ตรีโกณมิติ ม5

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 49

3. จงหาคา่ ของ cos2 20° + cos2 40° + cos2 60° + … + cos2 160°

4. ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้อง [PAT 1 (ต.ค. 55)/9]

1. cos 75° = (2 − √3) cos 15°

2. cos 10° + sin 40° = cos 20°

3. ถ้า เป็นจานวนจริงใดๆแล้ว tan 3 = cos 2 +cos 4
cot cos 2 −cos 4
4. ถ้า และ เป็นจานวนจริงใดๆแล้ว sin 2 + cos 2 = 2 sin( − ) cos( + )

50 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

5. จงหาคา่ ของ 2 sin2 60° (tan 5° + tan 85°) − 12 sin 70° [PAT 1 (ม.ี ค. 55)/28]

6. sin 25° sin 85° sin 35° ตรงกบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (พ.ย. 57)/6]
sin 75°
1. tan 15° 2. sin 15° sin 75°

3. cos 20° cos 40° cos 80° 4. sec 420°

ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 51

7. กาหนดให้ เป็นจานวนจริงใดๆ ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (มี.ค. 57)/11]
1. 16 sin3 cos2 = 2 sin + sin 3 − sin 5
2. sin 3 = (sin 2 + sin )(2 cos − 1)

8. กาหนดให้ 8 cos(2 ) + 8 sec(2 ) = 65 เม่อื 0 < < 90° คา่ ของ 160 sin( ) sin(5 ) เทา่ กบั เทา่ ใด
22
[PAT 1 (พ.ย. 57)/40]

52 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

9. คา่ ของ arctan (2 cos 10°−cos50°) เทา่ กบั กี่องศา [PAT 1 (ม.ี ค. 58)/8]
sin 70°−cos 80°

10. จงหาคา่ ของ (cos2 70° + cos2 20°)(cos2 50° + cos2 10°) − sin 40° sin 80°

11. ถ้า และ เป็นจานวนจริงโดยที่ 0 < < < 90° และสอดคล้องกบั สมการ tan( + ) = 5 tan( − )
แล้ว (sin 2 )(cosec 2 ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 58)/14]

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 53

12. จงหาคา่ ของ cos 72° + cos 144°

13. พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี ้ ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (ต.ค. 55)/8]

1. cos + cos 3 + cos = 1
55 2
2. tan 7 − tan 3 = cosec
16 8 8

14. จงหาคา่ ของ tan 20°+4 sin 20° [PAT 1 (ธ.ค. 54)/31]
sin 20° sin 40° sin 80°

54 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

15. คา่ ของ cos 36°−cos72° เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 53)/30]
sin 36° tan 18°+cos 36°

16. คา่ ของ 44 44 [PAT 1 (ก.ค. 53)/29]

cosn sinn

n1 − n1 เทา่ กบั เทา่ ใด

44 44

sinn cosn

n1 n1

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 55

สมการตรีโกณมติ ิ #

สมการตรีโกณมติ ิ คอื สมการทม่ี ฟี ังก์ชนั ตรีโกณมติ อิ ยใู่ นสมการ
โดยปกตแิ ล้ว สมการตรีโกณมิติ มกั จะมี “หลายคาตอบ” เนื่องจาก

 sin (และ cosec) ใช้คา่ จากแกน Y ค่ี − ค ู่ +
ดงั นนั้ “มมุ สะท้อนแกน Y” จะมคี า่ sin เทา่ กนั เสมอ

เช่น sin 30° = sin 150° เป็นต้น

จากรูป สตู รหามมุ สะท้อนแกน Y ของ คอื ค ู่ + และ ค่ี −

 cos (และ sec) ใช้คา่ จากแกน X 2 +
ดงั นนั้ “มมุ สะท้อนแกน X” จะมคี า่ cos เทา่ กนั เสมอ
เชน่ cos 30° = cos(−30°) เป็นต้น
จากรูป สตู รหามมุ สะท้อนแกน X ของ คอื 2 + และ 2 − 2 −

 tan (และ cot) ใช้คา่ จากแกน Y หาร แกน X ค ู่ +
ดงั นนั้ “มมุ สะท้อน 2 แกน” จะมคี า่ tan เทา่ กนั เสมอ
เชน่ tan 30° = tan 210° เป็นต้น
จากรูป สตู รหามมุ สะท้อน 2 แกนของ และ +

ค่ี +

หมายเหต:ุ cosec คิดเหมอื น sin , sec คิดเหมือน cos , cot คิดเหมือน tan

ในการแก้สมการตรีโกณ เราจะหา “คาตอบพนื ้ ฐาน” ทตี่ วั เลขน้อยๆ ออกมากอ่ น
sin , tan , cosec → คาตอบพนื ้ ฐานจะอยใู่ นช่วง −90° ถึง 90°
cos , cot , sec → คาตอบพนื ้ ฐานจะอยใู่ นชว่ ง 0° ถึง 180°

จากนนั้ เราจะนาคาตอบพนื ้ ฐานท่ไี ด้ มาสะท้อนหาคาตอบท่ีเหลอื ในชว่ งมมุ ท่โี จทย์ต้องการ

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ∈ [0 , 2 ] จงแก้สมการ cos = − √3
2

วิธีทา หา เลขน้อยๆซกั ตวั ทท่ี าให้ cos = − √3 จะได้ = 150°
2
จากนนั้ เราจะสะท้อนมมุ 150° เพือ่ หาคาตอบทเ่ี หลอื

สมการ cos ต้องสะท้อนแกน X โดยเอาเฉพาะชว่ ง [0 , 2 ]

จากรูป จะได้คาตอบคอื 150° และ 210°

ในกรณีทีโ่ จทย์ ไมร่ ะบชุ ว่ งคาตอบที่ต้องการ เรานิยมใช้สตู รสะท้อน ดงั นี ้

sin , cosec → มมุ สะท้อนแกน Y ของ = + (−1) เมอื่ เป็นจานวน
cos , sec → มมุ สะท้อนแกน X ของ = 2 ± เต็มอะไรก็ได้
tan , cot → มมุ สะท้อน 2 แกน ของ = +

56 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

ตวั อยา่ ง จงแก้สมการ sin = 1
2
วธิ ีทา หา เลขน้อยๆ ท่ีทาให้ sin = 1 จะได้ = 30° =
26
สมการ sin ต้องหามมุ สะท้อนแกน Y ของ
6

จะได้คาตอบ คอื = + (−1) ( ) #
6 #

ตวั อยา่ ง จงแก้สมการ sin + cos = 1 เม่อื ∈ [0, 2 ]
วิธีทา ใช้สตู รผลบวกผลตา่ งมมุ จดั รูป sin + cos ให้ง่ายขนึ ้ ได้ดงั นี ้

sin + cos =1

(√22) sin + (√22) cos = √2
2

cos 45° sin + sin 45° cos = √2
2

sin( + 45°) = √2

2

สมการ sin = √2 จะมีคาตอบพนื ้ ฐานคอื = 45° ดงั นนั ้ คาตอบทวั่ ไป คอื + (−1) (45°)
2
ดงั นนั ้ + 45° = + (−1) (45°) จะได้ = + (−1) (45°) − 45°

แทน = … , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … แล้วเลอื กตอบเฉพาะ ∈ [0, 2 ]

= −1: = −180° − 45° − 45° = −270° ใช้ไมไ่ ด้
= 0 : = 0° + 45° − 45° = 0° ใช้ได้
= 1 : = 180° − 45° − 45° = 90° ใช้ได้
= 2 : = 360° + 45° − 45° = 360° ใช้ได้
= 3 : = 540° − 45° − 45° = 450° ใช้ไมไ่ ด้

ดงั นนั ้ จะได้คาตอบคอื = 0°, 90°, 360°

เทคนิคทกุ อยา่ งจากเร่ืองสมการ สามารถนามาใช้กบั การแก้สมการตรีโกณมติ ิได้ทงั้ หมด
ไมว่ า่ จะเป็นเทคนิคการแยกตวั ประกอบแล้วจบั แตล่ ะวงเลบ็ = 0
หรือ เทคนิคการเปลย่ี นตวั แปร เชน่ sin2 + sin − 2 → 2 + − 2
(ถ้าจะให้ = sin หรือ cos ต้องตดั คาตอบ ให้เหลอื เฉพาะ −1 ≤ ≤ 1 เทา่ นนั้ )

ตวั อยา่ ง จงแก้สมการ cos 2 = cos
วิธีทา ข้อนี ้ทาได้หลายวธิ ี วธิ ีแรกคอื กระจาย cos 2 แล้วแยกตวั ประกอบ

cos 2 = cos
2 cos2 − 1 = cos
2 cos2 − cos − 1 =0
=0
(2 cos + 1)(cos − 1)

cos = − 1 cos = 1

2 = 2 ± 0
= 2
= 2 ± 2

3

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 57

อกี วิธี อาศยั หลกั วา่ cos 2 กบั cos จะเทา่ กนั ได้ เมอ่ื 2 และ เป็นมมุ สะท้อนแกน X ซง่ึ กนั และกนั
นนั่ คอื 2 = 2 ±

2 = 2 + 2 = 2 −
= 2
3 = 2

= 2
3

โดยทงั้ สองวิธี เม่อื แจงคาตอบออกมา จะได้คาตอบชดุ เดยี วกนั #

แบบฝึกหดั

1. กาหนดให้ ∈ [0 , 2 ] จงแก้สมการตอ่ ไปนี ้

1. sin = 1 2. cos = 1
2 2

3. tan = 1 4. cot = −√3

2. จงแก้สมการตอ่ ไปนี ้ 2. sec = −2
1. cosec = √2

3. tan = √3 4. sin = − 1
5. sin 2 = cos 2

58 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 2. sin2 + cos + 1 = 0

3. กาหนดให้ ∈ [0 , 32 ] จงแก้สมการตอ่ ไปนี ้
1. 4 sin2 = 1

3. cos 3 = cos

4. กาหนดให้ sin − sin 2 + sin 3 = 0 โดยที่ 0 < <
2
แล้ว tan − tan 2 + tan 3 จะมีคา่ เทา่ ใด

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 59

5. พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี ้เม่ือเอกภพสมั พทั ธ์ คอื เซตของจานวนจริง ข้อใดถกู ต้องบ้าง
1. ∃ (cot 2 − cot = 0)
2. ∀ (sin4 + cos4 = 1 − 1 sin2 2 )

2

6. สาหรับ 0 ≤ ≤ 2 กาหนดให้ = { | −3 cos = 2 sin2 และ cos < 0 }
และ = { sec 3 − cos 2 | ∈ } จงหาคา่ ของผลบวกของสมาชิกทงั ้ หมดทอ่ี ยใู่ น

7. กาหนดให้ sin − sin 2 + sin 3 = 0 โดยท่ี 0 < <
2

ถ้า และ = tan −tan 2 = sin 3 +sin 4 +sin 5 แล้วคา่ ของ 4 + 4 เทา่ กบั เทา่ ใด
cos −cos 2 cos 3 +cos 4 +cos 5
[PAT 1 (ม.ี ค. 57)/36]

60 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

8. กาหนดให้ 180° < < 270°
ถ้า 3(2)sin (4)cos2 = 2(3)sin แล้วจงหาคา่ ของ 3 tan2 − 2 sin 3 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/8]

9

9. ให้ เป็นเซตคาตอบของ cos = cos ( ) จานวนสมาชกิ ในเซต ∩ (0, 24 ) เทา่ กบั เทา่ ใด
4
[PAT 1 (มี.ค. 54)/33]

ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 61

10. กาหนดให้ เป็นจานวนจริง และสอดคล้องกบั สมการ 5(sin + cos ) + 2 sin cos = 0.04
คา่ ของ 125(sin3 + cos3 ) + 75 sin cos เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/33]

11. จงแก้สมการ 4 sin + 12 sin 3 + 36 sin 9 = 27 − 1
1+2 cos 2 1+2 cos 6 1+2 cos 18 sin 27

62 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

ฟังก์ชนั อาร์ค

หวั ข้อนี ้จะเรียนเก่ียวกบั “อินเวอร์ส” ของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ ซงึ่ จะหมายถึง ฟังก์ชนั ทใี่ ห้ผลลพั ธ์กลบั กนั กบั ฟังก์ชนั ปกติ

เนื่องจาก sin, cos, tan จะเปลย่ี น “มมุ เป็นคา่ ” เช่น sin 30° = 1 sin
2 30° 1
ดงั นนั้ อินเวอร์ส จะเปลย่ี นกลบั จาก 1 เป็น 30° ดงั รูป 2
2 sin−1

