LinearisAlgebra

Lineáris algebra I.

Vektorok és szorzataik

Ismert fogalmak Témák

 Vektortér  Szabadvektorok vektortere
 Lineáris kombináció  Skaláris szorzat
 Lineáris függőség,  Vektoriális szorzat
 Vegyes szorzat
függetlenség
 Generátorrendszer, bázis,

dimenzió
 Lineáris leképezések

Szabadvektorok vektortere

Háromdimenziós térben konstruáljuk, V3-mal jelöljük.

X={a tér minden irányított szakasza és a tér minden pontja}

 

X  AB, CD, , AA, BB, 

Y={a tér párhuzamos eltolásai és az identitás}

Y = I, p1, p2, ...

f: X → Y leképezés:
Egy irányított szakaszhoz azt az eltolást rendeljük hozzá, amelyet
alkalmazva a kezdőpont képe a végpont lesz.



AB X p  Y: p(A)=B

Az X halmazon a f leképezés egy osztályozást indukál, az
osztályozásban fellépő részhalmazokat a, b,… -vel jelöljük, és
szabadvektoroknak nevezzük.

V3=a,b, 

A V3 halmaz összeadással és skalárral való szorzással vektortérré tehető.
A vektortér elemei (a vektorok) tulajdonképpen halmazok.

Szabadvektorok vektortere

Reprezentáns

A tér minden pontjából kiinduló, azonos hosszúságú és azonos
irányú irányított szakaszok valamelyike.

Vektor hossza (normája):

tetszőleges reprezentánsának hossza, jele:

nullvektor (zérusvektor): 0 0 0
egységvektor: e e 1

Két vektor által bezárt szög
Egy közös pontból induló reprezentánsaik által bezárt szög.

Párhuzamos (egyállású) vektorok: szögük 0
Ellentétes irányú vektorok: szögük 180
Merőleges vektorok: szögük 90

Vektorok szorzatai

V3 vektorai felhasználásával definiált szorzatok(függvények):
 Belső (skaláris) szorzat
 Külső (vektoriális) szorzat ← Művelet!!!
 Vegyes szorzat

Belső (skaláris) szorzat

A V3 vektortéren belső (skaláris) szorzaton azt a V3  V3  R

függvényt értjük, mely az a,b rendezett vektorpárhoz az

(a,b) : a b cos

valós számot rendeli, ahol f a két vektor által bezárt szög.

Definíció szerint: (a,a) : a 2  a 2

Belső (skaláris) szorzat

Tétel
Két, nullvektortól különböző vektor akkor és csak akkor merőleges,
ha a skaláris szorzatuk nulla.

a  b (a  0, b  0)  (a,b)  0

Ortonormált bázis
Az {e1, e2, e3} vektorrendszer ortonormált bázis, ha a tagjai
egységvektorok és páronként egymásra merőlegesek.

(ei ,ej)  ij i, j 1, 2,3

Belső szorzat kiszámítása ortonormált bázisban

Gram-Schmidt-féle ortogonalizálási eljárás

V3-ban létezik {e1, e2, e3} ortonormált bázis, melyet egy tetszőleges
{u1, u2, u3} bázis átalakításával kapunk.

Az ortonormált bázis első vektora: e1  u1
u1

A második vektort az [u1, u2]≡[e1, u2] síkban keressük, állását az u2
vektor e1-re merőleges összetevője adja:

e2*  u2  (u2 , e1)e1  e2  e2 *
e2 *

A harmadik vektort az [u1, u2]≡[e1, e2] síkra merőlegesen keressük,
állását az u3 vektor síkra merőleges összetevője adja:

e3*  u3  (u3, e1)e1  (u3, e2 )e2  e3  e3 *
e3 *

Külső (vektoriális) szorzat

A V3 vektortéren vektoriális (külső) szorzaton azt a V3  V3  V3

függvényt értjük, mely az a, b rendezett vektorpárhoz az a ´ b-vel
jelölt vektort rendeli:

• a  b  a b sin , ahol f a két vektor szöge

• a ´ b  a és a ´ b  b
• a, b, a ´ b ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkot.

Külső (vektoriális) szorzat

Külső (vektoriális) szorzat

Tétel
Két, nullvektortól különböző vektor akkor és csak akkor párhuzamos,
ha vektorális szorzatuk nullvektor.

(Két vektor akkor és csak akkor lineárisan függő, ha a vektoriális
szorzatuk nullvektor.)

Kiszámítás
ortonormált jobbsodrású bázisban:

e1 e2 e3
a  b  1 2 3

1 2 3

Vegyesszorzat

A V3 vektortéren vegyesszorzatnak nevezzük azt a V3  V3  V3  R

függvényt értjük, mely az a, b, c rendezett vektorhármashoz az

abc : (a  b, c)

valós számot rendeli.

Geometriai jelentés Tétel

Ha az a, b, c ÎV3 lineárisan független
jobbsodrású vektorhármas, akkor az abc
vegyesszorzat egyenlő az egy pontból
induló reprezentánsaik által felfeszített
paralelepipedon térfogatával.

Ha az a, b, c ÎV3 vektorhármas
balsodrású rendszert alkot, akkor az abc
vegyesszorzat egyenlő az előbbi
paralelepipedon térfogatának (-1)-
szeresével.

Vegyesszorzat

Tétel
Az a, b, c ÎV3 vektorok akkor és csak akkor lineárisan függők, ha

vegyesszorzatuk nullával egyenlő.
(A három vektor pontosan ekkor van egy síkban.)

Kiszámítás 1 2 3
ortonormált jobbsodrású bázisban: abc  1 2 3
2 3
1

Lineáris algebra II.

Pontterek

(Affin-, Euklideszi- és projektív tér)

Affin tér

V3 - 3-dimenziós vektortér (szabadvektorok vektortere)
{a1, a2, a3} - tetszőleges bázis V3-ban

OA1, OA2, OA3 - origóból induló reprezentánsok

Egy tetszőleges P pontba mutató helyvektor előáll a bázisvektorok

lineáris kombinációjaként: p=1a1+2a2 +3a3

(a1, a2, a3) - a P pont affin koordinátái

A számhármasok összességét háromdimenziós affin térnek
nevezzük. Jelölése: A3

A V3 vektortér az adott affin tér kapcsolt vektortere.

Összefoglalva:
Egy vektortér elemeinek tetszőleges bázisra vonatkozó együtthatóiból

álló számhármasok vektortere.

Euklideszi tér

Az A3 affin tér V3 kapcsolt vektorterében defináljuk
 a belső (skaláris) szorzást
 ortonormált bázist (Descartes-féle koord.rendszer).

Ekkor a számhármasok vektorterét Euklideszi térnek nevezzük.
Jelölése: E3

Euklideszi tér = affin tér + mérés lehetősége
Affin térben vizsgálható:

 Térelemek, alakzatok illeszkedési viszonyai
 Térelemek, alakzatok metszési viszonyai
 Térelemek párhuzamossága

Euklideszi térben vizsgálható:

 Térelemek, alakzatok illeszkedési viszonyai
 Térelemek, alakzatok metszési viszonyai
 Térelemek párhuzamossága
 Térelemek távolsága
 Térelemek által bezárt szögek, merőlegesség

Projektív tér

Az affin (euklideszi) tér kibővítéseként kapjuk. Jelölése: P3

Az affin tér minden irányához (vektorálláshoz) hozzárendelünk
egy ún. végtelen távoli pontot.

 Különböző irányokhoz különböző végtelen távoli pontot rendelünk.
 Lineárisan függő (párhuzamos) irányokhoz ugyanazt a végtelen

távoli pontot rendeljük.
 Egy síkkal párhuzamos irányokhoz rendelt végtelen távoli pontok

egy egyenesre illeszkednek. → végtelen távoli egyenes
 A párhuzamos síkokhoz ugyanazt a végtelen távoli egyenest

rendeljük.
 A különböző síkállásokhoz rendelt végtelen távoli egyenesek egy

síkra illeszkednek. → végtelen távoli sík

Projektív sík, koordináták

Megoldás: Homogén koordináták

A projektív sík végesben lévő (közönséges) pontjai esetén:

(x, y) → (x, y, 1)

Az (x, y) koordinátájú helyvektor irányában lévő végtelen távoli pont
esetén → (x, y, 0)

Párhuzamos helyvektorok → a számhármasok
által ugyanazt a végtelen arányosság erejéig
távoli pontot kell kapnunk. rendelődnek a ponthoz

Jó lenne, ha a végesben lévő pontok esetén is érvényes lenne az
arányosság erejéig való hozzárendelés!

Projektív sík, koordináták

Pontok → (x1, x2, x3) - valós számhármas

 Legalább az egyik koordináta zérustól különböző
(A (0,0,0) számhármas nem jó!!!)

 Arányosság erejéig rendelődnek a ponthoz
(x1, x2, x3) ~ (lx1, lx2, lx3)

 Végtelen távoli pontok esetén x3=0
 Végesben lévő pontok esetén visszatérés a

Descartes koordinátákra:

 Végtelen távoli pontok esetén nincs lehetőség a
visszatérésre (nincsenek az Euklideszi síkon)

Projektív tér, koordináták

Pontok → (x1, x2, x3 , x4) - valós számnégyes
 Legalább az egyik koordináta zérustól különböző
(A (0,0,0,0) számnégyes nem jó!!!)

 Arányosság erejéig rendelődnek a ponthoz
(x1, x2, x3 , x4) ~ (lx1, lx2, lx3 , lx4)

 Végtelen távoli pontok esetén x4=0
 Végesben lévő pontok esetén visszatérés a

Descartes koordinátákra:

x = x1 y = x2 z = x3
x4 x4 x4

 Végtelen távoli pontok esetén nincs lehetőség a
visszatérésre (nincsenek az Euklideszi térben)

Lineáris algebra III.

Egyenesek és síkok

Alakzatok egyenletei, egyenletrendszerei

 Implicit alak (0-ra rendezett alak)
 Explicit alak (az egyik koordinátára rendezett alak)
 Paraméteres alak (az alakzat pontjaiba mutató helyvektorok vannak

kifejezve paraméterek és más vektorok segítségével; az alakzatra
illeszkedő pontok koordinátái egy vagy két paraméter függvényeiként

vannak megadva)

Egyenes síkban

 Implicit alak: Általános egyenlet

 Explicit alak: Iránytangenses alak

 Paraméteres alak: vektorparaméteres alak

Síkok a térben

 Implicit alak: Általános egyenlet

 Explicit alak: nem szoktuk felírni

 Paraméteres alak: vektorparaméteres alak

Egyenesek a térben

 Implicit alak: NINCS

 Explicit alak: NINCS

 Paraméteres alak: vektorparaméteres alak

Egyenesek síkban (n  0) )

Adottak:

 P0 az egyenes rögzített pontja
 n (0) az egyenes egy normálvektora

A P pontosan akkor illeszkedik a P0-on
áthaladó, n-re merőleges egyenesre, ha

P0P  n

Ezzel ekvivalens: (P0P, n)  0 (vagy ( r  r0, n)  0

Ortonormált bázisban a vektorkoordináták felhasználásával:

jelöléssel egy kétismeretlenes lineáris egyenletet kapunk:

Általános egyenlet (Implicit alak)

Egyenesek síkban

Egy egyeneshez végtelen sok általános egyenlet tartozik, melyek
abban különböznek egymástól, hogy mely normálvektort választottuk
az egyenlet felírásakor.
(Az egyenletek konstansszorzó erejéig rendelődnek az egyeneshez. )

Kivételes alak:
Ha normál egységvektort választunk, amely origóból induló
reprezentánsa mindig az egyenes felé mutat.

Az általános egyenletet osztjuk a normálvektor előjeles hosszával,

azaz a mennyiséggel.

Hesse-féle normálalak

Egyenesek síkban

Adottak:

 P0 az egyenes rögzített pontja
 v (0) az egyenes egy irányvektora

A P pontosan akkor illeszkedik a P0-on
áthaladó, v-vel párhuzamos egyenesre, ha

P0P v

Ezzel ekvivalens:
Az egyenes pontjaiba mutató helyvektorokkal kifejezve:

vektorparaméteres egyenlet

Ortonormált bázisban a vektorkoordináták felhasználásával:

paraméteres egyenletrendszer

Legáltalánosabb alak, az affin síkon is megadható, mert nem kell hozzá a merőlegesség.

Egyenesek síkban

A t paramétert kifejezve az egyenletrendszerből az
irányvektoros egyenletet kapjuk:

és
jelöléseket bevezetjük az y tengellyel nem párhuzamos egyenesek esetén.

