สับเซต (subset)
Subset บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัว ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B สัญลักษณ์แทนสับเซต เซต A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B ⊂⊄ สับเซตแท้ เซต A เป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A B และ A B ⊂ ≠
ตัวอย่าง ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ จงพิจารณาว่าเซต A เป็นสับเซต ของเซต B หรือไม่ 1. A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4, 5} 2. C = { x l x เป็นจ านวนเต็มบวก} D = {x l x เป็นจ านวนคี่} 3. E = { 0, 1, 2} D = {2, 1, 0}
ตัวอย่าง ก าหนดเซต A ={{1}, 2, 3, {4,5}} ข้อใดต่อไปนี้ถูก และข้อใดผิด .........1) {1} A ………..2) 2 A ………..3) {{4}} A ………..4) {4} A ……….5) {1} A ………..6) 3 A ……….7) {4, 5} A ………..8) {2, 3} A ตัวอย่าง ก าหนดเซต A ={a, b, c} ข้อใดต่อไปนี้ถูก และข้อใดผิด 1) a A 2) b A 3) {c} A 4) {a} A 5) {a, b, c} A 6) {a} A 7) {a, b} A 8) {b} A
สมบัติของสับเซต
การหาสับเซตที่เป็นไปได้ ทั้งหมดของเซต A ก าหนดเซต A มีจ านวนสมาชิก n จ านวนจ านวน จ านวนสับเซตที่เป็นไป ได้ทั้งหมดของ A เท่ากับ n 2 2 2 2 = 4 ตัวอย่าง ก าหนด A = {3, 4} จ านวนสับเซต ทั้งหมดของ A คือ ได้แก่ สับเซตที่มีสมาชิก 0 ตัว คือ สับเซตที่มีสมาชิก 1 ตัวคือ สับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว คือ ดังนั้น สับเซตทั้งหมดของเซต A คือ
ตัวอย่าง ก าหนด A = {1,2,3} จ านวนสับเซต ทั้งหมดของ A คือ ได้แก่ สับเซตที่มีสมาชิก 0 ตัว คือ สับเซตที่มีสมาชิก 1 ตัวคือ สับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว คือ สับเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว คือ ดังนั้น สับเซตทั้งหมดของเซต A คือ
เพาเวอร์เซต Power Set เพาเวอร์เซต เรียกเซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A ว่า เพาเวอร์เซต A เพาเวอร์เซต A เขียนแทนด้วย P(A) สัญลักษณ์แทนเพาเวอร์เซต
เพาเวอร์เซต Power set ตัวอย่าง ก าหนด A = {-1, 1} จงหา P(A) วิธีท า จ านวนสับเซตทั้งหมดของ A สับเซตที่มีสมาชิก 0 ตัว คือ สับเซตที่มีสมาชิก 1 ตัวคือ สับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว คือ จะได้ สับเซตทั้งหมดของเซต A คือ ดังนั้น P(A) =
ตัวอย่าง ก าหนด A = { } จงหา P(A) วิธีท า จ านวนสับเซตทั้งหมดของ A สับเซตที่มีสมาชิก 0 ตัว คือ จะได้ สับเซตทั้งหมดของเซต A คือ ดังนั้น P(A) = ตัวอย่าง ก าหนด A = { ,1,{1}} จงหา P(A) วิธีท า จ านวนสับเซตทั้งหมดของ A สับเซตที่มีสมาชิก 0 ตัว คือ สับเซตที่มีสมาชิก 1 ตัวคือ สับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว คือ สับเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว คือ จะได้ สับเซตทั้งหมดของเซต A คือ ดังนั้น P(A) =
แผนภาพเวนน์ แผนภาพเวนน์ เป็นการเขียนแผนภาพแสดงเซต ซึ่งจะช่วย ให้ความคิดเกี่ยวกับเซตชัดเจนขึ้น เอกภพสัมพัทธ์ (U) เขียนแทนด้วย รูป สี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือรูปปิดใดๆ เซตใดๆ เขียนแทนด้วย วงกลม วงรี หรือ รูปปิดใดๆ วงกลม 1 วงแทน เซต 1 เซต สัญลักษณ์
ไม่มีส่วนร่วมกัน (disjoint sets) U A B U มีสมาชิกบางตัวร่วมกัน U A B U
สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A นั่นคือ U A B สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A และสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต นั่นคือ A = B A U B B C
การด าเนินการระหว่างเซต (Operation of sets)
อินเตอร์เซกชัน (Intersection) บทนิยาม เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วย สมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และ เซต B สัญลักษณ์ เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B เขียนแทนด้วย บทนิยาม A B A B x x A = และ x B A B U
ยูเนียน (Union) บทนิยาม เซต A ยูเนียนเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่ เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้งเซต A และ B สัญลักษณ์ เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B เขียนแทนด้วย บทนิยาม A B A B x x A = หรือ x B A B U
Let A, B and C be three sets such that: Set A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, set B = {3, 6, 9, 12, 15} and set C = {1, 4, 7, 10, 13, 16}. Find: (i) A ∪ B (vi) Is A ∪ B = B ∪ A? (ii) A ∩ B (vii) Is B ∩ C = B ∪ C? (iii) B ∩ A (iv) B ∪ A (v) B ∪ C
3. If A = {1, 3, 7, 9, 10}, B = {2, 5, 7, 8, 9, 10}, C = {0, 1, 3, 10}, D = {2, 4, 6, 8, 10}, E = {negative natural numbers} and F = {0} Find: (i) A ∪ B (ii) E ∪ D (iii) C ∪ F (iv) C ∪ D (v) B ∪ F (vi) A ∩ B (vii) C ∩ D (viii) E ∩ D (ix) C ∩ F (x) B ∩ F (xi) (A ∪ B) ∪ (A ∩ B) (xii) (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)
