี
1.เลือกเก้าอี้ทอ่ี ยู่ตดิ กัน 4 ตวั จาก 10 ตัว ได้ 7 วธิ ี
2.คนท้งั 4 คน สลบั ทก่ี ันเองท้งั หมดได้ 4! =24 วิธี วิธีทา จะมวี ธิ ที แี่ ตกต่างกนั ท้ังหมด = 9!
จานวนวธิ ีทัง้ หมด 7 × 4! =168 วิธี 4!3!2!

ดังน้นั จะสามารถจัดท่ีนง่ั แบบให้ทงั้ 4 คนน่ังตดิ ได้ 168 วธิ ี = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4!
4!3!2!

= 1,260 วธิ ี

ดังน้ัน จานวนวธิ ีในการจดั เสื้อ กระโปรงและกางเกงได้ท้งั หมด
เทา่ กบั 1,260 วธิ ี

11 9

7.จากรูปภาพท่ีกาหนดให้เป็นแผนผังของเมืองหน่ึง ซึ่งเป็นรูป วิธีทา 1.จากรูปจะพบว่า มีเส้นทางไปทิศเหนือ 5เส้นทางที่
สี่เหลี่ยมมุมฉากรอยเส้นในแผนผังคือถนน ถ้ามีชายคนหนึ่ง
ตอ้ งการขบั รถออกจากจุด A ไปยงั จดุ B โดยมีเงื่อนไขวา่ ชายผู้ เหมือนกัน และทศิ ตะวันออก 3 เส้นทางที่เหมือนกัน รวมท้ังหมด
นี้จะต้องขับรถไปทางทิศเหนือหรือทิศตะวันออกเท่าน้ัน อยาก
ทราบว่าชายผนู้ จ้ี ะมวี ธิ ีการเลือกเสน้ ทางท้งั หมดกี่วธิ ี เมอื่ มี 8 เสน้ ทาง

B B
D
D ดงั นน้ั มีจานวนวธิ ใี นการเดินทาง
1.ไมม่ ีเงือ่ นไขใดเพ่ิมเติม C
2.ต้องขับรถผ่านจุด C ดว้ ย จาก A ไป B เท่ากับ 8! = 56 วธิ ี
C 5!3!

A A

13 10

วิธีทา 2.จากรูปจะพบว่ามีเส้นทางจากจุด A ไป B โดยผ่านจุด 8.มีกระถางต้นไม้ที่ต่างกันอยู่ 10 ใบ ให้หาจานวนวิธี
C มี 2 ขนั้ ตอน คอื วางกระถางลอ้ มเปน็ วงกลม โดยมี1 ใบอยู่ตรงกลาง
วิธีทา ขัน้ ตอนท่ี 1 เลอื กกระถางทีจ่ ะวางตรงกลางได้ 10 วธิ ี
B ข้นั ตอนที่ 1 : เดนิ ทางจาก A ไป C ทิศ ข้นั ตอนท่ี 2นากระถางท่เี หลอื 9 ใบ สลบั เป็นวงกลมได้ 8! วิธี
ดงั น้นั จานวนวิธที งั้ หมดเท่ากบั 10×8!=403200 วิธี
เหนือมี 2 เสน้ ทาง ทศิ ตะวนั ออก 1 เส้น
D 11

ทาง รวมเป็น 3 เสน้ ทาง มจี านวน

3! = 3 วธิ ี
2! 1!

C

ขั้นตอนที่ 2 : เดินทางจาก C ไป B ทิศ

เหนือมี 3 เสน้ ทาง ทิศตะวันออกมี2

เสน้ ทาง รวม 5 เส้นทาง มจี านวน

A 5!
3!2!
= 10วิธี

ดังน้นั มีจานวนวิธีในการเดินทางจาก A ไป B โดยผ่านC มเี สน้ ทาง
ทั้งหมดเท่ากับ 3 ×10 = 30 วิธี

15

9.ถ้านาตัวอักษรทั้งหมดจากคาว่า DEGREE มา 10.คณะกรรมการนักเรียนชุดหนึ่งมี 7 คน ประกอบด้วย
จัดเรยี งเป็นคาต่าง ๆ โดยไมจ่ าเปน็ ต้องมีความหมาย
จะจดั ไดค้ าทีแ่ ตกต่างกันก่คี า (O-net ปี 54) ประธาน รองประธาน เลขานุการและกรรมการอีก 4 คน

วธิ ีทา อักษร D G R E E E มตี ัว E ซา้ 3 ครง้ั จงึ ใช้วิธเี รยี งอักษรท้งั จานวนวิธีทจี่ ัดกลุ่มคน 7 คน นน้ี ัง่ ประชุมรอบโต๊ะกลม โดยให้
6 ตัวโดยคดิ ว่าตวั E ทง้ั สามตา่ งกันไปก่อน แล้วหารดว้ ย 3!3!
จานวนคาท้งั หมดเท่ากับ ประธานและรองประธานนั่งติดกันเสมอและเลขานุการไม่นั่ง