เนื่องจากฟังก์ชนั ตรีโกณ เป็นแบบ many to one (เช่น sin 30° กบั sin 150° ได้ 1 เทา่ กนั )
2
ดงั นนั้ อินเวอร์ส จะมผี ลลพั ธ์ได้หลายคา่ และจะไมใ่ ช่ฟังก์ชนั (เช่น sin−1 จะโยง 1 ไปท่ี 30°, 150°, 390°, … เป็นต้น)
2
อยา่ งไรกต็ าม นกั คณิตศาสตร์ต้องการอินเวอร์สท่ีไมก่ ากวม จงึ กาหนด “ฟังก์ชนั arc” ขนึ ้ มา

โดยถ้าอยากได้อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั ไหน เราจะเติม arc เข้าไปข้างหน้า เชน่ arcsin , arccos , arctan เป็นต้น

หลกั ทว่ั ๆไปในการหาอนิ เวอร์สด้วยฟังก์ชนั arc คอื ให้ตอบมมุ ท่ี “เลขน้อยทีส่ ดุ ” แคม่ มุ เดียว

เช่น sin 30° = sin 150° = 1 แตถ่ ้าถาม arcsin 1 ให้ตอบ 30° มมุ เดยี ว
2 2

sin (−30°) = sin 210° = − 1 แตถ่ ้าถาม arcsin (− 1) ให้ตอบ −30° มมุ เดยี ว เป็นต้น
22

ดงั นนั ้ arcsin √3 = 60° , 120° arccos √3 = 30° , 150°
2
2

arcsin(− √3) = −60° , 240° , 300° arctan(−1) = −45° , 135° , 315°

2

arccot √3 = 30° , 210° arcsec(−2) = 120°, 240°

โดยเราจะต้องจาวา่ arcsin , arctan , arccosec จะได้มมุ ในชว่ ง −90° ถึง 90°

arccos , arccot , arcsec จะได้มมุ ในชว่ ง 0° ถงึ 180°

หรือถ้าตอบในหนว่ ยเรเดยี น เราจะสรุปโดเมน กบั เรนจ์ ของฟังก์ชนั อาร์ค ได้ดงั นี ้

กลมุ่ −90° ถงึ 90° กลมุ่ 0° ถึง 180°
โดเมน เรนจ์ โดเมน เรนจ์

arcsin [−1, 1] [− , ] arccos [−1, 1] [0, ]
arctan R
arccosec 22 arccot R (0, )
(−∞,−1] ∪ [1, ∞) arcsec (−∞,−1] ∪ [1, ∞) [ 0, ) ∪ ( , ]
(− , )
22
22

[− , 0) ∪ (0, ]

22

เน่ืองจากฟังก์ชนั อาร์ค เป็นการแปลงย้อนกลบั ดงั นนั ้ arcsin(sin ) = และ sin(arcsin ) =
แตต่ ้องอยา่ ลมื วา่ ประโยคดงั กลา่ ว จะเป็นจริงเฉพาะเม่ือ อยใู่ นขอบเขตของโดเมนกบั เรนจ์ที่ระบใุ นตารางเทา่ นนั้
กลา่ วคอื sin(arcsin ) = จริงเฉพาะเม่ือ อยใู่ น “เรนจ์” ของ sin นนั่ คอื เมอ่ื ∈ [−1, 1]

arcsin(sin ) = จริงเฉพาะเมื่อ อยใู่ น “เรนจ์” ของ arcsin นนั่ คือ เมื่อ ∈ [− , ]
22

ดงั จะเหน็ ได้จาก arcsin (sin 150°) = arcsin (12) = 30° ≠ 150°

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 63

และเนอ่ื งจาก sin(arcsin ) = ดงั นนั ้ arcsin คือ “มมุ ที่ sin แล้วได้ ” นน่ั เอง #
เราสามารถใช้สามเหลย่ี ม แสดง “มมุ ที่ sin แล้วได้ ” ได้ดงั รูป #

1 C
arcsin
A จากพีทากอรัส จะได้ AB = √12 − 2 = √1 − 2

B

เมอ่ื รู้ AB เราจะสามารถหาฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิอืน่ ๆ ของมมุ arcsin ได้

เชน่ cos(arcsin ) = √1 − 2 tan(arcsin ) = เป็นต้น
√1− 2

ในกรณีทเ่ี ป็นฟังก์ชนั อาร์คของเลขตดิ ลบ ให้แยกคดิ เคร่ืองหมาย กบั ตวั เลข
 ตอนคิดเครื่องหมาย ให้พจิ ารณาจตภุ าคของฟังก์ชนั อาร์คเป็นหลกั โดยไมต่ ้องสนใจตวั เลข
 ตอนคิดตวั เลข ให้เปลย่ี นเลขตดิ ลบเป็นเลขบวก แล้วคิดเป็นมมุ ในจตภุ าคท่ี 1 ได้เลย

แล้วจึงเอา เคร่ืองหมาย กบั ตวั เลข ที่ได้ มาแปะตดิ กนั แล้วตอบ

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ sin (arcsec (− 54))
วิธีทา 1. คิดเคร่ืองหมาย ตามจตภุ าคกอ่ น

arcsec (− 45) คือมมุ ท่ี sec แล้วได้ − 5 → sec เป็นลบ แปลวา่ เป็นมมุ ใน Q2 หรือ Q3
4

ดงั นนั้ sin (arcsec (− 5)) = sin Q2 → ได้เครื่องหมายเป็นบวก

4

2. คิดตวั เลข แบบไมต่ ้องสนใจเครื่องหมาย C
B
arcsec 5 คอื มมุ ที่ sec แล้วได้ 5 → วาดได้ดงั รูป 5
44
จากพีทากอรัส จะได้ BC = 3
arcsec 5
ดงั นนั ้ sin (arcsec (− 5)) = 3 4
45 A
4

รวมเคร่ืองหมายจาก 1. กบั ตวั เลขจาก 2. จะได้ sin (arcsec (− 5)) = 3
45

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ cosec (arctan (− 4))
3

วธิ ีทา 1. คดิ เคร่ืองหมาย ตามจตภุ าคกอ่ น

arctan (− 34) คือมมุ ท่ี tan แล้วได้ − 4 → tan เป็นลบ แปลวา่ เป็นมมุ ใน Q2 หรือ Q4
3