การบ้าน 1. Write down the union and intersection of the following pairs of sets: (i) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 3, 5, 7, 9} (ii) X = {a, b, c, d, e} Y = {c, e, f, g} (iii) P = {x : x is a multiple of 2 between 9 and 21} Q = {x : x is a multiple of 3 between 10 and 20} (iv) M = {letters in the word ‘COMPUTER’} N = {letters in the word ‘CALCULATOR’}
การบ้าน 2. Let A = set of natural numbers less than 8 B = {even natural numbers less than 12} C = {Multiples of 3 between 5 and 15} and D = {Multiples of 4 greater than 6 and less than 20}; Find: (i) B ∪ C (vi) (D ∪ A) ∩ B (ii) A ∪ D (vii) (A ∩ C) ∪ (B ∩ D) (iii) C ∪ D (viii) (B ∪ D) ∩ (C ∪ A) (iv) A ∩ C (v) (B ∩ C) ∪ A
คอมพลีเมนต์ (Complements) บทนิยาม ถ้า A เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว คอมพลี เมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็น สมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A สัญลักษณ์ คอมพลีเมนต์ของเซต A เขียนแทนด้วย บทนิยาม A x x U = และ x A A A A U
ผลต่าง (Difference) บทนิยาม ถ้า A และ B เป็นเซตใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U เดียวกัน แล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วย สมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สัญลักษณ์ ผลต่างของเซต A และ B เขียนแทนด้วย บทนิยาม A B − A B x x A − = และ x B U A B A-B
If A = {a, b, c, d} B = {b, c, d, e} C = {c, d, e, f} D = {d, e, f, g}, find (a) A - B (b) B - C (c) C - D (d) D - A (e) B - A (f) C - B (g) D - C
Let U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 3, 5, 7, 8, 9} Find: (a) A' (b) B' (c) A' ∪ B' (d) A' ∩ B' (e) (A ∪ B)' Also show (A ∪ B)' = A' ∩ B'.
Find the complement of the following sets if universal set is the set of natural numbers. (a) {x l x is a prime number} (b) {x l x is a multiple of 2} (c) {x l x ≥ 10} (d) {x l x Є N, 5x + 1 > 20} (e) {x l x is an odd natural number}
If U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} and A = {2, 3, 6}, find (a) A ∪ A' (b) ∅ ∩ A (c) A ∩ A' (d) U' ∩ A
Let U = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c ,f , g}, B = {f, g, b, d} Verify: (a) (A ∪ B)' = (A' ∩ B’) (b) (A ∩ B)' = (A' ∪ B')
สมบัติของเซตที่ควรทราบ ให้ A,B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U สมบัติต่อไปนี้เป็นจริง 1) กฎการสลับที่ A∪ B = B ∪ A A∩ B = B ∩ A 2) กฎการเปลี่ยนกลุ่ม A∪(B ∪C) = (A∪ B)∪C A∩(B ∩C) = (A∩ B)∩C 3) กฎการแจงแจง A∪(B ∩C) = (A∪ B)∩(A∪C) A∩(B ∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)
4) กฎเอกลักษณ์ ∪ A = A∪ = A U ∩ A = A∩U = A 5) A∪ A′ =U 6) = U และ U′ = 7) (A′)′ = A 8) A∪ A = A และ A∩ A = A 9) A − B = A∩ B′ 10) A∩ = และ A∪ = A
7. Draw Venn diagram based on the data provided and answer the questions that follow. The students in an elementary school have the following features: - 18 students have only blond hair; - 25 students have only blue eyes; - 11 students have only long hair; - 16 students have blond hair with blue eyes but not long hair; - 8 students have blue eyes with long hair but do not have blond hair; - 4 students have long and blond hair but not blue eyes; - 5 students have blue eyes with long and blond hair; and - 7 students do not have blue eyes, blond hair or long hair.
a) How many students have blond hair and blue eyes? ………………………………………………………………… b) What is the total strength of the elementary school? …………………………………………… c) Find the number of students who have blue eyes and long hair. …………………………………………… e) List down the number of students who have neither blue eyes nor blonde hair. …………………… d) How many students do not have blond hair? ………………………………………………………………… f) How many students do not have blue eyes? ………………………………………………………………… g) Write down the number of students who have either blue eyes or long hair. ………………………………………………………………… h) Find the number of students who have at least 2 of the 3 features provided in the data. …………………………………………………………………
นักเรียนชั้นม.4/1 จ ำนวน 50 คน ชอบเล่นฟุตบอล 25 คน ชอบเล่นบำสเกตบอล 20 คน และชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบำสเกตบอล 5 คน อยำกทรำบว่ำ 1. ชอบเล่นฟุตบอลอย่ำงเดียวกี่คน 2. ชอบเล่นบำสเกตบอลอย่ำงเดียวกี่คน 3. มีกี่คนที่ไม่ชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบำสเกตบอล