PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER 2024 Pewarnaan Metrik pada Graf Kincir Angin Belanda, Graf Petersen Diperumum, Graf Blossom, dan Graf Tangga Permata Disusun Oleh : Guntari Saputra Dr. Arika Indah Kristiana, S.Si., M.Pd. Robiatul Adawiyah, S.Pd., M.Si.
1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI............................................................................................................................................. 1 BAB 1. GRAF........................................................................................................................................... 2 1.1 Graf Kincir Angin Belanda............................................................................................... 2 1.2 Graf Petersen Diperumum.............................................................................................. 3 1.3 Graf Blossom ........................................................................................................................ 4 1.4 Graf Tangga Permata ........................................................................................................ 4 BAB 2. PEWARNAAN METRIK........................................................................................................ 5 BAB 3. HASIL PENELITIAN ............................................................................................................15 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................................16
2 BAB 1. GRAF Era dunia 4.0 merupakan dunia yang serba digital. Salah satu dari maraknya digitalisasi adalah penggunaan jaringan blockchain untuk mengirim sebuah data. Dalam blockchain, enkripsi deskripsi dilakukan dengan teori graf. Urgensi dari pembuatan monograf ini adalah, agar banyak orang mengetahui tentang teori graf. Graf didefinisikan sebagai kumpulan dari himpunan titik () yang merupakan himpunan berhingga tak kosong dan himpunan sisi () yang merupakan himpunan sisi yang boleh kosong dari pasangan tak terurut titik dan titik atau yang merupakan anggota dari himpunan () (Slamin, 2023). Graf memiliki banyak jenis yakni graf sederhana, graf khusus, graf terhubung, dan lain sebagainya. Berikut merupakan contoh graf Pada Gambar 1.1 dapat dilihat graf 1 dan 2 merupakan graf terhubung sebab setiap titiknya terdapat lintasan. Graf tersebut juga merupakan graf sederhana sebab tidak memiliki loop dan sisi ganda. Banyaknya titik dalam suatu graf disebut order, sedangkan banyaknya sisi dalam graf disebut size (Kristiana dkk., 2023). Graf 1 memiliki order |(1)| =6 serta memiliki size |(1)| = 7, sedangkan graf 2 memiliki order |(2)| = 6 serta memiliki size |(2)| = 5. 1.1 Graf Kincir Angin Belanda Graf kincir angin belanda merupakan graf yang terdiri dari beberapa graf cycle yang memiliki satu titik persekutuan dinotasikan dengan , dimana adalah banyaknya cycle dan adalah banyaknya titik pada graf cycle (Firman
3 dkk., 2022). Pada penelitian ini akan digunakan lima graf kincir angin belanda dengan ≥ 3. Berikut adalah beberapa contoh dari graf belanda tersebut. Gambar 1.1 Contoh Graf Kincir Angin Belanda D5,6 dan D6,5 1.2 Graf Petersen Diperumum Graf petersen diperumum (,) merupakan graf kubik terhubung yang terdiri dari poligon beraturan luar (graf cycle ) dan polygon bintang dalam (, )(graf Circulant ()) dengan titik-titik yang bersesuaian pada poligon dalam dan luar yang terhubung dengan sisi (Setyawan dkk., 2021). Nilai pada graf petersen diperumum menunjukkan nilai lompatan sisi dalam poligon bintang terhadap graf cycle luar Pada penelitian ini akan digunakan graf petersen diperumum dengan nilai lompatan sisi dalam = 1. Berikut merupakan salah satu contoh graf petersen diperumum.
4 Gambar 1.2 Graf Petersen Diperumum 1.3 Graf Blossom Graf Blossom merupakan suatu graf yang didapat dari graf bunga matahari tertutup dengan titik pusat dan terhubung pada semua titik terluar dari graf dinotasikan dengan . 1.4 Graf Tangga Permata Graf Tangga Permata ( ) merupakan graf yang disusun oleh graf tangga dan mempunyai permata dengan ≥ 2 (Prihandini dkk., 2020). Berikut merupakan contoh graf tangga permata.
