แฟร็กทัลคืออะไรกันนะ?

การศึกษาคนควาดวยตนเอง
(Independent Study)

เรื่อง

แฟร็กทลั (Fractal)

โดย

นายภูชิชย พรหมสิน
รหสั นักศกึ ษา 61131111016

เสนอ
อาจารยชอ เอื้อง อุทิตะสาร

รายงานน้เี ปน สว นหนึง่ ของรายวิชา MAP4405 สัมมนาการศึกษาคณติ ศาสตร
สาขาวชิ าคณิตศาสตร คณะครศุ าสตร มหาวทิ ยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา
ภาคเรยี นที่ 2 ปก ารศกึ ษา 2564

ก

คํานาํ

รายงานฉบับนี้เปนสวนหนึ่งของรายวิชา MAP4405 สัมมนาการศึกษาคณิตศาสตร เพ่ือเปน
ประโยชนแกนักศึกษาวิชาชีพครู สาขาวิชาคณิตศาสตร มาหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา ท่ีจะศึกษา
เก่ยี วกบั แฟรก็ ทลั (Fractal) อันจะนับไดว า เปน องคความรูหรือสาขาวิชาที่คอนขางใหมในโลกของคณิตศาสตร
ซึง่ ผจู ัดทําจัดทาํ ขน้ึ เพือ่ รวบรวมองคค วามรู และนาํ ส่งิ ที่ไดจ ากการศึกษาคนความาประยุกตใชกับการทํางานใน
ฐานะครู นน่ั กค็ ือการนํามาใชป ระโยชนใ นดา นการจดั การเรียนการสอน

ผูจัดทําหวังเปนอยางย่ิงวารายฉบับนี้จะเปนประโยชนแกนักศึกษาวิชาชีพครูสาขาวิชา
คณิตศาสตรทุกคน รวมไปถึงผูท่ีสนใจใฝศึกษาหาความรูเพื่อพัฒนาตนเองอยูเสมอ หากรายงานเลมนี้มี
ขอบกพรอ งประการใด ผูจดั ทําขออภัยไว ณ โอกาสน้ีดว ย

ภชู ชิ ย พรหมสนิ
ผูจัดทาํ

ข

กิตติกรรมประกาศ

รายงานฉบับน้ีสําเร็จและสมบูรณเปนรูปเลม ดวยความกรุณาและเอาใจใสเปนอยางดีจาก
อาจารยชอเอ้ือง อุทิตะสาร ท่ีไดกรุณาใหคําปรึกษาและแนะแนวทางในการทํารายงานการดําเนินการทํา
รายงานในครง้ั น้ีโดยไมมีขอบกพรอ ง รวมทั้งขอเสนอแนะและขอ คิดเห็นตา ง ๆ ตลอดท้งั การตรวจแกไขรายงาน
ฉบับน้ีใหสาํ เร็จสมบรู ณย่งิ ขึ้น ทางคณะผจู ัดทําจงึ ขอขอบพระคุณเปนอยางสงู ไว ณ โอกาสนี้

ขอขอบพระคุณคุณครูทุกทานท่ีไดประสิทธ์ิประสาทวิชาความรู และประสบการณตลอดจนอํานวย
ความสาํ เร็จใหบ ังเกดิ

สดุ ทายน้ี คุณพอ คุณแม และเพื่อน ๆ ท่ีเปนกําลังใจ และใหความชวยเหลือในการเก็บรวบรวมขอมูล
และใหค าํ แนะนําในการทาํ รายงานครง้ั น้ีใหส ําเร็จลุลว งดว ยดตี ลอดมา

ภูชชิ ย พรหมสนิ
ผจู ัดทาํ

สารบัญ

เร่ือง หนา

คํานาํ ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ก
กิตติกรรมประกาศ……………………………………………………………………………………………………………………. ข
บทท่ี 1 แฟรก็ ทัลคืออะไรกนั นะ………………………………………………………………………………………………… 1
2
สวนทเ่ี หมอื นกันหรอื คลายกนั ในตัว…………………………………………………………………………………… 6
9
วดั ความยาวของชายฝง ทะเลอังกฤษไดหรือไม……………………………………………………………………… 12
13
แลว แฟรก็ ทลั คืออะไรกันแน… ……………………………………………………………………………………………. 16
บทที่ 2 แฟร็กทัลมีลกั ษณะอยางไร……………………………………………………………………………………………. 21
24
แฟรก็ ทลั ในธรรมชาต…ิ …………………………………………………………………………………………………….. 25
27
แฟรก็ ทัลที่สรางจากรปู เรขาคณิต………………………………………………………………………………………. 29
30
แฟร็กทลั ท่ีเกดิ จากจาํ นวนเชงิ ซอ น……………………………………………………………………………………. 34
36
บทที่ 3 สามเหลีย่ มเซียรพ นิ สกเี ปน ยังไงนะ………………………………………………………………………………. 37
สง่ิ ใดคือสามเหลี่ยมเซียรพินสกี………………………………………………………………………………………… 39

ความสัมพนั ธเ ชงิ ตวั เลขท่ซี อ นอยใู นรปู สามเหลีย่ มเซยี รพ ินสกี………………………………………………

บทที่ 4 แฟรก็ ทัลมีประโยชนแนหรือ…………………………………………………………………………………………
มติ ิแฟรก็ ทัล……………………………………………………………………………………………………………………..

รกั ษาโรคดว ยแฟร็กทลั ………………………………………………………………………………………………………

แฟร็กทลั อนั ชาญฉลาดทีร่ ูทนั เศรษฐกิจ……………………………………………………………………………….

แฟร็กทัลอยูในชีวติ ประจาํ วันของเรา……………………………………………………………………………………
บรรณานกุ รม………………………………………………………………………………………………………………………….

บทที่ 1 แฟร็กทัลคืออะไรกันนะ

• สว นท่เี หมือนกันหรือคลา ยกนั ในตัว
• วัดความยาวของชายฝงทะเลอังกฤษไดห รอื ไม
• แลว แฟรก็ ทลั คอื อะไรกันแน

2

ใครเคยมองตนไมท ่ีอยไู กล ๆ ในขณะทใ่ี บกาํ ลังรว งหลน ชวงกอนฤดูหนาวบาง สังเกตเห็นก่ิงกานที่งอก
ยาวจากลําตนไดซัดเจนเลยใชไหมย่ิงถาเดินเขาไปใกลตนไม จะย่ิงเห็นก่ิงกานเล็กๆ ยื่นออกมาจากกิ่งกาน
ขนาดใหญมากขึ้นไปอีก และในกิ่งกานเล็ก ๆ ก็ยังมีก่ิงกานท่ีเล็กกวายื่นออกมาอีกมากมาย ตอไปจะมาเรียนรู
โครงสรา งพเิ ศษที่ปรากฏใหเ หน็ ตามตน ไม

สว นท่เี หมือนกนั หรอื คลายกันในตัว

บร็อกโคลีมีประโยชนตอรางกาย กอนจะกินบร็อกโคลีมีใครเคยสังเกตรูปรางของบร็อกโคลีบางไหม
ถาตัดบร็อกโคลีออกมาสวนหน่ึงจะดูคลายกับรูปรางเดิมกอนตัดออกมาก ไมใชแคเพียงบร็อกโคลีเทาน้ัน
ใบเฟร นกเ็ ชนกนั ถาตัดกง่ิ กานสวนหนงึ่ ออกจะพบวา มีรปู รางลักษณะเหมือนใบเฟร น ใบใหญท ั้งใบเชนกนั

ก่ิงกานตนไม บรอ็ กโคลี ใบเฟรน

ภาพ 1 รูปรางของสว นยอ ยเล็ก ๆ ดูคลายกับรปู รางจรงิ แบบยอ สว น

ถาตองการอธิบายใหใครสักคนฟงถึงลักษณะรูปรางของตนไม ใบเฟรน หรือบร็อกโคลี จะอธิบายวา
มลี กั ษณะอยา งไรดี ถา เปน ใบเฟร นหรอื บรอ็ กโคลีอาจบอกวาคลายกบั รูปสามเหล่ียม สวนตนไมมองเห็นเหมือน
เปนเสนมาเช่อื มตอกันหลาย ๆ เสน

แตความจริงแลวรูปรางของใบเฟรนหรือบร็อกโคลีไมใชรูปสามเหล่ียมท่ีเรียนในวิชาคณิตศาสตร
สว นตน ไมกไ็ มใชท้งั เสน ตรงหรอื เสน โคง ใด ๆ เชนกัน

3

ภาพดานบนคือรูปรางท่ีเคยเรียนใน วิชาคณิตศาสตรเรียกวา รูปเรขาคณิต (geometric figure) รูป
สามเหล่ียม รูปส่ีเหล่ียม รูปวงกลม ทรงส่ีหนา ลูกบาศก ทรงกลม และรูปรางแบบอ่ืน ๆ รูปรางและรูปทรง
เหลานห้ี าความยาวพน้ื ที่ และปรมิ าตรไดอ ยา งงา ยดาย

ภาพ 2 รปู เรขาคณิต เรขาคณิต หน่ึงในสาขาของ
วิ ช า ค ณิ ต ศ า ส ต ร ที่ เ ร่ิ ม ต น ใ น อี ยิ ป ต
โบราณ จากการหาพื้นท่ีของท่ีดิน
ซึ่งเรียนรูเกี่ยวกับรูปทรงในธรรมชาติ
และความสัมพันธระหวางรูปรางและ
รปู ทรงตาง ๆ

นน่ั เปน สาเหตทุ ่ีผคู นใชรูปรางและรูปทรงเหลา นีใ้ นการสรางสงิ่ ตาง ๆ ที่จําเปน ในชวี ติ ประจาํ วัน ไมว า
จะเปน เฟอรน เิ จอรหรืออาคารบา นเรอื น

ธรรมชาติไมไดเ ปนระเบยี บเหมือนกับรูปเรขาคณติ เชน เมื่อจะวาดภูเขามักวาดรปู สามเหลีย่ มหรือ
กรวยเหมอื นภาพดา นซา ย แตภูเขาจริง ๆ ท่ีเห็นในธรรมชาตกิ เ็ หมือนกบั บร็อกโคลีและใบเฟรนซึ่งไมม รี ปู รา งท่ี
แนชัด ลําตน ของตน ไมไมไดเ ปนทรงกระบอก และชายฝง ทะเลกไ็ มไดเปน เสน โคงท่ีราบเรียบ

ภาพภเู ขาที่เด็กวาด ภูเขาจริง

ภาพ 3 ภาพภเู ขาทีเ่ ด็กวาดเปนรปู สามเหลย่ี ม แตภ ูเขาจรงิ กลบั มีลักษณะขรุขระกวา นั้น

การจะวดั ขนาดหรอื ความยาวในธรรมชาติโดยใชเครื่องมือที่มนุษยสรางขึ้น จึงเปนไปไดยาก ถึงแมจะ
ใชเ คร่อื งมือท่วี ดั สวนทเี่ ล็กมาก ๆ ได แตบางครัง้ อาจเกดิ สถานการณท ีท่ าํ ใหผลลัพธออกมาแตกตา งกนั ก็ได

4

ดังน้ันจึงพยายามท่ีจะไมอธิบายธรรมชาติดวยเรขาคณิต แตก็ยังมีนักวิชาการบางคนชอบวิเคราะห
โครงสรางซับซอนท่ีคนพบไดในธรรมชาติดวยเรขาคณิต แตสิ่งท่ีนาสนใจมากกวานั้นก็คือพวกเขาใช
กฎทางคณิตศาสตรกับรูปเรขาคณิตอยางงาย เปนเคร่ืองมือในการวิเคราะห ในท่ีสุดพวกเขาคนพบวา
มคี วามเปน ระเบยี บในโครงสรางธรรมชาติที่ดูเหมือนซับซอนและไรระเบียบใด ๆ ลองดูตัวอยางรูปสามเหล่ียม
ทีพ่ วกเขาคนพบดังตอ ไปน้ี

