ชุดแบบฝึกเสริมทักษะ

รายวิชาคณิตศาสตร์พนื้ ฐาน ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 3
ค23101

ส อ น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์

แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะ
การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

<>

≠

นางสาวปริฉตั ร ลลี ะวุฒกิ าญจน์

นกั ศึกษาฝึกประสบการณว์ ิชาชพี ครู

ก

คำนำ

แบบฝึกเสริมทักษะ เรื่อง การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว รายวิชา
คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน สาหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 3 จัดทาข้ึนตามตัวชี้วัดและ
มาตรฐานการเรียนรู้ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ หลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2560 เพ่ือให้นักเรียนใช้เป็นแบบฝึกเสริมประสบการณ์ ได้ตาม
ความเหมาะสม ซง่ึ จะช่วยให้นักเรียนได้พัฒนาทักษะและกระบวนการทาง คณิตศาสตร์
อยา่ งสร้างสรรค์

แบบฝึกเสริมทักษะ เรื่อง การแก้อสมการอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว สาหรับ
นกั เรียนช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 3 จดั ทาขึน้ ทง้ั หมด 4 ใบความรู้ ได้แก่

ใบความรู้ที่ 1 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว โดยใช้สมบัติการบวกของการ
ไมเ่ ท่ากนั

ใบความรู้ที่ 2 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว โดยใช้สมบัติการคูณของการ
ไม่เท่ากัน (เมอ่ื นาจานวนจริงบวกมาคณู ทง้ั สองข้างของอสมการ)

ใบความรู้ที่ 3 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว โดยใช้สมบัติการคูณของการ
ไม่เทา่ กัน (เมื่อนาจานวนจรงิ ลบมาคูณท้งั สองขา้ งของอสมการ)

ใบความรู้ที่ 4 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว โดยใช้สมบัติการบวกของการ
ไมเ่ ท่ากัน และสมบตั ิการคูณของการไม่เทา่ กนั

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกเสริมทักษะ เร่ืองการแก้อสมการเชิงเส้นตัว
แปรเดียว จะเปน็ ประโยชนส์ าหรับนกั เรยี นในพฒั นาทกั ษะทางคณิตศาสตร์ และสาหรับ
ครนู าไปใชป้ ระกอบการจัดการเรยี นรไู้ ด้อย่างมีประสิทธภิ าพต่อไป

นางสาวปรฉิ ตั ร ลีละวฒุ ิกาญจน์
ผ้จู ัดทา

แบบฝึกเสรมิ ทักษะ เรื่องการแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว

สำรบัญ ข

เร่ือง หนา้

คานา ก

สารบญั ข

คาช้แี จงเก่ียวกับแบบฝึกเสรมิ ทกั ษะ ค

คาแนะนาการใช้แบบฝึกเสรมิ ทักษะสาหรบั นกั เรยี น ง

มาตรฐานการเรียนรู้ สาระสาคญั จ

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ ฉ

ใบความรู้ท่ี 1 การแกอ้ สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียวโดยใช้สมบัติการบวกของการไม่เท่ากนั 1

แบบฝึกเสริมทักษะท่ี 1 7

ใบความรู้ท่ี 2 การแกอ้ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว โดยใชส้ มบตั กิ ารคูณของการไมเ่ ทา่ กนั

(เม่ือนาจานวนจริงบวกมาคูณทงั้ สองข้างของอสมการ) 10

แบบฝกึ เสริมทกั ษะที่ 2 14

ใบความร้ทู ่ี 3 การแกอ้ สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว โดยใชส้ มบัติการคูณของการไม่

เทา่ กนั (เมอ่ื นาจานวนจริงลบมาคณู ทั้งสองข้างของอสมการ) 16

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะท่ี 3 19

ใบความรทู้ ี่ 4 การแก้อสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว โดยใชส้ มบตั กิ ารบวกของการไม่

เท่ากันและสมบตั กิ ารคูณของการไมเ่ ทา่ กนั 21

แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะท่ี 4 24

แบบทดสอบหลงั เรียน 25

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะ เรอื่ งการแก้อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว

ค

คำชี้แจงเกย่ี วกับแบบฝึกเสริมทักษะ

1. แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตรแ์ ตล่ ะเล่ม มีสว่ นประกอบดังน้ี
1.1 คาชแี้ จงเกย่ี วกับแบบฝกึ เสริมทักษะ
1.2 คาแนะนาการใชแ้ บบฝกึ เสริมทักษะ สาหรบั นักเรยี น
1.3 มาตรฐานการเรยี นรู้ สาระสาคัญ จดุ ประสงค์การเรียนรู้
1.4 ใบความรู้
1.5 แบบฝึกเสรมิ ทักษะ

