เซ็ต&เลขยกกำลัง

สรุ ป

เรื่อง เซต & เลขยกกำลัง

นายธนพล วงศ์จีน เลขที่7

ความหมายของเซต

ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด
เเละเมื่อกล่าวถึงเซตของสิ่งใดๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เรา
เรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า 'สมาชิก'

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อเเละสมาชิกของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่างๆ ได้
2. ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...

∈3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า " เป็นสมาชิกของ "
∉ แทนคำว่า " ไม่เป็นสมาชิกของ "

ลั ก ษ ณ ะ ข อ ง เ ซ ต

∅เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนแทนด้วย " { } " หรือ

เช่น เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2
เซตของสระในคำว่า " อรวรรณ "

เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้

∅เช่น มีจำนวนสมาชิกเป็น 0

{ 1, 2, 3, ... , 50 } มีจำนวนสมาชิกเป็น 50
เซตอนันต์ (Infinite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวน
ส ม า ชิ ก ไ ด้

เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, ... }
เ ซ ต ข อ ง จุ ด บ น ร ะ น า บ

ก า ร เ ขี ย น เ ซ ต

1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form)
ห ลั ก ก า ร เ ขี ย น
1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
2. สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัว เเล้วใช้

จุด 3 จุด (Tripple dot) เเล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (Set builder form)
ห ลั ก ก า ร เ ขี ย น
1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย l ( l อ่านว่า

โดยที ) เเล้วตามโดยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรู ปแบบ { x l เงื่อนไขของ x }

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ ข อ ง เ ซ ต

1. เซตที่เท่ากัน (Equal Sets) คือ เซตสองเซตจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมี
สมาชิกเหมือนกัน
สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B
เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย A ≠ B
2. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิก
ของเซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่งต่อหนึ่ง
สัญลักษณ์ เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย A ⟷ B
* หมายเหตุ 1. ถ้า A = B แล้ว A ⟷ B
2. ถ้า A ⟷ B แล้ว ไม่อาจสรุปได้ว่า A = B

เพาเวอร์ เซต

ถ้า A เป็ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไป
ด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด

สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซต
ทั้งหมดของ A}

ส ม บั ติ ข อ ง เ พ า เ ว อ ร์ เ ซ ต
กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ

∅ ∈ ∅ ⊂1. P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต เเล้ว P(A) ก็

เ ป็ น เ ซ ต เ ช่ น กั น

∈ ⊂3. A P(A) เพราะ A A เสมอ

4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A)
จะมีสมาชิก 2^ n(A) ( 2 ยกกำลัง n(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩6. P(A) P(B) = P(A B)
∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A B)

สั บ เ ซ ต

ถ้า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกในเซต B เเล้ว เซต A จะเป็นสับเซต

ของเซต B

⊂สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B
⊄เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A B

ส ม บั ติ ข อ ง สั บ เ ซ ต
⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A
เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A

7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2^n ( 2 ยก

กำลัง n ) สับเซต

สับเซตแท้

⊂นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ A ≠ B

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a, b, c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

∅วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,

c}, {b, c}

หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซต A จะมีทั้งสิ้น

2^n-1 (2 ยกกำลัง n-1) สับเซต เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของสับเซต

ออกมาในรู ปแผนภาพได้ดังนี้

เ อ ก ภ พ สั ม พั ท ธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็น
สมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ โดย
ทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ U แทนเซตที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
A = {1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 8}

แผนภาพของเวนน์ - ออยเออร์

คือ แผนภาพแสดงความเกี่ยวข้องของเซตต่างๆ ซึ่งชื่อที่ใช้เรียกเป็นชื่อของ
นักคณิตศาสตร์สองคน คือ จอห์น เวนน์ เเละ เลโอนาร์ด ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ มักเขียนเเทนเอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยรู ป
สี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรู ปปิดใดๆ ส่วนเซต A, B, C, D, ... ซึ่งเป็นเซตย่อยของ U
อาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรู ปปิดใดๆ โดยให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่
ในรู ปปิดใดๆ ที่แทนเอกภพสัมพัทธ์
ตั ว อ ย่ า ง

กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, C = { 3, 5, 6, 7 }

ก า ร ดำ เ นิ น ก า ร บ น เ ซ ต

การดำเนินการระหว่างเซต คือ การนำเซตต่างๆ มากระทำกันเพื่อให้เกิดเป็น
เซตใหม่ ซึ่งทำได้ 4 วิธี คือ
1. ยูเนียน (Union)

ยูเนียนของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือ
เซต B

∪เขียนแทนด้วย A B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

∪ดังนั้น A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

เ ร า ส า ม า ร ถ เ ขี ย น ก า ร ยู เ นี ย น ใ น แ ผ น ภ า พ ไ ด้ ดั ง นี้

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต

Aและเซต B

∩เขียนแทนด้วย A B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

∩ดังนั้น A B = { 3 }

เ ร า ส า ม า ร ถ เ ขี ย น ก า ร ยู เ นี ย น ใ น แ ผ น ภ า พ ไ ด้ ดั ง นี้

3. คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ

เอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A'

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }
ดังนั้น A' = { 4, 5}

เ ร า ส า ม า ร ถ เ ขี ย น ก า ร ยู เ นี ย น ใ น แ ผ น ภ า พ ไ ด้ ดั ง นี้

ก า ร ดำ เ นิ น ก า ร บ น เ ซ ต

4. ผลต่างของเซต (Difference)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ
เซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A - B
ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้น A - B = { 1, 2 }
เ ร า ส า ม า ร ถ เ ขี ย น ก า ร ยู เ นี ย น ใ น แ ผ น ภ า พ ไ ด้ ดั ง นี้

สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนต่างๆ ที่ควรทราบ

ก า ร ดำ เ นิ น ก า ร บ น เ ซ ต

4. ผลต่างของเซต (Difference)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ
เซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A - B
ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้น A - B = { 1, 2 }
เ ร า ส า ม า ร ถ เ ขี ย น ก า ร ยู เ นี ย น ใ น แ ผ น ภ า พ ไ ด้ ดั ง นี้

สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนต่างๆ ที่ควรทราบ

ตั ว อ ย่ า ง โ จ ท ย์ เ ซ ต

1. จงบอกจำนวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้
1.1 A = {1,2,3,4,5}
ตอบ มีจำนวนสมาชิก 5 ตัว
1.2 B = {3,{3},5,7,9,11,13}
ตอบ มีจำนวนสมาชิก 7 ตัว
1.3 C = {a,b,c,d,...,z}
ตอบ มีจำนวนสมาชิก 26 ตัว

2. จงบอกว่าข้อต่อไปนี้เป็นเซตจำกัดหรือเซตอนันต์
2.1 A = {ก,ข,ฃ,ค,...,ฮ}
ตอบ เซตจำกัด
2.2 B = {101,102,103,...}
ตอบ เซตอนันต์
2.3 C = {xlx เป็นจำนวนที่หารด้วย 7 ลงตัว}
ตอบ เซตอนันต์
2.4 D = {xlx เป็นชื่อจังหวัดที่ขึ้นต้นด้วย ป}
ตอบ เซตจำกัด

3. จงหาคำตอบจากโจทย์ที่ให้
U = {2,4,6,8,10,12,14,16}
A = {2,6,8,10,14}
B = {4,8,12,14,16}
จงหา A' , A U B , B-A
A' = {4,12,16}
A U B = {2,4,6,8,10,12,14,16}
B-A = {2,6,10}

แ บ บ ฝึ ก หั ด

1 . ใ ห้ นั ก เ รีย น เ ขี ย น เ ซ ต ต่ อ ไ ป นี้ ใ น ลั ก ษ ณ ะ ก า ร แ จ ก แ จ ง ส ม า ชิ ก
1.1 เซตของจำนวนคู่ที่มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง 40
1.2 เซตของสีรุ้งกินน้ำ
1.3 {x | x เป็นเดือนที่มี 30 วัน}