ข้ันตอนแรกคือแบงความยาวแตละดานออกเปน 3 สวน จากนั้น
สรางรูปสามเหลี่ยมดานเทาในสวนที่สอง แลวลบเสนที่เปนฐานของ
1 รปู สามเหลีย่ มนั้นออก

ทาํ ซ้ําขั้นตอนดังกลาว 1 คร้ังจะไดรูปรางตามภาพท่ี 2 และหากทํา

ข้ันตอนเดิมซ้ําอีกคร้ัง รูปรางที่ไดจะออกมาตามภาพ 3 นั่นคือการสรางรูป

สามเหลี่ยมดานเทาขนาดเล็กบนดานของรูปสามเหล่ียมดานเทาขนาดใหญ
2 กวาไปเรอื่ ย ๆ จนเกิดเปนรปู รางใหมขึน้

เมื่อทําข้ันตอนเดิมซ้ําไปเร่ือย ๆ จะเกิดเปนโครงสรางเรขาคณิต

รูปรางคลายเกล็ดหิมะตามภาพดานซายเรียกวา เกล็ดหิมะค็อค

3 (Koch snowflake) เกาะของค็อค (Koch's island) หรือ เสนโคงค็อค
(Koch curve) เพยี งขนั้ ตอนงา ย ๆ แตก ลบั เกิดรูปรา งทด่ี ูซับซอ นข้ึนมาได

นาประหลาดใจใชไหมกับการคนพบโครงสรางท่ีดูซับซอนเหลาน้ี
ตามธรรมชาติทั้ง ๆ ที่สรางข้ึนดวยข้ันตอนงาย ๆ เทาน้ันเอง แตไมใชวา
โครงสรางท้ังหมดในธรรมชาติจะสรางขึ้นมาไดงายดายเชนนี้ มีบางอยาง
4 ในธรรมชาติที่ซับซอนและไรระเบียบกฎเกณฑดวยเชนกัน แตโครงสราง
ธรรมชาติที่ผูคนคนพบกันสวนใหญลวนแตเปนโครงสรางที่สรางขึ้นมาดวย
ขั้นตอนงาย ๆ ซึ่งหมายความวานี่อาจเปนทางลัดไปสูการทําความเขาใจกับ
โครงสรางธรรมชาติกเ็ ปนได

5 ถาพิจารณารูปรางท่ีสรางจากกฎเกณฑใดกฎเกณฑหนึ่งและทําซํ้า
ไปซํ้ามา จะรูไดว า มีสมบตั ิสําคัญอะไรซอนอยู นั่นก็คือไมวาจะดึงภาพเขามา
ภาพ 4 การสราง ดูระยะใกลหรอื ยอขนาดใหเลก็ ลงเพอ่ื พิจารณาสวนใดก็ตาม รูปรา งสวนยอย
เกล็ดหิมะคอ็ ค จะเหมอื นหรือคลา ยกับรูปรางทัง้ หมดของตัวตน แบบ

5
สาเหตทุ ่เี ปนเชนน้ันไมซ ับซอ นเลย เพราะเกดิ จากการทําซ้ําไปซํ้ามา ดังน้ันไมวาจะขยายหรือลดขนาด
ก็พบวาทุกสวนยอยเหมือนกับสวนใหญทั้งหมดของตัวตนแบบ สมบัติเชนน้ีเรียกวา ความคลายในตัว
(self-similarity) คือส่ิงใด ๆ ที่มีสวนยอย ๆ เหมือนกันหรือคลายกันกับสวนใหญทั้งหมด เม่ือขยายดู
ภาพท่ีเกิดจากการทําซํ้าหลายคร้ัง ๆ จะพบวาสวนนั้นจะเหมือนกับสวนในภาพแรกนั่นก็คือภาพรวมท้ังหมด
ของตัวตนแบบ
สมบัติของความคลายในตัวเชนนี้จะเกิดขึ้นในกฎเกณฑที่ซํ้าไปซ้ํามาไมมีที่สิ้นสุด โดยสมบัติท่ี
ซํ้าไปซ้ํามาอยางไมสิ้นสุดนี้เรียกวา การเวียนเกิด (recursion) จึงเรียกโครงสรางท่ีมีความคลายตัวตนแบบ
และมีการเวยี นเกดิ วา โครงสรางแฟรก็ ทลั (fractal structure)

ภาพ 5 การขยายเขา ไปดใู นชองสเ่ี หล่ยี มเพื่อคนหารปู รา งที่คลายคลึงกัน
สวนยอยที่เลือกมาพิจารณาไมจําเปนตองเหมือนกับสวนใหญไปทุกอยางก็ได ขอแคสวนยอยนั้น
มีสมบตั ิเปนรูปรา งแบบเดยี วกันกเ็ รยี กไดวามีความคลายในตัวแลวแฟร็กทัลชนิดน้ีเรียกวา แฟร็กทัลท่ีมีสมบัติ
เสมือนคลา ยในตัว (quasi-self-similarity) แตถา เปน แฟร็กทลั ที่มรี ปู รา งเหมือนกับสวนใหญของตัวตนแบบ
ทุกอยาง เชน เกล็ดหิมะค็อค จะเรียกแฟร็กทัลชนิดนี้วาคือ แฟร็กทัลที่มีสมบัติคลายในตัวอยางสมบูรณ
(exact self-similarity) ตวั อยา งของแฟรก็ ทลั ที่มสี มบัตคิ ลา ยในตวั ท่ีไมสมบูรณก็คือชายฝงทะเลท่ีพบเห็นได
ทั่วไปในธรรมชาติ ตอไปจะขยับเขาไปใกลช ายฝงใหม ากขึ้นเพื่อดูวา มโี ครงสรา งแฟร็กทลั ใดซอ นอยูในน้ัน

6

วดั ความยาวของชายฝง ทะเลองั กฤษไดห รอื ไม

แนวเขตที่แผนดินและทะเลมาบรรจบกันเรียกวา ชายฝงทะเล เคยดูแผนที่ประเทศไทยที่ติดอยู
ในหองเรียนบางไหม จะเห็นชายฝงทะเลตลอดแนวต้ังแตตะวันตกจนถึงตะวันออก วาแตชายฝงทะเลน้ี
จะมคี วามยาวเทา ไรกันนะ

ความจริงแลวคําถามน้ีตองยอนกลับไปท่ีจุดเร่ิมตนของแฟร็กทัลโดย เบอนัว มองแดลโบร
(Benoit Mandelbrot: ค.ศ. 1924-2010) นกั คณติ ศาสตรซ าวฝรัง่ เศส ผูบ ญั ญตั ิคําวา “แฟรก็ ทัล” ขน้ึ มา

เขาใสโจทยงาย ๆ เพ่ือสรางความเขาใจเกี่ยวกับแฟร็กทัลลงใน ความยาวมาตรฐาน
วิทยานิพนธเรขาคณิตแฟร็กทัลในธรรมชาติของเขาดวยโจทยที่วา 320 กโิ ลเมตร
"ชายฝงทะเลอังกฤษยาวเทาไรนะ" เพียงแคมองแวบแรกอาจดูเหมือน
เปนคําถามท่ีไรสาระ แตในโจทยท่ีแสนเรียบงายน้ีกลับมีความหมาย ความยาวมาตรฐาน
ลึกซึ้งซอนอยูกอนอ่ืนมาลองหาความยาวของชายฝงทะเลอังกฤษที่ 40 กโิ ลเมตร
มองแดลโบรถามไววา ความจริงแลวยาวเทาไร โดยใชเสนตรงที่มีความ
ยาว 320 กิโลเมตร และ 40 กิโลเมตรในการวัด หากวาดเสนตรง ภาพ 6 การวัดความยาว
320 กิโลเมตร ลงบนแผนที่เกาะอังกฤษจะใชเสนตรงแค 8 เสนดังภาพ ของชายฝง ทะเลอังกฤษ
ดานขวาบน

ดังน้ันชายฝงทะเลจะมีความยาวประมาณ 2,560 กิโลเมตร
แตหากวาดเสนตรง 40 กิโลเมตรจะวาดลอมประเทศตองใชทั้งหมด
102 เสน และชายฝงทะเลจะยาวประมาณ 4,080 กิโลเมตร น่ันคือความ
ยาวของชายฝงทะเลท่ีวัดโดยใชหนวยเปน 40 กิโลเมตรจะมีความยาว
มากกวาการใชหนวยเปน 320 กโิ ลเมตร

ดังน้ันถาใชหนวยวัดที่มีขนาดเล็กกวาน้ี เชน 1 เซนติเมตรหรือ
1 มิลลิเมตร ชายฝงทะเลจะมีความยาวเทาใด แนนอนวาความยาวที่วัดได
จะเพ่ิมมากข้นึ

เม่ือใชหนวยวัดขนาดใหญ ความยาวจะไดนอยกวาเพราะวัดขาม
แนวโคงตาง ๆไป แตเมื่อใชหนวยวัดขนาดเล็กลงจะยิ่งวัดไดแมแต
ระยะทางท่โี คงหรือเวา ที่หนวยวดั ขนาดใหญกวาทําไมได ความยาวท่ีวัดได
จากหนวยวดั ขนาดเล็ก จงึ มากกวาความยาวทไ่ี ดจ ากหนวยวัดขนาดใหญ

7

แตก็ยังรูสึกแปลก ๆ กับการที่ความยาวเพ่ิมข้ึนเมื่อใชหนวยวัดท่ีละเอียดมากขึ้น แลวความยาว
ที่แทจริงของชายฝงทะเลอังกฤษคือเทาไรกัน พื้นท่ีของเกาะอังกฤษมีขนาดคงท่ีอยูแลว แตทําไมชายฝงทะเล
ทีล่ อ มรอบเกาะจึงมคี วามยาวที่ไมแนนอนเชน นี้

ตอนน้ีพกั เรอื่ งการวดั ความยาวชายฝงทะเลเอาไวกอน แลวมาพิจารณารูปรางของชายฝงกันใหชัดเจน
มากขึน้ หากขึ้นเครื่องบินแลวถายภาพชายฝงทะเล จะไดภาพชายฝงทะเลท่ีขรุขระ คราวน้ีลองข้ึนไปถายภาพ
บนภูเขาซง่ึ เปนจุดทต่ี ่าํ กวา เครอื่ งบินสักเล็กนอยภาพชายฝง ทะเลท่ไี ดจ ะคลา ยกับภาพที่ถา ยจากเคร่ืองบนิ

ภาพ 7 ชายฝง ทะเลที่ไดจ าก ภาพ 8 ชายฝง ทะเลท่ีไดจ าก
การถายภาพบนเครื่องบิน การถายภาพบนภเู ขา

ตอไปลองถายภาพบนเนินเขาใกลกับชายฝงกันดู รูปรางของชายฝงเปนอยางไรบาง ภาพที่ออกมา
เกือบจะเปน เสนตรงเลยทเี ดียว แตน ั่นไมเ ปน ความจริง ภาพของแนวชายฝงจะไมแตกตางจากภาพทางดานบน
2 ภาพท่ีถายไวมากนัก แมจะยืนบนโขดหินแลวถายภาพออกมา ชายฝงทะเลจะยังคงเปนเชนเดิม
ลองพิจารณาภาพดานลาง

ภาพ 9 ชายฝง ทะเลที่ไดจาก ภาพ 10 ชายฝงทะเลทไ่ี ดจาก
การถายภาพบนเนนิ เขา การถา ยภาพบนโขดหนิ