5 BAB 2. PEWARNAAN METRIK Konsep pewarnaan metrik pertama kali dikenalkan oleh Gary Chartrand, Futaba Okamoto, dan Ping Zhang pada tahun 2009. Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Alfarisi pada tahun 2019. Alfarisi mendefinisikan bahwa bilangan kromatik metrik sebagai minimum warna sedemikian hingga dua titik yang bertetangga pada graf boleh memiliki warna yang sama namun kode metriknya berbeda (Alfarisi dkk., 2019). Lemma 2.4 Misalkan graf terhubung dengan () = 3, maka () = 3 Ayo Mengingat!
6 Contoh pewarnaan metrik dapat dilihat pada gambar berikut ini : Gambar 2.1 Pewarnaan Metrik pada Graf Roda W6 Observasi 2.5 Diberikan suatu graf kincir angin belanda (,) untuk ≥ 2 dan ≥ 3 , bilangan kromatik graf kincir angin belanda adalah (,) = { 2, 3, Ayo memahami Observasi 2.6 Diberikan suatu graf petersen diperumum (,1) untuk ≥ 3, bilangan kromatik graf petersen diperumum adalah (,1) = { 2, 3, Observasi 2.7 Diberikan suatu graf blossom ( ) untuk ≥ 3, bilangan kromatik graf blossom adalah ( ) = { 4, 5, Observasi 2.8 Diberikan suatu graf tangga permata ( ) untuk ≥ 2, bilangan kromatik graf tangga permata adalah ( ) = 3
7 2.1 Hasil Penelitian Terdahulu Terdapat beberapa penelitian yang sudah dilakukan mengenai pewarnaan metrik antara lain pewarnaan metrik pada keluarga graf unicyclic yaitu graf tadpole, graf matahari, graf lingkaran dengan -pendant. Selain itu, juga terdapat pewarnaan metrik pada keluarga graf roda. Berikut hasil dari penelitian terdahulu. Pewarnaan Metrik pada Keluarga Graf Unicyclic Pewarnaan Metrik pada Hasil Operasi Graf Ladder Graf Tadpole (,) (,) = { 2, 3, Graf Lingkaran dengan − ( ) ( ) = { 2, 3, Graf Matahari () ( ) = { 2, 3, (Alfarisi dkk., 2019) Hasil Operasi Comb Graf Ladder dan Graf Lintasan ( ⊳ ) ( ⊳ ) = 2, ≥ 2, ≥ 2 Hasil Operasi Comb Graf Ladder dan Graf Bintang ( ⊳ ) ( ⊳ ) = 2, ≥ 2, ≥ 3 Hasil Operasi Comb Graf Ladder dan Graf Kipas ( ⊳ ) ( ⊳ ) = 3, , ≥ 2, ≥ 3 (Rohmatulloh dkk., 2021)
8 2.2 Langkah-Langkah Melakukan Pewarnaan Metrik Pewarnaan Metrik pada Graf Kincir Angin Belanda , dan Graf Petersen Diperumum , Teorema 1. Diberikan suatu graf kincir angin belanda (,) untuk ≥ 3 dan ≥ 2, bilangan kromatik metrik pada graf (,) adalah (,) = { 2, 3, . Berikut merupakan langkah-langkah dalam melakukan pewarnaan metrik pada graf kincir angin belanda (,) dengan ≥ 3, = , dan ≥ 2 : 1. Langkah awal yaitu menggambar graf kincir angin belanda dengan = 4 dan = 2. Gambar 2.2 Graf Kincir Angin Belanda D2,4 2. Selanjutnya, warnai setiap titik dengan warna yang berbeda dengan banyaknya warna yang digunakan seminimal mungkin. Kasus pertama dikhususkan pada dua titik bertetangga yang mempunyai warna yang berbeda seperti gambar berikut ini Gambar 2.3 Pemberian warna pada Graf Kincir Angin Belanda D2,4 Ayo berlatih