2. แบบฝึกเสริมทักษะ เรื่องการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวเล่มน้ี
ใชเ้ วลาเรียน 3 ชัว่ โมง

แบบฝึกเสรมิ ทักษะ เรือ่ งการแกอ้ สมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว

ง

คำแนะนำกำรใช้แบบฝึกเสรมิ ทักษะ
สำหรับนักเรียน

แบบฝึกเสรมิ ทักษะ เร่ืองการแก้อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 3
นักเรยี นควรปฏบิ ัตติ ามคาแนะนา ดังนี้
1. อา่ นคาแนะนาในการใชแ้ บบฝกึ เสรมิ ทักษะ เรื่องการแกอ้ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว
2. ศกึ ษาจุดประสงค์การเรียนรใู้ ห้เขา้ ใจ
3. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน เป็นข้อสอบอตั นัย จานวน 3 ข้อ
4. ศกึ ษาใบความรู้ โดยมีครเู ปน็ ผูอ้ ธบิ ายหรอื ชแ้ี นะเพ่มิ เติม
5. ทาแบบฝกึ ระหวา่ งเรียน
6. ทดสอบหลังเรยี น

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะ เรื่องการแกอ้ สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว

จ

มำตรฐำนกำรเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 1.3

ใช้นพิ จน์ สมการ และอสมการ อธบิ ายความสัมพันธห์ รอื ชว่ ยแกป้ ัญหาท่ี
กาหนดให้

ตวั ชี้วัด

ค 1.3 ม.3/1 เข้าใจและใช้สมบัติของการไม่เท่ากันเพื่อวิเคราะห์และแก้ปัญหา
โดยใช้อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว

สำระสำคัญ

1. สมบัติการบวกของการไมเ่ ท่ากัน
ให้ a , b และ c แทนจานวนจริงใด ๆ

1. ถ้า a < b แลว้ a + c < b + c
2. ถ้า a ≤ b แล้ว a + c ≤ b + c
3. ถ้า a > b แลว้ a + c > b + c
4. ถ้า a ≥ b แล้ว a + c ≥ b + c

2. สมบตั ิการคูณของการไม่เท่ากนั
ให้ a , b และ c แทนจานวนจริงใด ๆ
1. ถ้า a < b และ c เปน็ จานวนจริงบวก แล้ว ac < bc
2. ถ้า a ≤ b และ c เป็นจานวนจริงบวก แลว้ ac ≤ bc
3. ถ้า a < b และ c เปน็ จานวนจริงลบ แลว้ ac > bc
4. ถ้า a ≤ b และ c เปน็ จานวนจริงลบ แล้ว ac ≥ bc
5. ถ้า a > b และ c เปน็ จานวนจรงิ บวก แลว้ ac > bc
6. ถา้ a ≥ b และ c เปน็ จานวนจริงบวก แล้ว ac ≥ bc
7. ถ้า a > b และ c เป็นจานวนจรงิ ลบ แล้ว ac < bc
8. ถ้า a ≥ b และ c เปน็ จานวนจริงลบ แลว้ ac ≤ bc

แบบฝึกเสรมิ ทักษะ เรือ่ งการแก้อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว

ฉ

จดุ ประสงคก์ ำรเรียนรู้

1. ดา้ นความรู้ (knowledge)
1.1 นกั เรยี นสามารถบอกสมบตั ิของการไม่เท่ากนั
1.2 นกั เรียนสามารถแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี วโดยใช้สมบตั ขิ องการไมเ่ ท่ากัน

2. ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (Process)
2.1) การส่ือสารและการส่อื ความหมายทางคณติ ศาสตร์: นักเรยี นสามารถนาทักษะการ
ส่ือสารการสอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร์มาใช้ในการทาแบบฝกึ เสรมิ ทักษะ
2.2) การใหเ้ หตุผล : นักเรยี นสามารถให้เหตุผลของวิธีการทีไ่ ด้มาซึ่งคาตอบ

3. ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (Attribute)
3.1) นักเรียนใฝ่รู้
3.2) นกั เรยี นมคี วามมุ่งมั่นในการทางาน