8

ภาพ 11 แนวเขตท่ีนํ้ามาบรรจบกับทราย
ข้ันตอนสุดทายคือภาพถายของแนวเขตท่ีแผนดินมาเจอกับนํ้าทะเล หากขยายภาพถายจะเห็น
กอนหินและทรายเล็ก ๆ ท่ีบรรจบกับทะเลและกอตัวเปนเสนขรุขระข้ึนมา ถาเอาภาพทั้ง 5 ภาพที่ถายจาก
สถานที่ที่ตางกัน โดยตัดออกมาแคสวนยอยที่แผนดินเจอกับทะเล เชื่อวาตองดูไมออกแน ๆ วาถายมาจาก
สถานท่ที คี่ วามสูงตา งกนั เพราะเสน ตา ง ๆ ในภาพมรี ปู รางคดเคยี้ วเหมอื นกนั ไปหมด
นา ท่งึ ใชไหมละ เหมือนกบั ชายฝงทะเลมเี วทมนตรเลย ที่นมี่ คี วามลบั แสนมหศั จรรยซอนอยู ไมวาภาพ
จะถายจากสวนไหน เม่ือขยายภาพออกจะพบวามีรูปรางคลายกับลักษณะสวนใหญของตัวตนแบบ
หมายความวาชายฝง ทะเลมีลักษณะคลายกับเกล็ดหิมะค็อค ซึ่งเปนโครงสรางแฟร็กทัล แตเกล็ดหิมะค็อคจะมี
ความคลายในตัวอยางสมบูรณไปทุกสวน ในขณะที่ชายฝงทะเลแมไมไดคลายกันทุกสวนอยางสมบูรณ
แตก็นับวา เปน โครงสรา งแฟร็กทัลดว ยเชน กัน
สรางแฟร็กทัลสวนใหญในธรรมชาติมีลักษณะคลายกับชายฝงทะเล แมวาจะไมคลายในตัวอยาง
สมบูรณ แตก็ดูคลายในตัวมากจนกระท่ังไมอาจมองเห็นไดดวยตา ดังน้ันถาตองการวัดความยาวของ
ชายฝงทะเลอยางแมนยํา จะตองวัดตามเสนท่ีทรายเม็ดเล็ก ๆ บนชายหาดบรรจบกับน้ําทะเล ซ่ึงผูเชี่ยวชาญ
คนใดกไ็ มมีทางทาํ ได
แลวสรุปวาความยาวที่ไดถูกตองหรือไม ตอนน้ีทุกคนนาจะรูคําตอบของคําถามน้ีแลวตอใหวัดตาม
เสน ทม่ี เี มด็ ทรายทีละเม็ดก็ไมอ าจหาคําตอบท่ีถกู ตองแมนยําได เพราะอาจจะมีบางส่ิงที่เล็กกวาเม็ดทรายอยูใน
นั้นดวย สรปุ แลว ความยาวชายฝงทะเลไมมีทีส่ ิน้ สดุ จึงไมสามารถแสดงคําใด ๆ ได ราวกับวาเปนเวทมนตรของ
แฟรก็ ทลั ชางเปนสงิ่ ทีน่ ามหัศจรรยจ ริง ๆ

9

แลวแฟร็กทัลคืออะไรกนั แน

ในปจจุบัน “แฟร็กทัล (Fractal)” เปนคําท่ีใชในเชิงวิทยาศาสตรและคณิตศาสตร โดยแฟร็กทัล
ไดถูกคนพบมานาน กอนที่คําวา "แฟร็กทัล" จะถูกบัญญัติขึ้นมาใชเรียกสิ่งเหลาน้ี ในป ค.ศ.1872 คารล
ไวเออรชตรัสส (Karl Weierstrass) ไดยกตัวอยางของฟงกชันท่ีมีคุณสมบัติ "everywhere continuous but
nowhere differentiable" คอื มีความตอเน่ืองท่ีทุกจุด แตไมสามารถหาคาอนุพันธได ตอมาในป ค.ศ. 1904
เฮลเก ฟอน ค็อค (Helge Von Koch) ไดยกตัวอยางทางเรขาคณิต ซึ่งไดรับการเรียกขานในปจจุบันน้ีวา
"เกล็ดหิมะค็อค" (Koch Snowflake) ตอมา เกออรก คันทอร (Georg Cantor) ไดยกตัวอยางเซตยอยของ
จํานวนจริงที่มีคุณสมบัติแฟร็กทัลน้ี อันเปนที่รูจักกันในช่ือ เซตคันทอร หรือ ฝุนคันทอร นอกจากนี้ยังมี
นักคณิตศาสตรอีกหลายคนในชวงปลายคริสตศตวรรษที่ 19 ถึงตนคริสตศตวรรษท่ี 20 เชน อองรี ปวงกาเร
(Henri Poincare), เฟลิกซ คลิน (Felix Klein), ปแอร ฟาตู (Pierre Fatou) และกาสตง จูเลีย (Gaston
Julia) ไดศึกษาฟงกชันวนซ้ํา (Iterated Function) ซ่ึงมีคุณสมบัติความคลายตนเอง (Self-similarity)
ซ่ึงความคลายตนเองเกิดข้ึนเมื่อโครงสรางมีรูปแบบซํ้า ๆ ของภาพท่ีเล็กลง ๆ ท่ียังอยูในตัวมันในมาตราสวน
ท่แี ตกตา งกัน

ภาพ 12 เบอนัว มองเดลโบร จากการศึกษาขอมูลของแฟร็กทัลและการเกิดแฟร็กทัล
(Benoit Mandelbrot) นั้นทําใหทราบวา สิ่งที่เรารูจักกันในนามของ Fractal นั้น ไดถูก
คนพบมานานกอนท่ีคําวา Fractal จะถูกบัญญัติขึ้นมาใชเรียก
ส่ิงเหลานี้ แฟร็กทัลนั้นถูกนําไปประยุกตเพ่ือใชศึกษากับศาสตร
ในหลาย ๆ แขนง ท้ังคณิตศาสตรดนตรี ปรากฏการณธรรมชาติ
รูปทรงทเ่ี กิดจากการสรางของธรรมชาติ จนกระท่ังในป ค.ศ.1960
เบอนวั มองเดลโบร ไดทาํ การศกึ ษาถงึ คณุ สมบัติความคลายตนเอง
นี้ และตีพิมพบทความชื่อ "How Long is the Coast of Britain?
Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension"
มองเดลโบรไดเห็นถึงความสัมพันธของผลงานในเร่ืองตาง ๆ
ในอดีต ซึ่งเปนคนละเร่ืองไมมีความสัมพันธกัน เขาจึงไดรวบรวม
แนวความคิดทเ่ี กย่ี วของ และบญั ญตั ิคําวา ‘แฟรก็ ทัล’ ขึ้น

10

นักคณิตศาสตรช่ือ เบอนัว มองเดลโบร (Benoit Mandelbrot) ซึ่งเปนผูใหกําเนิดวิชา
เรขาคณิตเศษสวน (Fractal Geometry) ในราว ค.ศ.1975 ดังน้ันวิชานี้จึงมีอายุประมาณ 40 ป
ซ่ึงนับวานอยมากเมื่อเปรียบเทียบกับคณิตศาสตรแขนงอ่ืน เชน เรขาคณิตที่มีกําเนิดมานับพันป สิ่งที่พบเห็น
ในธรรมชาติจํานวนมากไมสามารถอธิบายไดดวยรูปเรขาคณิตแบบยุคลิด มองเดลโบร เคยกลาววา
กอนเมฆไมใชทรงกลม ภูเขาไมใชรูปกรวย ชายฝงไมใชวงกลม เปลือกไมไมไดราบเรียบ หรือสายฟาแลบไมได
ปรากฏเปน เสนตรง

ชายฝง กอนเมฆ เปลือกไม สายฟาแลบ

ภาพ 13 ตัวอยา งของแฟร็กทัลที่สามารถพบเหน็ ไดท่ัวไป

แฟร็กทัล (Fractal) เปนคําท่ีมีรากศัพทมาจากภาษาละติน คําวา “Fractus” หรือ “Fractum”
ซ่ึงเปนคําท่ีใหความหมายคลายกันกับคําวา Fragmented ในภาษาอังกฤษที่แปลวา “การแยกสวน” หรือ
“แตกหรือเศษสว น” แฟร็กทัลเปนรูปเรขาคณิตที่แตกตางจากเสนตรง รูปหลายเหลี่ยม และวงกลม ซ่ึงเปนรูป
เรขาคณิตแบบยุคลิด (Euclid) แฟร็กทัลมีสมบัติที่สําคัญซ่ึงเรียกวา มีรูปแบบเหมือนตัวเอง (Self-similar
Pattern) ในระดับที่ตางกัน ซึ่งหมายความวา ถาเราดึงภาพเขามาดูท่ีระยะใกลจะเห็นสวนยอยของภาพมี
รูปรางเหมือนสวนใหญ ใบเฟรนเปนตัวอยางของแฟร็กทัลที่มีสมบัติท่ีเห็นไดชัดเจน ถาขยายภาพของใบเฟรน
จะเห็นแขนงยอยของใบเฟรนมีรูปรางเหมือนตัวเอง สมบัติที่สําคัญของแฟร็กทัลอีกประเด็นหน่ึงคือ มีมิติที่ไม
เปน จาํ นวนเตม็ (Non-integer Dimension) นจี่ ึงเปนทมี่ าของคาํ วาแฟรก็ ทัล

คําวา Fractal น้นั แมจะถกู บญั ญัติขึ้นโดย เบอนัว มองเดลโบร แตก็ไมไดใหนิยามที่ชัดเจนเก่ียวกับคํา
ๆ นี้ ดังนั้นคําจํากัดความของส่ิงท่ีเราเรียกวา แฟร็กทัล นั้นยังคงมีความกํากวมไมชัดเจนอยูในตัวเอง จากการ
รวบรวมขอมูลจะพบวาในหลายการใหคํานิยามน้ันจะมีสาระท่ีคลายกันของหลายนิยาม คือ การทําซ้ํารูปแบบ
หรือกระบวนการเดิม (repeating pattern or process),การทํารูปแบบคลายตนเองขามขนาด
(self-similarity across scales) ,การใชรูปแบบเดิมไมมีที่ส้ินสุด (never ending pattern) ซึ่งเม่ือทําความ
เขาใจแลวจะสามารถสรุปความหมายเบื้องตน ไดวาคือการทําซ้ํารูปแบบหรือกระบวนการเดิมในขนาดตาง ๆ
ของรปู เดมิ ไปเร่ือย ๆ

11

ภาพ 14 การขยายเพ่ือสงั เกตสวนยอ ยของใบเฟร น
เรขาคณติ เศษสวน หรอื เรขาคณติ แบบแฟรก็ ทัล (Fractal geometry) เปนโครงสรา งทางเรขาคณิตที่
เกิดจากการแตกออกหรือแยกออกจากโครงสรางทางเรขาคณิตเดิม โดยสวนท่ีแตกออกมายังมีรูปรางทาง
เรขาคณิตเชนเดิมแตลดขนาดลง ตัวอยางของเรขาคณิตแบบแฟร็กทัลที่พบในธรรมชาติ เชน เกล็ดหิมะ
กอนเมฆ ชายฝง ทะเล ตนไม ใบไม คลื่นนํ้า และการวางตัวของภูเขา เปนตน เรขาคณิตแบบแฟร็กทัลสามารถ
นํามาใชเปนโครงสรางของสายอากาศได และดวยสมบัติของเรขาคณิตแบบแฟร็กทัลจะทําใหสามารถเติมเต็ม
พื้นที่วางของสายอากาศ กอใหเกิดประโยชนในการสรางสายอากาศใหมีขนาดเล็กลง นั่นคือสายอากาศที่มี
รปู รางเรขาคณติ แบบแฟร็กทลั จะสามารถเพ่ิมขนาดความยาวทางไฟฟาไดในพ้ืนที่เล็ก ๆ ซ่ึงเหมาะสําหรับใชใน
การออกแบบสายอากาศเสนลวดและสายอากาศแพทชแบบไมโครสตริป นอกจากสายอากาศแฟร็กทัลจะมี
ขนาดเล็กลงจากโครงสรางเดมิ แลว ยังสามารถสรา งเปน สายอากาศทใี่ ชง านไดหลายความถี่ดว ย

