Dimensi Tigal | i GEOMETRI DIMENSI TIGA
Dimensi tiga | 1 A. Pendahuluan Secara umum, menuntut ilmu matematika sama halnya dengan menghafal rumus-rumus tertentu. Dengan banyak buku pelajaran dan lembar kerja. Akibatnya para siswa sering merasa jenuh dan menghindar dari pelajaran matematika, bahkan mereka juga melontarkan pertanyaan seperti, "apa sih kegunaan matematika dalam kehidupan nyata, Apa manfaat Dimensi Tiga? Apa fungsi bangun ruang? Kenapa trigonometri sering kali dikataan sangat penting dalam ehidupan nyata?". Mereka sering mengajukan teka-teki itu kepada atasan mereka. Mereka mengajukan pertanyaan itu karena siswa merasa jengkel dengan pelajaran matematika yang sangat menjenuhkan. Namun nyatanya, matematika sangatlah berguna dikehidupan nyata, mulai dari yang tidak sulit hingga yang paling sulit. Matematika digunakan supaya melatih rasa ingin tahu yang vital, modern, inovatif, tidak memihak dan mampu menjernihkan masalah. Jelas bahwa matematika melakukan fungsi yang sangat vital dalam kehidupan normal, kita tidak dapat menghindari matematika, karena mateamtika dipakai dalam kehidupan nyata seperti pemakaian tiga dimensi dalam keberadaan nyata. B.Batang Tubuh 1.Pengertian dimensi tiga Dimensi Tiga adalah suatu benda yang memiliki ruang, dimensi tiga mempunyai beberapa konsep seperti titik, posisi, dan bidang dipelajari dari sebuah bentuk 3 dimensi.
2 | Dimensi tiga 1.1 Kubus Kubus adalah suatu bangun ruang yang mempunyai enam sisi, duabelas rusuk dan dan delapan titik sudut titik sudut. kubus merupakan bangun ruang 3 dimensi yang mempunyai enam bidang sisi yang sama-ukuranya berbentuk bujur sangkar. Rumus volume kubus: = 3 = × × Rumus luas permukaan kubus: = 6 × 2 Keterangan: V = volume S = sisi Lp= luas permukaan Jarring-jaring kubus Gambar diatas menyatakan bahwa, sisi yang bertatapan adalah persegi yang memiliki warna kongruen. K L N M O P R Q Gambar 1.1 Gambar1.2 Gambar 1.3
Dimensi tiga | 3 Contoh soal mencari volume kubus: diketahui sisi kubus adalah 8cm, maka berapakah volume kubus? Penyelesaian: = 3 = 8 3 = 8 × 8 × 8 = 5123 Contoh soal mencari luas permukaan kubus: Diketahui sisi kubus adalah 3cm, maka luas permukaan kubus adalah? Penyelesaian: = 6 × 2 = 6 × (3 × 3) = 6 × 9 = 542 1.2 Balok Balok adalah suatu bangun datar yang ditentukan oleh tiga pasang sisi sejajar yang berbentuk persegi atau persegi panjang,paling sedikit satu pasang sisi sejajar atau berbeda ukuran. 8cm m Gambar 1.4 3cm Gambar 1.5
4 | Dimensi tiga Balok memiliki ciri-ciri yaitu: - memiliki enam sisi, sisi yang saling berhadapan memiliki bentuk dan ukuran yang sama - memiliki delapan titik sudut - memiliki dua belas rusuk V W Jaring-jaring balok Pada gambar diatas menyatakan bahwa, sisi yang bertatapan adalah persegi yang berwarna sama.Jaring-jaring balok memiliki 6 buah persegi juga tetapi setiap persegi tersebut bisa saja berbeda ukuran dan bentuknya, kecuali sisi yang saling berhadapan. P Q R S T U Rumus-rumus balok Volume= × × Luas =2 × ( + + ) Gambar 2.1 Gambar 2.2 Gambar2.3
Dimensi tiga | 5 supaya lebih memahami materi ini sebaiknya kita perhatikan contoh-contoh soal berikut: Contoh soal mencari volume balok: 12 , 8 , 6 . ℎℎ ! Penyelesaian: Diketahui: p=12 cm l = 8 cm t = 6 cm V= × × V=12 × 8 × 6 V= 572 cm 12 cm 8 cm 6 cm Rumus Volime = × × Gambar 2.4 Keterangan: p = Panjang l = Lebar t = Tinggi V = Volume
6 | Dimensi tiga Contoh soal mencari luas balok: Sebuah wadah berbentuk balok memiliki Panjang 19cm, lebar 14 cm dan tingginya 12cm.hitung lah luas dari permukaan wadah tersebut! Gambar 2.5 Penyelesaian: = 2 × ( + + ) = 2 × (19. 14 + 19. 12 + 14. 12) = 2 × (2662 + 2282 + 1682) = 2 × 662 2 = 1.3242 19 cm 14 cm 12 cm Rumus luas permukaan balok Luas =2 × ( + + ) Keterangan: L =luas pl=Panjang dan luas pt=Panjang dan tinggi lt=luas dan tinggi
Dimensi tiga | 7 1.3 Prisma Prisma merupakan bangun datar yang mempunyai dua bagian penampang. bagian yang menghubungkan kedua bagian ini disebut penutup prisma. Prisma mempunyai keistimewan yaitu sebagai berikut: 1. Sisi alas dan tutupnya konsisten dan sejajar. 2. mempunyai sisi vertikal dan sisi sejajar. Macam-macam prisma: Prisma segiempat prisma segitiga prisma segilima Rumus-rumus prisma = = (2 ) + : = = Gambar 3.1 Gambar 3.2 Gambar 3.3
8 | Dimensi tiga Jarring-jaring prisma Prisma segiempat adalah prisma yang alas dan atasnya berbentuk persegi panjang, serta mempunyai muka tegak persegi atau persegi panjang. Prisma segiempat juga bisa disebut balok dan kubus. Prisma segilima adalah prisma yang memiliki alas dan bagian atas berbentuk segi lima, serta memiliki muka tegak persegi atau persegi panjang. Untuk menemukan pola mata jaring pada prisma pentagonal, buka bidang samping pada beberapa lipatan samping. Prisma segiempat Gambar 3.4 Gambar 3.5 Prisma segitiga Gambar 3.6 Prisma segilima Prisma segitiga Jaring-jaring prisma segitiga terdiri dari 2 segitiga yang kongruen dan 3 persegi panjang. contoh gambar diatas pola jala prismatik, yaitu prisma segitiga dengan alas dan atap segitiga siku-siku.
Dimensi tiga | 9 Contoh soal menghitung volume prisma Suatu prisma mempunyai tinggi 14 dan alas prisma itu menyerupai segitiga siku-siku masing-masing berukuran 6 dan 5 . hitunglah volume prisma segitiga tersebut! Penyelesaian: Rumus volume segitiga V =( 1 2 Luas alas × tinggi)× tinggi prisma V =( 1 2 × 6 × 5) × 14 V = 15× 14 V = 210 3 Sebuah prisma segiempat mempunyai ukuran panjang 22 , dengan lebar 14 dan tinggi 12 , berapakah luas dan juga volume prisma tersebut? Penyelesaian: Luas L = 2(. + . + .) L = 2(22.14 + 22.12 + 14.12) L = 2× 740 cm L = 1.480 2 Volume V = . . V = 22 × 14 × 12 V = 3.696 3
10 | Dimensi tiga 1.4 Limas Iimas terdiri dari beberapa poligon. Jadi, apa itu limas? Garis besar limas didefinisikan sebagai bangun datar dan dibatasi oleh alas berbentuk poligon, tegak persis segitiga Keunikan yang dipunyai oleh bangun ruang limas: 1.mempunyai beberapa sisi 2.beberapa titik sudut 3.banyak rusuk Rumus-rumus limas Rumus menghitung luas permukaan limas Luas permukan limas = + = ( × ) + (2 × × ) ℎ = 1 3 × ×
Dimensi tiga | 11 Jarring-jaring limas Untuk mengetahui jarring-jaring limas dapat kita lihat dari bentuk alas dan juga sisi tegak dari limas. lihatlah contoh jarring-jaring limas dibawah ini. Contoh soal 1 Diketahui alas limas berbentuk segitiga siku-siku dengan 6cm,13cm, 15cm.jika limas tersebut memiliki tinggi 18 , jadi berapakah volumeelimas tersebut? Penyelesaian: = 1 2 × × = 1 2 × 6 × 13 = 392 Volume = 1 3 × × Volume = 1 3 × 392 × 18 = 2343 Gambar 4.1 Gambar 4.2
12 | Dimensi tiga Contoh soal 2 Sebuah bangunan berbentuk limas persegi mempunyai volume 4003 .dan panjang rusuk alasnya adalah 10cm, jadi berapakah luas permukaan dari bangunan tersebut? Penyelesaian: Rumus:1 3 × × = × = 10 × 10 = 1002 Tinggi limas = 1 3 × = 4003 1002 = 4 Tinggi sisi tegak limas Untuk menentukan sisi tegak limas kita memakai teorema Pythagoras maka didapat: = √5 2 + 4 2 = √25 + 16 = √41 =6 cm Luas sisi tegak= 4 × ( 1 2 × 10 × 6) = 4 × 302 = 1202 Luas permukaan limas= + − L= 1002 + 1202 = 2202
Dimensi tiga | 13 1.5 Silinder Silinder adalah bangun datar dengan dua luas penampang bundaran berukuran sama besar dan sejajar. bagian penutup tabung adalah bagian persegi panjang yang melengkung di sepanjang keliling bagian melingkar. Sifat-sifat silinder 1.memiliki dua bidang sisi, sisi alas yang saling sejajar,yaitu lingkaran yang berukuran sama.Sisi tegak berupa sisi melengkung,yang biasanya disebyt selimut tabung atau silinder 2.mempunyai duah rusuk,yaitu alas dan tutup tabung 3.tidak mempunyai titik sudut. Jarring-jaring silinder t r Rumus-rumus silinder Volume: V= ( 2 ) × Luas permukaan: L= (2 × ) + Gambar 5.1 Gambar 5.2 Gambar 5.3
14 | Dimensi tiga Contoh soal Diketahui sebuah silinder memiliki volume 39.250 3 dan Panjang jari-jarinya adalah 50 cm.Berapakah tinggi dari silinder tersebut? Penyelesaian: Diketahui: V= 39.2503 r=50 cm ditanya t? V= ( 2 ) × t = : × × t = 39.2503 : (3,14 × 50 × 50) t = 39.2503 : (3,14 × 2.500) t = 39.2503 : 7.850 t = 5 t? 50cm V=39.2503 Gambar 5.4
Dimensi tiga | 15 contoh soal Sebuah silinder memiliki volume 21.195 3 ,dan memiliki tinggi 60 cm, maka berapakah jari-jari dari silinder tersebut? Penyelesaian: Luas alas= : Luas alas= 21.1953 : 60 = 353,25 Luas alas= × 2 Maka: 2 = : 2 = 353,25: 3,14 2 = 112,5 2 = √112,5 = 10,60 60cm r ? V=21.195 3 Diketahui: Volume: 21.195 3 Tinggi:60 cm Ditanya:r? Gambar 5.5
16 | Dimensi tiga 1.6 kerucut Kerucut adalah bidang ruang yang meliputi alas lingkaran dan titik sudut yang ditutupi dengan penampang bulat dan busurnya melengkung semulus keliling lingkaran. Jarring-jaring kerucut Irisan kerucut Selainn rangka atau jaring kerucut, ada juga istilahhyang disebutt “irisankerucutt”. Perpotongannkerucut adalah tempat kedudukan semua titik yang membentuk kurva dua dimensi dan dibentuk oleh perpotongannkerucut dengan bidang.ada empat bagian irisan kerucut yaitu: 1. Parabola 2. hyperbola 3. elips 4. lingkaran rumus-rumus kerucut: volume: V= 1 3 ( 2 ) × r= − t= luas permukaan: L = 2 + L= s= t s r Gambar 6.1 Gambar 6.2
Dimensi tiga | 17 Contoh soal Diketahui sebuah kerucut memiliki jari-jari alas 5 cm, dan tingginya adalah 50 cm,maka berapakah volume yang dimiliki kerucut tersebut? Penyelesaian: volume: V= 1 3 ( 2 ) × diketahui: r= 5 cm t= 50 cm = 3,14 ditanya: V? V= 1 3 × 3,14 × 5 × 5 × 50 = 1.306,33 3 Sebuahhkerucuttterisi penuh 1.024 cm3 pasir. Dengan jari-jari alas kerucutnya sebesar 10 cm, maka berapakah tinggi pasir yang ada di dalam kerucut tersebut? Penyelesaian: Diketahui: = 1.024 cm3 , = 10 , = 3,14 Volume kerucut: V= 1 3 ( 2 ) × 1.024 cm3 = 1 3 × 3,14 × 10 × 10 × 1.024 cm3 × 3 = 314 × 9,78 = Jadi, tinggi pasir yang berada didalam kerucut tersebut adalah 9,78 cm
18 | Dimensi tiga 1.7 Bola Bolaaadalah bangun ruangryang tidak memilikiialas dan titikksudut. Bola adalah himpunanntitik-titik dalam tiga dimensiiyang berjarak sama dari suatu titik tertentu yang dikenal sebagai pusattbola. Jarak dari pusat bola menuju titik-titik pada permukaannlingkaran dikenal sebagai jari-jari bola. Padaagambarrtersebuttterdapattbeberapaaciri atau ciri yang membedakan bola dengan bentuk ruang lainnya. Apa sajaaciri-ciri ini? Berikut ini adalah ciri-ciri ruang berbentuk bola. 1. Bangun ruang bulat dengan satu sisi. Sisi-sisi bola adalah himpunan titik-titik yang sama dengan pusat bola. Sisi-sisi bola dapat disebut sebagai permukaan bola atau penutup bola. 2. Bangun bola luar angkasa tanpa tulang rusuk. 3. Pada gambar di atas, bagian r adalah jari-jari bola. Jari-jari bola menghubungkan pusat bola ke titik di permukaan bola. 4. Sama seperti bahan bulat, diameter bola adalah dua kali jari-jari bola. 5. Ruangggaris yang menghubungkanndua titikkpada bola disebut talii busur. Taliibusur bola terpanjanggadalah diameterrbola. r r r Rumus-rumus Bola Rumus volume bola: = ( 2 ) × Rumus luas permukaan bola: = (2 × ) + Gambar 7.1
Dimensi tiga | 19 1.8 Kedudukan Titik,Garis,dan Bidang dalam Ruang 1.Kedudukan titik terhadap garis Titik boleh terletak pada atau di luar garisan. Jika titik berada pada garis, jarak titik ialah 0, dan jika titik berada di luar garis, jarak dihitung tegak lurus terhadap garis. Seperti contoh gambar diatas ditemukan sebuah titik F pada garis b, titik F mempunyai jarak akan garis b sepanjang garis putus-putus (F menuju F’), sedangkan F’ adalah prediksi tegak lurus dari pusat F terdapat di garis b. 2.Kedudukan titik terhadap bidang Titik boleh terletak pada atau di luar garisan. Jika titik berada pada garis, jarak titik ialah 0, dan jika titik berada di luar garis, jarak dihitung tegak lurus terhadap garis. b F’ F d T T’ r s Seperti contoh gambar disamping ditemukan suatu titik T bagian d.titik T berada eksternal bidang d, maka mempunyai jarak kepada bidang d sejarak garis lurus (T menuju T’) T’ adalah proyeksi tegak lurus titik t kepada bidang d. Gambar 8.1 Gambar 8.2
20 | Dimensi tiga 3.Kedudukan garis kepada garis Dua gari bisa didefinisikan seperti berikut yaitu: a.berpotongan, jika dua garis bertemu disatu titik b.berimpit, jika semua titik yang dilintasi garis y juga dilintasi oleh garis z. c.sejajar jika dua garis beradaapada bidanggyang sama dan tidak berpotongan di satu titik. d.bersilangannjika setiap garis berada pada bidanggyang saling bersilanganntegak lurus. y z Gambar 8.3 y z
Dimensi tiga | 21 C.Penutup Kesimpulan Dimensi Tiga adalah suatu benda yang memiliki ruang, dimensi tiga mempunyai beberapa konsep seperti titik, posisi, dan bidang dipelajari dari sebuah bentuk 3 dimensi. Rumus-rumus bangun ruang dimensi tiga: Kubus: = 3 = × × = 6 × 2 Balok: = × × = 2 × ( + + ) Prisma: = = 2 + × : = + = ( × ) + (2 × × ) Silinder: V = ( 2 ) × L = (2 × ) + Kerucut: V = 1 3 ( 2 ) × L = 2 + Bola: = ( 2 ) × = (2 × ) +
22 | Dimensi tiga Latihan soal mandiri 1. Diketahui sisi kubus adalah 15cm, maka berapakah volume kubus? 2. Diketahui sisi kubus adalah 3cm, hitunglah luas permukan dari kubus tersebut! 3. Sebuah kubus memiliki sisi dengan Panjang 25, kemudian cari lah luas permukaan dari kubus itu! 4. Kotak nasi berbentuk menyerupai balok mempunyai panjang 30,lebar 9, dan tingginya 6.hitunglah volume kotak nasi itu! 5. Diketahui sebuah balok mempunyai Panjang 45 cm, lebar 12 cm dan tingginya 10 cm.maka berapakah volume balok tersebut? 6. Suatu wadah berbentuk balok berukuran panjang 19cm, lebar 14 cm dan tingginya 7cm.maka luas permukaan wadah adalah……? 15cm 30 cm 6 cm 9 cm
Dimensi tiga | 23 7. sebuah prisma memiliki tinggi 16 cm dan alas prism aitu berbentuk segitiga siku-siku masing-masing berukuran 8 cm dan 7 cm. hitunglah volume prisma segitiga tersebut! 8. Sebuah prisma segiempat mempunyai panjang 24, dengan lebar 16 tingginya 14cm jadi berapakah luas dan juga volume prisma tersebut? 9. Sebuah alas gedung berbentuk limas berbentuk segitiga sikusiku dengan 6cm,13cm, 15cm.jika limas tersebut memiliki tinggi 18 cm, maka berapakah volume limas tersebut? 10. Sebuah Gedung menyerupai limas segiempat mempunyai volume 4003 .jika panjang rusuk alas 10cm, jadi berapakah luas permukaan dari Gedung tersebut? 11. Sebuah silinder memiliki volume 21.195 3 ,dan memiliki tinggi 60 cm, maka berapakah jari-jari dari silinder tersebut? 12. Diketahui sebuah kerucut memiliki jari-jari alas 10 cm, dan tingginya adalah 100 cm, maka berapakah volume yang dimiliki kerucut tersebut? 13. Sebuahhkerucuttterisi penuh 1.024 cm3 pasir. Dengan jari-jari alas kerucutnya sebesar 10 cm, maka berapakah tinggi pasir yang ada di dalam kerucut tersebut 14. Diketahui sebuah silinder memiliki volume 39.250 3 dan Panjang jari-jarinya adalah 50 cm.berapakah tinggi dari silinder tersebut? 15. Diketahui sebuah kerucut memiliki jari-jari alas 5 cm, dan tingginya adalah 50 cm, maka berapakah volume yang dimiliki kerucut tersebut? V=21.195 3 60 cm
24 | Dimensi tiga DAFTAR PUSTAKA Kevin. √ Dimensi 3 (Pengertian, Penerapan, Kedudukan, Contoh). Rumus Pintar. Published November 11, 2021. Accessed April 8, 2022. https://rumuspintar.com/dimensi-3/ LUMBANTORUAN, Jitu Halomoan. Buku Materi Pembelajaran Geometri 1. 2019. Bisma L. Pengertian, Sifat, dan Rumus Kubus Disertai Contoh | Matematika Kelas 8. Ruangguru.com. Published 2022. Accessed April 12, 2022. https://www.ruangguru.com/blog/pengertian-sifat-danrumus-kubus Pelajaran, Soal, & Rumus Geometri Dimensi Tiga | Wardaya College. (2020, November 16). Wardaya College. https://www.wardayacollege.com/matematika/geometri-dimensi-tiga/ Dianrizkita, Y., Seruni, H., & Agung, H. (2018). Analisa Perbandingan Metode Marker Based Dan Markless Augmented Reality Pada Bangun Ruang. Jurnal Simantec, 6(3). Subagyo, A., Listyorini, T., & Susanto, A. (2015). Pengenalan Rumus Bangun Ruang Matematika Berbasis Augmented Reality. Prosiding SNATIF, 29-32. Abdurrahman, I., Darusalam, U., & Benrahman, B. (2020). Perancangan Pembelajaran Bangun Ruang 3 Dimensi Berbasis Android. JURNAL MEDIA INFORMATIKA BUDIDARMA, 4(1), 89-95.
Dimensi tiga | 25 BIODATA PENULIS Nama : Christian Regen Tempat tgl lahir: Serukam, 29 November 2003 Pendidikan : 2010-2015 SDN 08 SEMIDANG 2015-2018 SMPN 02 ANJONGAN 2018-2021 SMKS ELIM 2021-SEKARANG UNIVERSITAS KRISTEN INDONESIA (Sarjana Pendidikan Matematika S-1)