แบบฝกึ เสริมทักษะ เรอื่ งการแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว

โอ้ การแก้อสมการ
ทาไมยากแบบนี้เนย่ี
ผมไมเ่ ขา้ ใจเลย

ชุดแบบฝกึ
เสริมทกั ษะ

ไม่ต้องกงั วลไปนะเพ่ือนๆ
เดี๋ยวโดเรม่อนจะใช้ของ
วเิ ศษนชี้ ่วยเพื่อนๆ เอง

แบบฝกึ เสริมทกั ษะ เรอ่ื งการแก้อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว

ใบความรู้ที่ 1 1

การแก้อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว โดยใช้สมบัติการบวกของการไม่เท่ากนั

การแก้อสมการ คือ การหาคาตอบของอสมการ

สมบัตกิ ารบวกของการไม่เท่ากนั

ให้ a , b และ c แทนจานวนจริงใด ๆ
1. ถ้า a < b แลว้ a + c < b + c
2. ถ้า a ≤ b แลว้ a + c ≤ b + c
3. ถ้า a > b แลว้ a + c > b + c
4. ถ้า a ≥ b แล้ว a + c ≥ b + c

ตัวอย่าง การใชส้ มบัตกิ ารบวกของการไม่เทา่ กนั ของอสมการ

1. X - 55 < 8 การลบด้วย c จะใช้สมบัติการบวกของ
การไมเ่ ทา่ กันเพราะการลบด้วย c มี
วธิ ที า จาก X - 55 < 8 ความหมายเชน่ เดยี วกับการบวกดว้ ย -c
นา 55 มาบวกทงั้ สองข้างของอสมการ
จะได้ X -55 +55 < 8 + 55
ดงั น้นั X < 63

2. 27 + x ≤ 41

วิธีทา จาก 27 + x ≤ 41
นา -27 มาบวกท้ังสองขา้ งของอสมการ
จะได้ 27 + x + −27 ≤ 41 + (−27)
27 + x −27 ≤ 41 − 27
ดงั นั้น x ≤ 14

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะ เรอ่ื งการแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว

การแกอ้ สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว 2
โดยใชส้ มบัติการบวกของการไมเ่ ท่ากนั

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแก้อสมการ x + 2 < 5 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วธิ ที า จาก x + 2 < 5
นา -2 มาบวกทัง้ สองขา้ งของอสมการ
จะได้ x +2 – 2 < 5 – 2
ดงั นน้ั x < 3
นัน่ คือ คาตอบของอสมการ x + 2 < 5 คอื จานวนจรงิ ทกุ จานวนที่นอ้ ยกว่า 3
และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ได้ดงั น้ี

23 4 5 6

ตวั อยา่ งที่ 2 จงแกอ้ สมการ x + 5 > 13 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วิธีทา จาก x + 5 > 13
นา -5 มาบวกท้งั สองขา้ งของอสมการ
จะได้ x + 5 – 5 > 13 – 5
ดงั นน้ั x > 8
น่ันคือ คาตอบของอสมการ x + 5 > 13 คอื จานวนจริงทุกจานวนทมี่ ากกวา่ 8
และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ได้ดังนี้

6 7 8 9 10

ไมย่ ากเลยใชไ่ หม ไปลยุ กันต่อดีกว่า

แบบฝึกเสรมิ ทักษะ เรอื่ งการแกอ้ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

การแกอ้ สมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว 3
โดยใช้สมบตั ิการบวกของการไม่เท่ากนั

ตวั อยา่ งที่ 3 จงแกอ้ สมการ 12 + x ≥ 26 และเขยี นกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วิธที า จาก 12 + x ≥ 26
นา -12 มาบวกท้ังสองข้างของอสมการ
จะได้ 12 + x - 12 ≥ 26 -12
ดังนนั้ x ≥ 14
นั่นคอื คาตอบของอสมการ 12 + x ≥ 26 คือ จานวนจรงิ ทกุ จานวนท่ีมากกวา่

หรือเท่ากับ 14
และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ไดด้ ังน้ี

13 14 15 16 17

สาหรบั การแกอ้ สมการท่มี เี ครือ่ งหมาย ≠ เราจะใช้การแกส้ มการ
เพอ่ื หาคาตอบ ซึ่งเม่ือได้คาตอบของสมการแลว้ จะทาใหไ้ ด้คาตอบ
ของอสมการที่เคร่อื งหมาย ≠ เป็นจานวนจริงทุกจานวนยกเวน้
จานวนทเ่ี ป็นคาตอบของสมการนนั้