บทท่ี 2 แฟร็กทัลมีลกั ษณะอยา งไร

• แฟรก็ ทัลในธรรมชาติ
• แฟรก็ ทัลทส่ี รา งจากรปู เรขาคณติ
• แฟร็กทัลที่เกิดจากจาํ นวนเชิงซอน

13

แฟรก็ ทลั ในธรรมชาติ

แฟร็กทัลเปนรูปแบบที่พบไดท่ัวไปในธรรมชาติ เชน ตนไม ใบไม เกล็ดหิมะ สายฟาแลบ เทือกเขา
ชายฝง แมน ํา้ หลอดเลอื ดในรางกายมนุษย และอีกมากมาย จนเปนท่ีกลาวกันวาธรรมชาติเปนนักออกแบบท่ีดี
เลศิ ทีส่ ดุ เชน ทาํ ใหพ ืชไดร บั ประโยชนสงู สดุ จากแสงอาทิตย ชวยใหห ัวใจและหลอดเลอื ดลาํ เลยี งออกซิเจนไปสู
สวนตา งๆ ของรางกายไดอ ยา งมีประสิทธิภาพทส่ี ุด

กิ่งกานตนไม ใบเฟรน เกลด็ หมิ ะ

ชายฝง ทะเล บรอ็ กโคลี สายฟา แลบ

ภาพ 15 แฟรก็ ทลั ในธรรมชาติ

มาถึงตอนนี้ทุกคนก็ไดรูสมบัติอันนาทึ่งของแฟร็กทัล คําวาแฟร็กทัลมาจากรากศัพทภาษาละติน
“frangere” มีความหมายวา 'แตก' และคําวา “fractus” ซ่ึงมีความหมายวา ไมวาสวนใดจะแตกหักไป
แตล ักษณะโดยรวมของสวนท่ีเหลอื จะยังคงรปู รา งเดิม

ส่ิงที่พบเห็นในธรรมชาติจํานวนมากไมสามารถอธิบายไดดวยเรขาคณิตแบบยุคลิดของกรีกโบราณ
แตเรขาคณิตแบบแฟร็กทัลทําได อยางท่ีเคยกลาวไวในหัวขอสวนที่เหมือนกันหรือคลายกันในตัว
วาปรากฏการณทางธรรมชาติท่ีซับซอนท่ีสุดคือแฟร็กทัลท่ีไมใชรูปเรขาคณิตทั่วไป เชน รูปสามเหลี่ยม
รูปสเ่ี หล่ียมจัตุรัส ทรงกลม และกรวย

14
นอกจากน้ีแลวยังคนพบแฟร็กทัลไดในปอดซึ่งเปนอวัยวะท่ีชวยในการหายใจของมนุษยดวย
หลอดเลือดแดงที่เขาสูปอดของมนุษยถูกแบงยอยและกอตัวเปนเสนเลือดเล็ก ๆ โครงสรางของแฟร็กทัลน้ี
ถูกออกแบบมาเพ่ือชวยใหหัวใจและหลอดเลือดลําเลียงแกสออกซิเจนไปสูสวนตาง ๆ ของรางกายไดอยาง
มีประสิทธิภาพท่ีสุดในพ้ืนที่ผิวท่ีขนาดใหญขึ้นอยางไมมีท่ีสิ้นสุด ในขณะที่ปริมาตรจะคอย ๆ ลดลง
ซง่ึ เปนสมบัตเิ ฉพาะของแฟร็กทลั นัน่ เอง

ภาพ 16 แฟรก็ ทลั ในปอดมนุษย
สมบัติน้ีทําใหปริมาณแกสออกซิเจนที่เขาสูปอดของส่ิงมีชีวิตจําพวกสัตวแปรผันตรงกับพ้ืนที่ผิวของ
หลอดเลือด เปน เรือ่ งนามหศั จรรยทไี่ ดคน พบขอเท็จจริงทางคณิตศาสตรท ี่ซอนอยใู นปอดของเรา
หลอดเลือดเกือบทุกเสนในรางกายลวนมีรูปแบบแฟร็กทัลน้ี เพื่อสงแกสออกซิเจนและสารอาหาร
ไปยังทุกสวนของรางกายไดอยางมีประสิทธิภาพ ส่ิงที่นาสนใจยิ่งกวาคือ หลอดเลือดในรางกายกระจายไป
ทุกที่ตั้งแตศีรษะจนถึงปลายเทา ดังนั้นปริมาณเลือดจึงดูเหมือนจะเยอะมากเลยใชไหม แตจริง ๆ แลว
ตอ งขอบคณุ โครงสรางแฟร็กทลั ที่ทาํ ใหปริมาณเลือดไมไดเยอะมากขนาดน้นั
ไมเพียงแตในสัตว โครงสรางของใบเฟรนและบร็อกโคลีก็เปนเชนนั้น ใบเฟรนมีลักษณะเหมือน
รูปสามเหลี่ยม แตถาพิจารณาดูใหดีๆ จะเห็นกานใบเล็กๆ หลาย ๆ กาน ไลจากปลายยอดที่มีขนาดเล็กที่สุด
เรียงลงมาจนมีขนาดใหญขึ้นเร่ือย ๆ ที่ดานลางสุด ทําใหเห็นวาแตละกานมีลักษณะคลายกับใบเฟนท้ังใบ
ซึ่งคลายกับรูปสามเหล่ยี ม

15

ภาพ 17 แฟรก็ ทัลในใบเฟร น
นอกจากนี้ยังพบกับโครงสรา งแฟร็กทัลอันงดงามไดร อบตวั เรา เชน โครงสรา งเกลด็ หิมะ การไหลของ
แมน ้ําที่ไหลจากตนน้ําสูปลายน้ํา เทือกเขาอันนาเกรงขาม กอนเมฆท่ดี ูหนานุม และสมองทเ่ี ต็มไปดว ยรอยหยกั
เล็ก ๆ ดงั นั้นการที่ไดร ูจักแฟร็กทัลทาํ ใหอธิบายสมบัติเฉพาะของธรรมชาตอิ ันซับซอ นได

16

แฟรก็ ทลั ท่ีสรางจากรปู เรขาคณิต

นอกจากแฟร็กทัลท่ีเกิดขึ้นเองโดยธรรมชาติแลว มนุษยยังสามารถสรางแฟร็กทัลไดจากรูปเรขาคณิต
ดวย เชน สรางจากสวนของเสนตรง รูปสามเหล่ียม หรือแมกระทั่งสรางจากรูปลูกบาศก โดยใชกระบวนการ
งาย ๆ กับรูปเรขาคณิตเหลานี้ซ้ํา ๆ กันเปนจํานวนครั้งไมจํากัด ก็จะไดแฟร็กทัลที่มีรูปแบบท่ีซับซอนและ
นา สนใจ

Fractal Geometry เปน รปู แบบของรูปทรงเราขาคณิตท่ีเกิดจากกระบวนการ Fractal เปนสวนหน่ึง
ที่ผูศ ึกษาคิดวามีความสาํ คัญกบั การศกึ ษาคร้ังน้เี นอื่ งจากความหมายท่ีไมชัดเจนและมีการตีความท่ีหลากหลาย
ของ Fractal เพือ่ ใหเขาใจความหมายของ Fractal น้ัน เราอาจจะตองศึกษาความหมายผานกระบวนการเกิด
Fractal Geometry เพ่ือสรุปนิยามท่ีชัดเจนของ Fractal โดยศึกษาจากตัวอยางรูปแบบท่ีเปนทั้งงาน 2 มิติ
และงาน 3 มติ ิ

กรณีศึกษาการเกิด Fractal แบบท่ี 1
กรณศี ึกษาแบบแรกเปน งาน 2 มติ ิ ทีม่ ีลักษณะของ Fractal แบบรปู ทรงสามเหล่ียมโดยเกดิ จากกการ
แบงตัวออกภายในรูปทรงเดิมซาํ้ รปู แบบเดมิ ไปเร่ือย ๆ

ภาพ 18 รปู แบบแฟร็กทัลแบบรปู สามเหล่ียม
จากภาพจะเห็นไดวา เม่ือแบงตัวออกคร้ังท่ี 1 แลวจะทําใหเห็นผลลัพธที่ไดคลายกับรูปทรงเดิม
ของตัวเองแตอยูในขนาดท่ีเล็กกวา การแบงตัวครั้งท่ี 2 ก็คือการเอาวิธีการแบงตัวของครั้งแรกมาใชกับ
ขนาดท่ีเล็กกวา ในทุกผลลัพธที่ไดจากการแบงตัวคร้ังท่ี 1 ในขั้นตอนการแบงตัวคร้ังท่ี 3 จะใชวิธีการเดียวกัน
กับที่การแบงตัวคร้ังที่ 2 ทํากับการแบงตัวคร้ังท่ี 1 และในขั้นตอนที่ 4 ก็จะใชวิธีการเดียวกันกับท่ีการแบงตัว
ครง้ั ท่ี 3 ทํากบั การแบง ตวั คร้งั ที่ 2 เชนเดียวกนั

17
กรณีศึกษาการเกิด Fractal แบบท่ี 2
กรณีศึกษาแบบที่ 2 เปนงาน 2 มิติ ทีม่ ลี ักษณะของ Fractal แบบรปู ทรงแตกก่งิ โดยเกดิ จากการแตก
ตัวออกจากรูปทรงเดมิ เปน 2 ช้ิน ซ้าํ กนั ไปเรื่อย ๆ

ภาพ 19 รปู แบบแฟรก็ ทลั แบบรูปแตกกิ่ง
จากภาพจะเห็นไดวา ขั้นตอนการแตกตัวออกคร้ังที่ 1 คือ การเอาตัวตั้งตนมาลดขนาดและแทนที่
ลงไปแลว จะทาํ ใหเหน็ ผลลัพธที่ไดค ลา ยกบั รูปทรงเดมิ ของตวั เอง แตอยูในขนาดที่เล็กกวา การแตกตัวคร้ังท่ี 2
จะใชวิธีการเดียวกันกับท่ีการแตกตัวครั้งที่ 1 ทํากับตัวต้ังตน ในข้ันตอนการแตกตัวคร้ังท่ี 3 และครั้งที่ 4
ก็จะใชวธิ ีการทซ่ี ้าํ ในข้นั ตอนแรกเหมอื นกัน
กรณีศกึ ษาการเกิด Fractal แบบท่ี 3
กรณีศึกษาแบบที่ 3 เปนงาน 3 มิติ ท่ีมีลักษณะของ Fractal แบบรูปทรงลูกบาศกลบมุมโดยเกิดจาก
การแบงรูปสี่เหลี่ยมทรงลูกบาศกกออกเปน 8 กอน (แบงครึ่งออกจะได 4 สวนในแตละดาน) จากน้ัน
ลบมมุ ท่ีอยูดานขวาบนออก และทาํ ซ้ําขนั้ ตอนดังกลาวไปเร่อื ย ๆ

ภาพ 20 รปู แบบแฟร็กทลั แบบรปู ทรงลูกบาศกล บมุม

18
จากภาพจะพบวาการเกิด Fractal แบบน้ี เกิดจากการหาสวนท่ีคลายกับตัวต้ังตนเพื่อทําซํ้าขบวนการ
ตัวผลลัพธที่ไดมาไมไดมีรูปทรงคลายกันอยาชัดเจนกับตัวต้ังตน แตมีรองรอยที่คลายกัน คือ เหลือสวนท่ีเปน
เปน มมุ ดา นขวาบนเหลอื อยเู หมอื นกัน จงึ นาํ กระบวนการมาทําการทาํ ซํา้
กรณีศึกษาการเกิด Fractal แบบที่ 4
กรณีศึกษาแบบที่ 4 เปนงาน 2 มิติ ท่ีมีลักษณะของ Fractal แบบรูป Dragon curve โดยเกิดจาก
การสรา งเสน ตงั้ จากขนาดเทากันกนั 2 เสน จากนน้ั ทําการคัดลอกตัวเองและหมุน 90 องศา มาตอกับตัวตั้งตน
ท่ีจุดปลาย นําผลลัพธท่ีไดทั้งหมดมาทําการคัดลอกและหมุน 90 องศาอีกครั้ง และนํามาตอที่จดปลาย นํา
ผลลัพธที่ไดครัง้ น้ีมาทําซํ้าไปเร่อื ย ๆ