ดงั นนั้ cosec (arctan (− 4)) = cosec Q4 → ได้เครื่องหมายเป็นลบ

3

2. คิดตวั เลข แบบไมต่ ้องสนใจเครื่องหมาย C

arctan (4) คอื มมุ ที่ tan แล้วได้ 4 → วาดได้ดงั รูป 4
33
จากพที ากอรัส จะได้ AC = 5 B
arctan 4
ดงั นนั ้ cosec (arctan (4)) = 5 A 3
34 3

รวมเคร่ืองหมายจาก 1. กบั ตวั เลขจาก 2. จะได้ cosec (arctan (− 4)) = − 5
34

64 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ sin(2 arctan 2)

วิธีทา จากสตู ร sin มมุ 2 เทา่ จะได้ C
2
sin(2 arctan 2) = 2 sin(arctan 2) cos(arctan 2) = √22 + 12 B
= √5
=2× 2 × 1 A #
arctan 2
√5 √5 1

=4

5

อยา่ งไรก็ตาม มีสตู รทีน่ ยิ มทอ่ งกนั ดงั นี ้
1. สตู รอนิ เวอร์ส

sin(arcsin ) = cosec(arccosec ) =
cos(arccos ) = sec(arcsec ) =
tan(arctan ) = cot(arccot ) =

2. สตู รสว่ นกลบั cosec(arcsin ) = 1

sin(arccosec ) = 1

sec(arccos ) = 1

cos(arcsec ) = 1

cot(arctan ) = 1

tan(arccot ) = 1



3. สตู รโคฟังก์ชนั

arcsin + arccos = 90°
arctan + arccot = 90°
arcsec + arccosec = 90°

4. สตู รพิทากอรัส

sin(arccos ) = √1 − 2
cos(arcsin ) = √1 − 2

หมายเหตุ : สตู รเหลา่ นี ้จะเป็นจริงเมื่อ อยใู่ นโดเมนของฟังก์ชนั arc ในสตู รเทา่ นนั้

โจทย์อกี ประเภท คอื การแก้สมการอาร์ค
สว่ นใหญ่วิธีแก้ คือให้ใสฟ่ ังก์ชนั ตรีโกณมติ เิ ข้าไปทงั้ สองข้าง เพอื่ ตดั ฟังก์ชนั อาร์คให้หายไป
และก่อนตอบ ให้ตรวจคาตอบด้วยเสมอ

ตวั อยา่ ง จงแก้สมการ arcsin = arccos
วธิ ีทา arcsin = arccos

sin(arcsin ) = sin(arccos ) C
= √1 − 2
= √1 − 2 1 B

2 = 1 − 2 arccos
2 2 = 1 A

2 = 1

2

= ±√1 = ±√2

22

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 65

ตรวจคาตอบ: แทน = √2 จะได้ arcsin √2 = 45° = arccos √2 จริง #
22 2

แทน = − √2 จะได้ arcsin (− √2) = −45°
22

แต่ arccos (− √2) = 135° ดงั นนั ้ − √2 ไมใ่ ชค่ าตอบ
22

ดงั นนั้ คาตอบของข้อนี ้จงึ มเี พียง = √2
2

แบบฝึกหดั 2. arccos 0
1. จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้

1. arcsin √2
2

3. arctan(−√3) 4. arccosec(−1)

5. arccos (− √2) 6. arcsin (− √2)
2 2

2. จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้ 2. cos (arcsin 34)
1. sin (arcsin 13)

3. sin (arccos (− 2)) 4. sec (arctan − 3)
3 4

5. sin (arcsin 1 + arccos 1) 6. cot (arccot 2 − arccot 3)
32

66 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

7. tan (arctan 3 + arctan 2 + arccot 1)

3. จงแก้สมการตอ่ ไปนี ้ 2. sin (2arctan ) = 3
1. arcsin = − 5

3

3. arccos 2 + arccos =
2

ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 67

4. ถ้า เป็นจานวนจริงท่มี ากทส่ี ดุ โดยท่ี 0 < < 1 และสอดคล้องกบั
arctan(1 − ) + arccot(21 ) = 2arcsec√1 + 2 (1 − ) แล้ว คา่ ของ cos เทา่ กบั เทา่ ไร

5. กาหนดให้ เป็นจานวนจริง ถ้า arcsin = แล้วคา่ ของ sin ( + arccos( 2)) อยใู่ นชว่ งใด
4 15
[PAT 1 (ก.ค. 53)/6]

1. (0, 21) 2. (12 , √12) 3. (√12 , √23) 4. (√23 , 1)

6. sin(arctan 2 + arctan 3) เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 49/1-7]

68 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

7. cot (arccos √2 − arccos 12+√√36) มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 57)/12]

3

8. คา่ ของ sec2 (2 arctan 1 + arctan 71) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/28]
3

9. คา่ ของ sec2(arctan 2) + cosec2(arccot 3) + cosec (2 arccot 2 + arccos 3) เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้
5
[PAT 1 (ต.ค. 58)/6]

1. 335 2. 351 3. 375 4. 385 5. 399
24 24 24 24 24

ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 69

10. ถ้า arcsec = arcsin 1 − 2 arccos 2 แล้ว cot ( + arcsec ) เทา่ กบั เทา่ ใด
√17 √5 2
[PAT 1 (ต.ค. 55)/10]

11. คา่ ของ cot(arccot 7 + arccot 13 + arccot 21 + arccot 31) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 54)/7]

12. คา่ ของ tan[arccot 1 − arccot 1 + arctan 97] เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/31]
5 3
sin[arcsin 153+arcsin 1132]

70 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

13. กาหนดให้ = arcsin (cos ) และ 0 < <
32
sin2 + sin2( + ) + sin2(5 + ) ตรงกบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (ต.ค. 58)/7]

1. 0 2. 1 3. 3 − sin 2
4. 3 − cos 2 5. 3 − 2 cos 2 2

2 2

14. กาหนดให้ 0 < < 15° คา่ ของ = arctan ( 3 cos ) − arccot ( cos ) เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้
1−3 sin 3−sin
[PAT 1 (เม.ย. 57)/12]

1. arctan(cot ) 2. arctan(tan ) 3. arctan(sin ) 4. arctan(cos )

15. ถ้า (sin + cos )2 = 3 เมอื่ 0 ≤ ≤ แล้ว arccos(tan 3 ) มคี า่ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-6]
24

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 71

16. ถ้า arcsin(5 ) + arcsin( ) = แล้วคา่ ของ tan(arcsin ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/13]
2

17. กาหนดให้ 0 < < โดยท่ี = arctan (1√− +√ 1 ) − arctan(√ ) เมอื่ 0 < < 1
2
คา่ ของ tan + cot เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 56)/32]

18. ถ้า เป็นจานวนจริงท่มี ากสดุ โดยที่ 0 < < 1 และสอดคล้องกบั
arctan(1 − ) + arccot ( 1 ) = 2 arcsec √1 + 2 (1 − ) แล้ว คา่ ของ cos เทา่ กบั เทา่ ใด

2

[PAT 1 (ม.ี ค. 56)/10]

72 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

19. ให้ −1 ≤ ≤ 1 เป็นจานวนจริงซง่ึ arccos − arcsin =
2552

แล้ว คา่ ของ sin (25 52) เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (มี.ค. 52)/13]
1. 2 2. 1 − 2 2 3. 2 2 − 1 4. −2

20. ข้อใดถกู ต้องบ้าง [A-NET 50/1-12]
1. tan 14° + tan 76° = 2 cosec 28°
2. ถ้า > 0 และ sin(2 arctan ) = 4 แล้ว ∈ (1 , 3)

53

21. ให้ เป็นเซตคาตอบของสมการ arccos( ) = arccos( √3) + arccos(√1 − 2)
และให้ เป็นเซตคาตอบของสมการ arccos( ) = arcsin( ) + arcsin(1 − )
จานวนสมาชกิ ของเซต ( − ) เทา่ กบั เทา่ ใด เมอื่ ( ) แทนเพาเวอร์เซตของเซต
[PAT 1 (มี.ค. 55)/29]

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 73

22. กาหนดให้ = arcsin 3 + arccot 5 − arctan 8
5 3 19
1 1
ถ้า เป็นเซตคาตอบของสมการ arccot 2 + arccot 3 = จงหาผลคณู ของสมาชิกใน

[PAT 1 (ธ.ค. 54)/16]

23. ให้ และ เป็นมมุ แหลมของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก โดยที่ tan =


ถ้า cos (arcsin (√ 2 + 2)) + sin (arccos (√ 2 + 2)) = 1 แล้ว sin มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด
[PAT 1 (ม.ี ค. 53)/29]

74 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

การนาไปใช้กบั สามเหลย่ี ม

ในเลขพนื ้ ฐาน เราได้เรียนวธิ ีนาความรู้ในเร่ืองอตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิไปใช้หาความยาวด้านของสามเหลย่ี มมมุ ฉากมาแล้ว
ในเร่ืองนี ้เราจะได้เรียนกฎเก่ียวกบั สามเหลยี่ มเพมิ่ อกี 2 กฎ คือ กฎของ cos และ กฎของ sin
ซง่ึ 2 กฎนจี ้ ะสามารถนาไปใช้กบั สามเหลยี่ มอะไรก็ได้ ไมต่ ้องจาเป็นต้องเป็นสามเหลย่ี มมมุ ฉากเหมอื นเมื่อก่อน

กฎของ cos C 2 = 2 + 2 − 2 cos A
2 = 2 + 2 − 2 cos B
2 = 2 + 2 − 2 cos C

A B

กฎของ sin C

= = (= 2R)
sin A sin B sin C

A B

ตวั อยา่ ง จากรูป จงหา AB C

5 60° 6

AB

วธิ ีทา จากกฎของ cos จะได้ AB2 = 52 + 62 − 2(5)(6) cos 60°

ดงั นนั ้ AB = √31 = 25 + 36 − 2(5)(6) (1) = 31

2

#

ตวั อยา่ ง สามเหลย่ี ม ABC มีด้านทงั้ สาม ยาว 3, 5 และ 7 หนว่ ย ตามลาดบั จงหาวา่ สามเหลย่ี ม ABC เป็นสามเหลย่ี ม

มมุ แหลม, สามเหลยี่ มมมุ ฉาก หรือ สามเหลย่ี มมมุ ปา้ น

วธิ ีทา ถ้าอยากจะรู้วา่ เป็นสามเหลย่ี มแบบไหน ต้องหาวา่ มมุ ทใ่ี หญ่ท่สี ดุ ของสามเหลยี่ ม
7 3 เป็นมมุ แหลม มมุ ฉาก หรือมมุ ปา้ น

มมุ ท่ใี หญ่ทสี่ ดุ ของสามเหลย่ี ม ก็คือมมุ ทอ่ี ยตู่ รงข้ามด้านทย่ี าวท่สี ดุ นน่ั เอง
5

เนอ่ื งจาก cos มมุ แหลมเป็นบวก cos มมุ ฉากเป็นศนู ย์ และ cos มมุ ปา้ นเป็นลบ

เราจะใช้กฎของ cos เพ่ือหาเครื่องหมายของ cos

72 = 52 + 32 − 2(3)(5) cos #

2(3)(5) cos = 25 + 9 − 49
cos = − 15 = − 1

60 4

จะเห็นวา่ cos เป็นลบ ดงั นนั้ เป็นมมุ ปา้ น นนั่ คือสามเหลยี่ ม ABC เป็นสามเหลย่ี มมมุ ปา้ นนน่ั เอง

ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 75

ตวั อยา่ ง จากรูป ถ้า sin = 1 และกาหนดให้ B เป็นมมุ ปา้ น จงหา cos B #
3

C

6
3

AB

วธิ ีทา ข้อนี ้ไมร่ ู้ความยาว AB จะใช้ยงั ไมส่ ามารถใช้กฎของ cos เพ่อื หา cos B ได้

แตจ่ ะเหน็ วา่ ใช้กฎของ sin เพ่ือหา sin B ก่อนได้ ดงั นี ้

3 =6

sin A sin B

sin B = 6 × sin A = 6 × 1 = 2
3 3 3 3
แตจ่ ากเอกลกั ษณ์ sin2 B + cos2 B = 1

จะได้ cos B = ±√1 − sin2 B = ±√1 − (2)2 = ±√1 − 4 = ± √5
3 93

แตโ่ จทย์บอกวา่ มมุ B เป็นมมุ ปา้ น ดงั นนั้ cos ต้องเป็นลบ ดงั นนั้ cos B = − √5
3

แบบฝึกหดั 2.
1. จากรูป จงหาคา่
3 120°
1. 7

4 60° 5



3. √39 4.

5 30°


7 45° 4

5.