ตัวอยา่ งที่ 4 จงแกอ้ สมการ 20 + x ≠ 30 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วิธที า พจิ ารณาการแก้สมการ 20 + x = 30
จาก 20 + x = 30
นา -20 มาบวกทั้งสองขา้ งของอสมการ
จะได้ 20 + x -20 = 30 – 20
จะได้ x = 10
ดังนน้ั คาตอบของอสมการ 20 + x ≠ 30 คอื จานวนจรงิ ทกุ จานวนยกเว้น 10
และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ ได้ดังน้ี

-10 0 10 20 30

แบบฝึกเสริมทักษะ เร่ืองการแกอ้ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

การแก้อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว 4
โดยใชส้ มบัติการบวกของการไม่เทา่ กัน

ตวั อยา่ งที่ 5 จงแกอ้ สมการ y – 12 > 8 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ
วิธที า จาก y – 12 > 8

นา 12 มาบวกทง้ั สองขา้ งของอสมการ
จะได้ y – 12 + 12 > 8 + 12
ดงั น้ัน y > 20
นนั่ คือ คาตอบของอสมการ คอื จานวนจริงทุกจานวนท่ีมากกวา่ 20
และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ ได้ดงั น้ี

18 19 20 21 22

ตวั อยา่ งที่ 6 จงแกอ้ สมการ x – 24 < 2 และเขยี นกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วธิ ีทา จาก x – 24 < 2
นา 24 มาบวกทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ x – 24 + 24 < 2 + 24
ดังนั้น x < 26
น่นั คือ คาตอบของอสมการ x – 24 < 2 คอื จานวนจรงิ ทุกจานวนทน่ี อ้ ยกว่า 26

และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ไดด้ ังนี้

24 25 26 27 28

แลว้ ถ้าตวั แปรติดลบ
ทายังไงกันนะ

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะ เรื่องการแก้อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว

การแกอ้ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว 5
โดยใช้สมบตั ิการบวกของการไมเ่ ทา่ กนั

ตวั อยา่ งที่ 7 จงแกอ้ สมการ 10 – a ≥ 8 และเขยี นกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วธิ ีทา จาก 10 – a ≥ 8

นา -10 มาบวกท้งั สองข้างของอสมการ

จะได้ 10 – a – 10 ≥ 8 - 10

จะได้ -a ≥ -2

จะได้ 2 ≥ a

ดงั นน้ั a≤2

น่ันคือ คาตอบของอสมการ คอื จานวนจริงทุกจานวนทนี่ ้อยกวา่ หรอื เท่ากบั 2

และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ ได้ดังน้ี

01 2 3 4

ตวั อย่างที่ 8 จงแก้อสมการ 29 – x ≤ 7 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วธิ ีทา จาก 29 – x ≤ 7

นา -29 มาบวกทงั้ สองข้างของอสมการ

จะได้ 29 – x – 29 ≤ 7 - 29

จะได้ -x ≤ -22

จะได้ 22 ≤ x

ดังนั้น x ≥ 22

นั่นคอื คาตอบของอสมการ คอื จานวนจริงทุกจานวนทีม่ ากกวา่ หรอื เท่ากับ 22

และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ได้ดังนี้

20 21 22 23 24

อ๋อ เข้าใจแล้ว แค่ยา้ ยขา้ งใหต้ ัว
แปรเปน็ บวก

แบบฝึกเสริมทกั ษะ เรอื่ งการแกอ้ สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว

การแกอ้ สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว 6
โดยใช้สมบตั กิ ารบวกของการไม่เท่ากนั

ตวั อย่างท่ี 9 จงแก้อสมการ 6x−3 ≠5x+6 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ
วิธีทา จาก 6x−3 ≠ 5x+6

จะได้ 6x−3 = 5x+6
6x−5x = 6+3
x =9

ดังน้นั คาตอบของอสมการ 6x−3 ≠ 5x+6 คือ จานวนจรงิ ทุกจานวนยกเว้น 9
และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ ได้ดงั นี้

7 8 9 10 11

สรุป

การแกอ้ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียวโดยใชส้ มบัติการบวกของการไม่เท่ากนั
เปน็ การหาคาตอบของอสมการ ดว้ ยการนาจานวนมาบวกท้งั สองข้างของ
อสมการ ถา้ ในโจทยเ์ ปน็ จานวนจริงบวกกใ็ หน้ าจานวนจริงลบมาบวก ในทาง
กลบั กนั ในโจทยเ์ ปน็ จานวนจรงิ ลบให้นาจานวนจรงิ บวกมาบวก