ภาพ 21 รูปแบบแฟร็กทลั แบบรูป Dragon curve

19

จากภาพจะพบวาการเกิด Fractal แบบน้ี ไมไดมีเร่ืองของการเปลี่ยนขนาดตัวต้ังตนเขามาเก่ียวของ
ขนาดทีใ่ หญขน้ึ เกิดจากกระบวนการทาํ ซํ้าไปเรื่อย ๆ โดยผลลัพธสดุ ทายแทบไมสามารถมองเห็นความคลายกัน
กบั ตวั ต้งั ตน ถาไมไดม องผา นกระบวนการ จะเห็นความคลายตัวเองเฉพาะผลลพั ธทอี่ ยตู ดิ กนั เทานั้น

จากการศึกษาอาจจะยังไมสามารถสรุปความหมายท่ีชัดเจนของ Fractal ได แตสามารถทําใหเขาใจ
ความหมายผานกระบวนการเกิดของ Fractal กลาวคือ แทจริงแลว Fractal ไมใชรูปทรงแตเปนกระบวนการ
การทําช้ํากฎหรอื กระบวนการกอ นหนาใหไ ดผ ลลัพธเพื่อนําผลลัพธท่ไี ดไ ปสูตวั ตงั้ ตน ทจ่ี ะใชกับกระบวนการเดิม
ไปเร่ือย ๆ

PROCESS / RULE SEED
กระบวนการ ตัวต้ังตน /ผลลัพธ

ภาพ 22 ไดอะแกรมของกระบวนการ Fractal

ตัวอยา งแฟรก็ ทัลทีส่ รางจากรูปเรขาคณิต

เสนโคงวอนค็อด (Von Koch Curve)
ซึ่งสรางไดโดยการแบงสวนของเสนตรงออกเปน
สามสว นเทา กัน ลบสวนท่ีอยูตรงกลางออก แลวแทน
สวนท่ีถูกลบออกดวยดานสองดานท่ียาวเทากับ
ความยาวของสวนท่ีถูกลบออก ทํากระบวนการ
เดียวกันนี้กับสวนของเสนตรงทุกเสนท่ีไดจากการทํา
ในรอบกอนหนา

ภาพ 23 เสนโคง วอนค็อด

20

สามเหล่ียมเซียรพินสกี (Sierpinski ภาพ 24 สามเหลีย่ มเซยี รพนิ สกี
Triangle) ซ่ึงสรางไดโดยการเช่ือมจุดกึ่งกลาง
ของแตละดานของรูปสามเหล่ียม ทําใหเกิดรูป
สามเหล่ียมดานเทาใหมส่ีรูป ทํากระบวนการ
เดิมน้ีกับรูปสามเหลี่ยมใหมที่อยูตรงมุมท้ังสาม
ของรูปสามเหล่ียมใหญ โดยไมสนใจรูป
สามเหลี่ยมใหมท่ีอยูตรงกลาง ทําซํ้าเชนน้ี
ตอไปเรื่อย ๆ ดงั ในรปู จะไดแฟร็กทลั ทมี่ ีลักษณะ
ซบั ซอ นและสวยงาม

น่เี ปนเพยี งบางตัวอยา งของแฟรก็ ทัลทส่ี รางจากรปู เรขาคณติ นอกจากนยี้ ังมีแฟร็กทลั อีกจํานวนมากที่
สรางจากรูปเรขาคณิต สาํ หรับผูที่รจู กั คนั ทอรเ ซต (Cantor set) ก็จะเหน็ วา คนั ทอรเ ซตเปน ตวั อยา งของ
แฟรก็ ทลั ท่สี รางจากสว นของเสนตรงเชน กนั

ภาพ 25 คันทอรเซต

21

แฟรก็ ทลั ทเ่ี กดิ จากจํานวนเชิงซอน

เราสามารถสรางแฟร็กทลั จากฟง กช นั คณิตศาสตรง า ย ๆ ได โดยการคาํ นวณคาของฟงกชันซํา้ ๆ กัน
แบบเวยี นเกดิ ในที่นจ้ี ะเนนเฉพาะแฟร็กทัลทีเ่ กดิ จากฟง กชนั พหนุ ามที่กาํ หนด โดยให

f ( z=) z2 + c

เม่ือ z และ c เปนจาํ นวนเชิงซอน โดยเร่ิมจากการเลือกจาํ นวนเชิงซอ น z0 หาคา ของฟงกช ันท่ี z0

โดยแทนคา z ดว ย z0 จะได f ( z0 ) ทําตอ ไปโดยแทน z ดวย f ( z0 ) จะได f ( f ( z0 )) ถา ทาํ ตอไปอกี

โดยแทน z ดว ย f ( f ( z0 )) จะได f ( f ( f ( z0 ))) ทําซํ้าเชน น้ตี อ ไปเร่ือย ๆ จะไดลาํ ดับของจํานวน

เชงิ ซอ น

z0 , f ( z0 ), f ( f ( z0 )), f ( f ( f ( z0 ))),...

ซง่ึ ถาเขยี นในรูปความสมั พนั ธเวียนเกิด จะได

zn+=1 zn2 + c
เมื่อ n เปนจาํ นวนเต็มท่ีไมเปนลบ จะได

=z1 ( z0 )2 +=c f ( z0 )
z=2 ( z1 )2 +=c
=z3 ( z2 )2 +=c f ( f (z0 ))

f ( f ( f (z0 )))



เราเรยี กลําดบั ของจํานวนเชิงซอน z0 , z1, z2 , z3 ,วา วงโคจรของ z0

ตัวอยา ง เมื่อ c =−0.4 + 0.6i และ z=0 0.5 + i จะได
z1 =(0.5 + i )2 − 0.4 + 0.6i =−1.15 + 1.6i
z2 =(−1.15 + 1.6i )2 − 0.4 + 0.6i =−1.6375 + 3.08i
z3 =(−1.6375 + 3.08i )2 − 0.4 + 0.6i =−7.205 + 10.687i

22
จเู ลยี เซต (Julia set)

ในลาํ ดบั แรกเราจะใหน ยิ ามของฟล ดจูเลียเซต (Filled Julia set) ซ่ึงแทนดวย K, สว นจูเลยี เซตคอื

ขอบ (Boundary) ของเซต Kc
สาํ หรับจาํ นวนเชงิ ซอน C แตละจํานวนทเ่ี ปน คา คงตัว เลอื ก z0 ในระนาบเชิงซอนใหเปน จดุ เรม่ิ ตน

หาวงโคจรของ z0 ทเ่ี กิดจากการใชฟง ก็ชนั f ( z=) z2 + c ซ้ําๆ กนั ถาวงโคจรของ z0 อยูใ กลกัน ไมลู
ออกสอู นนั ต แลว z0 เปนสมาชกิ ของ Kc ในกรณนี จ้ี ะกําหนดสดี าํ ใหแ กจ ุด z0 แตถ าวงโคจรของ z0 ลูออกสู
อนันต แสดงวา z0 ไมเ ปนสมาชิกของ Kc ในกรณนี จ้ี ะกําหนดสขี าวใหแกจุด z0 เพ่อื ความละเอียดและ

สวยงาม อาจกาํ หนดสีใหแตกตา งกัน ซ่งึ ข้นึ อยูกบั ความเร็วทีว่ งโคจรนัน้ ลอู อกสูอ นันต
คําถามคอื จะรูไ ดอยางไรวาเม่ือใดวงโคจรจะลูออกสอู นนั ต มีทฤษฎีที่สามารถพสิ จู นไดไมยากวา ถามี

j ซง่ึ ทาํ ให z0 > max{ c ,2}แลว สมาชกิ ของวงโคจรถัดไปจาก z j จะหา งไกลจากจุดกําเนดิ ออกไปเร่ือย ๆ

และลอู อกสูอนนั ต ดงั นนั้ ในกรณีท่ี c ≤ 2 เราเพยี งตรวจสอบวา มี j ท่ีทาํ ให z j > 2 หรอื ไม ถามี j แสดง
วา วงโคจรของ z0 ลอู อกสอู นนั ต

ภาพ 26 สีดําคือฟล ดจ ูเลียเซต เมือ่ c =−0.4 + 0.6i
จากตัวอยางขา งบน จะเหน็ วา c ≈ 0.7211 และ z2 ≈ 3.4882 ซ่ึงมคี ามากกวา 2 ดังนน้ั วงโคจร
ของ z0 จะลูออกสอู นันต น่นั คือ z=0 0.5 + i เปนสมาชิกของเซต Kc เม่ือ c =−0.4 + 0.6i จะเหน็ วา
แตล ะ c ทีต่ า งกนั จะไดเซต Kc ท่ีตา งกนั ดงั นั้นจึงมีจูเลียเซตเปนจาํ นวนอนันต

23
แมนเดลบรอตเซต (Mandelbrot set)

แมนเดลบรอตเซต คือเซตของจดุ ในระนาบเชงิ ซอนท่เี กิดจากฟงกช ัน
zn+=1 zn2 + c

เชน กนั แตตา งกนั ตรงทก่ี ารสรางแมนเดลบรอตเซต จะเร่ิมตนจาก z0 ท่ีเปนจุดกําเนดิ เสมอ สวน c จะ

แปรเปลยี่ นไปในระนาบเชิงซอน ดงั น้ัน แมนเดลบรอตเซต คอื เซตของจาํ นวนเชงิ ซอ น c ท้ังหลายท่ีมีผลทาํ ให

วงโคจรของ z0 = 0 ไมลอู อกสอู นนั ต ในกรณีนจี้ ะกําหนดสดี ําใหจุด c และกาํ หนดสขี าวใหจดุ c ท่ที ําใหวง
โคจรของ z0 = 0ลอู อกสูอนันต หรือจะกาํ หนดสีอน่ื ๆ เพื่อความสวยงามกไ็ ด และจะกาํ หนดสใี ดข้นึ อยูกับวา

วงโคจรน้นั ลูอ อกสูอนนั ตเ รว็ หรือชาเพยี งใด

ภาพ 27 สดี าํ คือแมนเดลบรอตเซต

บทที่ 3 สามเหล่ียมเซียรพ นิ สกีเปน ยังไงนะ

• สิ่งใดคอื สามเหลยี่ มเซยี รพนิ สกี
• ความสมั พันธเ ชงิ ตัวเลขท่ซี อนอยูในรูปสามเหล่ยี ม

เซียรพนิ สกี

25

ส่งิ ใดคอื สามเหล่ียมเซยี รพนิ สกี

รูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกี (Sierpinski Triangle) เปนแฟร็กทัลประเภทหน่ึงของรูปเรขาคณิต ไดรับ
การต้ังช่ือครั้งแรกในป ค.ศ. 1970 โดยนักคณิตศาสตรชื่อ เบอนัว มองเดลโบร (Benoit Mandelbrot)
สรางขึ้นโดยกระบวนการทําซ้ํา โดยจะเร่ิมจากรูปสามเหลี่ยมดานเทาหน่ึงรูป และครั้งตอไปจะใชรูปท่ีเกิดข้ึน
เปนรูปใหมท่ีจะสรางตอไป โครงสรางที่ซับซอนดังกลาวมีความนาสนใจ ดวยความงดงามที่มีอานุภาพ
สมบัติทางคณิตศาสตรและความสัมพันธเชิงตัวเลขที่ซอนอยูในโครงสรางน้ี ปรากฏใหเห็นมากมาย
อยางนาอัศจรรย มกี ระบวนการสรา ง ดังนี้