9 3. Kemudian setelah memberikan warna titik pada graf, tentukan himpunan kelas warna. Warna titik pusat yakni titik merupakan kelas warna pertama. Oleh sebab itu, terdapat dua kelas warna 1 = warna merah dan 2 = warna biru. Himpunan kelas warna yang terbentuk adalah Π = {1, 2 } 4. Tentukan kode representasi setiap titik. Kode representasi didapat dari jarak titik tertentu ke semua anggota himpunan kelas warna. Berikut merupakan representasi setiap titik pada graf kincir angin belanda 2,4 yaitu (|Π) Tabel 2.1 Pewarnaan Metrik Graf Kincir Angin Belanda D2,4 () (|) 1 1 01 , 2 2 10 , 1 1 01 , 2 2 10 , 2 2 10 , 1 1 01 , 2 2 10 Berikut merupakan hasil dari pewarnaan metrik graf kincir angin belanda sesuai langkah 1-4 Gambar 2.4 Pewarnaan Metrik pada Graf Kincir Angin Belanda D2,4 Pada Tabel 2.1 dan Gambar 2.4 telah memenuhi definisi 2.1. 5. Selanjutnya, untuk kasus kedua merupakan kasus dimana dua titik yang bertetangga boleh diwarnai dengan warna yang sama. Berilah warna seperti langkah kedua namun menggunakan pewarnaan yang berbeda. seperti gambar berikut ini
10 Gambar 2.5 Pemberian Warna pada Graf Kincir Angin Belanda D2,4 pada Kasus 2 6. Tentukan kode representasi setiap titik seperti langkah ketiga dan keempat. Berikut merupakan kode representasinya Tabel 2.2 Pewarnaan Metrik pada Graf Kincir Angin Belanda D2,4 Kasus Kedua () (|) 1 1 01 , 2 2 10 , 2 2 20 , 2 2 10 , 2 2 10 , 2 2 20 , 2 2 10 Berikut merupakan hasil dari pewarnaan metrik graf kincir angin belanda sesuai langkah 5-6 Gambar 2.6 Pewarnaan Metrik pada Graf Kincir Angin Belanda D2,4 pada Kasus Kedua 7. Lakukan kembali langkah 1-6 untuk ≥ 2 dan ≥ 4, . Jadi, untuk graf , dengan ≥ 2 dan ≥ 3 , diperoleh bilangan kromatik (,) = 2. Begitupun untuk akan diperoleh (,) = 3
11 Teorema 2 Diberikan suatu graf petersen diperumum dengan nilai lompatan = 1 (,1) untuk ≥ 3 , bilangan kromatik metrik pada graf (,1) adalah (,1) = { 2, 3, . Berikut merupakan langkah-langkah dalam melakukan pewarnaan metrik pada graf petersen diperumum (,1) dengan ≥ 3, adalah: 1. Langkah awal yaitu graf petersen diperumum (,1) dengan ≥ 3 2. Selanjutnya, warnai setiap titik dengan warna yang berbeda dengan banyaknya warna yang digunakan seminimal mungkin, seperti gambar berikut ini. 3. Setelah memberikan warna titik pada graf, tentukan himpunan kelas warna. Oleh sebab itu, terdapat tiga kelas warna 1 = warna merah, 2= warna biru, dan 3 =warna hijau. Himpunan kelas warna yang terbentuk adalah Π = {1, 2, 3} 4. Tentukan kode representasi setiap titik. Kode representasi didapat dari jarak titik tertentu ke semua anggota himpunan kelas warna.