แบบฝกึ เสริมทกั ษะ เรอ่ื งการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

แบบฝกึ เสริมทกั ษะที่ 1 7

คาส่ัง จงแก้อสมการต่อไปน้ี และเขียนกราฟแสดงคาตอบ

1) x + 7 < 11

2) 6 + m ≥ −30
แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะ เรื่องการแก้อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว

แบบฝึกเสรมิ ทักษะท่ี 1 8

3) y + 5 ≠ 3

4) x−4 ≤−16

แบบฝกึ เสรมิ ทักษะ เรอื่ งการแก้อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียว

แบบฝึกเสริมทกั ษะที่ 1 9

5. 18 − y > 2

6) 5x – 4 ≠ 4x + 9

แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะ เรอ่ื งการแก้อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว

ใบความรทู้ ี่ 2 10

การแกอ้ สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว โดยใช้สมบัติการคูณของการไมเ่ ท่ากนั
(เม่อื นาจานวนจริงบวกมาคูณทัง้ สองข้างของอสมการ)

สมบัติการคูณของการไมเ่ ทา่ กนั

ให้ a , b และ c แทนจานวนจรงิ ใด ๆ

1. ถ้า a < b และ c เปน็ จานวนจรงิ บวก แล้ว ac < bc
2. ถ้า a ≤ b และ c เป็นจานวนจริงบวก แล้ว ac ≤ bc
3. ถ้า a > b และ c เปน็ จานวนจริงบวก แลว้ ac > bc
4. ถ้า a ≥ b และ c เปน็ จานวนจริงบวก แล้ว ac ≥ bc

ตัวอย่าง การใชส้ มบัติการคณู ของการไมเ่ ทา่ กันของอสมการ

1. x < 8
7

วิธีทา จาก x < 8
7

นา 7 มาคูณทงั้ สองข้างของอสมการ

จะได้ (7x )(7) < (8)(7)
ดังน้นั X < 56

นน่ั คือ คาตอบของอสมการ x < 8 คอื จานวนจริงทุกจานวนทนี่ อ้ ยกวา่ 56
7

การหารดว้ ย c เม่ือ c ≠ 0 จะใชส้ มบตั กิ ารคูณของ

การไมเ่ ท่ากนั เพราะการหารดว้ ย c เมอื่ c ≠ 0

มีความหมายเช่นเดยี วกบั การคณู ดว้ ย 1 เมอ่ื c ≠ 0
c

แบบฝึกเสริมทักษะ เรอื่ งการแก้อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว

การแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว โดยใชส้ มบัตกิ ารคูณของการไมเ่ ทา่ กนั 11
(เมือ่ นาจานวนจริงบวกมาคณู ทง้ั สองขา้ งของอสมการ)

2. 3x > -15

วิธที า จาก 3x > -15

นา 1 มาคณู ทง้ั สองข้างของอสมการ
3

จะได้ (3x)(31) > (-15)(31)

ดังนน้ั X > -5

น่ันคือ คาตอบของอสมการ 3x > -15 คือจานวนจริงทุกจานวนท่มี ากกว่า -5

อ๋อ... จานวนจริงบวก คอื จานวนจริงที่มี
ค่ามากกว่า 0 นั่นเอง

ตัวอยา่ งที่ 1 จงแก้อสมการ 4y > 12 และเขยี นกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วิธีทา จาก 4y > 12

นา 1 มาคณู ท้ังสองข้างของอสมการ
4

จะได้ (4y)(41) > (12)(41)

ดงั น้นั y > 3

น่นั คอื คาตอบของอสมการ 4y > 12 คือ จานวนจริงทกุ จานวนทีม่ ากกว่า 3

และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ได้ดงั น้ี

2 3 4 56

แบบฝึกเสริมทกั ษะ เร่อื งการแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว

การแกอ้ สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว โดยใช้สมบัตกิ ารคณู ของการไมเ่ ทา่ กนั 12
(เม่อื นาจานวนจริงบวกมาคูณท้งั สองขา้ งของอสมการ)

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแกอ้ สมการ 17x ≥ −17 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วิธีทา จาก 17x ≥ −17