1. เร่มิ จากรปู สามเหลี่ยมดา นเทา 1 รปู
2. ลดมาตราสว นของความยาวดา นลงครึง่ หน่งึ
3. ทําสาํ เนา 3 รูป
4. ตดิ รปู ทส่ี าํ เนาไว ซ่งึ มีขนาดเล็กลง 3 รปู ไวท ่ีมุมของรูปสามเหล่ียมเดิม
5. จดั รูปสํานา 3 รูป (ดังขอ 4) ไวดวยกันใหเ ปน รูปเดยี ว
6. จากขอ 5 ดาํ เนนิ การซ้าํ ต้ังแตกระบวนการในขอ 2 ลงมา
โดยมแี ผนผังทแี่ สดงการสรางดงั น้ี

ภาพ 28 กระบวนการสรา งรูปสามเหลี่ยมเซยี รพ นิ สกี (Sierpinski Triangle)
เม่ือดาํ เนินการตามกระบวนการดงั กลา ว โดยใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP)
แลว จะไดรูปสามเหลยี่ มเซียรพนิ สกี (Sierpinski Triangle) มีลกั ษณะ ดงั ตอไปนี้

26

ภาพ 29 การสรา งรูปสามเหลี่ยมเซยี รพ ินสกี (Sierpinski Triangle) ขนั้ ท่ี 0 ถึง ขัน้ ท่ี 5 ตามลําดบั
โดยการทาํ กระบวนการขา งตนซํ้าแลว ซ้ําอกี โดยแตละครัง้ จะใชรปู ท่เี กดิ ขน้ึ เปนรปู ใหมท่ีจะสรางตอไป

โครงสรางท่ีซับซอนนาต่ืนตาตื่นใจดวยความงามที่มีอานุภาพและสมบัติทางคณิตศาสตรจะเร่ิมปรากฏออกมา
จากกระบวนการสรางรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกี (Sierpinski Triangle) ขางตน จะเห็นวาผูเรียน
ไดใ ชกระบวนการทางวิศวกรรมสรางแบบรูปที่มีคุณสมบัติคลายตนเอง (Self-similarity) เพ่ือศึกษาสมบัติทาง
คณติ ศาสตรและความสัมพนั ธเ ชิงตัวเลขท่ีซอนอยใู นโครงสรา งน้ี

27

ความสัมพนั ธเ ชงิ ตวั เลขที่ซอ นอยใู นรปู สามเหลี่ยมเซยี รพินสกี

ความสัมพนั ธเชิงตัวเลขท่ีนา สนใจหลายเรอื่ งสามารถสาํ รวจและคนหา ทาํ ใหอยูในรูปทั่วไป (General
Form) ไดโ ดยใหน กั เรียนใชรูปสามเหลย่ี มเซียรพ นิ สกที ่สี รางขนึ้ โดยใชโปรแกรม The Geometer's
Sketchpad (GSP) บางเรอ่ื งไดใหไวใ นตารางตอไปน้ี

ตาราง 1 ความสัมพันธเ ชิงตัวเลขในรปู สามเหล่ียมเซยี รพินสกี

รูปสามเหล่ียมเซียรพนิ สกี 012345 n
ขั้นท่ี

จํานวนรูปสามเหล่ียมสที ึบ 1 3 9 27 81 243 3n
จาํ นวนรปู สามเหลย่ี มสขี าว 0 1 4 13 40 121 3n − 1
2
จํานวนจุดยอดมมุ ของรูปสามเหลี่ยมสีทึบ an−1 + 3n
3 6 15 42 123 366 (a0 = 3)

จาํ นวนจุดยอดมมุ ของรปู สามเหลย่ี มสขี าว 0 3 12 39 120 363 3  3n − 1 
 2 

อตั ราสว นระหวา งจํานวนรูปสามเหล่ียมสีทึบ 3n
4
( )กับจํานวนรูปสามเหลี่ยมท้ังหมด
1 3 9 27 81 243
4 16 64 256 1024
3n
3 9 27 81 243 2
2 4 8 16 32
เสนรอบรปู รอบ ๆ รปู สามเหลีย่ มสีทบึ ( )1

ตัวอยา ง การหาพจนทวั่ ไปของลาํ ดับของจาํ นวนรปู สามเหลย่ี มสที ึบ
ลําดับของจํานวนรปู สามเหล่ยี มสีทึบในรูปสามเหลยี่ มเซยี รพินสกี คือ 1, 3, 9, 27, 81, 243 , ...
เราจะหาพจนทว่ั ไปของลําดับ 1, 3, 9, 27, 81, 243, … ไดดงั นี้
กาํ หนดให n แทน จาํ นวนขนั้ ของการสรางรูปสามเหลี่ยมเซียรพนิ สกี และ
an แทน พจนท่ี n ของลําดับของจาํ นวนรปู สามเหลี่ยมสีทบึ
จากลําดับ 1, 3, 9, 27, 81, 243, … เราจะไดวา

28

a0 = 1= 30
a1 = 3= 31
a2 = 9= 32
a=3 27= 33
a4= 81= 34
a=5 24=3 35



an = 3n
ดังน้ัน ลําดับ 1, 3, 9, 27, 81, 243, … นี้ จะมีพจนท่ัวไป คือ an = 3n เราจึงไดวา จํานวนรูป
สามเหลี่ยมสที บึ ในรปู สามเหล่ยี มเซียรพินสกี คือ an = 3n เมื่อ n แทน จํานวนขั้นของการสรางรูปลามเหลี่ยม
เซยี รพนิ สกี

ในสภาพท่ีกําหนดใด ๆ ข้ันตอนถัดไปจะมีรูปสามเหล่ียมเปนสามเทาของช้ินสวนรูปสามเหล่ียมเสมอ
ดงั นั้นรูปจะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา แตสภาพที่จํากัด ภาพท่ียอสวนยังจะอยูเหมือนภาพทั้งภาพแนนอน ภาพ
ในอุดมคติเชนนี้คือส่ิงท่ีเปนรูปธรรม ภาพท่ีดีที่สุดที่สามารถแสดงไดคือ ขั้นตอนจํากัดบางขั้น ซึ่งผูสอนอาจ
เช่ือมโยงใหผูเรียนเกิดมโนทัศนทางคณิตศาสตร เรื่องลําดับจํากัด (Finite Sequence) และลําดับอนันต
(Infinite Sequence)

บทท่ี 4 แฟร็กทัลมีประโยชนแ นหรอื

• มติ แิ ฟร็กทัล
• รักษาโรคดวยแฟรก็ ทัล
• แฟร็กทัลอนั ชาญฉลาดทรี่ ูทันเศรษฐกิจ
• แฟร็กทัลอยูในชวี ิตประจาํ วันของเรา

30

มิติแฟร็กทัล

แฟร็กทัลที่เต็มไปดวยสมบัติอันนามหัศจรรยดูเหมือนในนั้นจะมีมิติพิเศษซอนอยูดวย มาดูดีกวา
วาส่ิงที่คาดเดาไวถูกตองหรือไม ในทางคณิตศาสตรไมวาความยาวของเสนตรง 1 มิติจะยาวเทาใดก็ไมอาจ
เติมเต็มระนาบ 2 มติ หิ รอื ปริภูมิ 3 มติ ไิ ด แตเสน โคงในเกล็ดหิมะค็อคซ่ึงลอมรอบพ้ืนที่อันจํากัด และความยาว
รอบรปู ท่ีไมส ้นิ สุดคอนขา งแตกตางจากเสนตรง 1 มิติ พิจารณาจากภาพสวนยอ ยของเกลด็ หิมะค็อคใกล ๆ

ภาพ 30 สว นขยายของเกลด็ หมิ ะค็อด
ไมวาจะขยายภาพเพ่ือใหเห็นในระยะใกลแคไหน เกล็ดหิมะค็อคจะยังคงขรุขระเชนเดิมเสมอ
ซ่งึ หมายความวาเสนโคง น้ไี มใ ชเสนตรง 1 มติ ทิ ั่วไป ถาอยางน้ันจะเปน 2 มิติใชหรือไม แตเทาที่พิจารณาดูแลว
ก็ไมใชรูปรางในระนาบจึงไมอาจเรียกวา 2 มิติได เพราะความยาวอันไมมีที่สิ้นสุดจึงมีขนาดใหญกวา 1 มิติ
ท่วั ไป แตโ ดนจาํ กดั ขนาดพื้นท่ี ทาํ ใหต องอยูใน 2 มติ ิ
ดังนัน้ มองแดลโบรจึงสรางแนวคิดของมิติใหมท่ีเรียกวามิติก่ึงกลางระหวางมิติท่ี 1 และมิติท่ี 2 นั่นคือ
มิติทศนิยม (decimal dimension) ซึ่งไมวาจะหยิบยกสวนใดสวนหน่ึงของเสนโคงค็อคหรือชายฝงทะเล
ที่มีขนาดเล็กมากเพียงใด ก็ไมสามารถวัดความยาวได แตมีความแตกตางเล็กนอยในความขรุขระ ระดับของ
ความขรขุ ระนสี้ ามารถเกดิ มิตทิ ่แี ตกตางกนั ขึ้นมา ตอ ไปมาเรียนรูเกี่ยวกบั การปรากฏข้ึนของมิติใหมกัน
ภาพดานลางสรางข้ึนโดยการเพ่ิมความยาวดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสใหเปน 2 เทาของรูปสี่เหลี่ยม
จัตรุ สั เดมิ ความยาวรอบรูปของรปู สี่เหลย่ี มจตั รุ ัสใหมเพม่ิ ขน้ึ เปน 2 เทา ในขณะทพี่ น้ื ทเี่ พิ่มข้ึนเปน 4 เทา

ภาพ 31 พ้นื ทขี่ องรปู ส่เี หลี่ยมท่ีเกดิ จากการเพิ่มความยาวดาน

31

คราวนี้มาเพ่ิมความยาวดานของลูกบาศกใหเปน 2 เทา ความยาวดานของลูกบาศกใหมเพ่ิมขึ้นเปน
2 เทา พ้ืนที่ผิวเพ่ิมข้ึนเปน 4 เทาเชนเดียวกับกรณีกอนหนาน้ี แตปริมาตรของลูกบาศกเพิ่มข้ึนจากเดิมถึง
8 เทา