Iránytangenses egyenlet (explicit alak)

m: meredekség, iránytangens
b: az y tengellyel való metszéspont második koordinátája

Síkok a térben (n  0) )

Adottak:

 P0 az egyenes rögzített pontja
 n (0) a sík egy normálvektora

A P pontosan akkor illeszkedik a P0-on
áthaladó, n-re merőleges síkra, ha

P0P  n

Ezzel ekvivalens: (P0P, n)  0 (vagy ( r  r0, n)  0

Ortonormált bázisban a vektorkoordináták felhasználásával:

jelöléssel egy három ismeretlenes lineáris egyenletet

kapunk:

Általános egyenlet (Implicit alak)

Síkok a térben

Egy síkhoz végtelen sok általános egyenlet tartozik, melyek abban
különböznek egymástól, hogy mely normálvektort választottuk az
egyenlet felírásakor.
(Az egyenletek konstansszorzó erejéig rendelődnek a síkhoz. )

Kivételes alak:
Ha normál egységvektort választunk, amely origóból induló
reprezentánsa mindig a sík felé mutat.

Az általános egyenletet osztjuk a normálvektor előjeles hosszával,

azaz a mennyiséggel.

Hesse-féle normálalak

Síkok a térben

Adottak:

 P0 az egyenes rögzített pontja
 a (0) és b (0) nem párhuzamos vektorok

A P pontosan akkor illeszkedik a P0-on
áthaladó, a-val és b-vel párhuzamos S
síkra, ha

P0P, a és b lineárisan függőek

Ezzel ekvivalens:
Az egyenes pontjaiba mutató helyvektorokkal kifejezve:

vektorparaméteres egyenlet

Legáltalánosabb alak, az affin síkon is megadható, mert nem kell hozzá a merőlegesség.

Síkok a térben

A sík egy normálvektora előáll következő alakban:

Ekkor ( r  r 0, a  b)  0

A vektorkoordináták ismeretében a sík általános egyenletét a
következő formális determináns adja:

Egyenesek a térben

Adottak:

 P0 az egyenes rögzített pontja
 v (0) az egyenes egy irányvektora

A P pontosan akkor illeszkedik a P0-on áthaladó, v-vel párhuzamos
egyenesre, ha

P0P v

Ezzel ekvivalens:

Az egyenes pontjaiba mutató helyvektorokkal kifejezve:

vektorparaméteres egyenlet

Egyenesek a térben

Ortonormált bázisban a vektorkoordinátákat tekintve:
paraméteres egyenletrendszer

A t paraméter kiküszöbölése után egyenletrendszerünk:
Két, nem párhuzamos sík metszésvonalaként megadott egyenes
egyenletrendszere:

Ebben az esetben az egyenes egy irányvektora:

Lineáris algebra IV.

Térelemek távolsága, szöge

Távolság Szög

 Két pont távolsága  Egyenesek szöge
 Pont és egyenes távolsága  Egyenes és sík szöge
 Pont és sík távolsága  Síkok szöge
 Egyenes és sík távolsága
 Két sík távolsága
 Két egyenes távolsága

Két pont távolsága

Két pont távolságán az általuk meghatározott szakasz hosszát értjük.

Az euklideszi tér pontjainak távolsága:

Vektorhosszal megadva:

Pont és egyenes távolsága

A pont és az egyenes által meghatározott
síkban a pontból az egyenesre merőlegest
állítunk.
A pont és egyenes távolsága a pont és a
merőleges talppontjának távolsága.

A Q(x0,y0) pont és g: Ax+By+C=0 egyenes távolsága:

A pont koordinátáit behelyettesítjük az egyenes normálegyenletébe,
akkor az így kapott szám abszolút értéke a pont és egyenes
távolságával egyenlő.

d(g,Q)  ax0  by0  p

Az origóra nem illeszkedő egyenes esetén a Q pont, az origó és az egyenes

viszonylagos helyzetéről az ax0  by0  p

szám előjele ad felvilágosítást.

ax0  by0  p  0 esetén az O és Q pontok ugyanabban a
félsíkban vannak.

ax0  by0  p  0 esetén az O és Q pontok különböző félsíkban
vannak.

Pont és sík távolsága

A pontból a síkra merőlegest állítunk.
A pont és sík távolsága a pont és a
merőleges talppontjának távolsága.

S

A Q(x0,y0,z0) pont és a S: Ax+By+Cz+D=0 sík távolsága:
A pont koordinátáit behelyettesítjük a sík normálegyenletébe, akkor az
így kapott szám abszolút értéke a pont és sík távolságával egyenlő.

d(S,Q)  ax0  by0  cz0  p d(S,Q)  Ax0  By0  Cz0  D
A2  B2  C2

Az origóra nem illeszkedő sík esetén a Q pont, az origó és a sík

viszonylagos helyzetéről az ax0  by0  cz0  p

szám előjele ad felvilágosítást.

ax0  by0  cz0  p  0 esetén az O és Q pontok ugyanabban a
ax0  by0  cz0  p  0 féltérben vannak.

esetén az O és Q pontok különböző féltérben
vannak.

Pont és egyenes távolsága térben e

A P pont és az e egyenes térbeli koordinátákkal

(egyenletrendszerrel) van megadva.
Általában nincs szükségünk a síkjukban egy síkbeli

koordinátarendszer megadására.

A P ponton keresztül az e egyenesre

merőleges S sík az egyenes a Q
pontban metszi.

d(P,e)=d(P,Q)

Egyenes és sík távolsága

Párhuzamos helyzetű egyenes és sík
távolsága az egyenes egy tetszőleges
pontjának a síktól való távolsága.

Két sík távolsága

Párhuzamos helyzetű síkok távolsága
definíció szerint az egyik síkon
tetszőlegesen kiválasztott P pont másik
síktól mért távolsága.

Párhuzamos egyenesek távolsága térben e1
e2
Párhuzamos egyenesek távolsága
definíció szerint az egyik egyenesen
tetszőlegesen kiválasztott P pont másik
egyenestől mért távolsága.

Kitérő egyenesek távolsága

Az a és b egyenesek kitérők, ha nem párhuzamosak
és nem metszők.
Normál-transzverzális: olyan egyenes, amely a kitérő
egyenesek mindegyikét merőlegesen metszi.
Térbeli konstrukció

Az n egyenest két sík metszésvonalaként fogjuk
megkapni, ezek tartalmazzák az a és b
valamelyikét és párhuzamosak az n irányával.

a: P1-re illeszkedő, v1 irányvektorú egyenes
P2 b: P2-re illeszkedő, v2 irányvektorú egyenes

P1

Egyenesek szöge

Ha a két egyenes egymással párhuzamos,
akkor a két egyenes egymással 0°-os szöget zár be.

Ha a két egyenes metsző,
akkor általában a metszéspontban mérhető kisebb szöget értjük a két
egyenes szögén. Ha a két egyenes egymást merőlegesen metszi, akkor a
metszéspontban bármelyik szögtartomány kijelölhető.

Ha a két egyenes kitérő,
akkor a tér egy tetszőleges pontjába eltoljuk az egyeneseket, és ott mérjük
le a szöget.

Egyenesek és sík szöge

Ha az egyenes elmetszi a síkot, akkor az
egyenes és sík szöge definíció szerint az
egyenes és az egyenes síkra eső merőleges
vetülete által bezárt szög.

Ha az egyenes merőleges vetületét a
későbbiekben nem kell felhasználnunk,
akkor máshogyan is mérhetjük a szöget.

Egyenes és sík szöge

Ha az egyenes merőleges vetületét a
későbbiekben nem kell felhasználnunk,
akkor az egyenes egy pontjából
merőlegest állítunk a síkra.

Az egyenes és a síkra állított merőleges
szöge éppen a keresett szög pótszöge.

(Pótszög: 90°-ra egészíti ki a szöget.)

Egyenes és sík merőlegességének feltétele:
az egyenes irányvektora és a sík normálvektora függő vektorpár legyen.

Síkok szöge

Ha a két sík metsző, akkor a metszésvonaluk
egy pontjában, mindkét síkban merőlegest
állítunk a metszésvonalra.
A két sík szöge definíció szerint a kapott két
egyenes szöge.

Ha a két sík metszésvonalára és az előbbi
egyenesekre nincs szükségünk, akkor a tér
egy tetszőleges pontjából merőlegest
állítunk mindkét síkra.

Ezek szöge a két sík szögével egyenlő.

Két sík merőlegességének feltétele:
a síkok kölcsönösen tartalmaznak a másik normál-vektorával párhuzamos
vektort.