12 5. Lakukan kembali langkah 1-4 untuk , dan gasal lainnya. Jadi untuk graf petersen diperumum (,1) dengan ≥ 2 dan ≥ 3, diperoleh bilangan kromatik. (,1) = { 2, 3, Pewarnaan Metrik pada Graf Blossom dan Graf Tangga Permata Teorema 3. Diberikan suatu graf blossom ( ) untuk ≥ 3, bilangan kromatik metrik graf blossom adalah ( ) = { 4, 5, Berikut merupakan langkah-langkah dalam melakukan pewarnaan metrik pada graf graf blossom ( ) untuk ≥ 3 : 1. Langkah awal yaitu menggambar graf blossom ( ) untuk ≥ 3. 2. Selanjutnya, warnai setiap titik dengan warna yang berbeda dengan
13 banyaknya warna yang digunakan seminimal mungkin. Seperti gambar berikut ini. 3. Setelah memberikan warna titik pada graf, tentukan himpunan kelas warna. Terdapat empat kelas warna, Π = {1, 2, 3, 4} 4. Tentukan kode representasi setiap titik. Kode representasi didapat dari jarak titik tertentu ke semua anggota himpunan kelas warna. Berikut merupakan hasil dari pewarnaan metrik graf blossom sesuai langkah 1-4. 6. Lakukan kembali langkah 1-4 untuk yang lain. Jadi untuk graf dengan ≥ 3, diperoleh bilangan kromatik ( ) = { 4, 5, . Teorema 4. Diberikan suatu graf tangga permata ( ) untuk ≥ 2, bilangan kromatik metrik graf tangga permata adalah ( ) = 3 Berikut merupakan langkah-langkah dalam melakukan pewarnaan metrik pada graf tangga permata ( ) untuk ≥ 2,
14 1. Langkah awal yaitu menggambar graf tangga permata ( ) untuk ≥ 2, 2. Selanjutnya warnai setiap titik dengan warna yang berbeda dengan banyaknya warna yang digunakan seminimal mungkin. Seperti gambar berikut ini 3. Setelah memberikan warna titik pada graf, tentukan himpunan kelas warna. Terdapat tiga kelas warna 1 = warna merah, 2= warna biru, dan 3 =warna hijau. Himpunan kelas warna yang terbentuk adalah Π= {1, 2, 3} 4. Tentukan kode representasi setiap titik. Kode representasi didapat dari jarak titik tertentu ke semua anggota himpunan kelas warna. Berikut merupakan hasil dari pewarnaan metrik graf tangga permata ( ) untuk ≥ 2sesuai langkah 1-4 5. Diperoleh bilangan kromatik ( ) = 3
15 BAB 3. HASIL PENELITIAN Berdasarkan langkah-langkah yang ada pada bab sebelumnya diperoleh empat teorema baru tentang pewarnaan metrik pada graf kincir angin belanda dan graf petersen diperumum. Empat teorema tersebut antara lain : Teorema 1. Diberikan suatu graf kincir angin belanda (,) untuk ≥ 3 dan ≥ 2, bilangan kromatik metrik pada graf (,) adalah (,) = { 2, 3, Teorema 2. Diberikan suatu graf petersen diperumum dengan nilai lompatan = 1 (,1) untuk ≥ 3 , bilangan kromatik metrik pada graf (,1) adalah (,1) = { 2, 3, Teorema 3. Diberikan suatu graf blossom ( ) untuk ≥ 3, bilangan kromatik metrik graf blossom adalah ( ) = { 4, 5, Teorema 4. Diberikan suatu graf tangga permata ( ) untuk ≥ 2, bilangan kromatik metrik graf tangga permata adalah ( ) = 3
16 DAFTAR PUSTAKA Alfarisi, R., Kristiana, A. I., Albirri, E. R., Adawiyah, R., & Dafik. (2019). Metric chromatic number of unicyclic graphs. International Journal of Scientific and Technology Research, 8(6). Firman, F., Dafik, D., & Albirri, E. R. (2022). Rainbow Vertex Connection Number pada Keluarga Graf Roda. CGANT JOURNAL OF MATHEMATICS AND APPLICATIONS, 3(1). https://doi.org/10.25037/cgantjma.v3i1.71 Kristiana, A. I., Alfarisi, R., A’yun, Q., & Saputra, G. (2023). Pelabelan dan Pewarnaan Graf (1 ed.). UPA Penerbitan Universitas Jember. Prihandini, R. M., Dafik, Agustin, I. H., Alfarisi, R., & Adawiyah, R. (2020). Elegant labeling of some graphs. Journal of Physics: Conference Series, 1538(1). https://doi.org/10.1088/1742-6596/1538/1/012018 Setyawan, D., Afni, A. N., Prihandini, R. M., Albirri, E. R., & Kristiana, A. I. (2021). PEWARNAAN TITIK TOTAL SUPER ANTI-AJAIB LOKAL PADA GRAF PETERSEN DIPERUMUM P(n,k) DENGAN k=1,2. BAREKENG: Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan, 15(4), 651–658. https://doi.org/10.30598/barekengvol15iss4pp651-658 Slamin. (2023). Teori Graf dan Aplikasinya (2 ed.). Rumpun Dua Belas. https:/www.rumpunduabelas.com/