ภาพ 32 ปริมาตรของลูกบาศกท่ีเกดิ จากการเพิ่มความยาวดาน
ในกรณีนี้ 2 มาจาก 2 ×1 =21 เทา 2 × 2 =21 หรือ 4 เทา 2 × 2 × 2 =23 หรือาสังเกตไดวา
จํานวน 1, 2 และ 3 นีเ้ ปน มติ ิท่ี 1 คือเสน มิติที่ 2 คอื ระนาบ และมิตทิ ่ี 3 คือพ้ืนท่ี เพราะความยาวท้ังหมดของ
ดานเปน 1 มิติ ความยาวจึงเพ่ิมเปน 21เทา พ้ืนที่เปน 2 มิติ จึงเพ่ิมเปน 22 เทา และปริมาตรเปน 3 มิติ
จึงเพมิ่ เปน 23 เทา
เฟลิกซ เฮาสดอฟฟ (Felix Hausdorff: ค.ศ. 1868-1942) นักคณิตศาสตรชาวเยอรมันใช
ขอเท็จจริงน้ีอธิบายวา เมื่อขยายรูปรางข้ึน x เทา ปริมาณเกิดการเปล่ียนแปลงเปน x n เทา จะเรียกมิติของ
รูปรางนั้นวา n มิติ และเรียกมิติเชนนี้วา มิติเฮาสดอฟฟ (Hausdorff dimension) ตามคํานิยามของ
มิติของเฮาสดอรฟ เสนโคงหรือเสนตรงปกติและรูปรางจะถือวาเปน 1 มิติและ 2 มิติตามลําดับ แตรูปราง
แฟร็กทลั ไมม ีทางจะปรากฏเปนมติ ทิ ี่เปนจํานวนเตม็ ได
ถาอยางนั้นแฟร็กทัลจะปรากฏขึ้นในมิติใด ดูตัวอยางรูปรางงาย ๆ ของแฟร็กทัล น่ันก็คือเกล็ดหิมะ
ค็อคซ่ึงสรางข้ึนมาโดยใชเสนตรง ตามกฎนี้จะทําใหคิดไดวามันคือ 1 มิติ ตอไปจะขยายเกล็ดหิมะค็อคเปน
3 เทาอยางทเี่ คยทํากบั ลกู บาศกท ี่ไดยกตวั อยา งไป
ในตอนนี้หากพยายามจะวัดความยาวดานของเกล็ดหิมะค็อคถือวาเปนเรื่องที่ไรความหมายไปเลย
เพราะไมวา จะกอนหรือหลงั ขยายภาพ ความยาวดา นของเกล็ดหิมะนีก้ ไ็ มม ีที่สิน้ สุดอยูแลว
แฟร็กทัลเหลาน้ีไมไดสรางขึ้นไดแคในระนาบสองมิติเทานั้น แตยังพบปรากฏการณท่ีคลายกันน้ี
จากทรงสี่หนาและทรงหกหนาอีกดวย โดยทําซํ้าวิธีการเดียวกันกับรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกีในแตละหนา
เพื่อสรางพีระมิดเซยี รพินสกี

32

ภาพ 33 แฟร็กทลั ทเ่ี กิดจากการสรา งดว ยวิธกี ารเดียวกบั สามเหล่ียมเซยี รพ นิ สกี
นอกจากนี้ยังสรางฟองนํ้าเมงเงอร (Menger sponge) ไดโดยการแบงแตละหนาของลูกบาศก
ออกเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็ก 9 รูปเทา ๆ กัน และเมื่อนําลูกบาศกขนาดเล็กที่อยูตรงกลางของ
แตละหนาซึ่งมี 6 ลูก และลูกบาศกที่อยูตรงกลางภายในอีก 1 ลูก รวม 7 ลูกออก จะทําใหลูกบาศกใหญ
ถูกแบงออกเปนลูกบาศกเล็กจํานวน 27 ลูก ฟองน้ําเมงเงอรเปนรูปทรงที่สรางข้ึนโดย คารล เมงเงอร (Kar
Menger: ค.ศ. 1902-1985) นักคณติ ศาสตรซ าวออสเตรยี ลองดภู าพในวา มสี วนใดขาดหายไป

ภาพ 34 ฟองน้าํ เมงเงอร (Menger sponge)
จํานวนทรงสี่หนาของพีระมิดเซียรพินสกีและจํานวนลูกบาศกของฟองนํ้าเมงเงอรเพิ่มข้ึนอยางไมมี
ท่ีสิ้นสุด อีกทั้งพ้ืนที่ผิวก็เพิ่มขึ้นอยางไมมีที่ส้ินสุดอีกดวย แตพื้นที่วางภายในยังคงขยายตัวตอเนื่องอยูใน
ขอบเขตของทรงสห่ี นาและลกู บาศก ซ่งึ หมายความวา พ้นื ทผี่ ิวจะเพิ่มข้ึนอยางไมมีที่ส้ินสุด ขณะที่ปริมาตรใกล
จะมีคาเปน 0 ซงึ่ เปน ปรากฏการณที่พบไดเ ฉพาะในแฟรก็ ทัลเทานน้ั

ภาพ 35 การสรา งฟองนํ้าเมงเงอร

33
คราวนี้จะมาดูฟองนํ้าเมงเงอรซ่ึงเปนรูปราง 3 มิติที่ไดกลาวถึงวิธีการสรางแบบคราว ๆ ไปแลว
เมื่อแบงแตละหนาของลูกบาศกออกเปน 9 สวน ดังนั้นจะไดลูกบาศกขนาดเล็ก 27 ลูก เราจะนําลูกตรงกลาง
ของแตละหนา ออกท้งั หมด 6 ลกู รวมถึงลูกท่ีอยตู รงกลางลกู บาศกอ กี 1 ลูก รวมทั้งหมด 7 ลกู
จากนน้ั ทาํ ซํ้าขน้ั ตอนเดิมไปเรอ่ื ย ๆ จํานวนลกู บาศกข นาดเล็กจะเพิ่มขึ้นเร่ือย ๆ ขณะเดียวกันพ้ืนที่ผิว
และพน้ื ที่วา งภายในลกู บาศกก็จะเพ่ิมมากข้ึนไปดวย จนสุดทายปรมิ าตรของลูกบาศกจ ะมีคา เขา ใกล 0
แมภายนอกจะดูเปนรูปทรง 3 มิติ แตถาปริมาตรเขาใกล 0 จึงทําใหรูปทรงน้ี ไมอาจเรียกไดวาเปน
3 มิติ และภาพรวมยงั ไมใ ชเสนโคงท่ีราบเรียบหรือพ้ืนผิวเรียบ ดังนั้นก็ไมใช 2 มิติอีกดวย สรุปฟองนํ้าเมงเงอร
มกี ่ีมติ กิ นั แน มาลองใชว ธิ ีการเดยี วกนั ทเี่ คยใชในเกล็ดหมิ ะคอ็ คดู

ภาพ 36 สว นขยายของฟองนํ้าเมงเงอร
เมอื่ ขยายภาพฟองน้าํ เมงเงอรเ ปน 3 เทา แลว สงั เกตสว นท่เี ปน ลูกบาศกในวงกลม จะเห็นวาในวงกลม
จะมีลูกบาศกสีชมพูอยู 20 ลูก น่ันคือพื้นท่ีผิวของฟองน้ําเมงเงอรเพิ่มขึ้น 20 เทา ถาหาไดวาตองมี 3 กี่ตัว
ท่ีคูณกันแลวได 20 คําตอบน้ันก็คือมิติของฟองนํ้าเมงเงอร เนื่องจาก 3× 3 =9 และ 3× 3× 3 =27 มิติ
ฟองนํ้าเมงเงอรจึงเปนจํานวนที่อยูระหวางจํานวนเฉพาะ 2 กับ 3 และเพราะวา 32.73 ≈ 20 ดังน้ันฟองนํ้า
เมงเงอรจ ึงมีมติ เิ ปน 2.73
ตามคํานิยามของมิติเฮาสดอฟฟแสดงใหเห็นวาแฟร็กทัลเปนมิติทศนิยม กรณีเสนโคงแฟร็กทัลที่
เติมเต็มดานจะปรากฏอยูระหวางมิติท่ี 1 หรือมิติท่ี 2 ขึ้นอยูกับวาจะโคงเพียงใด ย่ิงเสนโคงแฟร็กทัลใกลเคียง
กับเสนตรงมากเทา ไรกย็ ่งิ เขาใกล 1 มติ ิมากเทาน้ัน แตถาโคงมากขึ้นเร่ือย ๆ จนเกือบเต็ม จะไดแฟร็กทัลที่เขา
ใกล 2 มิติ

34

รักษาโรคดว ยแฟร็กทลั

ก า ร ท่ี มิ ติ แ ฟ ร็ ก ทั ล เ ป น มิ ติ ท ศ นิ ย ม มี

ความสําคัญมากเลยหรือ คําตอบคือ ใชแลว มิติ

ทศนิยมน้ีมีประโยชนในหลากหลายดาน เพราะตอนน้ี

กําลังมีการทําวิจัยเพ่ือวินิจฉัยและรักษาโรคของมนุษย

โดยใชแ ฟร็กทลั ทีม่ ีมติ ิทศนยิ ม

โรคพารคินสัน (Parkinson's disease) เปน

ภาพ 37 ผูปวยโรคพารคนิ สัน หน่ึงในโรคที่สําคัญที่เกิดขึ้นในผูสูงอายุ เชนเดียวกับ
โรคสมองเสื่อมโดยมีสัดสวนผูสูงอายุที่อายุ 60 ปข้ึนไป

ไปซ่ึงปวยเปนโรคน้ีอยูประมาณ 1 ใน 1,000 คน การสังเกตอาการในระยะแรกเปนสิ่งสําคัญ แตเนื่องจาก

อาการปรากฏอยา งชา ๆ จึงไมร ูวา จะปวยเปนโรคนี้ตอนไหน

อาการของผูปวยโรคน้ีคือกาวขาลําบากหรือกาวเทาส้ัน ๆ และมีการทรงตัวท่ีไมดี แตเม่ือลองสังเกต
และวิเคราะหการเดินที่ผิดปกติของผูปวยอยูสัก 2-3 นาที ผลลัพธที่ปรากฏคลายคลึงกับการเดินตลอดทั้งวัน
นน่ั คอื มีรปู แบบของแฟรก็ ทัลซอนอยูใ นนน้ั

การปรากฏตัวของรูปแบบแฟร็กทัลเหลาน้ีในรางกายมนุษยไมไดมีเพียงแคการเดินท่ีผิดปกติของ
โรคพารคินสันเทานั้น แตยังรวมถึงอัตราการเตนของหัวใจท่ีผิดปกติหรือคล่ืนสมองของผูปวยที่มีภาวะซึมเศรา
หรือภาวะสมองเสื่อม ดังน้ันนักวิทยาศาสตรจึงสังเกตเห็นโรคน้ีลวงหนาและเร่ิมมองหาวิธีใชแฟร็กทัลใน
การรกั ษา มาดูกันดีกวา วาพวกเขาใชวธิ ใี ดในการรกั ษา

มีการพัฒนาอุปกรณท่ีติดเซ็นเซอรไวกับรางกายผูปวยโรคพารคินสัน เพื่อรวบรวมขอมูลเก่ียวกับ
ความเร็วกบั ทา ทางการเดนิ แลววิเคราะหดวยคอมพิวเตอร จนไดเห็นผลลัพธของมิติแฟร็กทัลของผูปวยวาเปน
มิติท่ี 1.48 และสําหรับคนปกติจะอยูท่ีประมาณ 1.3 ตัวเลขเหลาน้ีใชระบุขอบเขตอาการของผูปวยวาอยูใน
ขั้นใดและใชสําหรับปรบั เปลย่ี นยา ซ่ึงจะชวยลดผลขา งเคยี งของการใชย า

นอกจากนอ้ี ตั ราการเตน ของหวั ใจยังดงึ ดูดความสนใจของนักวิจัยแฟร็กทัลดวยคนสุขภาพดีดูเหมือนมี
อัตราการเตนของหัวใจปกติ แตในความเปนจริงย่ิงเปนคนสุขภาพดี ย่ิงมีอัตราการเตนของหัวใจผิดปกติ
เหมือนกับรูปแบบของความอลวนยังไงละ

35

ดงั นัน้ อัตราการเตนของหัวใจตามลักษณะของโรคหัวใจท่ีปรากฏออกมาจึงเปนมิติแฟร็กทัลและทําให
เกดิ คาตาง ๆ ตามมา เชนเดียวกับการศึกษาวิจัยโรคพารคินสันในตอนนี้ นักวิจัยจึงพยายามศึกษาคนควาวิจัย
มิตแิ ฟรก็ ทลั ของผปู ว ยโรคหวั ใจเพ่ือนํามาใชใ นการวินจิ ฉยั และรักษาอาการปวยของผูปวย