6! 6×5×4×3×2×1 ตดิ กบั รองประธานเท่ากับเท่าใด
3! = 3×2×1
วิธีทา ข้ันท่ี 1: มัดประธานและรองประธานนัง่ ตดิ กันเปน็ 1 มดั
=6×5×4
=120 คา สลบั ท่ภี ายในได้ 2! = 2 วธิ ี
ชั้นท่ี 2 : มัดประธานและรองประธาน และกรรมการอีก
ดงั นั้น จะจัดไดค้ าท่แี ตกตา่ งกนั ท้งั หมด 120 คา
4 คน รวมกบั เปน็ ของ 5 ชิน้ เรยี งสลับทร่ี อบโตะ๊ กลมได้
17
(5-1)!= 4! = 24วธิ ี

ปธ:รองปธ

ข้ันท่ี3 จากรูปมีช่องว่างให้เลขานุการเข้าแทรก 5 ช่อง
แต่เลขานุการเลือกได้เพียง 4 ช่อง เพราะเง่ือนไขบอกว่า
เลขานุการตอ้ งไมน่ งั่ ติดกับรองปธ. เลขานกุ ารจึงเลือกที่
น่งั ได้ 4 วธิ ี

ดงั นัน้ จานวนวิธีจัดคณะกรรมการใหน้ ่งั ตาม
เงือ่ นไข =2×24×4=192 วิธี

12

11.จะจัด คน 5 คน เข้ านั่ งประ ชุมโต๊ ะก ลมได้ ก่ีวิ ธี 12.ในแห่งหนึ่ง ตัวแทนนักเรียนจากช้ันมัธยมศึกษาปีที่4 5
(ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลยั ปี2520) และ 6 ช้ันปีละ 3 คน จะต้องทาการประชุมเพ่ือเตรียมการ
แสดงสาหรับงานคนื สูเ้ หยาของโรงเรียน จานวนวิธีที่จะจัด
1. 120 ผู้เข้าร่วมประชุมทั้งหมดน่ังรอบโต๊ะกลม โดยตัวแทนท่ีมา
2. 60 จากชั้นปีเดยี วกนั ตอ้ งนัง่ ตดิ กัน เท่ากับข้อไดต้ อ่ ไปนี้
3. 24 (ขอ้ สอบเขา้ มหาวทิ ยาลบั ปี 2538)
4. 12
5. 5 1. 10 2.54 3. 432 4. 1,296

วิธีคดิ (n-1)! = (5-1)! วิธคี ดิ ให้ตัวแทนนกั เรียนแตล่ ะช้ันเปน็ 1 กลมุ่ กลุม่ ละ 3 คน
= 4! จะไดต้ ัวแทนนักเรียน 3 กลุ่ม
= 4×3×2×1 สลบั คนในกลุ่มได้ 3!3!3! แบบ
= 24 สลับกลุ่มในทน่ี งั่ ของโต๊ะประชมุ (3-1)!=2! แบบ

ดงั น้นั จะมวี ธิ ีจดั คนเขา้ นงั่ ประชุมโต๊ะกลมได้ 24 วธิ ี ดงั นน้ั จะสามารถจดั จัดท่นี ั่งได้ 3!3 × 2! = 432 วธิ ี
ANS 3
ANS 3

19 13

13.ต้องการร้อยพวงมาลัยหน่ึงพวงด้วยดอกไม้ 9 14.ต้องการจัดนกั เรยี น 10 คน นง่ั เปน็ วงกลม โดยมี
ดอก ที่แตกต่างกันในจานวนน้ีมีดอกรักสีขาวและ นกั เรียนชาย 5 คน และนกั เรียนหญงิ 5 คน และนายวี
ดอกรักสีม่วง ดอกกุหลาบสีแดง สีเหลือง และ นางสาววานัง่ ตดิ กนั พิจารณา ดังนี้
สีชมพูอยู่ด้วยอย่างละ 1 ดอก อยากทราบว่าจะมี
วิธีรอ้ ยพวงมาลัยท่ีแตกตา่ งกันได้กีว่ ิธี วี
วา
วิธีทา ต้องการร้อยพวงมาลัยด้วยดอกไม้ท่ี
แ ต ก ต่ า ง กั น ท้ั ง ห ม ด 9 ด อ ก เ ป็ น วิ ธี เ รี ย ง ขั้นท่ี 1 นายวีนางสาววาน่ังตดิ กันจงึ คดิ วา่ เปน็ คน
สบั เปล่ยี นเชงิ วงกลมแบบพลกิ ได้ จะมีจานวนวิธี เดียวกัน ดังนน้ั มคี น 9 คน จงึ จดั ได้ 9-1 !=8!วธิ ี
ร้อยพวงมาลยั ที่แตกตา่ งกัน ขั้นท่ี 2นายวี นางสาววา สลบั ท่นี ง่ั กนั ไดเ้ ท่ากบั 2 วธิ ี
ดงั นั้น จานวนวธิ จี ดั นักเรบี ย 10 คน น่ังเป็นวงกลม โดย
(9-1)! = 8! ทนี่ ายวี นางสาววาน่งั ตดิ กัน 8!×2 =80,640 วิธี
2 2
14
= 40,320
2

= 20,160 วิธี

16