นา 1 มาคณู ทงั้ สองขา้ งของอสมการ
17

จะได้ (17x)( 1 ) ≥ (−17)( 1 )
17 17

ดังน้ัน x ≥ -1

นั่นคอื คาตอบของอสมการ 17x ≥ −17 คอื จานวนจริงทกุ จานวนท่มี ากกว่าหรอื เทา่ กบั -1

และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ได้ดงั นี้

-3 -2 -1 0 1

ตวั อยา่ งที่ 3 จงแก้อสมการ x ≤ 6 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ
4

วิธีทา จาก x ≤ 6
4

นา 4 มาคณู ทง้ั สองขา้ งของอสมการ

จะได้ (4x )(4) ≤ (6)(4)

ดงั น้ัน x ≤ 24

น่นั คอื คาตอบของอสมการ x ≤ 6 คือ จานวนจริงทกุ จานวนท่ีนอ้ ยกว่าหรอื เท่ากบั 24
4

และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ไดด้ งั น้ี

22 23 24 25 26
แบบฝึกเสริมทกั ษะ เร่ืองการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

การแกอ้ สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว โดยใช้สมบตั ิการคูณของการไม่เทา่ กนั 13
(เมื่อนาจานวนจริงบวกมาคูณท้งั สองข้างของอสมการ)

ตัวอย่างท่ี 4 จงแก้อสมการ x < 1 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ
23 46

วธิ ที า จาก x < 1 x มาจาก 1
23 46 23 23 ∙ x

นา 23 มาคูณทงั้ สองข้างของอสมการ

จะได้ (2x3 )(23) < ( 416)(23)

ดังน้ัน x < 1
2

นน่ั คอื คาตอบของอสมการ x < 1 คอื จานวนจรงิ ทุกจานวนทนี่ ้อยกว่า 1
23 46 2

และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ไดด้ ังนี้

− 1 0 1 1 3
2 2 2

สรุป

การแก้อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียวโดยใชส้ มบัติการคณู ของการไม่
เท่ากัน เปน็ การหาคาตอบของอสมการ ดว้ ยการนาจานวนมาคณู ทง้ั สองข้าง
ของอสมการ และในการนาจานวนจริงบวกมาคณู ทงั้ สองข้างของอสมการ
เครือ่ งหมายของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง

ถา้ เขา้ ใจแล้ว ไปทา
แบบฝึกกันต่อนะ

แบบฝึกเสริมทักษะ เรื่องการแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว

แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะท่ี 2 14

คาสง่ั จงแก้อสมการต่อไปนี้ และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ

1) 6x > 36

x
2) 5 ≥ −7

แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะ เรอ่ื งการแกอ้ สมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียว

แบบฝึกเสริมทักษะท่ี 2 15

3) x ≠ 1
12 96

เป็นไงบา้ งเพอ่ื นๆ
ทาได้ทุกข้อเลยใช่ไหม

แบบฝกึ เสรมิ ทักษะ เรอ่ื งการแกอ้ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

ใบความรทู้ ่ี 3 16

การแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว โดยใชส้ มบัตกิ ารคณู ของการไม่เท่ากนั
(เมือ่ นาจานวนจรงิ ลบมาคณู ทง้ั สองขา้ งของอสมการ)

สมบตั กิ ารคณู ของการไมเ่ ท่ากัน

ให้ a , b และ c แทนจานวนจริงใด ๆ
1. ถ้า a < b และ c เป็นจานวนจรงิ ลบ แลว้ ac > bc
2. ถ้า a ≤ b และ c เปน็ จานวนจรงิ ลบ แล้ว ac ≥ bc
3. ถ้า a > b และ c เปน็ จานวนจริงลบ แล้ว ac < bc
4. ถ้า a ≥ b และ c เปน็ จานวนจริงลบ แลว้ ac ≤ bc

ตัวอยา่ ง การใชส้ มบตั กิ ารคูณของการไม่เทา่ กันของอสมการ

1. −2y < 28

วธิ ีทา จาก −2y < 28 เวลานาไปคณู อยา่ ลมื เครือ่ งหมายลบ
ดา้ นหนา้ นะครับ

นา − 1 มาคณู ทง้ั สองข้างของอสมการ
2

จะได้ (−2y)(− 1 ) > (28)(− 1 )
2 2

ดังนั้น y > -14

นัน่ คอื คาตอบของอสมการ −2y < 28 คือจานวนจริงทุกจานวนทม่ี ากกวา่ -14

เข้าใจแล้ว หลกั การง่ายๆนิดเดียว แค่
คูณด้วยจานวนจริงลบ เคร่อื งหมาย
ของอสมการเปล่ียนเปน็ เครอ่ื งหมาย
ตรงกันข้าม