แฟร็กทัลยังใชในการรักษาอาการปวยทางจิต เชน ภาวะซึมเศราและภาวะสมองเส่ือมภาวะสมอง
เส่ือมสามารถแบงออกเปน 2 ประเภทข้ึนอยูกับสาเหตุ แนนอนวาการรักษาก็ยอมตางกันไปดวย แตหากวัด
คล่ืนสมองของผูท่ีมีภาวะสมองเสื่อมจะพบรูปแบบแฟร็กทัลไดหลากหลายมากขึ้นอยูกับประเภทของภาวะ
สมองเสื่อม แมผลลัพธนั้นจะมีสวนชวยในการรักษาได แตถึงอยางน้ันก็ยังวิเคราะหไดยากวาเปนภาวะสมอง
เสอื่ มประเภทใดและยากตอการรกั ษาไดท ันทวงที

งานวิจัยเกี่ยวกับการหาสัญญาณแฟร็กทัลในรางกายมนุษยและใชเพื่อการพัฒนาทางการแพทยได
ดําเนินการมานานกวา 30 ปแลว แตยังมีอีกหลากหลายสวนงานท่ีใชประโยชนจากแฟร็กทัลได ไมมีอะไร
เหมาะสมกบั รา งกายอนั ลึกลับของมนุษยไดด ีเทาแฟร็กทัลอีกแลว

36

แฟร็กทัลอนั ชาญฉลาดท่รี ูทนั เศรษฐกิจ

"วันน้ีหุนก็ตกอีกแลว" หรือ "ราคาน้ํามันดิบระหวางประเทศสูงขึ้นอีกแลว" เคยไดยินผูใหญพูดถึง
เร่ืองนี้ในหนังสือพิมพหรือในขาวบางไหม ฟงดูเหมือนจะเปนเร่ืองยากใชไหม แตขอมูลเหลาน้ีมีอิทธิพลตอ
การใชช ีวติ มากเลยนะ เพราะฉะนัน้ รไู วก็ดี รูเร่ืองแฟรกทัลก็เหมือนลํ้าหนาคนอื่นไปหน่ึงกาว ราคาหุน วัตถุดิบ
หรือนาํ้ มันดบิ ลว นแลว แตเ กีย่ วขอ งกบั แฟรก็ ทลั

มองแดลโบรซ่ึงเปนผูสรางแฟร็กทัลก็ยังเปนนักเศรษฐศาสตรอีกดวย เขาพบวาราคาหุนและวัตถุดิบ
มสี มบตั ขิ องแฟร็กทลั ซึ่งหมายความวา ราคาหนุ หรือราคาสนิ คาโภคภณั ฑไดรบั ผลกระทบจากราคากอ นหนา

นอกจากนี้ยังหมายความวา รูปแบบของการเปลี่ยนแปลงราคาในระหวางวัน จะมีลักษณะคลายกับ
รปู แบบของการเปลีย่ นแปลงราคาในชวงเดอื นหรือป

ในความเปนจริงเอดการ ปเตอรส (Edgar Peters) ซ่ึงเคยทํางานกับบริษัทลงทุนสหรัฐฯ สรุปแลว
แมวาราคาหนุ จะทะยานอยางดุเดือด วิเคราะหไดโดยใชรูปแบบท่ีเหมาะสม Panagora Asset Management
ไดวิเคราะหดัชนีราคาหุนในนิวยอรกโดยใชขอมูลตั้งแต ป ค.ศ. 1928-1989 ทําใหเราไดเห็นวาดัชนีหุนมี
รปู แบบทีแ่ นน อนและเปนมิติแฟร็กทลั 2.33 มติ ิ

ภาพ 38 กราฟแสดงการเปล่ยี นแปลงของดชั นหี นุ ประเทศเกาหลชี ว งหลังป ค.ศ. 1980
โดยใชแฟรก็ ทลั มาวเิ คราะหเสนที่มีลักษณะผดิ ปกติ

37

แฟรก็ ทลั อยูในชวี ิตประจาํ วันของเรา

ในชีวิตประจําวันยังมีการใชรูปทรงเรขาคณิตแฟร็กทัลมากมาย ไมวาจะเปนเสื้อกันหนาวขนหาน
ท่ีสวมใสกันในฤดูหนาว เพราะขนหานมีโครงสรางแฟร็กทัลอยู และโครงสรางแฟร็กทัลของขนหานน้ีเอง
ทีส่ ามารถกกั เก็บความอบอุนได

มีการใชประโยชนจากแฟร็กทัลในหลายวิชา เชน ทางการแพทย ท่ีตองตรวจวิเคราะหอวัยวะ
ในรางกายท่ีผิดปกติ เชน ปอดหรือกอนเนื้อราย ซ่ึงสวนใหญจะเปนรูปเหมือนแฟร็กทัล ทําใหสามารถวินิจฉัย
และรักษาโรคได ทางดาราศาสตรใชแฟร็กทัลศึกษาโครงสรางของจักรวาล ทางอุตุนิยมวิทยาใชแฟร็กทัลใน
การพยากรณอ ากาศ และทางเศรษฐศาสตรการเงิน ใชแฟรก็ ทลั ในการวิเคราะหตลาดหุน เปนตน

ภาพ 39 สรา งจากคอมพวิ เตอร หลงั จากที่มีการคน พบแฟร็กทลั ไดไมนาน การใชประโยชน
โดยใชแฟรก็ ทลั จากแฟร็กทัลไดพัฒนาไปอยางรวดเร็ว ในที่น้ีจะยกตัวอยางการใช
แฟร็กทัลในวงการอุตสาหกรรมและเทคโนโลยีในชีวิตประจําวัน
นักออกแบบกราฟฟกใชแฟร็กทัลในการสรางภาพเสมือนจริง
เพ่ือใชในวงการภาพยนตรและเกมคอมพิวเตอร โดยใชหลักการ
ในทํานองเดียวกับการสรางแฟร็กทัลจากรูปเรขาคณิต คือเร่ิมจาก
รูปเรขาคณิตงาย ๆ แลวกระทําการอยางใดอยางหน่ึงซ้ํา ๆ กัน
จนไดเปนภาพท่ีซับซอน ภาพทิวทัศนหรือภาพของสิ่งที่ไมมีในชีวิต
จรงิ สามารถสรา งไดจ ากแฟรก็ ทลั ภาพภเู ขา น้าํ และเมฆ

Star Trek II - The Wrath of Khan เปนภาพยนตรเรื่องแรกท่ีสรางภาพโดยใชแฟร็กทัล นอกจากนี้
การเก็บขอมูลในคอมพิวเตอรก็ใชประโยชนจากแฟร็กทัลในการบีบอัดขอมูลภาพใหเหลือนอย ซ่ึงทําให
ประหยัดเวลาและพ้ืนท่ีในการเก็บบันทึกขอมูล นอกจากน้ีในภาพยนตรยังสามารถแสดงภาพภูมิประเทศ
อันขรุขระไดเหมือนจริงโดยใชทฤษฎีแฟร็กทัล ดาวเคราะหท่ีปรากฏในภาพยนตรเร่ือง Star Wars: The
Return of the Jedi ถือเปน แฟร็กทลั ที่ยอดเย่ียมท่สี รางข้ึนจากคอมพิวเตอรก ราฟก

ปจจุบันนักวิทยาศาสตรและวิศวกรไดคิดคนเทคโนโลยีใหม ๆ ในป ค.ศ. 2002 บริษัท Fractal
Antenna Systems, Inc. ในประเทศสหรัฐอเมริกา ไดจดสิทธิบัตรเสาอากาศสําหรับระบบส่ือสารไรสาย โดย
วัสดุทใ่ี ชร บั สง สญั ญาณมีรูปรา งเหมือนแฟร็กทัล ทําใหวัสดุมีขนาดเล็กกะทัดรัดและเบา แตมีความยาวของเสน
รอบรูปคอ นขางสูง ซง่ึ ชวยใหการรับสง สญั ญาณมีประสทิ ธภิ าพมากขน้ึ

38

ภาพ 40 ตัวอยา งของแฟร็กทัลบนเสาอากาศ

ที่สําคญั คือรปู ของแฟรก็ ทัลเปนศิลปะที่สวยงาม ศิลปน จาํ นวนมากสรางผลงานโดยใชแฟร็กทัล เชน
M.c. Escher ท่สี รางภาพเทสเซเลชนั (Tesselation) แบบแฟร็กทัล หรอื Roger Johnston ท่ีสรางภาพ
ดอกบวั (Water Lilies)

ภาพ 41 "Circle Limit III" ภาพ 42 "Water Lilies"
ผลงานเทสเซเลชน่ั ของ M.C. Escher ของ Roger Johnston

39

บรรณานกุ รม

ทวิช กองพลิ า. (2558). เรขาคณติ กับสถาปต ยกรรม : การแปลงความสมั พันธทางเรขาคณิตสกู ารออกแบบ
สถาปต ยกรรม (ปริญญานพิ นธมหาบณั ฑติ ). มหาวิทยาลัยศิลปากร, กรงุ เทพมหานคร.

ปยะวัฒน ศรสี ังวาลย. (2560, พฤษภาคม-สิงหาคม). ความงามทางคณติ ศาสตรก ับสะเตม็ ศึกษา: Sierpinski
Triangle Aesthetic in Mathematics along with STEM Education: Sierpinski Triangle.
วารสารคณติ ศาสตร MJ-MATh, 62(692), 69-79.

พงศธร มหาวจิ ิตร. (2552). ผลการจัดกจิ กรรมโครงงานคณิตศาสตรภ ายใตสิง่ แวดลอ มในชีวติ ประจําวนั ที่มีตอ
ความสามารถในการทาํ โครงงานและความสนใจในการเรยี นวิชาคณิตศาสตรข องนักเรียน
ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 (ปรญิ ญานิพนธมหาบณั ฑติ ). มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร, กรุงเทพมหานคร.

มาโนช ประชา. (2554). การประยุกตใชแ ฟรก็ ทลั ไดเมนชนั เพอ่ื หาคณุ สมบัติของรปู ภาพสาํ หรับระบบ CBIR
(ปริญญานิพนธมหาบณั ฑิต). มหาวิทยาลยั เทคโนโลยีราชมงคลธัญบุร,ี ปทมุ ธาน.ี

ศภุ ณฐั ชยั ดี. (2557). คณติ ศาสตรในธรรมชาติ รปู เรขาคณิตสาทิสรปู . เอกสารประกอบการสอนเสรมิ
โครงการหองเรียนพิเศษวทิ ยศาสตร- คณิตศาสตร ระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน โรงเรยี นสุรศักติมนตรี,
มหาวทิ ยาลัยเชียงใหม, เชยี งใหม.

สมพร สตู นิ นั ทโ อภาส. (2561, มกราคม-กุมภาพนั ธ). แฟร็กทัลกับระบบพลวัต : กรงุ เทพฯ จมนํ้าเพราะงูเขยี ว
ตวั เดยี ว. นิตยสาร สสวท., 46(210), 16-21.

สนั ติรักษ ประเสริฐสขุ . (2547, มกราคม). เรขาคณติ เศษสวนในสถาปตยกรรมและผังเมือง. วารสารวิจยั และ
สาระสถาปตยกรรมและการผังเมอื ง, 1(2), 155-170.

โอ ฮเยจอ็ ง. (2563). ทฤษฎคี วามอลวนและแฟร็กทัล : เกงคณติ ดว ยตัวเองจนคุณครตู กใจ[Mastering
Elementary Math : The Chaos and Fratal] (พิมพครงั้ ที่ 1) (ธชั ชา ธีรปกรณชยั ). นานมีบุคส :
กรงุ เทพมหานคร,(2020)

Ankit G., Akshat A. & Ashish N. (2014). A Review on Natural Phenomenon of Fractal
Geometry. International Journal of Computer Applications, 86, 1-7.

Patuano A. & Tara A. (2020). Fractal Geometry for Landscape Architecture: Review of
Methodologies and Interpretations. Journal of Digital Landscape Architecture, 5,
72-80.

Sala N. (2006). Fractal geometry and architecture: some interesting connections. Eco-
Architecture: Harmonisation between Architecture and Nature, 86, 163-173.