45°


3 75°

76 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

2. กาหนดสามเหลย่ี ม ABC มี Â = 30° และ Ĉ = 105° จงหาคา่ ของ AC
BC

3. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มทมี่ มี มุ A เทา่ กบั 60°, BC = √6 และ AC = 1
คา่ ของ cos(2B) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 52)/12]

4. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี ม โดยมี , และ เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A มมุ B และ มมุ C ตามลาดบั
ถ้ามมุ C เทา่ กบั 60° = 5 และ − = 2
แล้วความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลย่ี ม ABC เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 55)/6]

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 77

5. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มใดๆ ถ้าด้านตรงข้ามมมุ A ยาว 14 หนว่ ย ความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลย่ี ม
เทา่ กบั 30 หนว่ ยและ 3 sin = 5 sin แล้ว sin 2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 56)/16]

6. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มทม่ี มี มุ B และมมุ C เป็นมมุ แหลม โดยที่ 25 cos B − 13 cos C = 15 ,
65(cos B + cos C) = 77 และด้านตรงข้ามมมุ C ยาว 20 หนว่ ย ความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลย่ี ม ABC
เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/32]

78 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

7. กาหนดให้ เป็นรูปสามเหลย่ี มโดยมคี วามยาวของด้านตรงข้ามมมุ มมุ และมมุ เทา่ กบั หนว่ ย
หนว่ ย และ หนว่ ย ตามลาดบั สมมตุ ิวา่ มมุ มขี นาดเป็นสามเทา่ ของมมุ และ = 2
ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (พ.ย. 57)/3]
1. เป็นรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก
2. ถ้า = แล้ว สอดคล้องกบั 3 3 − 9 2 − + 3 = 0

8. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มใดๆ โดยที่มีความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A มมุ B และมมุ C เทา่ กบั
หนว่ ย หนว่ ย และ หนว่ ย ตามลาดบั ถ้ามมุ A มขี นาดมากกวา่ 90° มมุ B มขี นาด 45°
และ √2 = (√3 − 1) แล้ว cos2(A − B − C) + cos2 B + cos2 C เทา่ กบั เทา่ ใด
[PAT 1 (ม.ี ค. 57)/33]

ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 79

9. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มใดๆ ถ้า , และ เป็นความยาวด้านของด้านตรงข้ามมมุ A มมุ B และ
มมุ C ตามลาดบั โดยท่ี 1 + 1 = 3 แล้ว sin C เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/16]

+ + + +

10. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มซงึ่ มดี ้านตรงข้ามมมุ A, B, C ยาว 2 , 3 , 4 ตามลาดบั ถ้า sin A = แล้ว

cot B + cot C มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้ [A-NET 50/1-13]

1. 1 2. 3. 1 4.
6 6 3 3

11. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ ม ดงั รูป

A

B DE C

ถ้ามมุ AB̂C = 30° BÂC = 135° และ AD และ AE แบง่ มมุ BÂC ออกเป็น 3 สว่ นเทา่ ๆกนั

แล้ว EC มีคา่ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/7]
BC

80 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

12. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มและ D เป็นจดุ กง่ึ กลางด้าน BC
ถ้า AB = 4 หนว่ ย, AC = 3 หนว่ ย และ AD = 5 หนว่ ย แล้วด้าน BC ยาวเทา่ กบั เทา่ ใด

2

[PAT 1 (ก.ค. 52)/12]

13. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มทม่ี ดี ้าน AB ยาว √2 หนว่ ย
ถ้า BC3 + AC3 = 2BC + 2AC แล้ว cot C มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-7]

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 81

14. ในรูปสามเหลยี่ ม ABC ใดๆ ถ้า , และ เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A มมุ B และ มมุ C ตามลาดบั

แล้ว 1 cos A + 1 cos B + 1 cos C เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (ก.ค. 53)/7]

1. 2+ 2+ 2 2. ( + + )2 3. ( + + )2 2+ 2+ 2
2 2 4.

15. ให้ A, B และ C เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลยี่ ม ABC และ Â < B̂ < Ĉ

โดยท่ี tan A tan B tan C = 3 + 2√3 และ tan B + tan C = 2 + 2√3

ข้อใดถกู ต้องบ้าง [A-NET 51/1-16]

1. tan C = 2 + √3

2. Ĉ = 5
12

82 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

16. กาหนดให้รูปสามเหลยี่ ม ABC มดี ้านตรงข้ามมมุ A, B, C ยาว , , ตามลาดบั
และ (sin A − sin B + sin C)(sin A + sin B + sin C) = 3 sin A sin C
จงหาคา่ ของ √3 cosec2 B + 3 sec2 B [PAT 1 (ธ.ค. 54)/43]

17. กาหนดให้ เป็นรูปสามเหลยี่ มใดๆ มคี วามยาวตรงข้ามมมุ , และ เป็น , และ หนว่ ยตามลาดบั
ถ้า 2 + 2 = 31 2 แล้วคา่ ของ 3 tan (cot + cot ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/32]

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 83

18. กาหนด เป็นรูปสามเหลย่ี ม โดยที่ จดุ ยอด จดุ ยอด และจดุ ยอด อยบู่ นเส้นรอบวงของวงกลมวงหนง่ึ มี

รัศมีเทา่ กบั หนว่ ย ถ้าความยาวของด้านตรงข้ามมมุ และมมุ เทา่ กบั และ หนว่ ยตามลาดบั

มมุ ̂ เทา่ กบั 18° และมมุ ̂ เทา่ กบั 36° แล้วคา่ ของ − เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้

[PAT 1 (มี.ค. 58)/7]

1. 2. 1 3. 1 4. 1
2 4 16

19. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ ม โดยท่มี คี วามยาวของด้านตรงข้ามมมุ A มมุ B มมุ C เทา่ กบั หนว่ ย หนว่ ย

และ หนว่ ย ตามลาดบั และมมุ A มขี นาดเป็นสองเทา่ ของมมุ B ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้อง [PAT 1 (เม.ย. 57)/11]

1. 2 = 2 + 2. 2 = 2 + 3. 2 = 2 + 4. 2 = 2 +

84 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

การวดั มมุ ในหนว่ ยเรเดยี น

1. 1. (0, 1) 2. (−1, 0) 3. (−1, 0) 4. ( 1 , √3 )
5. (0, 1) 2 2
9. (0, −1)
13. ( 1 , − √3 ) 6. ( √2 , √2 ) 7. (− 1 , √3 ) 8. ( 1 , − √3 )
22 22 22
22
10. (− √3 , − 1 ) 11. (− √2 , √2 ) 12. ( √3 , 1 )
ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 2 2 2 2 2 2

14. (− √3 , − 1 ) 15. (0, −1) 16. ( 1 , − √3 )
22 22

1. 1. 1 2. −1 3. √3 4. √2
5. 2 6. 1 8. 1
9. − 1 7. − 1 12. 1
√3 2
2 3
10. 4 11. หาไมไ่ ด้
การวดั มมุ ในหนว่ ยองศา 3

1. 1. 420° 2. 144° 3. 18180° 4. −450°
2. 4. −15
2. 1. 5 2. − √3 3. 2
6 9 4. หาคา่ ไมไ่ ด้
2
3. 1. 1 3. −√3
2

การแปลงมมุ เป็นรูปอยา่ งง่าย

1. 1. sin 2. − cos 3. tan 4. − cos
5. cosec 6. cos 7. − tan 8. − sec
9. − cosec 10. − tan 11. sec 12. sec
13. − cot 14. cot 15. sin 16. − sin
17. − cosec 18. cos 19. tan 20. − cosec
21. − sin 22. − tan 23. sin 80° 24. − cos 40°
25. − tan 15° 26. − sec 10° 27. − cosec 55° 28. − cot 70°
2. 0
2. 1. 0

3. 0 #
สงั เกตวุ า่ cos 20° = − cos 160° ดงั นนั ้ cos3 20° = − cos3 160°

cos 40° = − cos 140° ดงั นนั ้ cos3 40° = − cos3 140°
cos 60° = − cos 120° ดงั นนั ้ cos3 60° = − cos3 120°
cos 80° = − cos 100° ดงั นนั ้ cos3 80° = − cos3 100°
จะเห็นวา่ ผลบวกทีโ่ จทยถ์ าม จะหกั กนั ได้เป็นคๆู่
ดงั นนั ้ cos3 20° + cos3 40° + cos3 60° + … + cos3 160° = 0

ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 85

ตาราง 2. 0.4643 3. 0.6009 4. 0.0904
6. 1.5052 7. −0.3719 8. −0.7623
1. 1. 0.1880 10. 1.9511 11. −68.7501 12. 1.5398
5. 2.77995
9. 0.3706

กราฟฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

1. 1. 1 2. 1 3. 0.05 4. 3
2. 1. 2 2. 2 3. 4
6. 1
5. 2 2 4. 1
3 600

3. = 5 , = 4. = −3 , = , 3

ทบทวนสตู รเกา่

1. 1. 1 2. √3 3. 1 4. 1
5. 1 2 7. −1 √3
9. 1
6. 1 8. −1

2. LHS = 1+sin +1−sin = 2 = 2(cos2 +sin2 ) = 2 cos2 + 2 sin2 = RHS
1−sin2 cos2 cos2 cos2 cos2


3. 19

= 4(1 − cos2 ) + 11 cos − 1 → 0 = 4 cos2 − 11 cos − 3 = (4 cos + 1)(cos − 3)

จะได้ cos = − 1 , 3 → วาดสามเหลยี่ ม ได้ ชิด = −1, ฉาก = 4 → ข้าม = ±√15
4
ดงั นนั ้ cot2 ( + 2 ) + sec( − 3 ) = tan2 − sec = (± √115)2 − (−4) = 19

4. 0 5. 181 6. 373

สตู รผลบวกผลตา่ งมมุ

1. 1. − 7 2. −1 3. 24 4. 0
25 2. 1 25 4. 18
4. √6+√2
2. 1. 17 18 3. 6
6 17 4
2. √6−√2
3. 1. √6−√2 4 3. √6+√2 4. sin
4 4
5. −2 − √3 6. 2 + √3 4. 1
2. −cos 3. sin 2
4. 1. cos 6. −tan
5. −tan 3. 1 8. 1
2. √2 2
5. 1. √2 2
2 7. √2
5. 1 6. √6
2 2

86 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

9. 1 10. 2 11. −2 12. 2
6. 125 7. 16 8. 2 9. 222

65

สตู รมมุ สองเทา่ สามเทา่ คร่ึงเทา่

1. 1. − 4 2. − 24 3. − 7 4. 336
5 25 25
4. 625
2. 1. 1 2. √2 3. 1 8. 1
2 4 4 4.
5. 1 4. 4
2 6. 4 7. 2 1
8.
3. 1. 4 3 4 12. 4 2 3
5 5 3 4
2. − 3. − 9 −
4. 1. 117
125 2. 44 3. 117 16. 4 44
125
5. √6−√2 44 117
4
6. 15 7.
9. 16

13. 2 − 2√2 10. 6 11. 2

17. 1 14. 2 15. 1

18. 681 19. 25
126

20. 1 > sec 2° − tan 2°
สมมตใิ ห้ sec 1° − tan 1°

1 − sin 1° > 1 − sin 2°

cos 1° cos 1° cos 2° cos 2°
1−sin 1°
cos 1° > 1−sin 2°
cos 2°
cos 2° − sin 1° cos 2°
> cos 1° − sin 2° cos 1°

sin 2° cos 1° – sin 1° cos 2° > cos 1° − cos 2°

sin (2 − 1)° > cos 1° − cos 2°

cos 2° > cos 1° − sin 1°

cos2 2° > cos2 1° + sin2 1° − 2 sin 1° cos 1°

1 − sin2 2° > 1 − sin 2°

sin 2° > sin2 2°

เน่ืองจาก sin 2° < 1 ยิง่ ยกกาลงั จะยิง่ น้อย ดงั นนั้ sin 2° > sin2 2° จึงถกู ต้อง ดงั นนั้ >

ถดั มา เราจะตรวจสอบวา่ มากกวา่ 1 หรือไม่

สมมติให้ sec 1° − tan 1° > 1

1−sin 1° >1
cos 1°

1 − sin 1° > cos 1°

1 > sin 1° + cos 1°

1 > sin2 1° + cos2 1° + 2 sin 1° cos 1°

0> 2 sin 1° cos 1°

เนอื่ งจาก 0 < 2 sin 1° cos 1° ดงั นนั้ ทส่ี มมตไิ มถ่ กู ต้อง ดงั นนั้ < 1 ยิง่ ถอดรูทจะยง่ิ มาก ดงั นนั้ √ >