2. ให้นักเรียนเขียนเซตต่อไปนี้ในลักษณะการบอกเงื่อนไขของสมาชิก
2.1 A = {2, 4, 6, 8, 10}
2.2 B คือ เซตของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 100
2.3 C = {a, e, i, o, u}
2.4 D = {3,5,7,9,11,13}

3. จงเขียนเซตให้ถูกต้อง
3.1 A = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x ≥ 5}
3.2 B = {x | x เป็นอักษรภาษาไทยเสียงต่ำ}
3.3 C = {x | x เป็นจำนวนที่หารด้วย 6 ลงตัวและไม่เกิน 200}
3.4 D = {x | x เป็นจำนวนคี่บวกที่หารด้วย 3 และไม่เกิน 50}

เ ล ข ย ก กำ ลั ง

ค ว า ม ห ม า ย ข อ ง เ ล ข ย ก กำ ลั ง

ถ้าจำนวนที่คูณตัวเองซ้ำกันหลาย ๆ ตัว เราจะเขียนจำนวนเหล่านั้นออกมา
ในรู ปของเลขยกกำลัง โดยจำนวนที่คูณตัวเองซ้ำ ๆ จะเรียกว่า "ฐาน" และ
จำนวนตัวที่คูณ จะเรียกว่า "เลขชี้กำลัง"

ส ม บั ติ ข อ ง เ ล ข ย ก กำ ลั ง

1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ a เป็น
จำนวนใด ๆ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก

2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็น

จำนวนเต็มบวกที่ m > n

กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, nเป็น
จำนวนเต็มบวกที่ m = n

ส ม บั ติ ข อ ง เ ล ข ย ก กำ ลั ง

กรณีที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็น
จำนวนเต็มบวกที่ m < n

เช่น

3 . ส ม บั ติ อื่ น ๆ ข อ ง เ ล ข ย ก กำ ลั ง
1.) เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง

เช่น
2.) เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรู ปการคูณ หรือการหารของจำนวนหลาย ๆ
จำนวน

เช่น

3.) เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน

เมื่อ a > 0 และ n เป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ a ≠ 0 และ m เป็น
ที่มากกว่า จำนวนเต็มบวก ; n ≥ 2

ก า ร บ ว ก เ ล ข ย ก กำ ลั ง

1.การบวกลบเลขยกกำลังที่มีฐานเหมือนกันและเลขยกกำลังเท่ากัน ให้นำ
สั ม ป ร ะ สิ ท ธิ์ ข อ ง เ ล ข ย ก กำ ลั ง ม า บ ว ก ล บ กั น

ตั ว อ ย่ า ง

2.การบวกลบเลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากัน แต่เลขยกกำลังไม่เท่ากันจะนำ
สัมประสิทธิ์มาบวกลบกันไม่ได้ ต้องทำในรู ปของการแยกตัวประกอบ และ
ดึ ง ตั ว ป ร ะ ก อ บ ร่ ว ม อ อ ก

ตั ว อ ย่ า ง

การจัดรู ปเลขยกกำลัง

การจัดรู ปเลขยกกำลัง มีจุดประสงค์เพื่อจัดให้เลขยกกำลังของเราอยู่ใน
รู ปอย่างง่าย
รู ปอย่างง่ายของเลขยกกำลัง หมายถึงเลขยกกำลังที่

1. เลขชี้กำลังทุกตัวเป็นบวก
2. รวมเลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกันเอาไว้ด้วยกัน

ตัวอย่างการจัดรู ปเลขยกกำลัง

การเขียนจำนวนให้อยู่ในรู ปของเลขยกกำลัง

ตั ว อ ย่ า ง เ ล ข ย ก กำ ลั ง

ตั ว อ ย่ า ง เ ล ข ย ก กำ ลั ง

ตั ว อ ย่ า ง เ ล ข ย ก กำ ลั ง

ตั ว อ ย่ า ง เ ล ข ย ก กำ ลั ง

แ บ บ ฝึ ก หั ด

แ บ บ ฝึ ก หั ด

จ ง ห า ค่ า ข อ ง เ ล ข ย ก กำ ลั ง ต่ อ ไ ป นี้