แบบฝกึ เสริมทักษะ เรื่องการแกอ้ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

การแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว โดยใช้สมบัตกิ ารคณู ของการไมเ่ ท่ากนั 17
(เมือ่ นาจานวนจริงลบมาคูณทัง้ สองขา้ งของอสมการ)

ตัวอยา่ งที่ 1 จงแก้อสมการ -3x > -27 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วิธที า จาก -3x > -27

นา -31 มาคณู ทงั้ สองขา้ งของอสมการ 31)
จะได้ (-3x)(− 31) < (-27)(−

ดังนั้น x <9

นน่ั คือ คาตอบของอสมการ คือ จานวนจริงทุกจานวนทนี่ ้อยกว่า 9

และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ ได้ดังนี้

7 8 9 10 11

ตัวอย่างที่ 2 จงแกอ้ สมการ − 2x ≥ 16 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ
3
2x
วธิ ีทา จาก − 3 ≥ 16
นา −
จะได้ 3 มาคณู ทง้ั สองขา้ งของอสมการ
2
2x 3 3
(− 3 )(− 2 ) ≤ (16)(− 2 )

ดงั นั้น x ≤ −24

นน่ั คอื คาตอบของอสมการ คอื จานวนจริงทกุ จานวนทีน่ ้อยกวา่ หรือเทา่ กบั -24

และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ไดด้ งั นี้

-26 -25 -24 -23 -22

ทาความเข้าใจต่ออีกสักนดิ นะครับ

แบบฝึกเสรมิ ทักษะ เรอื่ งการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

การแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว โดยใชส้ มบัติการคณู ของการไมเ่ ท่ากนั 18
(เม่ือนาจานวนจรงิ ลบมาคูณทงั้ สองขา้ งของอสมการ)

ตวั อย่างที่ 3 จงแกอ้ สมการ − x ≤ −2 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ
5
x
วิธที า จาก − 5 ≤ −2 x1
− 5 มาจาก (− 5 )(x)
นา -5 มาคูณท้งั สองขา้ งของอสมการ
x
จะได้ (− 5 )(−5) ≥ (−2)(−5)

ดังนน้ั x ≥ 10

น่ันคอื คาตอบของอสมการ คอื จานวนจริงทกุ จานวนท่มี ากกวา่ หรือเท่ากบั 10

และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ได้ดังนี้

0 5 10 15 20

สรปุ

การแกอ้ สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี วโดยใช้สมบัตกิ ารคณู ของการไม่
เท่ากัน เปน็ การหาคาตอบของอสมการ ดว้ ยการนาจานวนมาคณู ท้ังสองขา้ ง
ของอสมการ และในการนาจานวนจรงิ ลบมาคูณทัง้ สองข้างของอสมการ
เคร่อื งหมายของอสมการจะเปลีย่ นเปน็ เครือ่ งหมายตรงกันข้าม

ไปทาแบบฝกึ
กันเถอะ

แบบฝกึ เสริมทักษะ เรอื่ งการแกอ้ สมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียว

แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะท่ี 3 19

คาสงั่ จงแก้อสมการต่อไปน้ี และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ

1) −5x > 100

x
2) − 2 ≥ −8

แบบฝึกเสรมิ ทักษะ เร่อื งการแก้อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว

แบบฝึกเสริมทกั ษะท่ี 3 20

3) −2x 11
7 ≠ 21

เหน่ือยก็หยดุ พัก
แลว้ คอ่ ยมาทาความเข้าใจตอ่

แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะ เรอ่ื งการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ใบความร้ทู ่ี 4 21

การแกอ้ สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว โดยใช้สมบตั กิ ารบวกของการไม่เทา่ กนั
และสมบัติการคณู ของการไมเ่ ท่ากนั

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้อสมการ 2x + 5 > 11 และเขยี นกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วิธีทา จาก 2x + 5 > 11

นา -5 มาบวกทัง้ สองข้างของอสมการ

จะได้ 2x + 5 – 5 > 11 - 5

2x > 6

นา 1 มาคูณท้งั สองข้างของอสมการ
2

จะได้ (2x)(21) > (6)(21)

x >3

นัน่ คือ คาตอบของอสมการ 2x + 5 > 11 คอื จานวนจรงิ ทุกจานวนทม่ี ากกวา่ 3
และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ไดด้ ังน้ี

