KVADRATNA FUNKCIJA, GRAFIK I OSOBINE - OBRADA

ДРУГИ РАЗРЕД

Предмет:

Математика

Наставна јединица:

Квадратна функција, график и особине - обрада

Име и презиме предавача:
СТАНА НИКОЛИЋ

Квадратна функција, график и особине
-обрада

Претходни час смо се упознали са квадратном функцијом.
Задата је формулом

= 2 + + ; ≠ 0; , , ∈
Ово је општи облик квадратне функције.

Може се записати и у канонском облку.

= ∙ − − 2 + 4 − 2

2 4

Из овог облика функције могу се прочитати координате темена параболе.

Ако обележимо са = − и = 4 − 2 канонски облик функције
изгледа овако: 2 4

= ∙ − 2 +

Тачка Т , је теме параболе.

Анализа домаћег задатка
Дате функције написати у канонском облику и скицирати њихове графике:

1. = − +

= 2 − 2 + 3
= 2 − 2 + 1 − 1 + 3
= − 1 2 + 2
= 1 = 2
1,2

Следи цртање графика функције
= 2

. = − − + Следи цртатње графика функције
= −2 2
= −2 2 − 2 + 1 1
2 -1 0 1
= −2 ∙ 2 + − = −2 2 -2 0 -2

= −2 ∙ 2 + 2 ∙ 1 + 1 − 1 − 1
2 4 4 2

12 3
= −2 ∙ + 2 − 4

12 3
= −2 ∙ + 2 + 2

13
= − 2 = 2

13
− 2 , 2

График квадратне фунције = 2 + + можемо нацртати и без свођења
на канонски облик испитујући њене особине.

Особине квадратне функције су:

• Домен је скуп вредности које може узети променљива

- За које вредности променљиве је функција дефинисана?

Квадратна функција је полином другог степена па је дефинисана за свако из
скупа реалних бројева, односно :
• Нуле функције су тачке пресека функције са – осом

- Како их одређујемо?

Тачке које се налазе на – оси имају координату = 0. У квадратну функцију
= 2 + + уместо пишемо 0 и добијамо квадратну једначину

2 + + = 0 коју решавамо по образцу за решавање квадртне једначине

1ൗ2 = − ± 2 − 4

2

У зависности од вредности дискриминанте = 2 − 4 и коефицијента
разликујемо следеће ситуације:

< >
• > 0 • > 0

Две нуле Две нуле

1, 0 , 2, 0 1, 0 , 2, 0

• = 0 • = 0

Једна нула Једна нула
, 0 , 0

• < 0 • < 0
Нема нула Нема нула

• Пресек са – осом је тачка пресека графика функције са – осом

Тачка која се налазе на – оси има координату = 0. У квадратну функцију
= 2 + + уместо пишемо 0 и добијамо да је = .
Дакле, тачка пресека графика функције и – осе има координате 0, .

• Екстремне вредности функције су вредности кординате за које функција има максимум

или минимум

Нађемо теме Т , = − и = 4 − 2

2 4

Т , је максимум ако је < 0

Т , је минимум ако је > 0

• Оса симетрије је права у односу на коју је график

функције симетричан, односно у односу на коју се
график функције слика у самог себе. Ова права има
једначину = .

• Кодомен је скуп вредности које узима променљива

За < За >

: ∈ ሺ−∞, ሿ : ∈ ሾ , +∞ሻ

• Монотоност функције представља интервале раста и опадања
функције

Ако је < Ако је >

за ∈ −∞, за ∈ −∞,
за ∈ , +∞ за ∈ , +∞

• Знак функције чине интервали домена за које је вредност функције

позитивна, односно негативна

Ако је < Ако је >

• > 0 • > 0

< 0 за ∈ −∞, 1 ∪ 2, +∞ > 0 за ∈ −∞, 1 ∪ 2, +∞
> 0 за ∈ 1, 2 < 0 за ∈ 1, 2

• = 0 • = 0

< 0 за > 0 за
∈ −∞, ∪ , +∞ ∈ −∞, ∪ , +∞

• < 0 • < 0

< 0 за ∈ −∞, +∞ > 0 за ∈ −∞, +∞

• Дакле, функција је позитивна за оне вредности променљиве где је график
функције изнад -осе, а негативна за оне вредности променљиве где је
график функције испод -осе.

Пример 1.
Детаљно испитати особине и нацртати график функције
= 2 − 2 − 3

• Домен 2±4
: 1ൗ2 = 2

• Нуле функције 2−4
1 = 2
= 0 → 2 − 2 − 3 = 0
2+4
= 1, = −2, = −3 2 = 2
1 = −1
1ൗ2 = − ± 2 − 4 2 = 3

2 −1,0 , 3,0

1ൗ2 = 2 ± −2 2 − 4 · 1 · −3

2·1

1ൗ2 = 2 ± 4 + 12

2

• Пресек са – осом

0, = 0, −3

• Екстремне вредности

4 − 2
Т , = − 2 и = 4

−2 4 · 1 · −3 − −2 2
= − 2 · 1 и =
4·1

= 1 и = −4

Т 1, −4

> →

На основу уцртаних тачака можемо нацртати график дате функције.

• Оса симетрије
Права = → = 1
• Кодомен
: ∈ ሾ−4, +∞ሻ
• Монотоност функције

за ∈ −∞, 1

за ∈ 1, +∞
• Знак функције

> 0 за ∈ −∞, −1 ∪ 3, +∞

< 0 за ∈ −1,3

Пример 2.
Детаљно испитати особине и нацртати график функције
= − 2 + 4 − 3

• Домен −4 ± 2
: 1ൗ2 = −2

• Нуле функције −4 + 2
1 = −2
= 0 → − 2 + 4 − 3 = 0
−4 − 2
= −1, = 4, = −3 2 = −2
1 = 1
1ൗ2 = − ± 2 − 4 2 = 3

2 1,0 , 3,0

1ൗ2 = −4 ± 42 − 4 · −1 · −3

2 · −1

1ൗ2 = −4 ± 16 − 12

−2

• Пресек са – осом

0, = 0, −3

• Екстремне вредности

4 − 2
Т , = − 2 и = 4

4 4 · −1 · −3 − 42
= − 2 · −1 и =
4 · −1

= 2 и = 1

Т 2,1

< →

На основиу уцртаних тачака можемо нацртати график дате функције.

• Оса симетрије
Права = → = 2
• Кодомен
: ∈ ሺ−∞, 1ሿ

• Монотоност функције
за ∈ −∞, 2

за ∈ 2, +∞
• Знак функције

< 0 за ∈ −∞, 1 ∪ 3, +∞

> 0 за ∈ 1,3

Домаћи задатак

Детаљно испитати особине и нацртати график функција:
1. = 2 − 4 + 4
2. = − 2 + 5 − 4