และเน่ืองจาก > ดงั นนั้ √ > √ ดงั นนั้ √ มากที่สดุ

ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 87

21. 27.25 22. 3

23. 8

จาก sin2 + cos2 = 1 ได้ sin4 + cos4 = 1 − 2 sin2 cos2

จะได้ LHS = sin4 +cos4 +cos2 +sin2 = 2−2 sin2 cos2 = 4−sin2 2 = 7
sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 2
แก้สมการ ได้ sin2 2 = 8 ได้ cos2 2 = 1 → tan2 2 = 8
99

24. 178 25. 1, 2

สตู รแปลงผลคณู กบั ผลบวกลบ

1. 1. 1 2. 1 3. sin 2 +sin 4. − 1
2 4 2 2
5. 1
8 6. √3 3. 0 4. 0
8
2. 1. √6
2 2. − √2
5. √3 2

6. 0

3. 3.5

สงั เกตวา่ cos 20° = − cos 160° ดงั นนั ้ cos2 20° = cos2 160°

cos 40° = − cos 140° ดงั นนั ้ cos2 40° = cos2 140°

cos 60° = − cos 120° ดงั นนั ้ cos2 60° = cos2 120°

cos 80° = − cos 100° ดงั นนั ้ cos2 80° = cos2 100°

ดงั นนั ้ ผลบวก = 2(cos2 20° + cos2 40° + cos2 60° + cos2 80°)

= 2(cos2 20° + cos2 40° + 1 + cos2 80°)
4
= 1 + 2(cos2 20° + cos2 40° + cos2 80°)
2
= 1 + 2 (1+cos 40° + 1+cos 80° + 1+cos 160°)
22 2 2
= 1 + 3 + cos 40° + cos 80° + cos 160°
2
= 1 + 3 + 2 cos 60° cos 20° + cos 160°
2
= 1+3+
2 cos 20° + cos 160°

= 1 + 3 + 0 = 3.5
2
4. 1 5. 6 6. 2 7. 1, 2
11. 2
8. 55 9. 60 10. 3
4 3

12. − 1
2

= 2 cos 108° cos 36° = 2 sin 18° cos 36° = 2 sin 18° cos 18° cos 36° = sin 36° cos 36° = sin 72° = 1
cos 18° cos 18° 2 cos 18° 2

13. 2 14. 8 15. 1 16. 2
2

88 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

สมการตรีโกณมติ ิ

1. 1. 30° , 150° 2. 60° , 300° 3. 45° , 225° 4. 150° , 330°
3. + 4. + (−1) (− )
2. 1. + (−1) ( ) 2. 2 ± 2
43 3 6
5. 2 ± หรือ + (−1) ( )
26 3. 0°, 90°, 180°, 270°

3. 1. 30°, 150°, 210° 2. 180°

4. 2√3

sin − sin 2 + sin 3 = (sin + sin 3 ) − sin 2 = 2 sin 2 cos − sin 2

= (2 cos − 1)(sin 2 ) = 0 → cos = 1 หรือ sin 2 = 0 → = 60°, 0°, 90°
2

tan − tan 2 + tan 3 = √3 − (−√3) + 0 = 2√3

5. 2

ต้องแก้สมการ cot 2 = cot จาก cot = cot เมอ่ื = + จะได้ 2 = + → =

แต่ cot จะหาคา่ ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ข้อ 1 เท็จ

sin4 + cos4 = (sin2 + cos2 )2 − 2 sin2 cos2 = 1 − 1 (2 sin cos )2
2
1
= 1 − 2 sin2 2 → 2 จริง

6. 3 7. 153 8. 3 9. 20

10. 1

11. 2 +
2

4 sin = 4 sin = 4 sin2 ทาแบบเดยี วกนั ทส่ี องตวั ทเ่ี หลอื ได้ 12 sin2 3 กบั 36 sin2 9
1+2 cos 2 3−4 sin2 sin 9 sin 27
sin 3

ย้าย ไปลบกบั ทางขวา ได้36 sin2 9 sin2 9(3−4 sin2 9 ) 9
sin 27 27 sin 27 sin 9
27 27−36 9 = = 9 sin 27 =
sin 27 sin (sin 27 )(sin
9 )

ย้าย 12 sin2 3 ไปลบกบั 9 ท่ีเหลอื แบบเดียวกนั ได้ 3(3−4sin2 3 ) = 3
sin 9 sin 9 sin 9 sin 3
ย้าย 4 sin2 ไปลบกบั 3 ทเี่ หลอื แบบเดียวกนั ได้ 3−4 sin2 3 = 1
sin 3 sin 3 sin 3 sin
ดงั นนั ้ สดุ ท้ายเหลอื 0 = 1 − 1 → sin = 1 → = 2 +
sin 2

ฟังก์ชนั อาร์ค

1. 1. 45° 2. 90° 3. −60° 4. −90°
5. 135° 6. −45° 4. 5
3. √5
2. 1. 1 2. √7 3 4
3 4
7. 0
5. 1+2√6 6. 7 3. √5
6
5
3. 1. − √3 2. 1 , 3
2 3

4. 1
2

ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 89

วาดสามเหลย่ี มจะได้ tan(arccot ( 1 ) ) = 2 และ tan(arcsec√1 + 2 (1 − )) = √2 (1 − )
2

ใส่ tan ตลอด ได้ 1− +2 = 2√2 (1− ) ตดั สว่ นทงั้ สองข้าง เหลอื 1 + = 2√2 (1 − )
1−(1− )(2 ) 1−2 (1− )
ยกกาลงั สอง ได้ 1 + 2 + 2 = 8 − 8 2 → 9 2 − 6 + 1 = 0 → = 1 → cos = 1
32

5. 4 6. 1 7. √3 8. 2
√2
9. 4 10. 13 11. 13 12. 1
16 4
16. 1
13. 4 14. 2 15. 0 5

17. 2 18. 1 19. 2 20. 1, 2
2
21. 1 22. 1 23. 0.5
6

การนาไปใช้กบั สามเหลย่ี ม

1. 1. √21 2. 5 3. 60° 4. 4√2

5. 3√6 3. 3 4. 45 5. − √3
2 4 8. 2 2
12. 5
2. √2 7. 1 16. 4 9. √3
11. 1 2
6. 54
10. 3 √3 13. 1
14. 1 √3
18. 1 15. 1, 2
19. 3 17. 0.2