12 3 4 5

เขา้ ใจไหมครบั อีกนดิ นะครบั
แล้วจะเข้าใจยิ่งขนึ้

ลยุ เลย

แบบฝกึ เสริมทักษะ เร่อื งการแกอ้ สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว

การแก้อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว โดยใช้สมบัตกิ ารบวกของการไมเ่ ท่ากนั 22
และสมบัตกิ ารคูณของการไมเ่ ท่ากนั

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแก้อสมการ 5x – 4 < -1 และเขยี นกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วิธที า จาก 5x – 4 < -1

นา 4 มาบวกทงั้ สองข้างของอสมการ

จะได้ 5x – 4 + 4 < -1 + 4

5x < 3

นา 1 มาคณู ทั้งสองข้างของอสมการ
5

จะได้ (5x)(51) < (3)(51)

x < 3
5
3
นั่นคอื คาตอบของอสมการ 5x – 4 < -1 คอื จานวนจริงทกุ จานวนทนี่ ้อยกว่า 5

และเขียนกราฟแสดงคาตอบ ได้ดังน้ี

12 345
55 555

ตัวอยา่ งที่ 3 จงแกอ้ สมการ -8x + 3 ≥ -37 และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วิธีทา จาก -8x + 3 ≥ -37

นา -3 มาบวกทัง้ สองข้างของอสมการ

จะได้ -8x + 3 - 3 ≥ -37 - 3

-8x ≥ −40
นา -81 มาคณู ทัง้ สองขา้ งของอสมการ

จะได้ (-8x)(-81) ≤ (−40)(− 1 )
8

x ≤5

นัน่ คอื คาตอบของอสมการ -8x + 3 ≥ -37 คอื จานวนจรงิ ทกุ จานวนที่น้อยกว่า
หรือเทา่ กบั 5 และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ ได้ดงั นี้

34 56 7
แบบฝึกเสริมทกั ษะ เรื่องการแกอ้ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

การแกอ้ สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว โดยใชส้ มบตั ิการบวกของการไมเ่ ทา่ กนั 23
และสมบัตกิ ารคณู ของการไม่เท่ากนั

ตัวอย่างที่ 4 จงแกอ้ สมการ 4 x−2 −4 ≤ −2(x−12) และเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

วธิ ีทา จาก 4 x−2 −4 ≤ −2(x−12)

จะได้ 4x−8−4 ≤ −2x+24

4x−12 ≤−2x+24

4x+2x ≤ 24+12

6x ≤ 36

นา 1 คณู ทงั้ สองข้างของอสมการ
6
ดงั นนั้ x ≤ 6

นัน่ คอื คาตอบของอสมการ 4 x−2 −4 ≤ −2(x−12) คอื จานวนจรงิ ทกุ จานวนท่ี

น้อยกวา่ หรือเทา่ กับ 6

และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ ได้ดังนี้

45 6 7 8

สรุป

การแก้อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียวโดยใชส้ มบตั ิการบวกและการคณู ของการ
ไม่เท่ากัน เป็นการหาคาตอบของอสมการ ด้วยการนาจานวนมาบวกท้งั สองขา้ ง
ของอสมการ แล้วจึงนาจานวนมาคณู ทั้งสองข้างของอสมการ

ไปทาแบบฝึกกันเถอะ

แบบฝึกเสรมิ ทักษะ เร่ืองการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะที่ 4 24

คาส่ัง จงแก้อสมการต่อไปนี้ และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ

1) 3x −16 < 2

2) 2 x−1 +6 ≥ 4(x−2)
แบบฝึกเสรมิ ทักษะ เร่อื งการแก้อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว

แบบทดสองหลังเรียน 25

คาส่ัง จงแกอ้ สมการตอ่ ไปน้ี และเขียนกราฟแสดงคาตอบ

1) 2x+7 < 15

2) 5(x − 1) ≠ 15
แบบฝกึ เสริมทกั ษะ เรอ่ื งการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

แบบทดสองหลงั เรียน 26

3) 2x + 17 ≥ 4 x−2 +5

ขอใหโ้ ชคดีในการทา
ขอ้ สอบนะ

แบบฝึกเสรมิ ทักษะ เรอ่ื งการแกอ้ สมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว